【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)

乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.（1）；（2；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC ，∵正方形ACDE 和正方形CBFG ， ∴∠ACE ＝∠ABG ＝45°， ∴EC ∥BG ，∴△BCG 和△BEG 是同底（BG ）等高的三角形， 即S △BCG ＝S △BEG ， ∴当BC ＝n 时，Sn ＝2，∴S2020﹣S 2019＝20202﹣20192＝2020+2019）（2020﹣2019）＝9． 如果，那么a+2b ﹣3c ＝ ．【解答】0【解析】原等式可变形为：a ﹣2+b+1+ ﹣5（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a ﹣2+4+（b+1+1+＝0（﹣2）2+（﹣1）2+ ＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2＝1，＝1，∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1， 解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝时，原式＝21+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1）若，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c为三角形的三边长，∴，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（60+2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣20192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。

通用版2022-2023学年暑假初升高数学衔接课程（原卷版）专题一：乘法公式与因式分解衔接班【回忆初中那一点点】一．乘法公式秘诀1：平方差公式22+-=-；()()a b a b a b秘诀2：完全平方公式222a b a ab b()2-=-+.()2a b a ab b+=++; 222二．因式分解（一）因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解.常用招式：提取公因式法和公式法体验5：=-+-)()(3b a a b a )3)((a b a +- 课后反思：的乘积的形式，这种变形叫做因式分解”读懂横线的核心特征，最简怎么去理解。

【初中初级秘籍练级区】1．把下列各式分解因式：（1）224y x - （2）22312123xy y x x +-（3）b b a a 44222+-- 思考（4）2222ab axy ay ax --+反思：（3）问题，不知道如何入手，看到这类型问题，第一步想的是结构，里面有什么，可以分组吗？平方公式可用吗？分解因式的几个思路：①公式，②提出公因式，③分组 2．如果01532=-+x x ，那么代数式)23)(23()23(5-+-+x x x x 的值是（ ）A ． 6B ． 2C ． -2D ． -6 3．若b a ,满足1=+b a ，且122=+b a ,则ab 等于（ ）A ． －1B ． 0C ．D ． 14．已知042=-+a a ，则代数式)2)(2()12(-+-+a a a a 的值是______．【高中先行这一步】一、十字相乘法(常年江湖中行走，十字相乘法是行走江湖的必备轻身之术)【高中功法体验区】体验1.把122-+b b 分解因式体验2 把3722+-x x 分解因式.体验3（等级晋级）把22865y xy x -+分解因式.反思:首先还是要体验多一个问题：BD x BC AD ACx D Cx B Ax +++=++)())((2，然后找规律。

初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（ 1）平方差公式(a b)(a b) a2 b2；（ 2）完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（ 1）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3；（ 2）立方差公式(a b)( a2 ab b2 ) a3 b3；（ 3）三数和平方公式(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ；（ 4）两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3；（ 5）两数差立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab 2 b3．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：( x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ．解法一：原式 = ( x2 1) ( x2 1)2 x2= ( x2 1)(x4 x2 1)= x6 1．解法二：原式 = ( x 1)( x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)=( x3 1)(x3 1)=x6 1．例 2 已知 a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求a2 b2 c2 的值．解： a2 b2 c2 ( a b c) 2 2(ab bc ac) 8 ．练习1．填空：（ 1）1a2 1 b2 (1b1a) （）；9 4 2 3（ 2）(4 m )2 16m2 4m ( ) ；(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( ) ．2．选择题：（ 1）若x2 1mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（ B）1m2 （ C）1m2 （D ）1m2（ A ）m24 3 16（ 2）不论a，b为何实数，a2 b2 2a 4b 8的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（ C）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1） x2－3x＋ 2；2（ 3）x(a b) xy aby2；（2）x2＋ 4x－12；（4）xy 1 x y ．。

十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.例1：二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）（2）（3）（4）【解答】见解析【解析】（1）；（2）（3）；（4）例2：二次项系数不为1的二次三项式分解因式：（1）（2）【解答】见解析【解析】（1）；（2）.例3：待定系数法求字母的值若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B.C.D. 2【解答】C【解析】，，分以下两种情况考虑：由①可得m＝1，由②可得，故选C.例4：解决几何类问题已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，求此长方形的面积.【解答】15或15.75【解析】又解得，∴长方形的面积为15或15.75.例5：十字相乘法综合求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.【解答】见解析【解析】证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，∵x、m也是整数，∴是49的倍数.巩固练习一．选择题1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）【解答】A【解析】x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），故选：A．2．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）【解答】D【解析】A、4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2＝xy（10x﹣5y）＝5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．3．下列多项式不能分解的是（）A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2B．x2﹣y2﹣6x+9C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5D．x2+2x+4【解答】D【解析】A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2＝（a2+c2）（b2+d2），故本选项能分解；B．x2﹣y2﹣6x+9＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y），故本选项能分解；C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5＝（x+y﹣1）（x﹣3y+5），故本选项能分解；D．x2+2x+4不能分解，故本选项符合题意；故选：D．4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）【解答】C【解析】（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．二．填空题5．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．【解答】9【解析】由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．6．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝．【解答】（x﹣4y）（x+y）【解析】x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），7．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．【解答】3【解析】∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：m＝﹣2，n＝﹣5，则m﹣n＝﹣2+5＝3.8．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．【解答】﹣1【解析】∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1.9．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）（2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为．【解答】﹣5，﹣1，1，5【解析】∵﹣6＝﹣1×6＝﹣2×3＝1×（﹣6）＝2×（﹣3），∴m＝﹣1+6＝5或m＝﹣2+3＝1或m＝1+（﹣6）＝﹣5或m＝2+（﹣3）＝﹣1.10．多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝，m＝．【解答】9，3【解析】∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，∴，解得：.三．解答题11．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．【解答】（x﹣26）（x﹣34）【解析】x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．12．李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．经过思考，他给出了下列解法：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，或，解得x＞3或x＜﹣1．聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【解答】x＞3或1＜x＜2【解析】由题意知x﹣1、x﹣2、x﹣3中负数的个数为偶数个，则①，解得：x＞3；②，解得：1＜x＜2；∴x＞3或1＜x＜2．13．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【解答】2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2【解析】甲：2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18，乙：2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16，∵甲同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，乙同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，∴原多项式为2x2﹣12x+18，将其分解因式为：2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2．14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2．【解答】（1）原式＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝（x+y）（x﹣3y）【解析】（1）原式＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝x2﹣2xy+y2﹣4y2＝（x﹣y）2﹣4y2＝（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）＝（x+y）（x﹣3y）．15．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．【解答】见解析【解析】x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．16．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．【解答】见解析【解析】x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）．。

新高一数学天天练—乘法公式与因式分解（初高衔接）天天5道题，练出好成绩！高考(期中，期末，月考等)数学试题中，80%分值的题都是基于课本基础知识的简单题与中等题，《高中数学天天练》由一线教师每天为你推送5道(左右)课堂同步基础练习题，每天只需十分钟左右的时间，数学轻松上120！欢迎订阅（关注本订阅号）！前言：有鉴于比较多的高一以及高二的学生反馈，公众号里面更新的内容比较难，不太适合高一及高二年级学生，以后会不定期更新高一或高二题型归类，题会附带详细解析的，如果还有不懂的，欢迎点击阅读原文，了解其他信息。

每期分享的题型均是上课过程中学生出现问题的，或是高一及高二相关知识点与题型高频考察的题哦（划重点啦~），关注公众号的小朋友们一定不要错过~（如果觉得有用的，欢迎共享给自己的小伙伴们~~~）以下是第2期内容高二数列必会题系列2018年8月份，高中数学天天练将开始推送：高一数学：新高一衔接练习(高中数学衔接相关文章，二次函数，因式分解，一元二次不等式，韦达定理)等，不定时开启新高二文理科数学，高中重点内容复习—三角函数，平面向量新高三第一轮文科数学复习,（函数的图象及其变换,函数与方程, 函数模型及其应用,导数及其应用，三角函数,任意角和弧度制,任意角的三角函数,三角函数的诱导公式,三角函数的图象与性质,函数y=Asin （ωx+ψ）,三角函数模型的简单应用,面向量,平面向量的实际背景及基本概念,平面向量的线性运算,平面向量的基本定理及坐标表示,平面向量的数量积,平面向量应用举例,三角恒等变换,两角和与差的正弦、余弦和正切公式, 简单的三角恒等变换）祝你高三顺利！新高三第一轮理科数学复习.（集合与常用逻辑用语,集合的概念与运算,命题及其关系、充分条件与必要条件,简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词,函数 ,函数及其表示,函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性, 一次函数、二次函数,指数与指数函数,对数与对数函数,幂函数 ,函数的图象及其变换,函数与方程, 函数模型及其应用,导数及其应用等）祝你高三顺利！建议：免费关注(并置顶)订阅号：高中数学天天练，每天多练十分钟，数学变轻松。

初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 【例1】计算：22)312(+-x x 解：原式=说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+(2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a（4）22222))(2(y xy x y xy x +-++【例4】已知2310x x -+=，求331xx +的值．例5 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=解法二：原式=例6 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

乘法公式一、【归纳初中知识】在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：①平方差公式：22))((bababa-=-+①完全平方公式：2222)(bababa+±=±在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。

你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？例1：利用几何图形证明当0,>ba时，2222)(bababa++=+解析：由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：⎪⎩⎪⎨⎧±=±±=+abbabaabbaba4)()(2)(22222，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。

二、【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： ①完全立方和公式：33223()33a b a a b ab b +=+++①完全立方差公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-公式③、③我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？①立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+①立方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-最后，我们再填补三数平方和的公式：①三数平方和：)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++三、 【例题精讲】例1：观察下列算式：81322=-163522=-245722=-327922=-（1）按照上述规律续写2个式子；（2）用文字反应出上述式子的规律；（3）证明你所发现规律的正确性；答案：（1）4091122=- 48111322=-（2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）（3）n n n 8)12()12(22=--+例2：观察下列算式：71233=-192333=-373433=-614533=-（1）按照上述规律续写两个式子；（2）求33332017201820192020+--答案：（1）915633=- 1276733=-（2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。

初高中数学乘法公式补充1.乘法法则：乘法满足交换法则和结合法则。

即对于任意的实数a、b、c，有：a*b=b*a（交换法则）(a*b)*c=a*(b*c)（结合法则）2.乘法基本公式：乘法的基本公式是最基础的乘法运算公式。

对于任意的实数a、b，有：a *b = ab3.乘法分配律：乘法分配律是乘法运算中的重要性质。

对于任意的实数a、b、c，有：a*(b+c)=a*b+a*c4.乘法逆元：乘法逆元是乘法运算中的概念。

对于任意的非零实数a，其乘法逆元为1/a，即：a*(1/a)=15.平方公式：平方公式是乘法的一种特殊形式，对于任意的实数a，有：(a+b)*(a-b)=a^2-b^26.乘法指数公式：乘法指数公式是指在乘方运算中，将指数相加的公式。

对于任意的实数a、b、n，有：(a*b)^n=a^n*b^n7.乘法倒数：乘法倒数是指一个数与其倒数相乘等于1、对于任意的非零实数a，有：a*(1/a)=18.乘方运算法则：乘方运算有一些特殊的法则。

例如：a^n*a^m=a^(n+m)（同底数幂相乘，指数相加）(a^n)^m=a^(n*m)（幂的幂，指数相乘）9.乘法结合律：乘法结合律是乘法运算中的性质，对于任意的实数a、b、c，有：(a*b)*c=a*(b*c)10.倍数的乘法：当一个数是另一个数的倍数时，可以使用乘法运算来表示。

例如：n倍数=n*数11.乘方的乘方：对于一个数的乘方进行乘方运算时，可以将指数相乘。

例如：(a^n)^m=a^(n*m)12.乘数的倒数：一个数和它的倒数相乘等于1、例如：a*(1/a)=113.乘积的倒数：一个数的倒数再取倒数等于它本身。

例如：(1/a)的倒数=a14.零的乘法：任何数与0相乘，结果都为0。

例如：a*0=0以上是一些初高中数学中的乘法公式，它们是数学学习中的基础，能够帮助我们更好地理解和运用乘法运算。

掌握这些乘法公式，对于学习数学和解决问题都是非常有帮助的。

城东蜊市阳光实验学校南江四中高一数学初高中衔接教材：绝对值、乘法公式绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的间隔． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的间隔．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤你自己能总结出一般性的结论吗例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①假设1<x，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x＜0； ②假设12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③假设3x≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4． 又x≥3， ∴x＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或者者x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的间隔|PA|，即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的间隔|PB|，即|PB|＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或者者点P 在点D(坐标为4)的右侧． x ＜0，或者者x ＞4． 练习 1．填空题： 〔1〕假设5=x ，那么x=_________；假设4-=x ，那么x=_________.〔2〕假设5=+b a ，且1-=a ，那么b ＝________；假设21=-c ，那么c ＝________2．选择题：以下表达正确的选项是〔〕 〔A 〕假设a b =，那么a b =〔B 〕假设a b >，那么a b > 〔C 〕假设a b <，那么a b <〔D 〕假设a b=，那么ab =±3．化简：|x －5|－|2x －13|〔x ＞5〕． 4．解以下不等式：〔1〕3233x x ++-≥ 〔2〕134x x +-->-(二)乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：1x0 4x|x －1||x －3|图1．1－1〔1〕平方差公式22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式： 〔1〕立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式2233()()a b aab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；〔4〕两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x-．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x-．例24a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习： 1．填空题：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔〕； 〔2〕(4m +22)164(m m =++)；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：〔1〕假设212xmx k ++是一个完全平方式，那么k 等于〔〕 〔A 〕2m 〔B 〕214m 〔C 〕213m 〔D 〕2116m 〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值〔〕〔A 〕总是正数〔B 〕总是负数〔C 〕可以是零〔D 〕可以是正数也可以是负数。

新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。

5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。