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平面直角坐标系综合讲解

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A
O
B
x
2． （ 2013• 东 营 ， 6 ， 3 分 ） 若 定 义 ： f (a, b) (a, b) ，
g (m, n) (m, n) ， 例 如
） D． (2, 3)
f (1, 2) ( 1, 2) ， g (4, 5) (4,5) ，则 g ( f (2, 3)) =（
平面直角坐标系 本章知识梳理
一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，记作（a ，b） ； 注意：a、b 的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ； 2、构成坐标系的各种名称； 3、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于 x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同； 平行于 y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于 x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标： 坐标轴上 点 P（x，y） X 轴 (x,0) Y 轴 (0,y) 原 点 (0,0) 点 A、点 B 连线平行(垂 直)于坐标轴的点 平行 X 轴 平行 Y 轴 （垂直 Y 轴） （垂直 X 轴） A、 （ ，y） A、 （x, ） B、 （ ，y） B、 （x, ） 点 P（x，y）在各象限 的坐标特点 第一 象限 x＞0 y＞0 第二 象限 x＜0 y＞0 第三 象限 x＜0 y＜0 第四 象限 x＞0 y＜0 象限角平分线上 的点 第一、 三象限 (m,m) 第二、 四象限 (m,-m)
对应训练 1． （2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1） ，B（﹣1，1） ，C（﹣ 1，﹣2） ，D（1，﹣2） ．把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线（线 的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按 A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律 紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A． （1，﹣1） B． （﹣1，1） C． （﹣1，﹣2） D． （1，﹣2） 2． （2013 广西钦州，12，3 分）定义：直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于平面内 任意一点 M，点 M 到直线 l1、l2 的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距 离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A．2 B．3 C ．4 D．5 3． （2013 贵州安顺，3，3 分）将点 A（﹣2，﹣3）向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 所处的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4． （2013·泰安，11，3 分）在如图所示的单位正方形网格 中，△ ABC 经过平移后得到△ A1B1C1，已知在 AC 上一 点 P（2.4，2）平移后的对应点为 P1，点 P1 绕点 O 逆时 针旋转 180° ， 得到对应点 P2， 则 P2 点的坐标为 （ A． （1.4，－1）B． （1.5，2） ）
点 p ( x , y )到 x 轴的距离为_______，到 y 轴的距离为_______。 六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： • 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； • 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； • 在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 七、用坐标表示平移：见下图 P （x， 11 湖南永州，19，6 分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格 点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（ 4 ，5） ， （ 1 ， 3） ．⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；⑵请作出△ABC 关于 y 轴对称的
A． (2, 3) B． (2,3) C． (2,3)
3． （2013·济宁，8，3 分）如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3， 0） ，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当△ ABC 的周长最小 时，点 C 的坐标是（ A． （0，0） ） C． （0，2） D． （0，3）
2 2
③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b） ，P•在第一象限 a>0 且 b>0， P 在第二象限 a<0， b>0， P 在第三象限 a<0， b<0， P 在第四象限 a>0， b<0； ④点 P（a，b） ：若点 P 在 x 轴上 a 为任意实数，b=0； P 在 y 轴上 a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上 a=0； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上 a=－b； ⑤A（x1，y1） ，B（x1，y2） ：A，B 关于 x 轴对称 x1=x2，y1=－y2； A、B 关于的 y 轴对称 x1=－x2，y1=y2； A，B 关于原点对称 x1=－x2，y1=－y2；AB∥x 轴 y1=y2 且 x1≠x2； AB∥y 轴 x1=x2 且 y1≠y2（A，B 表示两个不同的点） ．
C． （1.6，1） D． （2.4，1）
综合例题
1. （2013 福建福州， 19， 12 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 的坐标为 （－2， 0） ， 等边三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△ OBD． （1）△ AOC 沿 x 轴向右平移得到△ OBD，则平移的距离是__________个单位长度； △ AOC 与△ BOD 关于直线对称，则对称轴是__________； △ AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△ DOB，则旋转角度可以是__________度； （2）连结 AD，交 OC 于点 E，求∠AEO 的度数。 C y D
A10
5.（2011 贵州贵阳，24，10 分） 【阅读】
O
A3
A4
A7
A8
A11
1
A1
2
x
在平面直角坐标系中， 以任意两点 P （x1， y1） 、 Q （x2， y2） 为端点的线段中点坐标为 （
x1 +x2
2
，
y1 +y2
2
） ．
【运用】 （1）如图，矩形 ONEF 的对角线交于点 M，ON、OF 分别在 x 轴和 y 轴上，O 为坐标原点，点 E 的坐标为（4，3） ，则点 M 的坐标为______； （2）在直角坐标系中，有 A（-1，2） ，B（3， 1） ，C（1，4）三点，另有一点 D 与点 A、B、C 构成平行 四边形的顶点，求点 D 的坐标．
B． （0，1）
4.（2011 安徽，18，8 分）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向 上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位．其行走路线如下图 所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ） ，A8（ ， ） ，A12（ ， ） ； （2） 写出点 A4n 的坐标（n 是正整数） ； （3）指出蚂蚁从点 A100 到点 A101 的移动方向． y 1 A1 A2 A5 A6 A9
7、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，- 1） 、 （-1，2） 、 （3，-1） ，则 第四个顶点的坐标为 （ ） A． （2，2） B． （3，2） C． （3，3） D． （2，3） 8、若点 P（ a ， b ）到 x 轴的距离是 2 ，到 y 轴的距离是 3 ，则这样的点 P 有 （ ）
向上平移 a 个单位
P （x－a， y）
向左平移 a 个单位
长度
长度
P（x，y）
向右平移 a 个单位 长度
P （x＋a， y）
向下平移 a 个单位 长度
P （x， y－a）
◆知识讲解 ①坐标平面内的点与有序实数对一一对应； ②点 P （a， b） 到 x 轴的距离为│b│， •到 y 轴距离为│a│， 到原点距离为 a b ；
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
9、 已知点 P( 2 x 10 , 3 x )在第三象限， 则 x 的取值范围是 （ ） A . 3 x 5 B.3≤ x ≤5 C. x 5 或 x 3 D. x ≥5 或 x ≤3 10、 过点 A （2， -3） 且垂直于 y 轴的直线交 y 轴于点 B， 则点 B 坐标为 （ ） A． （0，2） B． （2，0）C． （0，-3）D． （-3，0） 11、线段 CD 是由线段 AB 平移得到的,点 A（–1，4）的对应点为 C（4，7） ， 则点 B（-4，–1）的对应点 D 的坐标为 （ ） A． （2，9） B． （5，3） C． （1，2） D． （– 9，– 4） 12、 到 x 轴的距离等于 2 的点组成的图形是 （ ） A. 过点（0，2）且与 x 轴平行的直线 B. 过点（2，0）且与 y 轴平行的直线 C. 过点（0，-2）且与 x 轴平行的直线 D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与 x 轴平行的两条直线 三、填空题 1、已知：点 P 的坐标是（ m ， 1 ） ，且点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（ 3 ， 2n ） ，则 m ____, n _____ ． 2、点 A 在第二象限 ，它到 x 轴 、 y 轴的距离分别是 3、5，则坐标是 ． 已知点 M(2m+1,3m-5)到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的 2 倍,则 m= 3、直线 a 平行于 x 轴，且过点（-2，3）和（5，y） ，则 y= 4、若│3-a│+（a-b+2） =0，则点 M（a，b）关于 y 轴的对称点的坐标为_______． 5、 已知点 P 的坐标 （2-a， 3a+6） ， 且点 P 到两坐标轴的距离相等， 则点 P 的坐标是__________。 6、如果点 M

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平面直角坐标系知识点、题型总结

平面直角坐标系知识点、题型总结

平面直角坐标系知识点、题型总结平面直角坐标系知识点、题型总结一、本章的主要知识点1、坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；2、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0 坐标轴上的点不属于任何象限（一）有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

1、记作（a ，b ）；2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。

（二）平面直角坐标系1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

?七、用坐标表示平移：见下图坐标轴上点P （x ，y ）连线平行于坐标轴的点点P （x ，y ）在各象限的坐标特点象限角平分线上的点 X 轴 Y 轴原点平行X 轴平行Y 轴第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第二、四象限 (x,0)(0,y ) (0,0) 纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0(m,m) (m,-m ) P （x ，y ）P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ）P （x ，y ＋a ）向上平移a 个单位向下平移a 个单位向右平移a 个单位向左平移a 个单位二、经典例题知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是（）A 一个点B 一个图形C 一个数D 一个有序数对学生自测1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据．2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x<0, 在x 轴的正半轴上时，x>0点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴上时，y>0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x 直线上)；坐标点（x ，y ）xy>0 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x 直线上)；坐标点（x ，y ）xy<0例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ，则点P 的坐标是，若点Q 在y 轴上对应的实数是31，则点Q 的坐标是，例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是。

第一讲 平面直角坐标系 讲义

第一讲 平面直角坐标系 讲义

平面直角坐标系一、知识点复习1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作),(b a 。

注意a 与b 的先后顺序对位置的影响。

2.平面直角坐标系（1）定义：在同一平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

这个平面叫做坐标平面。

（2）平面直角坐标系中点的坐标：通常若平面直角坐标系中有一点A ，过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上的坐标为a ，过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上的坐标为b ，有序实数对),(b a 叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫做纵坐标。

3.各象限内的点与坐标轴上的点的坐标特征：4. 特殊位置点的特殊坐标5.对称点的坐标特征：6.点到坐标轴的距离：点)P到X轴距离为y，到y轴的距离为x。

x,(y7.点的平移坐标变化规律：简单记为“左减右加，上加下减”二、典型例题讲解考点1：点的坐标与象限的关系1．在平面直角坐标系中，点P（-2，3）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四2.若点)2P在第四象限，则a的取值范围是（）aa,(-A.0a D.0a><-a B.22<<a C.2<0<考点2：点在坐标轴上的特点1.点)1P在x轴上，则P点坐标为（）m+m,3(+A．)2,0(-,0(- B.)0,2( C.)0,4( D.)42.已知点)1mmP在y轴上，则P点的坐标是。

(-2,考点3：对称点的坐标1.平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（）A.)2,3(- D.（2,3）(- B.)2,3(- C.)3,22.已知点A的坐标为（-2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）考点4：点的平移1.已知点A（-2，4），将点A往上平移2个单位长度，再往左平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（-5，6） B．（1，2） C．（1，6） D．（-5，2）2．已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C．A．向左平移4个单位，再向上平移6个单位B．向左平移4个单位，再向下平移6个单位C．向右平移4个单位，再向上平移6个单位D．向下平移6个单位，再向右平移4个单位考点5：点到坐标轴的距离1.点M（-3，-2）到y轴的距离是（）A．3 B．2 C．-3 D．-22.点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，且点P在x轴的上方，则P点的坐标为．考点6：平行于x轴或y轴的直线的特点1.如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同2.已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2 B．-4 C．-1 D．3考点7：角平分线的理解1．已知点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，则a= .考点8：特定条件下点的坐标1．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）考点9：面积的求法（割补法）1.（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（-1，0），B（3，-1），C（4，3）；（ 2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．参考答案：（1）略（2）8.52.在图中A（2，-4）、B（4，-3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．考点10：根据坐标或面积的特点求未知点的坐标1.如图，已知：)4,5-(-B、)2,0(C。

平面直角坐标系

平面直角坐标系

平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种用于描述平面内点的坐标系统。

它由两条互相垂直的直线（通常是水平的x轴和垂直的y轴）形成，它们相交于一个点，称为原点。

本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和使用方法。

一、基本概念平面直角坐标系由两个轴组成，通常称为x轴和y轴。

这两个轴的交点就是原点，用O表示。

x轴向右延伸正无穷远，用正数表示；x轴向左延伸负无穷远，用负数表示。

y轴向上延伸正无穷远，用正数表示；y轴向下延伸负无穷远，用负数表示。

二、坐标表示平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

x和y分别称为点的横坐标和纵坐标。

三、使用方法在平面直角坐标系中，可以进行一些简单的计算和几何分析。

1. 距离计算可以通过坐标计算两点之间的距离。

假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 点的位置关系可以比较两个点的坐标来判断它们的位置关系。

例如，如果点A的横坐标等于点B的横坐标并且点A的纵坐标小于点B的纵坐标，那么可以说点A在点B的上方。

3. 垂直和平行关系可以通过判断两个直线的斜率（或是特殊情况下的截距）来确定它们的关系。

如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

四、坐标系拓展除了普通的平面直角坐标系，还有其他类型的坐标系可以应用于不同的数学和物理问题。

例如，极坐标系以点到原点的距离和该点与正x 轴的角度来描述点的位置。

其他坐标系还包括球坐标系、柱坐标系等。

总结：平面直角坐标系是用于描述平面内点的坐标系统。

通过横坐标和纵坐标的数值，可以表示点在平面中的位置。

在平面直角坐标系中，可以进行距离计算、点的位置关系判断以及直线的垂直和平行关系确定。

此外，还存在其他类型的坐标系，用于解决不同的数学和物理问题。

平面直角坐标系知识点、题型总结讲义

平面直角坐标系知识点、题型总结讲义

4.平面直角坐标系知识点讲义1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限； 4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1）点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；（2）点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝22b a6、 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；象限横坐标x 纵坐标y 第一象限正 正 第二象限负 正 第三象限负 负 第四象限 正 负 P （b a ,） a b xy O -3 -2 -1 0 1 a b 1 -1 -2 -3 P(a,b)Y x XY A B mXY C D n a b7、 对称点的坐标特征：a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上基本练习：练习1：在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为 练习2：在平面直角坐标系中，点P （4,22-+m ）一定在 象限； 练习3：已知点P （)9,12--a a 在x 轴的负半轴上，则P 点坐标为 ；练习4：已知x 轴上一点A （3，0），y 轴上一点B （0，b ），且AB=5，则b 的值为 ； 练习5：点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为 ； 关于y 轴的对称点P的坐标为 ；关于原点的对称点Q 的坐标为 。