平面图形密铺的特点：

平面图形密铺的特点(1)用一种或几种全等图形进行拼接。

(2)拼接处不留空隙、不重叠。

(3)连续铺成一片。

能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合.问题1：用形状大小完全相同的正三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？用大小完全相同的正三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角，他们的和为360度所以，用6个这样的三角形就可以组合起来密铺成一个平面。

问题2：用同一种正方形可以密铺吗？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？拿出自制的正方形演示拼接，观察分析，小组交流探讨出结论。

也可以密铺，每个拼接点处有四个角，他们的和也是360度。

问题3：正五、六边形能否密铺？正七、八边形呢？请简述你的理由。

通过上面的长方形、正方形的学习的方法学生很快就会知道：正六边形能密铺。

因为正六边形的每个内角都120度,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。

而正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍。

在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和又大于360°。

在每个拼接处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象. 通过实际的拼摆、探究看一看得出:要用正多边形密铺成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。

只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺，其他正多边形不可以密铺吗？探究二：用一种任意多边形密铺问题1：用任意几个全等的三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们与这种三角形有什么关系？(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) 结论：任意全等的一种三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角（其中有三组分别相等）这六个角的和是360 。

图形密铺的实际应用图形密铺是指将多个图形无缝地拼接在一起，填满整个平面的一种技术或方法。

它不仅能够创造出美观的图案和设计，还有广泛的实际应用价值。

本文将介绍图形密铺在装饰设计、数学领域以及计算机图形学中的实际应用，并讨论其优势和局限性。

一、装饰设计中的应用图形密铺在装饰设计中有着广泛的应用。

通过将多个相同或不同的图形无缝地拼接在一起，可以创建出各种独特、美观的图案。

无论是地砖、壁纸、地毯还是衣物等，图形密铺都能为室内外空间增添艺术氛围和视觉吸引力。

以拼贴画为例，通过合理的图形密铺，可以将各种大小不同的图片拼接在一起，形成富有表现力和独特风格的艺术作品。

二、数学领域中的应用在数学领域中，图形密铺有着重要的应用。

图形密铺是一个有趣而复杂的数学问题，吸引了很多数学家和研究者的关注。

通过研究图形密铺问题，可以深入理解几何学原理，拓展几何学的应用范围。

图形密铺还与对称性、周期性等数学概念密切相关，因此在数学教学中也被广泛应用，帮助学生提升几何学的理解和解题能力。

三、计算机图形学中的应用图形密铺在计算机图形学中有着广泛的应用，对于生成真实感图像、制作游戏场景等具有重要意义。

通过图形密铺算法，可以自动生成各种复杂的纹理，用于渲染三维模型的表面。

这种算法不仅可以提高渲染效率，还可以大大提升图像的逼真程度和视觉效果。

此外，图形密铺还在计算机游戏开发中发挥着重要作用，通过将多个小的纹理图案无缝拼接在一起，可以创建出生动、丰富的游戏场景。

图形密铺的实际应用具有广泛的领域和丰富的内涵，它不仅仅是一种装饰手法，更是一种创造性的表现方式和解决问题的工具。

然而，图形密铺也存在一些挑战和局限性。

首先，图形密铺的设计和计算需要耗费大量的时间和精力，对于一些复杂的图案来说，可能需要借助计算机辅助设计工具。

其次，图形密铺的效果受到图形形状、大小、对称性等因素的限制，不适用于所有的图案和装饰需求。

综上所述，图形密铺在装饰设计、数学领域以及计算机图形学中都有着重要的实际应用。

4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。

初一知识点：平面图形的密铺知识点读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。

接下来小编为大家精心准备了平面图形的密铺知识点，希望大家喜欢!1.用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.2.用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.3.从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺?下面大家来想一想，议一议：(1)正六边形能否密铺?简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

数学中密铺的定义
密铺（Tiling），在数学领域中，尤其是在几何学和组合学里，指的是用一种或多种形状的图形填满平面上一个给定区域的过程，不留任何空隙，也不重叠。

这些图形通常是多边形，如正方形、三角形或其他多边形，它们能够按照一定的规则排列，使得它们的边缘精确对齐，完全覆盖目标区域。

密铺有一些重要的特征：
1. 无空隙：图形之间紧密排列，不存在未被覆盖的空白区域。

2. 不重叠：用于密铺的图形不会相互重叠，每个图形都占据自己独立的空间。

3. 周期性：在密铺中，图形的排列通常具有某种程度的规律性和周期性，可以沿一个或多个方向平移而重现相同的图案。

4. 边界匹配：图形边缘之间的匹配必须精确无误，这样才能保证整个平面的连续性。

密铺可以分为几种类型：
正规铺砌（Regular tiling）：使用同一种多边形进行铺砌，并且每个顶点周围的图形环境和排列顺序都相同。

半正铺砌（Semiregular tiling）：由两种或两种以上不同的多边形构成，这些多边形按照一定的方式组合在一起，并且在顶点处呈现对称性。

阿基米德铺砌（Archimedean tiling）：由两种或两种以上的多
边形组成，这些多边形在顶点处相遇的次数是相同的，但它们的形状不一定相同。

彭罗斯铺砌（Penrose tiling）：非周期的密铺方式，由两种或两种以上的菱形组成，无法通过平移来复制整个图案。

密铺不仅是数学研究的对象，它在艺术、建筑、计算机科学等领域也有广泛的应用。

在数学中，研究密铺可以帮助我们理解平面和空间的填充问题，以及如何利用几何形状创造美观且实用的设计。

奇妙的图形密铺教案及反思一、教学目标：知识与技能：1. 让学生了解和掌握平面几何图形密铺的特点和规律。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

过程与方法：1. 通过观察、操作、探究等活动，让学生体验图形密铺的过程。

2. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。

情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的创新意识。

2. 培养学生热爱生活，发现生活中数学美的情感。

二、教学内容：1. 平面几何图形的密铺特点2. 图形密铺的规律3. 实际生活中的图形密铺现象三、教学重点与难点：重点：1. 平面几何图形密铺的特点和规律。

2. 运用几何知识解决实际问题的方法。

难点：1. 图形密铺规律的探究和运用。

四、教学方法：观察法、操作法、讨论法、讲授法五、教学准备：1. 教学PPT2. 几何图形模板3. 练习题4. 实物举例教案一、导入新课（5分钟）1. 利用PPT展示各种生活中的图形密铺现象，引导学生关注数学与生活的联系。

2. 提问：同学们，你们在生活中在哪里见过这样的图形密铺呢？二、自主探究（10分钟）1. 学生分组讨论，观察、分析、归纳平面几何图形密铺的特点和规律。

2. 每组派代表分享讨论成果，教师点评并总结。

三、课堂讲解（15分钟）1. 教师根据学生的讨论结果，讲解平面几何图形密铺的特点和规律。

2. 通过实例演示，让学生理解图形密铺的原理和应用。

四、练习巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡回指导，解答学生疑问。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

六、课后作业（课后自主完成）1. 运用所学知识，找出生活中的图形密铺现象，拍摄照片或绘制图案，下节课分享。

2. 结合实际情况，运用图形密铺规律，解决一个问题。

教学反思：本节课通过观察、操作、讨论等方式，让学生掌握了平面几何图形密铺的特点和规律，并能运用所学知识解决实际问题。

北师大版初中数学《平面图形的密铺》说课稿一、教材分析《平面图形的密铺》是四边形一章的结尾，位居多边形内角和与外角和之后，是多边形知识的生活应用。

内容的编写旨在通过生活中密铺的现象去发现它所蕴含的数学问题，理解并运用密铺的原理设计图案，培养学生的动手能力和数学应用意识。

二、学情分析知识储备：学生已学过图形的平移和对称，多边形的内角和、外角和公式、正多边形等，在日常生活中见到用瓷砖密铺的实例，具有了一定的生活经历。

心理特点：八年级学生好奇心和探索欲望特别强，但推理能力较弱，抽象思维能力较差，认识事物感性经验占主导。

校情学情：我校地处城乡结合部，学生基础薄弱，但我班学生活泼好动，思维活跃，学习数学的兴趣比较高。

经过一年多的训练，他们的动手能力，合作学习能力有了较大提高，为本节课使用小组合作学习打下了一定基础。

三、目标设计基于以上分析，制定如下教学目标知识与技能目标：知道密铺的概念和原理。

知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺。

过程与方法目标：经历探索多边形密铺条件的过程，发展学生的动手能力和合情推理能力。

.情感态度价值观目标: 在探索活动中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，体会数学的应用价值.重点：认识三角形，四边形和正六边形是密铺图形，理解密铺的原理。

四、教法学法教法上我采用以学案导学的DJP教学模式，为了引导和帮助学生更有效地自主学习，在课堂学习过程中，尽量放手让学生讨论、展示、讲解。

动手实践---合作探究----总结归纳是本节课的主要学习方法。

五教学设计本节课的设计思路是：图片欣赏，感知密铺含义——动手实践，归纳密铺原理——分类讨论，寻找密铺方案——设计图案，解决密铺问题。

（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

请预览后才下载，期待你的好评与关注！）。

第七节平面图形的密铺要点精讲一、平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌．二、判断平面是否可以密铺用形状、大小完全相同的一种平面图形能够进行密铺的有：任意三角形、任意四边形、正六边形．正五边形不能密铺．平面图形能否密铺，关键看每个拼接点处的各多边形的这几个内角的和能否组合成360°．相关链接所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。

可以进行密铺的图形叫做密铺图形。

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

典型解析1．如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是【】A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形【答案】D【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断：A．正三角形的一个内角度数为180°－360°÷3＝60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B．正四边形的一个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C．正六边形的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D．正八边形的一个内角度数为180°－360°÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选D．中考案例1．（2011年十堰）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形【答案】A【解析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．针对训练1．幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤ B．①②④ C．①④ D．①③④⑤2．用以下图形为基本单位，不能进行密铺（铺满地面）的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．正六边形3．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．4．下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形5．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A、4种B、3种C、2种D、1种6．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有（写出所有正确答案的序号）．7．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是8．6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等.（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？参考答案1．【答案】B【解析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．①任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；②任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．故选B．2．【答案】C【解析】根据密铺的条件可知，等边三角形，矩形，正六边形的每个内角都能整除360°，所以能密铺；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺．A．等边三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B．矩形的每个内角是90°，4个能密铺；C．正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D．正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选C．3．【答案】B【解析】A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．4．【答案】D【解析】A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；D、∵正七形的内角是，，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．5．【答案】B【解析】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面； ②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面； ④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面． 6．【答案】②③【解析】根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确； ③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确； ④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误． 7．【答案】2y-x=180或y=x+90． 【解析】根据菱形的性质得出∠ADC=180-x ，∠CDB=y，进而根据∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，得出y ，x 之间的关系．解答：解：根据平面镶嵌的性质得出： ∠ADC=180-x ，∠CDB=y， ∴∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，180-x+y+y=360， 2y-x=180或y=x+90 8．【答案】（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，（2）根据题意得：由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC .1212()31==62P 单独一种能镶嵌. 【解析】（1）根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；（2）利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根据概率的概念计算即可．()843015P ==两种能镶嵌。