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第七节 二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 二重积分的中值定理 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题6-7★ 返回内容提要：一、 二重积分的概念定义1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ, 作乘积),,2,1(,),(n i f i i i =∆σηξ并作和,),(1∑=∆ni ii i f σηξ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分, 记为,),(⎰⎰Dd y x f σ 即⎰⎰D d y x f σ),(∑=→∆=ni i i i f 10),(lim σηξλ (7.2) 其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式, σd 称为面积微元, x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域, 并称∑=∆n i i i i f 1),(σηξ为积分和.对二重积分定义的说明:(1) 如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在，则称函数),(y x f 在区域D 上是可积的. 可以证明，如果函数),(y x f 区域D 上连续，则),(y x f 在区域D 上是可积的. 今后，我们总假定被积函数),(y x f 在积分区域D 上是连续的;(2) 根据定义，如果函数),(y x f 在区域D 上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x 轴和y 轴的两组直线来分割积分区域D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和j y ∆，于是j i i y x ∆∆=∆σ. 故在直角坐标系中，面积微元σd 可记为dxdy . 即dxdy d =σ.进而把二重积分记为⎰⎰Ddxdy y x f ),(，这里我们把dxdy 称为直角坐标系下的面积微元.二、 二重积分的性质类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.例题选讲：二重积分的性质例1不作计算,估计σd eI D y x ⎰⎰+=)(22的值,其中D 是椭圆闭区域:12222≤+b y a x ().0a b <<例2（讲义例1）估计二重积分⎰⎰+++=D xy y x d I 16222σ的值, 其中积分区域D 为矩形闭区域}20,10|),{(≤≤≤≤y x y x . 例3 判断dxdy y x y x r ⎰⎰≤+≤+1||||22)ln(的符号. 例4 积分dxdy y x D ⎰⎰--3221有怎样的符号, 其中.4:22≤+y x D例5（讲义例2）比较积分⎰⎰+D d y x σ)ln(与⎰⎰+D d y x σ2)][ln(的大小， 其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限.1lim 112222∑∑==++∞→n i n j n j i n e n。
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。
在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。
本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。
设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。
则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。
二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。
二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。
2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。
3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。
4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。
三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。
2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。
设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。
3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分变换次序（原创实用版）目录一、二重积分的概念与性质二、二重积分的积分次序三、交换积分次序的依据四、实际应用案例正文一、二重积分的概念与性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是对一个函数在空间中曲面上的取值进行积分。
假设函数 f(x,y) 在区域 D 上有界，D 的边界是由曲线 C1 和 C2 围成的，那么我们可以对 f(x,y) 在 D 上进行二重积分。
二重积分的定义为：∫∫_D f(x,y) dxdy根据积分区域的不同，二重积分可以分为两类：第一类是区域 D 由两个相交的曲线围成；第二类是区域 D 由两个平行的曲线围成。
二重积分具有以下性质：1.线性性质：如果 F(x,y) 是由两个函数相加或相乘得到，那么对F(x,y) 进行二重积分，结果等于各个函数二重积分的线性组合。
2.保号性：如果 f(x,y) 在区域 D 上非负，那么∫∫_D f(x,y) dxdy ≥ 0。
二、二重积分的积分次序在计算二重积分时，我们需要按照一定的次序进行积分。
通常的做法是先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx这里，我们首先对曲线 C1 上的 y 进行积分，然后再对曲线 C2 上的 x 进行积分。
三、交换积分次序的依据在实际计算过程中，我们可以根据需要交换积分次序。
依据是积分的可交换性，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx = ∫[∫_C f(y,x) dx] dy这里，我们对 x 和 y 的积分次序进行了交换。
交换积分次序可以简化计算过程，但需要保证积分区域和被积函数的连续性。
四、实际应用案例二重积分在实际问题中有广泛应用，例如求解几何体的表面积、物体的重心、质心等。
例如，求解一个圆柱体的表面积，我们可以通过计算其侧面积和两个底面积的和得到。
圆柱体的侧面积计算公式为：∫∫_D y dxdy，其中 D 为 [0,2π]×[0,h]。
