F6集合代数

数学中的集合论研究数学一直以来都是一门具有严密性和抽象性的学科，而其中集合论则是数学中的一个重要分支。

集合论是研究集合的性质、关系和运算的学科，既具有理论的基础性，也具备广泛的应用领域。

本文将介绍集合论的基本概念、运算规则及其在数学中的应用。

一、集合论的基本概念集合是集合论中的基本概念，可以理解为具有某种共同特性的事物组成的整体。

集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示，并用花括号 {} 表示。

例如，集合 A 可以表示为 A = {a, b, c}，表示 A包含了元素 a、b 和 c。

在集合论中，还有一些基本的概念需要介绍：1. 子集：集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素时，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B。

2. 包含关系：如果 A 是 B 的子集，并且 B 也是 A 的子集，则 A 和B 相等，记作 A = B。

3. 并集：两个集合 A 和 B 的并集是包含 A 和 B 中所有元素的集合，表示为 A ∪ B。

4. 交集：两个集合 A 和 B 的交集是同时属于 A 和 B 的元素组成的集合，表示为A ∩ B。

5. 差集：集合 A 中去掉属于集合 B 的元素后，得到的新集合称为A 减去 B，表示为 A - B。

二、集合论的运算规则集合论中的运算规则包括交换律、结合律、分配律等，这些规则体现了集合运算的性质和特点。

1. 交换律：对于任意两个集合 A 和 B，交集和并集满足交换律，即A ∩B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足结合律，即(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)。

3. 分配律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足分配律，即A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)。

例2:某学校有12位教师,已知有8位老师可以教数学,6位 可教物理,5位可教化学.其中有5位教师既教数学又教 物理.4位老师兼教数学和化学,3位老师兼教物理和化 学,3位老师兼教这三门课. 1.求不教任何课的老师有几位? 2.只教一门课的老师有几位? 3.正好教其中两门课的老师有几位?
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。

第三篇代数系统篇第3-1章代数结构本章将从引入一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。

§3-1-1 代数系统的概念在计算机科学中，常用代数系统去描述机器可计算函数，研究运算的复杂性，分析程序设计语言的语义等。

由非空集合和该集合上的一个或多个运算所组合的系统，常称为代数系统，有时简称为代数。

在研究代数系统之前，首先考察一个非空集合上运算的概念，如将有理数集合Q上的每一个数 a 的映射成它的整数部分［a］；或者将Q上的每一个数a 映射成它的相反数-a，这两个映射可以称为集合Q上的一元运算；而在集合Q上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法都是集合Q上的二元运算，也可以，x2 ，x3，看作是将Q中的每两个数映射成一个数；至于对集合Q上的任意三个数x１代数式x12+x22+x32和x1+x2+x3分别给出了Q上的两个三元运算，它们分别将Q中三个数映射成Q中的一个数。

上述这些例子有一个共同的特征，那就是其运算的结果都是在原来的集合中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。

相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。

很容易举出不封闭运算的例子，设N是自然数集，Z是整数集，普通的减法是N×N到Z的运算，但因为两个自然数相减可以不是自然数，所以减法运算不是自然数集N上的闭运算。

定义3-1-1.1设A和B都是非空集合，n是一个正整数，若Φ是A n到B的一个映射，则称Φ是A到B的一个n元运算。

当B=A时，称Φ是A上的n元运算（n-ary operation），简称A上的运算。

并称该n元运算在A上是封闭的。

例3-1-1.1（1）求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算。

（2）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是。

（3）S是一非空集合，S S是S到S上的所有函数的集合，则复合运算○是S S上的二元运算。

离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。

直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。

例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。

例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。

谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。

许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。

但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。

集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。