第四章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
❖ 基础知识
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩
⎪⎨⎪⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x (x ≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广
设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x (x ≠0)．
(3)象限角
(4)轴线角
考点一 象限角及终边相同的角
[典例]
(1)若角α是第二象限角，则α
2
是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角
(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
[解析]
(1)∵α是第二象限角，
∴π
2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π
2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α
2是第一象限角；
当k 为奇数时，α
2
是第三象限角．故选C.
(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π
3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x
上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π
3，故满足条件的角α构成的集
合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5π
3，－2π3，π3，4π3.
[答案] (1)C (2)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5π
3，－2π3，π3，4π3
[题组训练]
1．集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪
k π≤α≤k π＋π
4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π
4的终边一样，当k ＝
2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π
4的终边一样．
2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为：
β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45
360(k ∈Z )，
从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
考点二 三角函数的定义
[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1
tan α＝________.
[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－5
13
，
∴cos α＝
－x
x 2＋36＝－513，
解得x ＝52或x ＝－5
2(舍去)，
∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213
， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.
[答案] －2
3
[解题技法]
用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法
(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． [题组训练]
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α
＝( )
A ．－1
5
B.3715
C.3720
D.1315
解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝13
15.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－4
5
B ．－3
5
C ．35
D ．45
解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |
.当t >0时，cos θ＝5
5；当t <0时，
cos θ＝－
55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－3
5
.
