集合代数

1/11/2020 1:46 AM
Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},
D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合.
{1,2,4}={1,4,2} 集合中的元素不一定同类。
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幂集
定义 (A) = { x | xA }，或记为(A),2A 实例 () = {}， ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数：如果 |A| = n，则 | (A)| = 2n
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意：集合的元素也可以是集合.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B ：与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应，有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
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S 的子集族 Si | i I 构成 S 的一种分类,则记作
Si | i I
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M M i
i 0
;
(2) M i M j , i j ．
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(3) 若 m | a b , 有 m | a a (2) 若m | a b , 则m | b a ；
m | b c , 则m | a c ． 所以 是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b 被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
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定义1.1.3 对a S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
a x S | x ~ a
称子集 a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ． S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
a, b ,由 a, b 1 ，可推出 b, a 1 ．
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定义1.1.2 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．

代数部分集合1.集合把某种共同性质的一些事物看作一个整体，就是一个集合。

集合里的各个事物叫做这个集合的元素。

集合一般用大写字母A，B，C......表示，集合的元数一般用小写字母a，b，c......表示。

自然数记作N；整数集记作Z;有理数集记作Q；实数集记作R。

不含任何元素的合集叫作空集。

空集通常记作∅。

如果a是合集A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是合集A的元素，就说b不属于集合A，记作b∉A。

关于合集的概念，要注意以下几点：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素是确定的。

这就是说，任何一个对象或者是这个合集的元素，或者不是它的元素，二者必具其一。

②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。

这就是说集合中任何两个元素都是不同对象。

因此，集合中的元素没有重复现象。

③无序性：集合只与组成它的元素有关，而与它的元素顺序无关。

2.集合的表示法集合表示方法，常用的有以下三种：①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内。

例如：小于10的正偶数组成的集合可表示为｛2468｝。

②描述法：把合集中元素的公共属性描述出来，写在一个大括号内。

例如：所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；不等式x-5＞2的解的集合可表示为｛x | x-5＞2｝.③文氏图法：把集合中的全部元素用一条封闭的曲线圈起来（其实就是写在圆圈内），或用曲线内的平面表示集合。

如下图：二、集合之间的关系1.子集如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作：A⊆B，或B⊇A它们分别读作：“A包含于B““B包含A“。

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A就叫做集合B的真子集，表示为：A⊂B、B⊃ A空集是任何集合的子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊇A，我们就说这两个集合相等，记作：A＝B2.交集对于给定的集合A，B，有同时属于A与B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作：A∩B，读作：“A交B”。

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。