三角函数弧度制

三角函数的弧度制与三角函数的关系三角函数是数学中的重要概念，可以描述角度与直角三角形之间的关系。

在数学中，角度通常有两种表示方式，一种是度量制，另一种是弧度制。

本文将探讨三角函数的弧度制表示方式以及弧度制与三角函数之间的关系。

一、三角函数的弧度制表示方式在弧度制中，角度的度量单位为弧度（rad）。

一个圆的周长为2π弧度，这是因为圆的周长与半径有关，而不是与圆心角的大小有关。

因此，我们可以定义一个标准弧度，即一个圆周上所对应的角度为2π弧度。

根据弧度制的定义，我们可以将任意角度A转换为弧度制表示。

通过下式可以实现弧度制与度量制之间的转换：弧度制表示：A (rad) = A (度) × π/180度量制表示：A (度) = A (rad) × 180/π二、三角函数的关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）以及正切函数（tan），它们是弧度制与三角函数之间的桥梁。

下面将具体介绍它们之间的关系。

1. 正弦函数的关系：正弦函数是一个周期函数，其周期为2π弧度。

正弦函数的定义如下：sin(A) = 对边/斜边其中，A表示角度。

我们可以通过将角度转换为弧度制来计算正弦函数的值。

2. 余弦函数的关系：余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π弧度。

余弦函数的定义如下：cos(A) = 邻边/斜边同样地，我们可以通过将角度转换为弧度制来计算余弦函数的值。

3. 正切函数的关系：正切函数也是一个周期函数，其周期为π弧度。

正切函数的定义如下：tan(A) = 对边/邻边与上述两个函数类似，我们也可以通过将角度转换为弧度制来计算正切函数的值。

通过上述三个三角函数的定义，我们可以得知它们之间的关系：sin(A) = cos(A - π/2)cos(A) = sin(A + π/2)tan(A) = sin(A) / cos(A)这些关系式可以帮助我们快速计算三角函数的值，同时也揭示了三角函数之间的密切联系。

第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。

1.1.2 弧度制一、知识点1.角的度量：（1）角度制：把 规定为1度的角，记作1 ，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制。

（2）弧度制： 叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

这种用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度制。

2.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ．零角的弧度数是 ．3.若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则=α 。

这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定。

4.角度和弧度的互化：=0180 rad =01 rad ≈ rad =rad 1 ≈5.角与实数的对应关系：在弧度制下， 与 之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的实数（即 ）与它对应;反过来，每一个实数也都有（即 ）与它对应。

6.扇形弧长公式：=l =扇形面积公式：=S = 。

二、例题知识点一 ： 弧度制定义1.下列各命题中，真命题是（ ）A.一弧度就是一度的圆心角所对的弧 B .一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D .一弧度是长度等于半径的弧岁对的圆心角，它是角的一种度量单位2. 在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对知识点二： 角度制与弧度制的互化3.把下列角表示为另一种形式：（1）0300- （2）π58 （3）031120' （4）π125- （5） '15564. 把π411-表示成)(2Z k k ∈+πθ的形式，使θ最小的θ的值是（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.43π 5. 把下列各角化成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，并指出它们是第几象限角（1）01500- （2）01485- （3）π2004 (4)6-6. 将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是 （ ） A.3π B.3π- C.5π D.5π-7. 经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转过 度， 弧度。

三角函数弧度制公式L=n×π×r/180，L=α×r。

在数学和物理中，弧度是角的度量单位。

它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。

定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。

（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。

当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。

三角函数的弧长计算公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）/180（角度制），L=α（弧度）×r(半径) （弧度制）。

其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。

弧长公式：
l = n（圆心角）×π（圆周率）×r（半径）/180=α(圆心角弧度数)×r（半径）
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2
πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。

三角函数弧度制与角度的转换表
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。

角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。

由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。

角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。

弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。

它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。

一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。

在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。

一个圆的周长是2πr，其中r是半径。

如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。

要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。

同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。

弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。

在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。

二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。

在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。

在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。

在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。

在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。

三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。

例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。

三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。

在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。

在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。

弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。

具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。

例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。

在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。

例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。

在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。

这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。

这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。

同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。

余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。

在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。

正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。

在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。

总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。

掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。

第一讲 任意角和弧度制及三角函数一、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： *β|β=α+2kπ,k ∈Z +二、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.三、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin α=y r ， cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=各象限的符号：sin α cos α tan α3、 sin α，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT四、角度制与弧度制的互化及特殊角的三角函数值,23600π= ,1800π=1rad ＝180°π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π180≈0.01745（rad ）Xy+O— —+xyO — + — +y O— + + —x五、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=1．（2016•上海模拟）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2016•广西模拟）60°角的弧度数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016•岳阳校级三模）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．（2016•安徽模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A．120 B．240 C．360 D．4805．（2016•抚顺一模）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（2016•邢台校级模拟）角θ的终边过点（a﹣2，a+2），且cosθ≤0，sinθ＞0，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]7．（2016•眉山模拟）设a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a，），则cosα的值为（）8．（2016•温州三模）已知角α的终边与单位圆交于点P（﹣35A．B．﹣C．D．﹣9．（2016春•上海校级期末）与30°角终边相同的角α=．10．（2016春•嘉兴期末）已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α=（用弧度制表示）．11．（2016•湖南一模）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．12．（2016•浙江模拟）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且，则x=，tanα=．13．（2016春•浦东新区期中）如图，扇形的半径为r cm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．14．（2016春•陕西校级月考）（1）判断下列各角是第几象限角：①606°②﹣950°（2）写出与﹣457°角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．1．（2016春•澄城县期末）下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．﹣30°C ．630°D ．﹣630°2．（2016春•延边州校级期末）在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016春•西藏期末）与角﹣463°终边相同的角为（ ） A ．K•360°+463°，K ∈Z B ．K•360°+103°，K ∈Z C ．K•360°+257°，K ∈ZD ．K•360°﹣257°，K ∈Z4．（2016春•抚顺期末）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角5．（2016•朔州模拟）若点（sin ，cos ）在角α的终边上，则sinα的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2016•湖南校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （﹣3，m ），且sinα=﹣，则tanα等于（ ） A ．﹣B ．C ．D ．﹣7．（2016•浙江模拟）若点P （﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（ ）A．B．C．D．8．（2016•广东模拟）已知α是第二象限的角，其终边上的一点为，且，则tanα=（）A．B．C．D．9．（2016春•晋江市校级期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．10．（2016春•潍坊期末）已知扇形的半径为2，面积为π，则该扇形的圆心角为．11．（2016•广西模拟）已知sinx=，且x是第一象限角，则cosx=．12．（2016•南昌校级二模）已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=．13．（2016•长沙模拟）已知sinα=，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求cos（α+）的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．第二讲 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈1．sin2012°=（ ） A ．sin32° B ．﹣sin32° C ．sin58°D ．﹣sin58°2．=（ ）A ．﹣sinxB ．sinxC ．cosxD ．﹣cosx3．（2016•长沙模拟）化简（1﹣cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（ ） A ． B ．C ．0D ．14．（2016•舟山校级模拟）若=，则tanθ=（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣35．已知α为三角形的一个内角．且tan（π﹣α）=．则角α的值为（）A．B．C．D．6．（2016•重庆校级模拟）已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．7．（2016春•内蒙古校级期末）sin300°=（）A．B．C．D．8．（2016•马鞍山）计算：cos210°=（）A．B．C．D．9．（2016•山东模拟）已知tanα=3，则=．10．（2016•内江模拟）已知sinx=，x∈（，），则tanx=．11．（2013•北京校级模拟）求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值．12．（2016•资阳模拟）=．13．（2016春•湘潭期末）已知x的终边经过点P（1，）．（1）求角x的正弦、余弦值；（2）求sin（π﹣x）﹣sin（+x）的值．14．（2016春•周口期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3 ），求．1．（2016•湖南校级模拟）已知sinα=﹣，且α∈（﹣，0），则tan （2π﹣α）的值为（ ） A ．﹣ B ．C ．±D ．2．（2016•吉林校级模拟）已知A+B=π，B ∈（，π），且sinB=，则tanA=（ ）A ．B ．C ．2D ．3．（2016春•金昌校级期末）若=，则tanα等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．3D ．4．（2016春•日喀则市校级期末）已知tanα=2，则的值是（ ）A ．B ．3C ．﹣D ．﹣35．（2016春•邯郸校级期末）已知sin （π+α）=，且α是第四象限角，则cos （α﹣2π）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．±D ．6．（2016春•高安市校级期中）已知，，则sin （α+π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2016•离石区一模）若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣8．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（2016•江西模拟）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．10．（2016•四川）sin750°=．11．（2016•陕西校级模拟）设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=．12．（2016•岳阳校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，若，则A=．13．（2016春•衡阳校级期末）已知tanx=2，求的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α终边上一点P（﹣3，4），求：（1）sinα和cosα的值（2）的值．。

三角函数弧度制与角度的转换
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/≈0.弧度，1弧度=/π≈57.3度。

角的度量单
位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。

1、弧度制
用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫作弧度制，用符号rad则表示，读
成弧度。

等同于半径短的圆弧面元的圆心角叫作1弧度的角。

由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而发生改变，所以弧度数也就是一个与圆的半径毫无关系的量。

角度以弧
度得出时，通常不写下弧度单位。

弧度新制的精髓就是统一了度量弧与角的单位，从而大
大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外显著。

2、角度制
用度(°)、分后(′)、秒(″)去测量角的大小的制度叫作角度制。

角度制：规定周角的分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

单位折算
角度制中，1°=60′，1′=60″，1′=(1/60)°，1″=(1/60)′。

角度制就是运用60十进制的例子。

运算法则
两个角相乘时，°与°相乘，′与′相乘，″与″相乘，其中如果八十60则入1。

两个角相减时，°与°相减，′与′相减，″与″相减，其中如果不够则从上一个单
位退1当作60。

30°60度45度90度120度145度180度360度0度的三角函数值和弧度制近年来，计算机技术的发展日新月异，为人类带来了极大的发展。

其中最重要的就是计算机科学中的三角函数，它在各个领域都有着重要的作用。

三角函数包括三角形的边长，角度，三角函数值和弧度制。

在三角函数中，三角函数值和弧度制是计算机科学中重要的概念。

三角函数值是指三角形形状的函数值。

用直角三角形来解释，当一条边的长度和角度被确定时，另外两条边的长度也能够被确定。

在三角形中，正弦（sin）函数表示角度对应的边的长度之比；余弦（cos）函数表示角度对应的另外一条边的长度之比；正切（tan）函数表示角度对应的两条边的长度之比。

这三种函数称为正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）函数。

而弧度制是三角函数中的另一个重要概念，它通过将一圆所围圆周分为六十等分，每等分为一个弧度，表示角度，这样角度就可以用弧度来表示。

一个圆的周长是2π个弧度，也就是360度；而一条直线的长度为π个弧度，也就是180度。

本文将讨论30°、60°、45°、90°、120°、145°、180°、360°和0°等几个角度对应的三角函数值以及弧度制。

对于30°和60°，正弦（sin）函数值分别为0.5和√3/2；余弦（cos）函数值分别为√3/2和0.5；正切（tan）函数值分别为1和1。

他们在弧度制中分别表示为π/6和π/3。

45°的三角函数值为√2/2，余弦（cos）函数值为√2/2，正切（tan）函数值为1，而在弧度制中则为π/4。

对于90°的角度，正弦（sin）函数值为1，余弦（cos）函数值为0，正切（tan）函数值无限大，而在弧度制中则为π/2。

120°的正弦（sin）函数值为√3/2，余弦（cos）函数值为0.5，正切（tan）函数值为√3，而在弧度制中则为2π/3。

解三角形之第一节 任意角和弧度制1.角的分类：（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线不做旋转2．象限角的概念：（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。

（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：∈ k∈Z∈ α是任一角；∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例如： 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z ； 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z ； 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ； 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ；终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z ；终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z ； 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z . 3.由角α所在象限判断α所在象限：4.弧度制：（1）角度制：规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．（3）弧度制的性质：∈ 半圆所对的圆心角为;ππ=r r∈ 整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数． ∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|=. r l注：角度制是60进制，弧度制是十进制：5．角度与弧度之间的转换：∈ 将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ∈ 将弧度化为角度： 2360；180； )180(rad παα= 6．常规写法：∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。