2020高中数学-第一章充分条件与必要条件-1.2.2-充要条件学案-新人教A版选修1-1

2019-2020年高中数学第一章《充分条件和必要条件》教案2 新人教A版选修1-1[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；[教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件⑴“”是“”的充分不必要条件．⑵若a、b都是实数，从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使a、b都不为0的充分条件是①②⑤．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的故p是q的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p：或；q：或，则是的什么条件？方法一：显然是的的充分不必要条件方法二：要考虑是的什么条件，就是判断“若则”及“若则”的真假性“若则”等价于“若q则p”真的“若则”等价于“若p则q”假的故是的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M 是Q的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性显然M是Q的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于0000404aa a a a a≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x、y R，是的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x、y R，如果则，即故是的必要条件不充分性：对于x、y R，如果，如，，此时故是的不充分条件综上所述：对于x、y R，是的必要不充分条件．例5：p：；q：．若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件于是有三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知，求证：的充要条件是：.2019-2020年高中数学第一章《充要条件》教案新人教A版选修2-1(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。

1.2 充分条件和必要条件（2）[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件． ⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥ 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.。

1．2 充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件内容标准学科素养1.理解充分、必要、充要条件的意义．2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．3.掌握证明充要条件的一般方法.利用数学抽象提高逻辑推理授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点充分条件、必要条件与充要条件阅读教材P9－12，思考并完成以下问题对于“若p，则q”形式的命题，有的命题是真命题，有的命题是假命题，那么命题的条件和结论有什么关系呢？判断下列两个命题的真假：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.提示：命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．也就是对于命题(1)，由条件x>a2＋b2可以推出结论x>2ab.对于命题(2)，由条件ab＝0推不出结论a＝0.知识梳理(1)充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(2)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．[自我检测]1．下列各条件中，p 是q 的充要条件的是( ) A ．p ：a ＝b ，q ：1a ＝1bB ．p ：xy >0，q ：xy>0C ．p ：直线ax ＋y －1＝0与x ＋ay ＋2＝0平行，q ：a ＝1D ．p ：m >0，q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根 答案：B2．用“充分条件”和“必要条件”填空：(1)若p ：x ＝－3，q ：x 2＝9，则p 是q 的________，q 是p 的________． (2)若p ：θ＝π2，q ：cos θ＝0，则p 是q 的________，q 是p 的________．(3)若p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等，则p 是q 的____________，q 是p 的__________．答案：(1)充分条件 必要条件 (2)充分条件 必要条件 (3)必要条件 充分条件授课提示：对应学生用书第8页探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断[阅读教材P 9－11例1、例2、例3]题型：充分条件、必要条件及充要条件的判断． 方法步骤：①利用“若p ，则q ”为真命题或由p ⇒q 时，p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件．②利用“若p ，则q ”是假命题或pq ，则p 是q 的不充分条件，q 是p 的不必要条件．③利用“若p ，则q ”的逆命题是真命题或q ⇒p ，则q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．④“若p ，则q ”为真命题，它的逆命题也为真命题或p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[例1] 指出下列各题中，p 是q 的什么条件：(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)(1)p ：0<x <2，q ：x <3；(2)p ：函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，q ：a ＝2； (3)p ：x －3，12x ，x 成等比数列，q ：x ＝4；(4)p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； (5)p ：m <n ，q ：mn<1.[解析] (1)当0<x <2时，显然满足x <3，因此p ⇒q ；但当x <3时，不一定有0<x <2，即q p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，当a >1时，得a 2＝4，所以a ＝2，当0<a <1时，得a －2＝4，所以a ＝12，即由函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，可得a ＝2或a ＝12，即q ；但当a ＝2时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，即q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)由x －3，12x ，x 成等比数列可得⎝⎛⎭⎫12x 2＝(x －3)x ，解得x ＝4或x ＝0，但当x ＝0时12x ＝x ＝0，不符合题意，舍去，即x 的值等于4，即p ⇒q ；当x ＝4时，显然x －3，12x ，x 成等比数列，即q ⇒p ，故p 是q 的充要条件．(4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即p q ；但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(5)当m <n 时不一定有m n <1，例如m ＝－2，n ＝－1，即p ⇒/ q ；当mn <1时，也不一定有m <n ，例如m ＝2，n ＝－1，即qp ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．方法技巧 1.判断p 是q 的什么条件，主要判断p ⇒q ，及q ⇒p 两命题的正确性，若p ⇒q 为真，则p 是q 成立的充分条件；若q ⇒p 为真，则p 是q 成立的必要条件．要否定p 与q 不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法．(2)推出法：此法主要适应于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符表示其关系． (3)集合法：设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件；④若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．跟踪探究 1.如果p是q的充分条件，r是q的必要条件，那么p是r的________条件．解析：由题意得p⇒q，q⇒r.答案：充分2．已知如下四个命题：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m<－2或m>6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．解析：①中，当a＝2时有(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0时a＝1或a＝2，不一定有a＝2，∴“a＝2是(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②中a>b ac2>bc2，但ac2>bc2⇒a>b∴“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，②错误．③中ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2时ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ>0，即m2－4(m＋3)>0，∴m<－2或m>6，∴“m<－2或m>6”是“函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件，④正确．答案：①③④探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围[教材P13习题1.2B组1题]已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．(1)如果A⊆B，那么p是q的什么条件？(2)如果B⊆A，那么p是q的什么条件？(3)如果A＝B，那么p是q的什么条件？解析：(1)p是q的充分条件．(2)p是q的必要条件．(3)p 是q 的充要条件．[例2] 是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．[解析] 由x 2－x －2>0解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}．由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－p 4. 当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下： (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；(2)根据以下表格确定集合M 与N 的包含关系：M N M N (3)根据集合M 与N 的包含关系建立关于参数的不等式(组)； (4)解不等式(组)求出参数的取值范围．跟踪探究 3.已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解析：由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0， ∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0得－3<x <8.∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]． 探究三 充要条件的证明[阅读教材P 11例4及解答]已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件． 题型：充要性的证明．方法步骤：①充分性的证明，由d ＝r 得出直线l 与圆O 只有一个公共点，因此l 与圆O 相切．②必要性的证明，由l 与圆O 相切，得出圆心到直线的距离d ＝r .[例3] 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. [证明] 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根， 不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2， ∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 方法技巧 1.充要条件的证明问题，关键是理清题意，认清条件与结论分别是什么． 2．证明p 是q 的充要条件，既要证明“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．3．证明p 的充要条件是q ，既要证明“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是必要性，后者证明的是充分性．跟踪探究 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (p ≠0且p ≠1)，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， 因为p ≠0且p ≠1， 所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q ，故q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．授课提示：对应学生用书第9页[课后小结]充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．用逻辑符号表示为：①若p ⇒q ，且qp ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件(此时q 也是p 的充要条件)；④若p /q ，且qp ，则p 是q的既不充分也不必要条件．(2)等价命题转化法如果p ⇒q ，则“若p ，则q ”形式的命题为真命题．因此：①如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分不必要的；②如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要不充分的；③如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件是充要的；④如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是既不充分也不必要的．(3)利用集合的关系判定若构成命题p ，q 的条件为集合，可以将其转化为集合的关系判断．①若A ⊆B ，就是x ∈A 则x ∈B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；②若B ⊆A ，就是x ∈B 则x ∈A ，则B 是A 的充分条件，A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，就是A ⊆B ，且A ⊇B ，则A 是B 的充分条件，同时A 是B 的必要条件，即A 是B 的充要条件；④若A ⃘B ，且A ⊉B ，则A 是B 的既不充分也不必要条件．[素养培优]1．因考虑不周到致误p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a·b >0”的________条件．易错分析 判断两个命题之间的条件关系要从两个方向判断，判断一个方向就下结论，忽视了对“a·b >0”成立时能否导出“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”的判断．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正 若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a·b |a |·|b |>0，即a·b >0，故p 是q的充分条件．a·b >0时，由cos θ＝a·b|a |·|b |>0可得θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2 当θ＝0时，a 与b 夹角θ不是锐角， 故p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要条件2．对问题的设问形式理解不清致误使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x ≥0 B ．x >2或x <0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≥3或x ≤－12易错分析 没有弄清题中的条件和结论分别是哪个，从而充分性和必要性判断颠倒，考查逻辑推理的学科素养．自我纠正 依题意，所选选项应是不等式2x 2－5x －3≥0成立的充分不必要条件．由于不等式2x 2－5x －3≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，正确的选项中变量x 的取值范围应该比⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥3或x ≤－12对应的范围要小一些，而{－1,3,5}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，故选C.答案：C。

1．2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件．( ) (2)若p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的充分条件．( ) (3)“x ＝1”是“x 2＝x ”的必要条件．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编P 10T 4(1))“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)． (2)若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的________条件． (3)“a >0，b >0”是“ab >0”的________条件．(4)“若p ，则q ”的逆命题为真，则p 是q 的________条件． 答案 (1)充分 (2)充分 (3)充分 (4)必要探究1 充分条件与必要条件的判断例1 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1；(4)p ：ab ≠0，q ：直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交． [解] (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要条件，且p 不是q 的充分条件． (2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(3)由于a <b ，当b <0时，ab >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .所以p 不是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(4)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立，然后得结论． (2)等价法：利用命题的等价形式：p ⇒q ⇔綈q ⇒綈p ，q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈p ⇔綈q 的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则p 1⇒p n .【跟踪训练1】 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根； (2)p ：sin α>sin β，q ：α>β；(3)p ：四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1) 当|a |≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有a ≤－2或a ≥6，可推出|a |≥2，故p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．(2)当α＝π2，β＝3π4时，sin α＝1，sin β＝22，此时sin α>sin β，而α<β，故充分性不成立；而当α＝3π4，β＝π2时，sin α＝22，sin β＝1，此时α>β，而sin α<sin β，故必要性也不成立．故p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．探究2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }，则∁R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54，∁R B ＝(－∞，－2m )，因为綈p 是綈q 的必要条件，所以∁R B ⊆∁R A ，所以－2m ≤－54，解得m ≥58，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[解法探究] 此题有没有其他解法？ 解 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为綈p 是綈q 的必要条件， 所以p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ， ∴－2m ≤－54，∴m ≥58，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解 由已知得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }． 因为綈p 是綈q 的充分条件， 所以p 是q 的必要条件，所以B ⊆A ， 所以－2m ≥－54，解得m ≤58，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，58.拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N . 于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为[－2,7]．探究3 充分条件与必要条件的实际应用例3 在下面电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？[解] 如题图(1)，闭合开关A 或闭合开关C ，都可使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A .因此，闭合开关A 是灯泡B 亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，开关A 必须闭合，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． (2)q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立．【跟踪训练3】 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p⇐ /q”等价于“綈p⇐綈q且綈p⇒/綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案 A解析x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac <bc ”是“a <b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 若a ＝b ，则ac ＝bc ；若ac ＝bc ，则a 不一定等于b ，故“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．4．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案 必要解析 a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac . 5．下列说法是否正确？请说明理由． (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件；(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的充分条件； (3)α＝π6是sin α＝12的必要条件；(4)x ＋y >2是x >1，y >1的必要条件． 解 (1)正确，因为x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0.(2)正确，因为△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′. (3)错误，因为sin α＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x >1，y >1⇒x ＋y >2.。

§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

充分条件与必要条件则“A∩B＝A”是＝答案 牛刀小试1、B 2、C 3、A 4、A 5、a ≤－16、 [解析] (1)∵命题“如果a ＝－b ，则|a|＝|b|”为真；而命题“如果|a|＝|b|，则a ＝－b ”为假，∴p 是q 的充分而不必要条件．(2)∵命题“关于x 的方程ax ＋b ＝0(a 、b ∈R)有唯一解，则a>0”为假；而命题“如果a>0，则关于x 的方程ax ＋b ＝0(a 、b ∈R)有唯一解”为真，∴p 是q 的必要而不充分条件．(3)∵命题“如果x2＋y2＝0，则x ＝y ＝0”为真；且命题“如果x ＝y ＝0，则x2＋y2＝0”也为真，∴p 是q 的充要条件．课外作业 一选择 1、A 2、A 3、B 4、Ｂ 5、Ａ 6、Ｂ填空 7、充要 8、充分不必要解答9、[证明] (1)充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由韦达定理知：x 1x 2＝1>0，∴x 1、x 2同号，又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1，x 2同为负根．(2)必要性：∵x 2＋mx ＋1＝0的两个实根x 1，x 2均为负，且x 1·x 2＝1， ∴m －2＝－(x 1＋x 2)－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－2＝－x 21＋2x 1＋1x 1＝－x 1＋12x 1≥0.∴m ≥2.综上(1)，(2)知命题得证．10、[解析] (1)在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，其外接圆的半径为R ，∵A >B ，∴a >b ，又a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，∴sin A >sin B .反之，sin A >sin B,2R sin A >2R sin B ，∴a >b ，∴A >B ，故p 是q 的充要条件．(2)p ：|x ＋1|>2⇔x >1或x <－3，q ：2<x <3，q 所对应的集合真包含于p 所对应的集合．故p 是q 的必要不充分条件．。

学习目标 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．知识点一充分条件与必要条件思考用恰当的语言表述以下语句的意义①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有同心协力，才能把事情办好．答案①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件．②同心协力是办好事情的必要条件．梳理(1)一般地，“假设p，则q〞为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)假设p⇒q，但q p，称p是q的充分而不必要条件，假设q⇒p，但p q，称p是q的必要而不充分条件．知识点二充要条件思考在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列〞是“B＝60°〞的什么条件？答案因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列〞是“B＝60°〞的充分必要条件．梳理(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“假设p，则q〞和其逆命题“假设q，则p〞均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．(1)从逻辑关系上看．①假设p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②假设q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件；③假设p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；④假设p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)从集合与集合之间的关系上看．如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．①假设A⊆B，则p是q的充分条件；②假设A⊇B，则p是q的必要条件；③假设A＝B，则p是q的充要条件；④假设A B，且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．(3)从传递性角度看．由于逻辑联结符号“⇒〞“⇐〞“⇔〞具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过假设干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．(4)从等价命题角度看．当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．类型一充分条件、必要条件和充要条件的判断例1以下各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．解(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1； x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，∴p 是q 的充要条件．(4)假设方程x 2－x －m ＝0无实根，则Δ＝1＋4m <0，即m <－14.∵m <－1⇒m <－14；m <－14m <－1， ∴p 是q 的充分不必要条件．(5)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，故p 是q 的充要条件．反思与感悟 对于两个命题：p 与q .(1)假设有“p ⇒q ，但q p 〞，则称p 是q 成立的充分不必要条件．(2)假设有“q ⇒p ，但p q 〞，则称p 是q 成立的必要不充分条件．(3)假设有“p ⇒q ，且q ⇒p 〞，则称p 是q 成立的充要条件．(4)假设有“p q ，且q p 〞，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 设a ，b 是实数，则“a >b 〞是“a 2>b 2〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即条件“a >b 〞不能推出结论“a 2>b 2〞；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即结论“a 2>b 2〞不能推出条件“a >b 〞．应选D.类型二 递推法判断命题间的关系例2 p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解方法一(1)∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q.即s是q的充要条件．(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件．方法二如下图．(1)由图可知q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p q，所以p是q的必要不充分条件．反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．跟踪训练2如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么() A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析如下图，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．类型三充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝ca<0，∴ac<0.充分性：由ac <0可推出Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正一负两实根．因此一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac <0.反思与感悟 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件〞⇒“结论〞，必要性是证明“结论〞⇒“条件〞．跟踪训练3 ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2＋b 2－ab ＝(a －b 2)2＋34b 2>0， ∴a ＋b －1＝0.∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.类型四 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例4 p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.假设p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解 设p 对应的集合为A ，q 对应的集合为B .解不等式x 2－8x －20>0，得A ＝{x |x >10或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意知p ⇒q ，q p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，(说明：“1＋a ≤10〞与“1－a ≥－2〞中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.反思与感悟 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练4 p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意知p ：|1－x －13|≤2⇒－2≤x －13－1≤2⇒ －1≤x －13≤3⇒－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇒[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0.(*)∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－x －13|≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)的解集的真子集． ∵m >0，∴不等式(*)的解集为{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且1－m ＝－2与1＋m ＝10不同时成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10⇒⎩⎨⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9. ∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).1．人们常说“无功不受禄〞，这句话说明“受禄〞是“有功〞的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 无功不受禄可写为命题：假设无功，则不受禄．逆否命题为：假设受禄，则有功．显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．“x 2－4x －5＝0〞是“x ＝5〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 根据方程得x 2－4x －5＝0，解得x ＝－1或x ＝5，故“x 2－4x －5＝0〞是“x ＝5〞的必要不充分条件，应选B.4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .假设“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，则有A B ，则有a ≤－3.5．试说明0<m <13是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件． 解 (1)假设方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，m ≠0，3m >0，∴0<m <13. 反之，假设0<m <13，则2 m>0，3m>0，－4<－12m<0,0<4－12m<4，即Δ>0，且2m>0，3 m>0.因此0<m<13是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q〞及“q⇒p〞的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“k2＝1〞是“k＝－1〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析k2＝1可得k＝±1，k＝－1一定有k2＝1.∴“k2＝1〞是“k＝－1〞的必要不充分条件．应选B.2．向量a，b为非零向量，则“a⊥b〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C解析|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇔a·b＝0.3．圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切． 4．设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1〞成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1答案 B解析 假设x ≤1且y ≤1时，可得x ＋y ≤2，反之不成立(用特殊值即可判定)；故x ≤1且y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得x ＋y >2是“当x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件．5．α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β〞是“m ⊥β〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定，以“α⊥β〞是“m ⊥β〞的必要不充分条件．6．设a ∈R ，则“a ＝－2〞是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 假设a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行，假设“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞，∴a 1＝2a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1，∴“a ＝－2〞是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的充分不必要条件．7．“0≤m ≤1〞是“函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点⇔方程sin x ＝1－m 有根⇔－1≤1－m ≤1⇔0≤m ≤2， 所以“0≤m ≤1〞是“函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点〞的充分不必要条件．二、填空题8．假设函数f (x )＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f (x )为奇函数的________条件．(选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞)答案 充分不必要解析 当k ＝2时，f (x )＝2x －(k 2－3)2－x ＝2x －2－x ，此时函数f (x )为奇函数；反之，当函数f (x )为奇函数时，有f (x )＋f (－x )＝2x －(k 2－3)2－x ＋2－x －(k 2－3)2x ＝(4－k 2)(2x －2－x )＝0，则有k 2＝4，即k ＝±2；故k ＝2是函数f (x )为奇函数的充分不必要条件．9．“sin α＝cos α〞是“cos 2α＝0〞的________条件．答案 充分不必要解析 由cos 2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos 2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α〞是“cos 2α＝0〞的充分不必要条件．应选A.10．给出以下三个命题：①“a >b 〞是“3a >3b 〞的充分不必要条件；②“α>β〞是“cos α<cos β〞的必要不充分条件；③“a ＝0〞是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数〞的充要条件．其中正确命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b 〞是“3a >3b 〞的充分必要条件，故①错误；②∵π2>0，则cos π2<cos 0；∵cos π2<cos 2 015π，则π2<2 015π， ∴“α>β〞是“cos α<cos β〞的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0〞是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数〞的充要条件．正确．三、解答题11．条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，假设p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．12．函数f (x )＝3－(x ＋2)(2－x )的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，假设p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)要使f (x )有意义，则3－(x ＋2)(2－x )≥0，化简整理得(x ＋1)(x －1)≥0，解得x ≤－1或x ≥1，∴A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)要使g (x )有意义，则(x －a －1)(2a －x )>0，即(x －a －1)(x －2a )<0，又∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}．∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，解得12≤a <1或a ≤－2. ∴a 的取值范围为(－∞，－2]∪[12，1)． 13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A＝cb ＝sin C sin B，即sin B＋2sin B cos A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B－cos A sin B＝sin(A－B)，由于A、B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.。

充分条件与必要条件第1课时【教学目标】1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用。

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下基础。

【教学重点】正确理解三个概念，并在分析中正确判断。

【教学难点】充分性与必要性的推导顺序。

【课时安排】1课时【教材分析】这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。

这一大节的重点是充要条件。

学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。

关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。

【教学过程】一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。

那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子。

那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件。

二、讲解新课：1．符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假。

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q。

简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）。

符号“⇒”叫做推断符号。

例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等。

说明：（1）“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”。