(完整版)任意角、弧度制及三角函数定义习题

任意角与弧度制1．已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(--,则=αsin A ．cos3- B ．cos3 C ．sin 3- D ．sin 3 2．点2015, 201()5A sin cos ︒︒位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知角α的终边过点(2,1)-,则cos α的值为（ ）A ．． 4．已知点(tan ,sin )P αα在第三象限,则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．1．29sin 6π=（ ）A ．B ．12-C ．12 D6．若sin tan 0a a >,且cos 0tan aa<，则角α是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z ）的终边所在的象限是 ( ）A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限 8．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,cos 22P y α⎛⎫⎪⎝⎭，则等于A ．12-B ．12C ．．19．)613sin(π-的值是( ） A ．23 B ．23- C ．21 D ．21-10．cos 690=（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-11．=311sin πA ．23 B ．23- C ． 21 D ．21-12．半径为2，圆心角为3π的扇形的面积为（ ）A 。

34π B. π C 。

32π D 。

3π 13．下列说法中，正确的是（ ）A 。

钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角B 。

第三象限的角必大于第二象限的角C. 小于90°的角是锐角 D 。

—95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 14．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A ．15B ．15-C ．25- D ．2515．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 16．sin(690)-︒的值为（ ）A B ．12- C ．12D ．17．已知点1()22P -在角θ的终边上,且[0,2)θπ∈,则θ的值为（ ） A ．56π B 。

任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四 解析：因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限． 答案：C3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案 C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析 由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3.答案 D5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A.45-B.35-C.35D.45解析 设(,2)P a a 是角θ终边上任意一点,则由三角函数定义知:cos θ=,所以223cos 22cos 12(15θθ=-=⨯-=-,故选B. 答案 B6．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案 二10.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .解析 由扇形面积公式得：12lR =6π.答案 4；6π11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形． 答案 钝角三角形 12．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 解析由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z)三、解答题13． (1)确定tan －3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.14．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解析：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 15．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 16．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·c os β＋tan α·tan β的值．解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a2＋a2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．若α是第三象限的角，则π－α2是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，124．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )， 则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．45．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或46．设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅7．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ8．已知角x 的终边上一点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π39．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β10．已知锐角θ的终边上有一点P (sin10°，1＋sin80°)，则锐角θ＝( )A ．85°B ．65°C ．10°D ．5° 二、填空题11．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.12．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于________．13．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．14．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．三、解答题15．如图所示，角α终边上一点P的坐标是(3,4)，将OP绕原点旋转45°到OP′的位置，试求点P′的坐标．16．已知角α终边经过点P(x，－3)(x≠0)，且cosα＝23x，求sinα，tanα的值．任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．若α是第三象限的角，则π－α2是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角 解析：由已知，得2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )． ∴－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2(k ∈Z )． ∴π－α2是第一或第三象限的角． 答案：B2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：∵tan α＝cos π8sin π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝tan 3π8，∴α＝3π8＋k π，k ∈Z ，sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π12＝sin 2π3＝32. 答案：D3．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：Q (cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)． 答案：A4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )， 则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，θ是第四象限角，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.答案：B5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1. 答案：C6．设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 解析：方法1：由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N ，故选B.方法2：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B. 答案：B7．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ 解析：∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)． ∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4， ∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ. 答案：D8．已知角x 的终边上一点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.11π6C.5π3D.2π3解析：因为角x 终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限，所以角x 是第四象限角，又tan x ＝－3212＝－3，所以角x 的最小正值为5π3.答案：C9．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.答案：D10．已知锐角θ的终边上有一点P (sin10°，1＋sin80°)，则锐角θ＝( )A ．85°B ．65°C ．10°D ．5° 解析：∵已知锐角θ的终边上有一点P (sin10°，1＋sin80°)，由任意角的正切函数的定义，可得 tan θ＝1＋sin80°sin10°＝(cos40°＋sin40°)2cos80°＝(cos40°＋sin40°)2cos 240°－sin 240°＝cos40°＋sin40°cos40°－sin40° ＝1＋tan40°1－tan40°＝tan(45°＋40°)＝tan85°，∴锐角θ＝85°. 故选A. 答案：A 二、填空题11．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.解析：因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上， 所以角α是第二象限角， 因此sin α>0，cos α<0，故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 答案：212．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于________．解析：∵角α的终边经过点P (m ，－3)， ∴r ＝m 2＋9， 又cos α＝－45， ∴cos α＝m m 2＋9＝－45， ∴m ＝－4. 答案：－413．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，12R 2×4＝2， R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋α·R ＝2＋4＝6. 答案：614．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．答案：[0，π4]∪(π2，54π]∪(32π，2π] 三、解答题15．如图所示，角α终边上一点P 的坐标是(3,4)，将OP 绕原点旋转45°到OP ′的位置，试求点P ′的坐标．解：设P ′(x ，y )，sin α＝45，cos α＝35， ∴sin(α＋45°)＝7210，cos(α＋45°)＝－210. ∴x ＝5cos(α＋45°)＝－22，y ＝5sin(α＋45°)＝722. ∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，722 16．已知角α终边经过点P (x ，－3)(x ≠0)，且cos α＝23x ，求sin α，tan α的值．解：∵P (x ，－3)(x ≠0)． ∴P 到原点的距离r ＝x 2＋3. 又cos α＝23x ， ∴cos α＝x x 2＋3＝23x ， ∵x ≠0，∴x ＝±62， ∴r ＝322.当x ＝62时，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－3.由三角函数定义，有sinα＝－63，tanα＝－2；当x＝－62时，点P坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－62，－3.∴sinα＝－63，tanα＝ 2.。

高考数学任意角弧度制及任意角的三角函数考点习题及答案高考数学任意角弧度制及任意角的三角函数考点习题1.若=k180+45(kZ),则角在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限2.(2014福建厦门适应性考试)“=30”是“sin =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A. B. C. D.4.已知点P(tan ,cos )在第二象限,则角的终边所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2014浙江杭州模拟)已知角的终边经过点(3a-9,a+2),且cos 0,sin 0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]6.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关;④若sin =sin ,则与的终边相同;⑤若cos 0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.若三角形的两个内角,满足sin cos 0,则此三角形为.8.函数y=的定义域为.9.已知角的终边在直线y=-3x上,求10sin +的值.10.(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.11.已知角=2k-(kZ),若角与角的终边相同,则y=的值为()A.1B.-1C.3D.-3高考数学任意角弧度制及任意角的三角函数考点习题参考答案1.A解析:当k=2m+1(mZ)时,=2m180+225=m360+225,此时角为第三象限角;当k=2m(mZ)时,=m360+45,此时角为第一象限角.2.A解析:由=30可得sin =,由sin =可得=k360+30或k360+150,kZ,所以“=30”是“sin =”的充分不必要条件,故选A.3.C解析:设圆的半径为R,由题意可知,圆内接正三角形的边长为R,则圆弧长为R.故该圆弧所对圆心角的弧度数为.4.D解析:由题意,得tan 0,且cos 0,则角的终边在第四象限.5.A解析:由cos 0,sin 0可知,角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-20,cos 0,角为钝角.故三角形为钝角三角形.8.(kZ)解析:2cos x-10,cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).则x(kZ).9.解:设角终边上任一点为P(k,-3k)(k0),则r=|k|.当k0时,r=k,则sin ==-,,因此,10sin +=-3+3=0.当k0时,r=-k,则sin =,=-,因此,10sin +=3-3=0.综上,10sin +=0.10.解:(1)设圆心角是,半径是r,则解得(舍去).因此,扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm,弧长为l cm,则解得则圆心角==2.如图,过O作OHAB于点H,则AOH=1.因为AH=1sin 1=sin 1(cm),所以AB=2sin 1(cm).11.B解析:由=2k-(kZ)及终边相同角的概念知,角的终边在第四象限,又角与角的终边相同,所以角是第四象限角,所以sin 0,cos 0,tan 0.因此,y=-1+1-1=-1,故选B.猜你感兴趣：1.高中数学任意角和弧度制复习要点2.高中数学《任意角的三角函数》知识点3.高二数学必修4任意角和弧度制知识点4.高中数学必修4任意角的三角函数测试题及答案。

三角函数及其解三角形第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数知识点要点1 任意角与弧度制 1．任意角（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）角的分类⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正角：一条射线按逆时针旋转所成的角.按旋转方向不同分类负角:一条射线按顺时针旋转所成的角.零角:一条射线没有进行任何旋转所成的角.象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角按终边位置不同轴线角：角的终边落在坐标轴上 （3）象限角的集合（4）轴线角的集合（5所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}=+360,S k k ββα︒=⋅∈Z 或{}=+2π,S k k ββα=∈Z .【错误警示】（1）第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角. （2）不相等的角的终边有可能相同，终边相同的角不一定相等.【规律总结】（1）,βα终边相同=+2π,k k βα⇔∈Z ；（2）,βα终边关于x 轴对称=+2π,k k βα⇔-∈Z ； （3）,βα终边关于y 轴对称=π+2π,k k βα⇔-∈Z ； （4）,βα终边关于原点对称=π++2π,k k βα⇔∈Z ； 2．弧度制（1）定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作1rad ，这种用弧度作单位来度量的制度叫作弧度制. （2）公式：【错误警示】把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，但把度（º）作为单位表示角时，度（º）不能省略;利用扇形的弧长公式和面积公式时，要注意角的单位必须是弧度. 要点2 任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交与点(),p x y ，那么()sin ,cos ,tan 0yy x x xααα===≠. 推广：设(),p x y 是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin ,cos ,y x r rαα==()tan 0yx xα=≠. 2.三角函数值在各象限内的符号上述符号可以简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3.三角函数线设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交与点p ，过点p 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过点A 作单位圆的切线交OP 的延长线（或反向延长线）于点T ，则有向线段,,OM MP AT 分别叫作角α的余弦线、正弦线、正切线，各象限内的三角函数线如下：第一象限第二象限第三象限第四象限【规律总结】若π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则（1）sin tan ααα<<；（2）sin cos 1αα+< 证明：（1）如右图所示，在单位圆中，sin ,,tan MP AP AT ααα===， 即tan sin αα>，∵22PQ MP PQ AP =<=,∴MP AP <,∴sin αα<. 又111222AOT OAP AP S l r S AT α∆==<=扇形，∴tan αα< 综上所述sin tan ααα<<.（2）在△OMP 中，∵OM MP OP +> , ∴sin cos 1αα+>. 4．特殊角的三角函数值 角α 0︒30︒ 45︒ 60︒ 90︒ 120︒ 135︒ 150︒ 180︒270︒ 弧度 0 π6π4π3π2 2π33π45π6π3π2正弦 0 12 22 321 3222 12 0 1-余弦 132 2212 012- 22- 32- 1-正切 0 331 3不存在3-1- 33- 0不存在重难点突破考点1 象限角及终边相同的角 通法：象限角的两种判断方法（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．（2）转化法：先将已知角化为()3600360,k k αα︒︒︒⋅+<∈Z 的形式，即找出与已知角终边相同的α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．示例1：写出两个与11π3-终边相同的角 ．示例2：（2021•北京卷）若(cos ,sin )P θθ与π(cos()6Q θ+，πsin())6θ+关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值 ．示例3：设θ是第三象限角，且coscos22θθ=-，则2θ是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角对点训练1．与2010︒-终边相同的最小正角是________．2.（2017•北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin β= ．3. 设α是第二象限角，且coscos22αα=-，则2α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角考点2 倍角、等分角的象限问题通法：等分角的终边所在象限的两种判断方法 1.分类讨论；2.割圆法. 割圆法求nα终边所在的象限的步骤： （1）画出区域：把坐标系的每一个象限n 等分；（2）标号：自轴正向起逆时针把内各区域依次标上1、2、3、4； （3）确定区域：找出与角α的终边所在象限一致的区域即为所求. 示例1：若α是第二象限角，则2α是第几象限角？示例2：若α是第一象限角，则3α是第几象限角？对点训练1.（2005•陕西卷）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2. 若α为第二象限角，则3α不可能是第 象限角. 考点3 扇形的弧长、面积公式通法：弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． （2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式（l r α=⋅）、扇形面积公式（1=2S l r ⋅）直接求解，或合理的利用圆心角所在三角形列方程(组)求解． 示例1：已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2.示例2：中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A ．(35)π- B ．(51)π-C ．(51)π+D ．(52)π-对点训练1.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为 A ．24B ．22C ．22D ．22.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为 A ．21sin 1 B ．22sin 2C ．21cos 1D ．22cos 2考点4 三角函数的概念及应用通法：三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α终边所在直线的方程，求角α的三角函数值，可根据定义直线方程设出任意一点的坐标，再求点P 到原点的距离，最后用三角函数的定义求解．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断：已知一角的三角函数值(sin ,cos ,tan )ααα中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．考向1 三角函数定义的应用示例1：（2014•大纲卷）已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α= A ．45B ．35C ．35-D ．45-示例2：（2011•新课标卷）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= A ．45-B ．35-C ．35D ．45示例3：（2004•浙江卷）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=按逆时针方向转动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为A ．1(2-B ．(，1)2-C ．1(2-，D ．(1)2-对点训练1.（2011•江西卷）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上的一点，且sin θ=y = ． 2.（2018•全国卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||a b -=A ．15B C D ．13.（2015•上海卷理）已知点A 的坐标为1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标 为A B C ．112D ．132考向2 三角函数值的符号判断示例1：（2014·全国卷Ⅰ）若tan 0α>，则 A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>示例2：（2020·全国卷Ⅱ理）若α为第四象限角，则 A ．cos20α> B ．cos20α<C ．sin20α>D ．sin20α<点评：判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．对点训练1.若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 2.若sin 0x <，且sin(cos )0x >，则角x 是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角考向3三角函数线的应用示例1：（2018北京卷）在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是 A ．ABB ．CDC ．EFD ． GH示例2：设sin24a =︒，tan38b =︒，sin28c =︒，则 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<对点训练1.若3ππ42α-<<-，从单位圆中的三角函数线观察sin ,cos ,tan ααα的大小是 A ．sin tan cos ααα<< B ．cos sin tan ααα<< C ．sin cos tan ααα<< D ．tan sin cos ααα<< 2.sin 4，cos4，tan 4的大小关系是 A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<<C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考点1 象限角及终边相同的角 示例1：【解析】与11π3-终边相同的角11π2π3k α=-()k ∈Z ，当1k =时，5π3α=-，当2k =时，π3α=．故答案为：5π3-，π3（答案不唯一）． 示例2：【解析】因为(cos ,sin )P θθ与π(cos()6Q θ+，πsin()6θ+）关于y 轴对称， 故θ和π6θ+关于y 轴对称，即π+=π+2π6k θθ+，则5π=π12k k θ+∈，Z . 当0k =时，θ取值为5π12． 故答案为：5π12（答案不唯一）．示例3：【解析】∵θ是第三象限角，∴3ππ2π2π,2k k k θ+<<+∈Z ∴π3πππ,224k k k θ+<<+∈Z ∴2θ的终边落在第二、四象限；又coscos22θθ=-，∴cos02θ<，∴2θ是第二象限角． 故选B . 对点训练1.【解析】与2010︒-终边相同的角可表示为2010360k k α︒︒=-+⋅∈Z ，，又当6k =时，150α︒=，故与2010︒-终边相同的最小正角为150︒.2.【解析】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，π2πk αβ∴+=+，k Z ∈，又1sin 3α=，()1sin sin(2π+π)sin πsin 3k βααα∴=-=-==．故答案为：13．3.【解析】∵α是第二象限角，∴π2ππ2π,2k k k θ+<<+∈Z ∴ππ42ππ,2k k k θ+<<+∈Z ∴2θ的终边落在第一、三象限；又coscos22θθ=-，∴cos02θ<，∴2θ是第三象限角．故选C .考点2 倍角、等分角的象限问题 示例1：【解析】由题意得()π+2ππ2π2k k k α<<+∈Z ，则()π+4π22π4πk k k α<<+∈Z ，初始角()ππθ∈，2， 旋转周期为4π，故2α的终边落在第三、第四象限及y 轴的负半轴上. 示例2：【解析】解法一：分类讨论 ∵α是第一象限角，∴π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，即62ππ2π,333k k k α<<+∈Z ； （1）当()3k n n =∈Z 时，()π2π2π36n n n α<<+∈Z ，则3α是第一象限角. （2）当()3+1k n n =∈Z 时，()2π5π+2π2π336n n n α<<+∈Z ， 则3α是第二象限角. （3）当()3+2k n n =∈Z 时，()4π3π+2π2π332n n n α<<+∈Z ，则3α是第三象限角. 综上所述，3α是第一、二、三象限角. 解法二：割圆法先将各个象限分成三等分，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为3α终边所落在的区域，故3α是第一、二、三象限角.对点训练1.【解析】因为α为第三象限角，即()3π2ππ2π2k k k α+<<+∈Z ， 所以，()π3πππ224k k k α+<<+∈Z ，当k 为奇数时它是第四象限，当k 为偶数时它是第二象限的角． 故选：D ．2.【解析】因为α为第二象限角，即()π2π2ππ2k k k α+<<+∈Z ，所以，()3π6π36π3π2k k k α+<<+∈Z ， 故2α的终边落在第一、第二、第四象限及x 轴和y轴的非负半轴上，因此3α的终边不可能在第三象限.考点3 扇形的弧长、面积公式 示例1：【解析】由弧长公式||l r α=，得2036100ππ180r ==，所以 11363602022ππS lr ==⨯⨯=扇形.示例2：【解析】由题意知，1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为α，β，则αβ=2παβ+=，解得(3πα=-． 故选：A ． 对点训练1.【解析】设此圆的半径为r，则正方形的边长为．设这段弧所对的圆心角的弧度数为α，则r α=．解得α=，． 故选：D ．2.【解析】由题意得扇形的半径为：1sin1，又由扇形面积公式得，该扇形的面积为：22111221sin 1sin ⨯⨯=故选：A ．考点3 三角函数的概念及应用 考向1 三角函数定义的应用 示例1：【解析】角α的终边经过点(4,3)-，4x ∴=-，3y =，5r ．44cos 55x r α-∴===-， 故选：D ． 示例2：【解析】根据题意可知：tan 2θ=，所以2222221sin cos cos 11cos co tan s 51θθθθθθ+====+， 则213cos22cos 12155θθ=-=⨯-=-．故选：B ． 示例3：【解析】P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=按逆时针方向转过的角为2π3α=， 由三角函数的定义得Q 点的坐标为2(cos 3π，2sin)3π，即1(2-． 故选：A ． 对点训练1.【解析】若(4,)P y 是角θ终边上的一点，则点P 到原点的距离r =，则sin θ==，则8y =-故答案为：8-2.【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴 的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ， 且2cos23α=，22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，|cos |α∴|sin |α∴=|sin ||tan |||||21|cos |b a a b ααα-==-===-．故选：B ．3. 【解析】由点A的坐标为1)可知，||7r OA ===，设xOA θ∠=，则1sin 7y r θ==，cos x r θ==， 将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则3xOB θπ∠=+,||||7r OB OA '===， 设点B 的纵坐标为y ，则)in(s 3yr θπ+='，πsin()3y r θ'=+ππ7(sin cos cos sin )33θθ=+111137(67222=⨯=+=.故选：D ．考向2 三角函数值的符号判断 示例1：【解析】∵tan 0α>，∴sin 0cos αα>， 则sin22sin cos 0ααα=>． 故选：C ． 示例2：【解析】∵α为第四象限角，∴π2π2π2k k α-+<<()k ∈Z ，∴π4π24πk k α-+<<，∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin20α<. 故选D ． 对点训练1.【解析】由sin tan 0αα<可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角． 由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 故选：C ．2.【解析】1cos 1x -，且sin(cos )0x >，0cos 1x ∴<，∴x 为第一或第四象限角，又sin 0x <，∴角x 为第三或第四象限角， 综上所述，x 为第四象限角. 故选：D ．考向3 三角函数线的应用 示例1：【解析】A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos sin αα<不成立，故A 不满足条件．B ．在CD 段正切线最大，则cos sin tan ααα<<，故B 不满足条件．C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tan cos sin ααα<<，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cos sin tan ααα<<不满足 tan cos sin ααα<<．故选：C ．示例2：【解析】根据单位圆的三角函数线： AB b =，EF c =，CD a =，即：tan38sin28sin24︒>︒>︒， 即a c b <<， 故选：D ．对点训练1.【解析】如图，作出角α的正弦线MP ， 余弦线OM ，正切线AT ， 观察可知sin cos tan ααα<< 故选：C ．2.【解析】如图作单位圆，53442ππ<<， tan 0AT α∴=>，sin 0BP α=<，cos 0OB α=<；故BP OB AT <<；故sin4cos4tan4<<； 故选：D ．。

第33课弧度制与任意角的三角函数◇考纲解读①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．③理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．◇知识梳理1．角的概念①任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．一条射线的端点是o，它从起始位置OA旋转到终止位置OB就形成一个角α，射线OA、OB分别叫角α的和，O叫角α的．按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫，若一条射线没有作任何旋转，称它形成．②终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成集合．③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限的角．注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．几种终边在特殊位置时对应角的集合为：2．弧度制①弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫_____弧度角角度制与弧度制的互化：180_____︒= rad, 1_____︒= rad1rad ︒≈︒=3.57180π② 弧长公式：______l = （α是圆心角的弧度数） ③扇形面积公式：______________S ==3．任意角的三角函数① 三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r ==>，那么sin ____α=； cos ____α=； tan ____α=；② 三角函数的符号：一全，二正弦，三正切，四余弦。

③ 特殊角的三角函数值：◇基础训练1．设M ＝｛小于090的角｝，N ＝｛第一象限的角｝，则M N ⋂＝（ ）A.｛锐角｝B.｛小于090的角｝ C.｛第一象限的角｝ D.以上都不对 2．0300-化为弧度为（ ） A.43π-B.53π-C.74π-D.76π-3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A.2 B.sin 2 C.2sin1D.2sin1 4．角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α＝－54，则m 的值是（ ） A.21B.－21 C.－23 D.23◇典型例题例1 ．若角α是第二象限角，则 （1）2α是哪个象限角？ （2）α2是哪个象限角？变式：已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角?例2．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值◇能力提升1．（惠州一中）将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（ ）A.3π B.3π- C.5π D.5π-2．若α是第二象限的角，且|cos |cos 22αα=-，则2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3．（华附）α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α＝42x ，则x 的值为（ ） A.3B.±3C.－3D.－24．2008深圳调研)若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5． 一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？6.已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=，求cos ,sin αα的值第33课 弧度制与任意角的三角函数◇知识梳理1．① 始边、终边、顶点、正角、负角、零角． ②0{|360,}k k Z ββα=+∈ ． ③．|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<=+∈⎨⎬⎩⎭|22,2k k k Z παπαππ⎧⎫+<=+∈⎨⎬⎩⎭3|22,2k k k Z παππαπ⎧⎫+<=+∈⎨⎬⎩⎭3|222,2k k k Z παπαππ⎧⎫+<=+∈⎨⎬⎩⎭{}Z k k ∈︒⨯=,360|αα {}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα{}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|αα{}Z k k ∈︒⨯=,180|αα{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα {}Z k k ∈︒⨯=,90|αα2．①π180π② ||r α ③ 12l r21||2r α3．① y r ； x r ； yx ；③10,1,02-、1,0,1,0,12-、不存在，0，不存在，0．◇基础训练1.D2.B 3 C 4 A◇典型例题例1. 解：（1）因为角α是第二象限角，所以︒+︒⨯<<︒+︒⨯180********k k α则 )(90180245180Z k k k ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α当k 是偶数时，设)(2Z n n k ∈=，则)(90360245360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第一象限；当k 是奇数时，设)(12Z n n k ∈+=， 则)(2703602225360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第三象限；综上述，角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；（2）因为︒+︒⨯<<︒+︒⨯360360221803602k k α可知角α2的终边应在第三象限或第四象限或Y 轴的负半轴上； 变式：解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322， ∴()Z k k k ∈+<<+2323332ππαππ，∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α为第三象限角，当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3α为第四象限角，故3α为第一、三、四象限角 解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3α的终边所在的区域由图可知，3α是第一、三、四象限角 点评：已知角α的范围或所在的象限，求nα所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为nα(n ∈N *)的终边所在的区域例2. 解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.下列三角函数值的符号判断错误的是()A．sin165°>0B．cos280°>0C．tan170°>0D．tan310°<0【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°<0正确．5.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． 4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°． 6分（2）S＝DE·DF＝． 10分当θ＝45°时，S取最小值． 12分【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.6.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．7.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【答案】（1）50cm2（2）【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.8.已知α＝，回答下列问题．(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？【答案】（1）（2）－、－、（3）第一、三象限的角【解析】(1)所有与α终边相同的角可表示为.(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，则有－2－＜k＜1－.∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－、－、.(3)由(1)有β＝2kπ＋ (k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)．∴是第一、三象限的角．9.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.10.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角α的终边上一点的坐标为，所以角α在第四象限，tan α＝＝-，故α的最小正值为.11.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.12.已知则等于（）A．7B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，，，选B.【考点】任意角的三角函数，两角和与差的三角函数.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系15.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值16.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系17.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】因为，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，且是角终边上的一点，所以，，又由三角函数的定义，得，解得，的值为故选A.【考点】任意角的三角函数18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.在中，若，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，在中，若，所以，，，故选B.【考点】任意角的三角函数20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。

高二数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1. .【答案】【解析】.【考点】三角函数的诱导公式.2.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式要记住“奇变偶不变，符号看象限”．【考点】1．诱导公式；2．特殊角的三角函数值．3.设角是第二象限角，且，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】角是第二象限角,那么为第一象限角或第三象限角，又因为所以，则为第三象限角，终边在第三象限．【考点】1．象限角；2．三角函数的符号．4.若等于（）A．2B．－2C．D．【答案】D【解析】由上下同除以得，，.【考点】三角函数的运算.5.若角的终边经过点，则的值是．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边经过点，则可知该点的正切值为2，那么可知，故答案为【考点】任意角的三角函数点评：主要是考查了任意角的三角函数的定义的运用，属于基础题。

6.= .【答案】【解析】=。

【考点】三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，利用诱导公式，转化成0°到90°范围内三角函数值。

7. tan240°＝A．B．C．1D．【答案】D【解析】tan240°＝tan(180°+60°)=tan60°=，故选D。

【考点】本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，应用公式计算。

8.若（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】因为正余弦同号，那么只有在第一象限和第三象限时满足，故选B。

9.已知，则【答案】【解析】解：因为则10.有下列命题：①函数y＝cos（x+）是奇函数；②函数f(x)＝4sin的表达式可改写为f(x)= 4cos；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④函数y＝sin（2x+）的图象关于直线x=成轴对称图形.其中正确的是__________（把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】①函数是奇函数，正确；②,正确;③当,所以不成立.④因为,所以，所以的图像关于直线对称.正确.11.计算( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，选A.12.若，则(填“”、“”或“”).【答案】【解析】解：因为，说明正弦值和余弦值异号，因此乘积为负数。

任意角和弧度制及任意角的三角函数训练题一、题点全面练1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．若角α与β的终边关于x 轴对称，则有( ) A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z.所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z.4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D 由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x ＜0，即sin x ＜cos x ，所以－3π4＋2k π＜x ＜π4＋2k π，k ∈Z.当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 5．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)， 所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0， 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0，故选A. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶27．一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r . 则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439.答案：(7＋43)∶98．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α＜0，由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α为第四象限角，故m ＜0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－45.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解：(1)设点B 的纵坐标为m ，则由题意m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1，且m ＞0，所以m ＝35，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35， 根据三角函数的定义得tan α＝35－45＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D ∵cos α＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－3，故选D.2．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，则最小的正角为11π6.答案：11π63．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．(二)素养专练——学会更学通4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________. 解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，∴tan α＝2α，∴αtan α＝12. 答案：125．[数学建模]如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P ，Q 各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒． 设第一次相遇时，相遇点为C ， 则∠COx ＝π3·4＝4π3，则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π3； x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．。