2.1同步发电机数学模型及运行特性
本节主要阐述同步发电机稳态数学模型及运行特性：包括向量图、等值电路与功率方程以及功角特性。
2.1.1 同步发电机稳态数学模型
理想电机假设：
1）电机铁心部分的导磁系数为常数；
2）电机定子三相绕组完全对称，在空间上互差120度，转子在结构上对本身的直轴和交轴完全对称；
3）定子电流在空气隙中产生正弦分布的磁势，转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在空气隙中按正弦规率分布；
4）定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
同步电动机是一种交流电机，主要做发电机用，也可做电动机用，一般用于功率较大，转速不要求调节的生产机械，例如大型水泵，空压机和矿井通风机等。
近年由于永磁材料和电子技术的发展，微型同步电机得到越来越广泛的应用。
同步电动机的特点之一是稳定运行时的转速n与定子电流的频率f1之间有严格不变的关系，即同步电动机的转速n与旋转磁场的转速n0相同。
“同步”之名由此而来。
同步发电机是电力系统中的电源，它的稳态特性与暂态行为在电力系统中具有支配地位。
虽然在电机学中已经学过同步电机，但那时侧重于基本电磁关系，而现在则从系统运行的角度审视发电机组。
1.同步发电机的相量图
设发电机以滞后功率因数运行，三相同步发电机正常运行时，定子某一相空载电势Eq，输出电压或端电压U和输出电流I间的相位关系如图2-1所示。
δ是Eq领先U的角度，称为功角，是功率因数角，即U与I的相位差， Eq与q轴（横轴或交轴）重合，d为纵轴或直轴。
U和I的d、q分量为：
图 2-1电势电压相量图
电机学课程中已经讨论过，端电压和电流的分量与Eq间的关系为：
（2-3）
式中，r为定子每相绕组的电阻，x d为定子纵轴同步电抗，x q为定子横轴同步电抗。
其中空载电势Eq与转子励磁绕组中的励磁电流成正比，其比例系数可从空载试验中得到。
为了便于绘制相量图，令d轴作正实轴，q轴作正虚轴，则各相量可表示为
所以
（2-7）
对于隐极式同步发电机（汽轮发电机），因气隙均匀，直轴和交轴同步电抗相等（x d=x q），上式变为
（2-8）
此即表示隐极式同步发电机的方程，由此即可作出它的等值电路和相量图，如图2-2所示
（a）等值电路（b）矢量图
图2-2 隐极式同步发电机等值电路和矢量图
凸极式同步发电机（水轮发电机），把电枢反应磁势分解为d轴及q轴两个分量，d轴电枢反应磁势的位置固定在转子d轴上，q轴电枢反应磁势的位置固定在转子q轴上，从而解决了合成磁势遇到的不同气隙宽度的困难。
D轴及q轴电枢反应磁势所产生的气隙磁通密度虽不是正弦形（气隙不均匀），但由于磁路的对称性，其基波轴线仍分别处在d轴及q轴线上，从而可以用叠加定理求取合成电势。
因气隙不均匀，直轴和交轴同步电抗不相等，只能用式（2-7）表示，为便于计算，定义了一个与Eq同相的虚构电势EQ，发电机电压方程为
（2-9）
定义，
则有
（2-10）
式中相量由和两个相量组成，均在q轴上，而由及求得。
凸极式发电机正常运行时的相量图如图2-3（b）所示，在图中利用决定q轴及d轴，即可求得，在求得，其等值电路如图2-3（a）所示。
（a）等值电路（b）矢量图
图2-3凸极式同步发电机等值电路和矢量图
2. 同步发电机的功率特性
若取为参考向量，领先的角度设为，则有
（2-11）
隐极式同步发电机输出的电磁功率为
（2-12）
其中
（2-13）
（2-14）
式（2-14）就是隐极式发电机的功率与功率角的关系式。
其中同步电抗，以为单位，其中为电枢漏抗，为电枢反应电抗。
电势与电压取线电势及线电压的有效值，则功率表示为三相功率的有效值。
凸极式同步发电机输出的电磁功率为：
（2-15）
其中：
（2-16）
（2-17）
式中，其中直轴同步电抗x d=x s+x ad，交轴同步电抗x q=x s+x aq，以为单位，其中x s为电枢漏抗，x ad为直轴电枢反应电抗，其中x aq为交轴电枢反应电抗。
以上各定子回路方程和功率方程就是同步发电机正常运行状态的数学模型。
2.1.2 原动机调节效应
对于一隐极发电机，若在发电机机端连接一非常大容量的电力系统，设系统不会引起发电机端电压和频率的变化，把这一发电机母线称为无穷大母线，当空载电势Eq和端电压U为定值时，
（2-18）
其中，
这时发电机输出的有功功率仅是功角的函数，称为功角特性，如图2-4所示。
该图a为发电机运行的初始
平衡状态。
它是原动机季节输入功率特性曲线（pm-）与发电机的电磁输出功率特性曲线（p-）的交点，相应的输出功率为P，功角为。
此时原动机的机械转矩与轴负荷（发电机的电磁功率）相平衡。
功角为
领先的角度，并体现了发电机转子的位置。
图 2-4发电机的功角特性
2.1.3 同步发电机的运行范围
同步发电机组按其设计的最佳运行状态称为额定运行状态，额定参数包括电压、定子电流、容量、功率因数、转子电流、长期容许温度和冷却介质温度等。
同步发电机在额定运行状态下，损耗小，效率高，转矩均匀，一般应使电机接近额定运行状态下运行，但在运行中时常要根据实际情况调整各参数，但不应超过允许范围。
在稳定运行条件下，发电机组的容许运行范围由下述条件决定：
定子绕组温升约束。
定子绕组温升由定子绕组电流决定，在额定电压下，由发电机的额定视在功率所决定。
发电机的三相绕组导体的截面积、发电机的冷却系统都是按照额定电流设计的，运行中的定子电流不可大于额定值。
励磁绕组温升约束。
励磁绕组温升由励磁电流所决定，即由发电机的空载电势决定。
发电机的励磁绕组截面积、冷却系统、励磁系统等是按照发电机额定运行条件下所需要的励磁电流-额定励磁电流而设计的，所以运行中的励磁电流不可大于它的额定值。
原动机输出功率约束。
原动机的额定功率通常等于发电机的额定有功功率。
原动机出力和发电机的电磁负荷及机械强度都是根据额定有功功率设计的，虽有一些裕度（过载能力），但运行中不宜超出P N。
另外，还有最小功率P min的限制，运行时也不能小于此值。
P min的限制是由于原动机和锅炉（火电厂）的限制。
汽轮机的最小允许功率约为额定值的10-20%，与汽轮机的类型和容量有关。
水轮机的最小允许功率比汽轮机小一些。
进相运行时的静态稳定条件及定子端部温升的约束。
一般发电机在进相运行时容易发生不稳定情况，这时就要限制输出的有功功率或吸收的无功功率。
现以汽轮发电机（隐极）为例，具体说明其允许的运行范围。
额定运行条件下的相量图（不计定子电阻r）如图2-10所示，各相量均乘以相同的比例系数K。
相量AO为额定电压UN的K倍，AM为额定电流的K倍，滞后UN的角度即为额定功率因数角，AN为额定空载电势E qN的K倍，与额定励磁电流成正比。
以O为原点作P-Q直角坐标系，使纵轴（P轴）垂直与AO。
系数K=3U N/x d，则ON的长度为（3U N/x d）I N x d=S N，即发电机额定视在功率。
ON在P及Q轴的投影，即为发电机的额定有功和无功功率。
因此在P-Q坐标平面上，N为额定运行点。
发电机的功率因数不等于额定值下运行时，以定子电流（即视在功率）不超过额定值作为条件，运行点应限制在以O为圆心，以ON为半径的圆弧LNJ以内；以励磁电流不超过额定值作为条件，则运行点应限制在
以A点为圆心，以AN为半径的圆弧NB之内；以不超过额定功率为条件，运行点应在水平线GFB以上。
同时考虑上述四个条件，并在滞后功率因数负载情况下，P和Q的允许运行范围为FB-BN-NC-CF所包围的面积。
同步发电机进相运行时，定子和励磁绕组的额定电流不是限制因素，主要受定子端部发热的限制和受额定有功功率和最小允许有功功率的限制。
进相运行的另一个限制因素是系统的运行稳定性。
发电机带一定的有功功率时，吸收的无功功率愈大，励磁电流与其成正比的空载电势愈小。
由式（2-17）可知，有功功率一定时，空载电势愈小，功率角愈大，因而系统稳定性愈差。
但是稳定性不仅与发电机运行状态有关，还与整个系统的结构、参数、其他各台发电机运行状态以及发电机自动电压调节器的性能等相关，很难做出一般性结论。
所以发电机进相运行的允许范围不像相位滞后运行那样具有确定性，图（2-10）中的进相运行范围CH-HG-GF是一个大致情况。
图2-10 同步发电机允许运行范围。
