命题充要条件教学案探究

1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.理解数学定义与充要条件的关系.教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．教学过程：一、核心概念充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为(sufficient and necessary condition)．(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．新知拓展1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．二、评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要三、典例分析题型一全称量词命题与存在量词命题的判定例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；C B C A.(4)p：A∩B＝A，q：U U【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q 的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．题型探究已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q. 金版点睛：判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立．若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 跟踪训练1指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A∩B ＝B ；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a>0且b>0，q ：a ＋b>0且ab>0.【答案】(1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A∩B＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A∩B＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a>0且b>0⇒a ＋b>0且ab>0，并且由a ＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p 是q 的充要条件．题型二 充要条件的证明 例2已知0ab，求证：1a b 是33220ab ab a b 的充要条件．【证明】 ①充分性：∵1a b ，∴1b a ， ∴33223322(1)(1)(1)ab ab a b a a a a a a323222133120a a a a a a a a a ，即33220a b ab a b .②必要性：∵33220a b ab a b ，∴2222()()()0a b a ab b a ab b ，∴22()(1)0aab b a b . ∵0ab ，∴0a且0b，∴220aab b .∴10a b ，∴1a b .综上可知，当0ab 时，1a b 是33220ab ab a b 的充要条件．题型探究已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【证明】因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1，即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．金版点睛：充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.跟踪训练2求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【证明】①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0，∴ac <0.②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三 探求充要条件例3求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【答案】①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛：探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 跟踪训练3已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【答案】方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0四、随堂练习1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案：D解析：由A ∪B ＝B ，得A ⊆B 或A ＝B ；反之，由A ⊆B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析： x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案：a <0解析：由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.证明：证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。

一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握充要条件的概念，理解充要条件的性质和判断方法。

2. 能力目标：培养学生运用充要条件进行逻辑推理的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：充要条件的概念、性质和判断方法。

2. 教学难点：充要条件的判断和应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）回顾上节课所学内容，引导学生思考如何判断两个命题之间的关系。

（2）引出本节课主题：充要条件。

2. 新课讲解（1）介绍充要条件的概念：若命题A是命题B的充要条件，则A和B同时成立或同时不成立。

（2）讲解充要条件的性质：①自反性：A是A的充要条件。

②对称性：若A是B的充要条件，则B也是A的充要条件。

③传递性：若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的充要条件。

（3）讲解充要条件的判断方法：①直接法：根据定义判断两个命题是否为充要条件。

②间接法：通过否定、逆否、等价等手段判断两个命题是否为充要条件。

3. 课堂练习（1）完成教材中的例题，巩固所学知识。

（2）学生之间互相出题，进行小组讨论，提高解题能力。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结充要条件的概念、性质和判断方法。

（2）强调充要条件在数学证明中的应用。

5. 作业布置（1）完成教材中的课后习题。

（2）课后思考：充要条件在实际生活中的应用。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。

3. 课后反馈：通过课后作业和课堂提问，了解学生对充要条件的理解和应用能力。

五、教学反思本节课通过讲解充要条件的概念、性质和判断方法，使学生掌握了充要条件的基本知识。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生对充要条件的理解，避免死记硬背。

2. 通过实例讲解，使学生了解充要条件在实际生活中的应用。

3. 加强课堂练习，提高学生的解题能力。

一、教学设计1. 教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握充要条件的概念，了解充要条件的表示方法，能够判断一个命题是否为充要条件。

（2）过程与方法：通过实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。

（3）情感态度与价值观：培养学生严谨的逻辑思维能力，激发学生对数学的兴趣。

2. 教学重点与难点：（1）教学重点：充要条件的概念、表示方法和判断方法。

（2）教学难点：如何正确判断一个命题是否为充要条件。

3. 教学过程：（1）引入：通过讲述一个实际问题，引出充要条件的概念。

（2）讲解：讲解充要条件的定义、表示方法和判断方法。

（3）实例分析：通过实例分析，让学生掌握充要条件的运用方法。

（4）讨论与归纳：组织学生进行讨论，归纳总结充要条件的性质和特点。

（5）练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

（6）反思与总结：对本节课的教学进行反思和总结，提出改进意见。

二、教学反思1. 教学内容方面：本节课的教学内容基本达到了预期目标，学生掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。

但在讲解过程中，对于一些抽象的概念和表示方法，没有做到深入浅出，导致部分学生理解困难。

今后需要改进教学方法，尽量用简单明了的语言和实例来解释抽象概念。

2. 教学方法方面：本节课采用了实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。

但在实际教学过程中，发现部分学生对于讨论环节的参与度不高，可能是因为害怕回答问题或者缺乏自信。

今后需要加强课堂氛围的营造，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣和自信心。

3. 学生学习效果方面：通过课堂练习和课后作业的检查，发现大部分学生已经掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。

但仍有部分学生在判断充要条件时存在错误，可能是因为对于充要条件的理解不够深刻。

今后需要加强对这部分学生的个别辅导，帮助他们克服学习困难。

充要条件教学目标：1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够熟练判断给定的两个命题之间的关系；2．培养观察分析、抽逻辑思维能力；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点：充分条件、必要条件、充要条件的意义。

教学过程：一、复习引入1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若x>0则x2>0； (2)若两个三角形全等，则两三角形的面积相等； (3) 若|x|=|y|则 x=y。

二、新课1．推断符号前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p(q，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作p(q，简单地说，“若p则q”为真，记作p=＞q（或q＜＝p）；“若p则q”为假，记作p≠＞q（或q＜≠p）.符号“＝＞”叫做推断符号.例如(1)是一个真命题，可写成：x>0＝＞ x2>0；又如(2)是一个真命题，可写成：两三角形全等＝＞两三角形面积相等.又如(3)是一个假命题，可写成 |x|=|y|≠＞x=y。

注：①“p＝＞q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”. ②“p＝＞q”也可写为“q＜＝p”，有时也用“p→q”.练习：课本第35页练习：12．充分条件、必要条件的意义已知p＝＞q，q＜＝p那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如上例：“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件注:p＝＞q如果具备了条件p就可以保证q成立. q的充分条件是p,p的必要条件是qp＜≠q(即q不成立,则p不成立. )例1 （课本第34页）指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1) p：x=y；q：x2=y2. (2) p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：(1)由p＝＞q，即x=y＝＞x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)由p＝＞q，即三角形的三条边相等＝＞三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q 是p的必要条件；又由q＝＞p，即三角形的三个角相等＝＞三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2答案：(1)∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)∵q＝＞p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.例２：写出｜x|<2的一个充分不必要条件写出x>-1的一个必要不充分条件注：以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.3．充要条件例1(2)中，“三角形的三条边相等”既是“三角形的三个角相等”的的充分条件，又是“三角形的三个角相等”的必要条件；我们称“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”充分必要条件，简称充要条件一般的既有p＝＞ q又有q＜＝ p，就记作p＜＝＞qp既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件再如：“x=0，y=0”＝＞“x2+y2=0”；“x=0，y=0”＜＝“x2+y2=0”∴“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件4．四种条件充分不必要条件：p＝＞q但q≠＞p，p是q的充分不必要条件必要不充分条件：p＝＞q但q≠＞p，p是q的必要不充分条件充要条件：p＝＞q且q≠＞p，p是q的充要条件既不充分也不必要条件：p≠＞q且q≠＞p，p是q的既不充分也不必要条件如：x>0＝＞ x2>0，x2>0 ≠＞ x>0∴x>0是x2>0的充分不必要条件；x>0是x2>0的必要不充分条件两个三角形面积相等≠＞两个三角形全等两个三角形全等＝＞两个三角形面积相等∴两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件例2填空①“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的必要不充分条件②“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的充分不必要条件③“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的充要条件④“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要条件三、小结本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.四、布置作业习题1.8一、复习引入1．充分条件、必要条件、充要条件2．指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1) p：x>2，q：x>1；(2) p：x>0 ,y>0，q：x+y>0；(3) p： q：p(4) p：内错角相等 q：两直线平行二、新课例1(课本第35页例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？(1)p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0. (2)p：同位角相等；q：两直线平行(3)p：x=3；q：x2=9. (4)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.解：(1)∵(x-2)(x-3)=0(x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，∴p是q的必要而不充分的条件；(2)∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件；(3)∵x=3x2=9， x=3(x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件；(4)∵四边形的对角线相等(四边形是平行四边形，四边形的对角线相等(四边形是平行四边形，∴p是q的既不充分也不必要的条件.1．从命题的真假看充要条件以p与q分别记作命题的条件与结论，则原命题与逆命题的真假同p与q的关系之间有什么关系？如果原命题真，逆命题假，那么p是q的充分而不必要条件；如果原命题假逆命题真，那么p是q的必要而不充分条件；如果原命题与逆命题都真，那么p是q的充要条件；如果原命题与逆命题都假，那么p是q的既不充分又不必要条件。

命题及其关系——充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解命题的概念，掌握简单命题和复合命题的关系。

2. 理解充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。

3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

教学内容：第一章：命题及其关系1.1 命题的概念1.2 简单命题和复合命题第二章：充分条件与必要条件2.1 充分条件的定义2.2 必要条件的定义2.3 充分条件和必要条件的关系第三章：判断充分条件和必要条件3.1 如何判断一个条件是充分条件3.2 如何判断一个条件是必要条件3.3 实例分析第四章：充分条件和必要条件在实际问题中的应用4.1 应用举例4.2 练习题5.1 本章小结5.2 知识拓展教学过程：第一章：命题及其关系1.1 命题的概念教师提问：什么是命题？学生回答后，教师给出命题的定义，即可以判断真假的陈述句。

1.2 简单命题和复合命题教师通过举例讲解简单命题和复合命题的概念，让学生理解并区分两者。

第二章：充分条件与必要条件2.1 充分条件的定义教师提问：什么是充分条件？学生回答后，教师给出充分条件的定义，即能够导致某个结果的条件。

2.2 必要条件的定义教师提问：什么是必要条件？学生回答后，教师给出必要条件的定义，即某个结果必须满足的条件。

2.3 充分条件和必要条件的关系教师讲解充分条件和必要条件的关系，让学生理解两者之间的区别和联系。

第三章：判断充分条件和必要条件3.1 如何判断一个条件是充分条件教师讲解如何判断一个条件是充分条件，让学生掌握判断方法。

3.2 如何判断一个条件是必要条件教师讲解如何判断一个条件是必要条件，让学生掌握判断方法。

3.3 实例分析教师通过实例分析，让学生理解充分条件和必要条件的应用。

第四章：充分条件和必要条件在实际问题中的应用4.1 应用举例教师通过实际问题举例，让学生学会运用充分条件和必要条件解决问题。

4.2 练习题教师布置练习题，让学生巩固所学知识。

命题及其关系——充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解命题的概念，能够正确判断一个命题是真是假。

2. 掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。

3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

教学重点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的判断教学难点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的应用教学准备：1. PPT课件2. 教学案例教学过程：第一章：命题的概念1.1 命题的定义教师讲解命题的概念，引导学生理解命题是由题设和结论两部分组成的陈述句。

1.2 命题的真假判断学生通过举例判断命题的真假，教师讲解判断方法。

第二章：充分条件与必要条件的定义2.1 充分条件的定义教师讲解充分条件的概念，引导学生理解充分条件是指能够保证结论成立的条件。

2.2 必要条件的定义教师讲解必要条件的概念，引导学生理解必要条件是指结论成立的必要条件。

第三章：判断充分条件和必要条件3.1 判断充分条件学生通过举例判断充分条件，教师讲解判断方法。

3.2 判断必要条件学生通过举例判断必要条件，教师讲解判断方法。

第四章：充分条件和必要条件的运用4.1 运用充分条件解决问题学生通过案例运用充分条件解决问题，教师讲解解题方法。

4.2 运用必要条件解决问题学生通过案例运用必要条件解决问题，教师讲解解题方法。

第五章：总结与拓展5.1 总结学生总结本节课所学内容，教师进行点评。

5.2 拓展学生思考如何运用充分条件和必要条件解决更复杂的问题，教师进行引导。

教学评价：1. 课后作业：布置有关命题、充分条件和必要条件的练习题，检查学生掌握情况。

2. 课堂问答：提问学生关于命题、充分条件和必要条件的问题，检查学生理解程度。

3. 案例分析：让学生运用充分条件和必要条件解决实际问题，评估学生应用能力。

第六章：实例分析与判断6.1 实例分析教师提供实例，学生分析实例中的充分条件和必要条件，并判断其真假。

6.2 小组讨论学生分组讨论实例，交流判断方法和思路，教师巡回指导。

《充要条件》教学设计一、课标要求：理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件。

二、知识与方法回顾：1、充分条件、必要条件与充要条件的概念：2、从逻辑推理关系上看充分不必要条件、必要不充分条件与充要条件：3、从集合与集合之间关系上看充分条件、必要条件与充要条件：4、特殊值法：判断充分条件与必要条件时，往往用特殊值法来否定结论5、化归思想：表示p等价于q，等价命题可以进行相互转化，当我们要证明p成立时，就可以转化为证明q成立;这里要注意原命题逆否命题、逆命题否命题只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用化归思想。

6、数形结合思想：利用韦恩图(即集合的包含关系)来判断充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件。

三、基础训练：1、设命题若p则q为假，而若q则p为真，则p是q的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件2、设集合M，N为是全集U的两个子集，则是的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件3、若是实数，则是的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件四、例题讲解例1 已知实系数一元二次方程，下列结论中正确的是 ( )(1) 是这个方程有实根的充分不必要条件(2) 是这个方程有实根的必要不充分条件(3) 是这个方程有实根的充要条件(4) 是这个方程有实根的充分不必要条件A。

(1)(3) B。

(3)(4) C。

(1)(3)(4) D。

(2)(3)(4)例2 (1)已知h 0，a，bR，设命题甲：，命题乙：且，问甲是乙的 ( )(2)已知p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件变式：a = 0是直线与平行的条件;例3 如果命题p、q都是命题r的必要条件，命题s是命题r的充分条件，命题q是命题s的充分条件，那么命题p是命题q的条件;命题s是命题q的条件;命题r是命题q的条件。

《充要条件》教学设计◆教学目标1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书的边框内容，完成下列问题：（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？（2）请分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书，你能说说什么是充要条件吗？师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”⇐“直线l与⊙O有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d =r ，则点P 在⊙O 上，在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ ．在Rt △OPQ 中，OQ ＞OP=r ．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ． 所以直线l 与⊙O 相切．（2）必要性（⇐）：若直线l 与⊙O 相切，不防设切点为P ，则OP ⊥l ．因此d=OP =r ．由（1）（2）得，d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p ，则q ”命题，判断p 是q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”的真假，从而得出p 是q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．作业布置：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．（五）目标检测设计1．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：考查充要条件的判断方法．2．已知集合A ，B ，则“A ∩B =B ”的一个充分不必要条件是（ ）A ．A =∅B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A =B设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．3．求证：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根的充要条件是310<<m ． 设计意图：考查充要条件的证明．参考答案：1．D 2．D3．证明：设p ：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根；q ：310<<m ． （1）必要性（q p ⇒）：若方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根，设其两根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=,03,012421m x x m ∆解得310<<m ．（2）充分性（p q ⇒）：若310<<m ，则0124>-=m ∆，所以一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实根． 又因为310<<m ，所以,0321>=m x x 则方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根．。