2017 1.2 充分条件与必要条件 学案

1.2 充分条件与必要条件[提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A 开关闭合时B 灯一定亮吗？ 提示：一定亮．问题2：B 灯亮时A 开关一定闭合吗？ 提示：不一定，还可能是C 开关闭合． [导入新知] 充分条件与必要条件q[化解疑难]1．p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． 2．q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立.[提出问题]如图是一物理电路图．问题1：图中开关A 闭合，灯泡B 亮；反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合吗？ 提示：一定闭合．问题2：开关A 闭合作为命题的条件p ，灯泡B 亮作为命题的结论q ，你能判断p ，q 之间的推出关系吗？提示：p ⇔q . [导入新知]充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． [化解疑难]p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p 和条件q 是等价的，如果p 和q 是两个命题，则这两个命题是等价命题．[例(1)在△ABC 中，p ：cos 2A ＝cos 2B ，q ：A ＝B ； (2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[解] (1)在△ABC 中，A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，且A ＋B ＋C ＝π.若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；反之，若A ＝B ，则cos 2A ＝cos 2B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1，不一定有x ＞1.因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2，或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． [类题通法]充分、必要、充要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.[例2] ac＜0.[解] (1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[类题通法]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p ⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.证明：(1)必要性：由1x ＜1y，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0，又由x ＞y ，得y －x ＜0，所以xy ＞0. (2)充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y. 综上所述，1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[例3] 已知数m 的取值范围．[解] 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，即{}x |－2≤x ≤10是{}x |1－m ≤x ≤1＋m 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{}m |m ≥9. [类题通法]应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．[活学活用]已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，Q ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－1,5]．1.诠释充分条件与必要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例1] (四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．[答案] A [活学活用]1．“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由cos 2α＝12可得sin 2α＝14，即sin α＝±12，故sin α＝12是cos 2α＝12的充分不必要条件． 2．等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q ⇒/ 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分[活学活用]2．“m ≠3”是“|m |≠3”的________条件． 答案：必要不充分 3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 指出下列命题中p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －1)(x ＋2)≤0，q ：x ＜2； (2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4. [解] (1)令A ＝{x |(x －1)(x ＋2)≤0}＝ {x |－2≤x ≤1}，集合B ＝{x |x ＜2}． 显然，A B ， 所以p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． (2)令A ＝{x |x 2－2x －8＝0} ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}，B ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}．∵A ＝B ，∴p ⇔q ， 即p 是q 的充要条件． [活学活用]3．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞0，1a＜0，解得a ＜0.由于{a |a ＜－1} {a |a ＜0}，故选C.[随堂即时演练]1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．2．已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·b ＝a ·c ”是“b ＝c ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵a ⊥b ，a ⊥c 时，a ·b ＝a ·c ，但b 与c 不一定相等， ∴a ·b ＝a ·c ⇒/ b ＝c ； 反之，b ＝c ⇒a ·b ＝a ·c .3.已知M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的________条件．解析：∵由a ∈M ⇒/ a ∈N ，但a ∈N ⇒a ∈M ， ∴“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－235．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，求实数a 的值． 解：p ：x 2＋x －6＝0， 即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p ⇒/ q ，q ⇒p ， 故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a＝－3，解得a ＝－12或a ＝13.[课时达标检测]一、选择题1．“tan α＝1”是“α＝π4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B ∵若tan α＝1，则α＝k π＋π4(k ∈Z)，α不一定等于π4；而若α＝π4，则tan α＝1，∴tan α＝1是α＝π4的必要不充分条件．2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．(陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.4．(天津高考)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A |x－2|<1⇔1<x<3.由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分而不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)＞0 D．2x＜1解析：选B ∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．二、填空题6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④三、解答题9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x |＝|y |⇒/ x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2， 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2， 则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n p －1 p n －1 p －1＝p ， 即数列{a n }为等比数列．(2)必要性： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n＝p n p －1 p n －1 p －1 ＝p . 因为{a n }为等比数列， 所以a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ＝p p －1p ＋q ，∴q ＝－1. 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。