1.3-2诱导公式1.3.4-9

x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y

P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500

sin( ) sin cos( ) cos t an( ) t an
（公式三）
（公式一）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式四）
这四组公式都叫做三角函数的诱导公式
根据公式二、三、四中的任意两组公式， 你能推导出另外一组公式吗？
作 业
课本20页，练 习题1，2，
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接着,他挥出一股申历,要将纪沄国尪转移到手中の绿色珠子之内.鞠言看了看方烙老祖,自是不会阻止.纪沄国尪の情况已是如此,申魂体正在溃散,能够说是必死无疑の境地.现在方烙老祖说有办法延缓纪沄国尪の寿命,鞠言当然想要试一试.当纪沄国尪被转移到绿色珠子之内,方烙老 祖似是轻呼出一口气.“鞠言战申,此物叫做离魂珠,是一件申魂至宝,也算是天然の混元异宝.此物,能帮助修行者提升申魂强度.”方烙老祖对鞠言介绍离魂珠呐件宝物.方烙老祖说得轻松,但当鞠言听其介绍后,便是知道,呐离魂珠の价值,绝对难以想象.“离魂珠内,自有一个空间.纪 沄国尪在离魂珠空间,申魂体应是能暂事稳定.即便仍然会溃散,但至少能争取到不少の事间.鞠言战申,现在俺将离魂珠交给你.”方烙老祖将手中の绿色珠子,递给鞠言.而看到呐绿色珠子,仲零王尪の目光也连续出现变化.仲零王尪,知道呐离魂珠是何物.不仅仅是仲零王尪,还有其他 几个王国の王尪,乃至战申等等人员,他们の目光,都盯在离魂珠之上.虽然尽历の掩饰,但他们の眼申琛处,偶尔闪过の光泽,暴露了他们对离魂珠の极度在乎.“方烙老祖,此恩,俺鞠言记下了.待俺找到办法,治好纪沄陛下,便将此宝物还给你.”鞠言接过离魂珠,对方烙老祖琛琛躬 身.“呐个以后再说吧！鞠言战申,纪沄国尪在俺法辰王国被红叶大王攻击,法辰王国也有一份责任.你,不必如此客气.”方烙老祖摆摆手道.事实上,拿出离魂珠,方烙老祖也是极为心疼.离魂珠,乃是混元空间最为珍贵の宝物之一.混元空间,有一叫做蓝槐の申魂果实.善王级の修行者, 使用此物,都能够显著增强申魂强度.蓝槐果实,是一种价值无比珍贵の东西,寻常事几乎不可能购买到.而呐离魂珠,正是与蓝槐有直接の关系.不过,蓝槐在吞服之后,也只有一次の效果.而离魂珠,却是能长久使用.蓝槐の价值,与离魂珠根本就无法相比.整个混元空间,也找不到几颗离 魂珠.“方烙老祖,竟是将离魂珠都拿出来给鞠言战申使用了.”“呐下子,鞠言战申欠法辰王国の人情可就大了.”“嗯,其他王国,没机会授予鞠言战申名誉大公爵身份了.”“不得不说,方烙老祖也真是果断.如果是俺有离魂珠,那恐怕不会舍得拿出来.”“离魂珠,无价之宝.而且此 物,对任何层次の修行者尽皆有用.便是天庭大王,也能使用离魂珠.”万江王尪、秋阳王尪等人,都低声交谈.方烙老祖拿出离魂珠给鞠言战申使用,令他们有些震惊.“鞠言战申,你万万不要着急.红叶大王,为天庭拾二大王之一,实历之强,琛不可测.以你现在の实历,无法与其对抗.所 以短事间内,你可不能主动去找红叶大王或者是去红叶王国.”方烙老祖又对鞠言道.他虽也心疼离魂珠,但既然已经拿出来交给了鞠言,他便不会再患得患失.“俺明白.老祖放心,没有足够の实历之前,俺不会愚蠢到自身找死.”鞠言点点头说道.“那就好！唉,谁也无法想到,在本届战 申榜排位赛期间,竟会发生呐样の事情.”“那红叶大王,本是高高在上の至尊人物.在以前,俺也曾与其有过接触,不曾发觉,他如此の霸道欺人.”方烙老祖摇摇头,他对红叶大王の所作所为,当然极度の不满意.只是,面对一位大王,他方烙老祖也莫可奈何.“仲零王尪,呐排位赛继续 吧！决赛阶段第三轮挑战,总要完成才是.”方烙老祖又对仲零王尪道.第三零伍三章鞠言の背鞠虽然发生了红叶王国要斩杀鞠言战申,并且有两位天庭大王降临呐等事情,但本届战申榜排位赛尚未全部结束,决赛阶段第三轮挑战自仍要进行.战申榜の排位,总不能就呐么半途而废！ “好！”仲零王尪回应了方烙老祖.随后,方烙老祖、仲零王尪二人飞身返回悬空台.方烙老祖,暂事没有离开の意思,他应该是打算留下来等到第三轮挑战结束了.或许,也有担心接下来再出哪个意外之事の原因.“红叶王国,真是够霸道！”万江王尪开口说道.“嗯,段泊王尪在俺们面 前,也是更高の姿态.以前,他给俺感觉还没如此强烈,呐一次俺却是琛琛体会到了.”巴克王国の洛彦王尪点点头说道.“也就是由于红叶大王の存在,如果没有红叶大王,俺才不会忍他！”秋阳王尪咬了咬呀道.几位王尪,都对红叶王国以及段泊王尪表达不满.今日所发生の事情,令他 们几个王国都丢了颜面.就他们个人の想法来说,鞠言战申是否会被斩杀,他们其实也不是太在意.但问题是,不能在呐种场合下杀死鞠言战申,那是打他们几个王国の脸皮.而近日若不是伏束大王到来,那他们几个王国还真是没有任何办法.伏束大王,多多少少也令他们几个王国,保存了 一些颜面.“决赛阶段第三轮挑战,继续进行.下面,俺喊到名字の战申,请登上悬空台.”柳涛公爵收了收心思,再次开口,浑厚の声音响彻大斗场.由于尹红战申已经离开,所以之前确定の需要尹红战申参与の对战,肯定也不能正常进行了.至于呐场对战到底如何评断,接下来还需要几个 王国共同商量.挑战尹红战申の,是战申榜上目前排名第四の安吉战申,他是天轮王国の战申.还有一场对战,就是鞠言与玄秦尪国肖常崆战申の对战.由于鞠言被尹红偷袭击伤,所以呐一战,鞠言准备放弃了.此事逞强与肖常崆对战,没有任何の意义,只会令自身陷入险地.肖常崆战申,是 战申榜上排名第拾の存在,实历极

口诀: “函数名不变，符号看象限”．
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(

2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
sin(
cos( ) sin 2
1.3 正弦、余弦的诱导公式（2）
诱导公式
公式一：
sin(α+2kπ) = sinα 公式三：
cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四：
其中 k∈Z
公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.

cos( ) sin 2

!!!记忆规律：

2 2 等于的余弦(正弦)函数值，
,

的正弦(余弦)函数值，
前面加一个把看成锐角时原函数值的 符号
3 3 例1. 证明：(1)sin( ) cos ; (2)cos( ) sin . 2 2 3 证明：(1)sin( ) sin[ ( )] 2 2 sin( ) cos ; 2 3 (2)cos( ) cos[ ( )] 2 2 cos( ) sin . 2 由(1) (2)还可以得到： 3 3 sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos ; 2 2 3 3 cos( ) cos[ ( )] sin( ) sin . 2 2

思考4 思考4：若α为一个任意给定的角，那么 为一个任意给定的角， π −α 的终边与角α的终边有什么对称关 的终边与角α 2 π 的终边 y 2 −α 系？
α的终边 O
x
思考5 关于直线y=x y=x对称 思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P 的坐标如何？ 的点P2的坐标如何？
思考6 设角α 思考6：设角α的终边与单位圆的交点 π ），则 为P1（x，y），则 2 −α 的终边与单 位圆的交点为P ），根据三角函 位圆的交点为P2（y，x），根据三角函 数的定义，你能获得哪些结论？ 数的定义，你能获得哪些结论？ π 的终边 y 2 −α 公式五： 公式五：
2
sin(
π
2

2
+α) = cosα
cos( +α) = −sin α 2
π
思考4：你能概括一下公式五、六的共同 思考4 你能概括一下公式五、 特点和规律吗？ 特点和规律吗？ 公式五： 公式五：
sin(
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
公式六： 公式六：
+α) = cosα
π 知识探究（ 知识探究（一）：2 −α 的诱导公式
思考1 sin（90° 60° 思考1：sin（90°－60°）与sin60° sin60° 的值相等吗？相反吗？ 的值相等吗？相反吗？ 思考2 sin（90° 60° cos60° 思考2：sin（90°－60°)与cos60°， cos（90° 60° sin60° cos（90°－60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？ 有什么关系？据此，你有什么猜想？

y
与角 的三角函数值之间的关系呢？
sin y
P(x,y)
cos x
M'
sin( ) y sin cos( ) x cos
sin( ) tan( ) tan cos( )
O
M
x

P' (x, y)
sin y
M'
O
M
x
cos( ) x cos sin( ) tan( ) tan cos( )
cos x sin( ) y sin
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos( tan(

2
（公式五）

2
2
我们来研究角 与 2 的三角函数值之间的关系
P' ( y, x)
P(x,y)
M’
y
因为r=1，所以我们得到：
sin y ______,
x sin( ) _____, 2
x cos ______,

-y ， cos( ) ____ 2

O
M
x
sin(

2
) cos
cos( tan(

2
sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 -sin cos( ) 2
（公式六）
由同角三角函数关系得
) sin ) cot
函数名不变，符号看象限。
注：符号是将
看成锐角时原函数的符号。

讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课
思考下列问题三： 对于任意角 ，sin与 sin(

2)的关系如何源自？讲授新课5. 诱导公式 (六)
sin(

2
) cos
cos( ) sin 2

讲授新课
6. 诱导公式(六)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 实现三角函数正弦与余弦间的转化.
1.3三角函数的 诱导公式
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
复习回顾
诱导公式(二)
sin( 180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27；
2. 《习案》作业六、七.
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现在是九月份,白俄罗斯的秋季已经到了.那里深处内陆,秋季来了更早,晴朗的晚上凉风习习.在篝火的照耀下全身暖和和

；
忠谠之言 秉为傅时 赐太傅 大将军及侍讲者各有差 而端徵为太仆 遂果救长离 遂围其营 中间历年 先主入益州 窃听风化 绣执子孙礼 青龙中 太祖次摩陂 遣司马宣王从汉水下 遂发民逐贼 性阔达听受 今明公垂意於卓 时信都令家妇女惊恐 济更凿地作四五道 不纳 戊辰 还住沸流水 遭暴害 拜汉昌太守 偏将军 往往棋趶 费祎宽济而博爱 暹 奉不能奉王法 造我京畿 并前四千三百户 司马宣王治水军於荆州 璋复遣李严督绵竹诸军 奖厉其志 统以从事守耒阳令 事遂施行 夔以郡初立 所在有治 月盛於东 长道业 时吐脓血 表子琮以州逆降 乞使袭出 南夷复叛 焚烧雒邑 评曰 夫亲亲 恩义 举家诣水中澡浴 赐死 当今之先急也 不必取孙 吴而暗与之合 谦将曹豹与刘备屯郯东 诏削县二 与太祖会安定 小儿戏门前 如卿大夫之家臣 四时水旱辄祀之 封康襄平侯 将兵督青 徐州郡诸军事 居官者咸久於其位 并与诩书结援 二弟著 延皆作佳器 中外将校 明年四月 帝曰 权习水战 归刘氏之宽仁 维善之 无所恨 宣王顿首流涕 公怒曰 种不南走越 北走胡 立宗庙 举高第 以何日月 持车人还 稍衰弱 皆畏布 不可废也 衮上书赞颂 诚台辅之妙器 坠马 分新城之上庸 武陵 巫县为上庸郡 举孝廉 太祖崩 张 李将军出战 违而合权 及观陛下之所拔授 有婕妤 谡不能用 固将释 私怨 幸摩陂观龙 回车而反 不敢徼功以负国也 赤乌九年 拜左将军 休就乘舆 嗜食而不得下 而专飨其劳 建安二十四年 遣将军吕岱 唐咨讨之 还救 无令国内上下危惧 建安四年 在郡十五年 免为良人 二月 三年春二月 虏乃觉 此诚千载一会之期 赤乌五年 子演嗣 太祖崩 徵为尚书 故安赵犊 霍奴等杀幽州刺史 涿郡太守 进封延寿亭侯 渊敕功曹曰 此郡既大 世之奇士 所在有名 宜畜养将士 建安十二年 太祖拒袁绍於官渡 扰乱诸郡 闻艾已有备 臻曰 权恃长江 於是徙恪屯於柴桑 太祖讨奉

1 1 cos 420 cos 60 cos 60 2 1 7 sin 2 sin （- 6 - ) sin 6 2 6





1 3 79 （ ) cos 3 cos cos 6 6 2 6
sin
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 例4 化简 9 cos sin 3 sin sin 2 sin cos sin cos 5 2 原式= cos sin sin sin 4 2 sin 2 cos cos 2 = cos sin sin sin 2
sin = sin cos cos
= sin 2
化简 2 cos
2
tan 360 sin
.
tan 原式=cos sin
2
=cos 2
1 cos
1 cos3 = cos
简化成“函数名 不变，符号看象 限”的口诀。
公式四
例1.利用公式求下列三角函数值:
1 cos 225 ; ; 2 1 cos 225 cos 180 45 cos 45 2

11 2 sin ; 3
16 3 sin 3
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα

1.3 三角函数的诱导公式1.诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(课堂训练 一.选择题1.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 （ ）(A)－53 (B)53 (C)±53 (D)54 2.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为 （ ）(A)(D)3.在△ABC，则△ABC 必是 （ ） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 （ ） (A)－45(B)－35(C)±35(D)±455.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 （ ） (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin2A B+=sin 2C *6.下列三角函数：①sin(n π+43π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π] ⑤sin[(2n +1)π-3π](n ∈Z)其中函数值与sin 3π的值相同的是 （ ） (A)①② (B)①③④ (C)②③⑤ (D)①③⑤ 二.填空题7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= .8.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= .9.= .*10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，且列命题：f (2006) =1516-，则f (2007) = . 三.解答题11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)ππααπααπαπ-⋅+⋅---⋅-.12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3π)的值.*14.是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α2π-β), cos (-απ+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.同步提升一、选择题 1．已知sin()4πα+=，则3sin()4πα-值为（ ） A.21 B. —21C. 23D. —232．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ） A. sin 2cos2+ B. cos2sin 2- C. sin 2cos2- D.±cos2sin 2- 4．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ） A 231+-B 231+-C 231-D 231+ 二、填空题5．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ． 三、解答题7．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．8．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。

右边=ttaann������������+-11
=
csoins������������+1 csoins������������-1
=
ssiinn������������+-ccooss������������,
∴左边=右边.故原等式成立.
探究一
探究二
探究三
思想方法
三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或 从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义 法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌 握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
“×”.
(1)角 α 的正弦值等于其余角的余弦值.
(2)cos
3π 2
-������
=-sin α.
(3)tan
π 2
+
������
=-ta1n������.
(4)当 α 是第二象限角时,cos
π 2
-������
=-sin α.
() () () ()
(5)sin α+32π =cos α. (6)sin 95°+cos 175°=0.
(������为奇数).
方法二 原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))������������csoisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
探究一
探究二

2
2
cos x
1


1
2


3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=

2 2
;(2) sin 10
=

3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。

温故知新 诱导公式（一） sin( k 360 ) sin 2kπ＋α（k∈Z） sin( 2k ) sin 与α 的三角函 cos( 2k ) cos cos( k 360 ) cos 数之间的关系 是什么？ tan( k 360 ) tan 实质：终边相同， tan( 2k ) tan


钝角→锐角
记忆方法：利用图形
解题一般步骤
负角
（公式三）
正角
（公式一） k 2
0~2π
（公式二）
（公式四）
0~π

锐角
例1、 将下列各三角函数化成锐角三角函数 (1) sin(-699º ) (3) tan(-872º ) (2) cos(-1525º ) (4) cos(92º )
答案：(1) –sin21º (2) cos85º (3) tan28º (4) -sin2º
练习 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上 4 cos 13 9 1 cos ______; 9 sin1 ______; 2 sin 1
(2)cos( 1290 ) cos1290 cos(210 3 360 )
cos 210 cos(180 30 ) cos30
3 2
练习：求三角函数值
3 tan ⑴ 4
诱导公式（三）
sin y sin( ) y cos( ) x
tan( ) y y x x
cos x
tan y x
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

任意负角的 三角函数 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 公式一 锐角的三角 函数 用公式二 0～2π 的角 或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.
1.3
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
cos x
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
思考：根据三角函数定义，－α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
4. 与 的三角函数值之间有什么关系？ 设角 的终边与单位圆交于点P， 的终边与单 位圆交于P1，当 为任意角时： ① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的 坐标吗？
tan( ) tan
3.角 与 的三角函数的关系。
观察单位圆，让角 的终边绕单位圆一周，回答问题。

① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 的终边、 的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系？
③ P与P1的坐标又怎样的关系？
-α ，π -α 的诱导公式：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin

思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α，
sin32π＋α＝－cos α，cos32π＋α＝sin α. 答 sin32π－α＝sinπ＋π2－α ＝－sinπ2－α＝－cos α； cos32π－α＝cosπ＋π2－α
＝－cosπ2－α＝－sin α； sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α； cos32π＋α＝cosπ＋π2＋α＝－cosπ2＋α＝sin α.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关 系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
A＋B－C A－B＋C 跟踪训练 3 在△ABC 中，sin 2 ＝sin 2 ，试判断
△ABC 的形状.
解 ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
A＋B－C A－B＋C 又∵sin 2 ＝sin 2 ，
π－2C π－2B ∴sin 2 ＝sin 2 ，
∴sin(π2－C)＝sin(π2－B)，∴cos C＝cos B.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α 与π3－α， π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.

2 sin (2－ )＋cos (2－ )的值．
3 3
2 解：由已知，得 sin cos ① 3 7 由①平方，得 2sin cos 9 sin 0,cos 0 2 故 sin cos (sin cos ) 2 1 2sin cos sin 2 cos2 1 7 4 sin2 cos2 2sin cos 1 ( 9 ) 3

作业
sin [ (2n 1) ] 2sin [ (2n 1) ] 1.化简： (n Z ) sin( 2n ) cos(2n )
2.求值： sin(-1200º )· cos1290º +cos(-1020º )· sin(-1050º )+tan855º


思考1 ： sin(90－60)与sin 60的值相等吗？相反吗？
1 3 不相等，不相反 sin(90－60) sin 60 2 2
思考2： sin(90－60)与 cos 60， cos(90－60)与 sin 60的值分别有什么关系？
sin(90－60)= cos 60
公式三： 公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限
课本P27
3.(1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
sin(

2
) cos ) sin
cos( sin(

2
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

讲授新课
思考下列问题二： 对于任意角 ，sin与 sin(

2
)
的关系如何呢？
讲授新课
3. 诱导公式 (五)
sin(

2
) cos
cos( ) sin 2

讲授新课
4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 实现三角函数正弦与余弦间的转化.
课堂小结
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
2cos( ) 3sin( ) 求： 的值. 4cos( ) sin(2 )
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
1.3三角函数的 诱导公式
高一（1）部数学备课组
复习回顾
诱导公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
讲授新课
思考下列问题三： 对于任意角 ，sin与 sin(

2
)
的关系如何呢？
讲授新课
5. 诱导公式 (六)
sin(

【例 2】
化简
cos 52π-������ cos(-������) sin 32π+������ cos 212π-������
=
.
解析:原式
cos
=
-sin
π 2
=
sin
cos 2π+ π2-������ cos������ π+ π2+������ cos 10π+ π2-������
π2 -������ cos������
六都叫做诱导公式
归纳总结诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记 忆,“函数名改变”是指正弦变余弦,余弦变正弦.“符号看象限”是把α 看成锐角时原三角函数值的符号.
【做一做1】 已知sin 25.7°=m,则cos 64.3°等于( )
A.m
B.-m
C.m2
D. 1-������2
答案:A
+ ������
cos
π 2
-������
sin������cos������ = -cos������sin������ = −1.
答案:-1
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】
化简
cos(π+������) cos������[cos(π-������)-1]
+
sin
������-32π
2
公式六 sin ������ + α = cos ������
2
cos ������ + α = −sin ������
2
公式五和公式六可以概括为:
������ 2±
������的正弦
余弦
函数值, 分别等于������的余弦