2015秋七年级数学上册 5.1.1 对顶角和垂线课件 (新版)华东师大版

2 1 4
D
)3
B
解:由题意知： 证明:∠∵∠ 1＋∠ 21=180 =180°-30 ∠ 3＋∠ 2 =180° 2=180 ° -∠ ° =150 °， ∠3=180 ° ∠ 2=180 ° -150 ° =30 °， ∴ ∠1=∠3 同角的补角相等 ∠4=180°-∠3=180°-30°=150°， 同理， ∠2= ∠ 4. 2=∠4. 所以有 ∠1= ∠3 ，∠
对顶角相等
例题拓展
已知：直线a、b相交，∠1=40°，求∠ 2、 ∠ 3、 ∠ 4的度数。
变式1：把∠1＝40°变为∠2－∠1＝40° 变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的3倍 b 1 a 4 2 3
？ 变式4：把∠1=40°变为 ？
变式3：把∠1=40°变为
判断正误：
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. （对） (2)如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等. （错）
练习2
O B E
如图，直线AE、BD相交于点O， ∠EOD ， ∠BOE 的对顶角是 ∠AOD .
D
∠AOB的对顶角是
A
猜想
C
3
D
1
)2
4 B
1、对顶角在数量上有什么关系？ 2、你可以用哪些方法进行验证？
例： 如图，直线AB、CD A 相交于点 O ，∠ 1=30°， 那么∠ 2 、∠ 3 和∠ 4 各等 于多少度 ? 图中存在哪些 C 相等关系？
§5.1 相交线
第一课时：对顶角
北京菜户营立交桥
§5.1.1相交线、对顶角
自学提示：自学课本160-162页 回答教材中提出的问题

能识别什么是对顶角 理解并掌握对顶角的性质

成下面的练习题。
自学检测
练
1、如图,直线a、b相交，若∠1=40°,求
∠2、∠3、∠ 4的2＝180°－∠1 ＝180°－ 40° ＝140°
a
b
12 43
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°
∠4＝∠2＝140°
2.已知：如图,直线a、b相交，
试说明:∠1=∠3、 ∠2=∠4 a
D. ∠AOE和∠DOE是对顶角。
A
D
（2）如右图中直线AB、CD交于O，
O
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（C）度
C
（A）80；（B）100；（C）130（D）150。
E
B
3、填空
（1）右图中∠AOC的对顶角是 补角是 ∠AOD和∠COB .
∠DOB ,
（2）如图，直线AB、CD相交于OA，
对顶角
自学目标 一
能说出对顶角的概念，会在图形中识别对顶角。
自学指导一
• 1 自学内容：课本160页——161页例1上面的 内容。
• 2 自学时间：4分钟。 • 3 自学方法：看课本，合作探究。 • 4 自学要求：自学后能完成下面自学检测练中
的习题。
自学检测练
1边.具互有为相反同向的延顶长点线，，我且们一把个这角样的的两两边个与角另叫一做个对角顶的角两。
2.下列说法正确的是（A）
A.有公共顶点的角是对顶角 B.相等的角是对顶角
C.对顶角一定相等
D.不是对顶角的角不相等
3.两条直线相交成对 2 对顶角，三条直线相交成 6 对 对顶角，四条直线相交成对 12 对顶角，n条直线相交
成 n(n-1)对对顶角。
4角.直的线度A数B分，别CD是相交14与5O°，，如3果5∠°A，OC=3154°。5那°么其它三个

知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
2 下列说法正确的是( )
知2－练
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，
垂足一定在该直线上
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段
或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射
知3－讲
线的垂线
D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该
直线垂直
知识点 3 垂线的基本事实
知3－讲
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已 知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
知3－讲
例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
知1－练
1 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图， (1)因为∠AOC＝90°，所以______． (2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
知1－练
第5章 相交线与平行线
5.1 相交线
第2课时 垂线——垂线 的定义与性质
1 课堂讲解 2 课时流程

2．如图, OM⊥NP, ON⊥NP, 所以ON与OM重 合, 理由是( D )
A．两点确定一条直线 B．经过一点有一条直线与已知直线垂直 C．过一点只能作一条直线 D．同一平面内, 过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直
3．已知直线l1和l2, 点P在直线l2上, 过 点P画l1的垂线CD, 用三角板画图, 下列操 作正确的是( D )
范例
判断正误: (1)在平面内, 有且只有一条直线与已知直线垂直; ( ×) (2)在同一平面内, 一条直线不可能与两条相交直线都 垂直．( √ )
知识模块四 垂线段的定义
阅读教材P164“第一自然段”, 完成下面的内容． 如图, 连结直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C、 D …, 其中, PO⊥l, 先测量PO、PA、PB、PC、PD… 的长短, 再判断哪一条最短?
探究新知
知识模块一 垂线的定义及其相关概念 阅读教材P162～P163“试一试”以前的部分, 完成下面的内容．
如图1, 直线AB、CD相交于点O, 将直线CD绕着点O顺时针旋转, 使∠BOD＝90° (如图2), 其他三个角的度数都是____, 理9由0°是 ________邻__补__角__互__补__、__对__顶_．角相等
(2)量一量∠P和∠A的度数, 分别写出∠P与∠A的数量关系: 在图①中, ∠P＝__________; 在图②中, ∠P＝__________; 在图③中, ∠P＝__________．
解: (1)如图．
(2)∠A或180°－∠A ∠A或180°－∠A ∠A或180°－∠A
再见
归纳
两条直线AB、CD相交所围成的四个角中有一个 角是直角时, 其他三个角都是直角, 此时, 这两条直线 互相垂直, 记作 AB⊥CD , 交点O叫做垂足, 其中一条 直线是另一条直线的垂线．

2018年秋
数学 七年级 上册 • HS
第5章 相交线与平行线
5．1 相交线 5．1.1 对顶角
对顶角及其性质 1．有一个 公共顶点 ，并且其中一个角的两边是另一个角两边的
反向延长线 ，这样的两个角互为对顶角． 2．对顶角 相等 ．
自我诊断：如图，三条直线 a、b、c 相交于一点 O，则∠1＋∠2＋∠3 等于 (B)
6．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD 与∠BOC 的和为 210°，则∠ AOC 的度数为 75° .
7．如图，直线 AB、CD、EF 相交于 O 点，∠AOF＝3∠FOB，∠AOC＝90°， 求∠EOC 的度数．
解：∵∠AOF＝3∠FOB，∠AOF＋∠FOB＝180°，∴∠FOB＝45°，∵∠ DOB＝∠AOC＝90°，∴∠EOC＝∠DOF＝∠DOB－∠FOB＝90°－45°＝ 45°.
D．144°
10．如图，已知∠1＝∠2，则下列结论：①∠3＝∠4；②∠3 与∠5 互补；
③∠1＝∠4；④∠3＝∠2；⑤∠1 与∠5 互补．其中正确的有( A )
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
11．如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，则∠AOD 的对顶角是 ∠BOC ，
∠AOC 的邻补角是 ∠AOD或∠BOC
.若∠AOC＝50°，则∠1＋∠2
＝ 130 度．
12．如图，直线 a、b、c 分别交于点 A、B、C，∠1＝2∠3，∠2＝65°，则 ∠4＝ 32.5° .
13．如图，已知直线 AB 与直线 CD 相交，∠1－∠2＝50°.求∠1、∠2、∠3、 ∠4 的度数．
解：设∠2＝x°，则∠1＝(180－x)°，由∠1－∠2＝50°得 x＝65，∴∠1＝∠ 3＝115°.∠2＝∠4＝65°

7. 如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚 印，他的跳远成绩是线段__B_N___的长度．
第 7 题图
知识点 垂线段的基本事实 8. 如图，有三条公路，其中 AC 与 AB 互相垂直， 小华与小强分别从 A 地、B 地沿 AC、BC 同时出发， 骑车去 C 城，若他们同时到达，则下列判断正确的是 (A)
1. (2017·北京)如图所示，点 P 到直线 l 的距离 是( B )
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
2. 点 P 为直线 l 外一点，点 A、B、C 为 l 上三点，
PA＝3 cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点 P 到直线 l
如图所示，平原上有 A、B、C、D 四个村庄在河 的同侧，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一 个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的 位置，使它与四个村庄的距离之和最小；
①PA、PB、PC 三条线段中，PB 最短；②线段 PB 的长是点 P 到直线 l 的距离；③线段 AB 的长是点 A 到 PB 的距离；④线段 AC 的长是点 A 到点 C 的距离．
A．1 个 C．3 个
第 3 题图 B．2 个 D．4 个
4. 在平面内，画线段 AB 的垂线有_无__数___条，过 线段 AB 的中点 P 画线段 AB 的垂线有_一__条．
解：(1)因为 A、O、B，在一条直线上，所以∠AOD ＋∠DOB＝180°.又因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，所 以∠BOD＝14×180°＝45°.因为 OD 平分∠COB，所 以∠DOC＝∠BOD＝45°.
(2) 因 为 ∠DOC ＋ ∠BOD ＝ ∠BOC ， 且 ∠DOC ＝ ∠BOD＝45°，所以∠BOC＝90°，根据垂直的定义 得 AB⊥OC.

5.1.2 垂线
教学目标
1.理解垂线概念，知道互相垂直的两条直线夹角是 90°.2.知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 会过一点画一条直线的垂线.3.从不同角度寻求垂线的画 法，获得成功体验.
教学重难点
教学重点：如何确定点到直线的距离以及垂直 的公理.教学难点：垂线的判断和性质的理解运
用及垂线的画法.
如图表示为：AB⊥CD,垂足为O.用几何语言 表示为：∵∠AOC=90°（ ∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°） ∴AB⊥CD
例1（1）如图1，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，
则m n；（2）如图2，若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD =
；
1. m 1. O 1. n
引入新课
思考：1.什么样的两个角互为邻补角？什么样的两个 角互为对顶角？对顶角有什么性质？2.如图所示，直线 AB、CD交于点O如果∠1=40°，则其他三个角各为多少 度？如果∠1=90°，则其他三个角各为多少度？
D
3
A
2
1O
B
4
C
今天我们进一步研究两条直线相交的特殊情况：垂直.
新知探究
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会产生变化.它们会出 现四个角相等的情况吗？每个角多少度？
课堂检测
1．点到直线的距离是指（ C ） A．从直线外一点到这条直线的垂线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段 C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长 D．从直线外一点到这条直线的垂线的长
2．下列图形中，线段AD的长表示点A到 直线BC距离的是（ D ）
A
B
D C
3.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，那 么点B到AC的距离是线段 BC 的长度，点A到 BC的距离是线段 AC 的长度，点C到AB的距离 是线段 CD 的长度，点A与点C的距离是 线段 AC 的长度。

初中数学华师大版七上第四章图形的初步认识
5.1.2 垂线
温故而知新
1.回想一下小学阶段我们学过的，同一平面内，两条直线的 位置关系有几种？分别是什么？
同一平面内，两条直线的位置关系有2种：相交或平行
2.上节课我们学习的两条直线相交构成了几个角，分别是什 么关系？
两条直线相交构成了4个角，邻角互补，对顶角相等
精讲例题
1.精讲例1
例1 如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则
∠2的度数为（ B ）
A．75°
B．105° C．100° D．165°
分析：由OC⊥OA，可知∠BOC+∠1＝ 90°，而∠1＝15°，可求∠ BO，C 再 根据∠2+∠BOC＝180°可求出∠2.
学生试做.
注意：利用垂线的性质，根据图形由垂直得两角的和为90°是最 常用的知识点，也是考查的重点，要熟练应用.
2.阅读理解，动手操作：
阅读课本第163页“试一试”到本页结束，动手画一画 ，然后回答下面的问题： （1）过一点做已知直线的垂线有几种情况？可以使 用什么工具完成？试着画一画：
N
M
E
F
D C
（2）总结一下过一点作已知直线的垂线可以分几步完成？
（3）过一点作已知直线的垂线能画几条？由此我们可以得到关 于垂线的一个基本事实： 过一点有且只有一条直.线与已知直线垂直
2.精讲例2
例2 如图，如图，直线a和b分别表示铁路与河流，码头、 火车站分别位于A、B两点．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． （3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
分析：解题的关键是理解题意， 一定要看清是点到点的最短距离还 是点到直线的最短距离，灵活运用 所学知识解决问题

A
C
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两
O
边分别是∠BOD两边的反向延长线.
D
B
总结归纳 对顶角： 如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反 向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠2和∠4也是对顶角.
A 3
2
O1
D
C 4
B
练一练 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
×
2
1
×
2
1
2
×
12
×
1
√
2
1
2
×
二 对顶角的性质
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的大小保持怎样 的关系？
A
C
O
D
B
动手并思考： 用量角器量一量课本P160页图5.1.2中∠1和∠3的度数，并比较 它们的大小关系？你能说明具有这种关系的道理吗？
如图，由∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°， 可得∠1＝∠3.
第5章 相交线与平行线 5.1 相交线 1.对顶角
学习目标
1.理解对顶角的概念； 2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的运算及一
些实际问题.（重点、难点）
导入新课
情境引入 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
讲授新课
一 对顶角的概念
问题 剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的位置保持怎样的关 系？
∠4=∠2=150°. (对顶角相等)
当堂练习
1.下列说法中，正确的有（ ） B ①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③不是对顶角的两个角就不相等 ④不相等的角不是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

５.１相交线 第１课时 对顶角和垂线
导入新课
• 我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线 和平行线. 本章要研究相交线所成的角和 它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直, 垂线的性质, 研究平行线的性质和平行的 判定以及图形的平移等问题.
对顶角的概念
• 1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说 出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置 怎么将它们分类?
• 强调对顶角概念与对顶角性质不能混 淆: 对顶角的概念是确定二角的位置关系, 对顶角性质是确定为对顶角的两角的数 量关系.
垂直、垂线性质、垂线段、点 到直线的距离.
• 如图.直线AB与CD相交于点O,我们将直 线CD绕着点O旋转,使∠BOD为直角.当 两条直线AB、CD所构成的四个角中的 一个为直角时，其它的三个角也成为直 角，此时直线AB、CD相互垂直，记作 “AB⊥CD”，交点O叫作垂足，其中的 一条直线叫做另一条直线的垂线。
D D
A
0
C (1)
B
A
O
B
C
(2)
垂线的性质：
• 经过直线外或直线上一点，有且只有一 条直线与已知直线垂直。
• 从直线外一点到这条直线的垂线段的长 度叫做点到直线的距离.线段AB的长度 就是点A到直线BC的距离.
巩固新知
• 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4 的度数.
a
2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
C
B
O A (1) D
• 概括形成邻补角、对顶角概念.
• (1)师生共同定义邻补角、对顶角.
• 有一条公共边,而且另一有一个公共顶点, 而且一个角 的两边分别是另一角两边的反向延长线, 那么这两个角叫对顶角.