平面直角坐标系中的几何综合题精编版

专题4.2 坐标系中平移的几何综合【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标；（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C 和点D 的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A (0，3)，B (6，3)，∴CD =6,DH =2,OD =4，AB =6，设M 点坐标为（0，t ），连接MB 、OB ，∴OM =t ．∵S 四边形OMBD =S △OBD +S △OMB =12，∴12OD·BH +12OM·AB =12,即12×4×3+12t ×6=12，解得t =2；（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为t 秒，OM =t ，ON =4-2t (0≤t≤2)，过B 作BH ⊥OD 的延长线，垂足为H ，连接MB ，OB ，∵S ΔEMB −S ΔOEN =S 四边形OMBN ，S 四边形OMBN =S △ONB +S △OMB ，∴S ΔEMB −S ΔOEN =S △ONB +S △OMB=12ON·BH +12OM·AB=12×(4−2t )×3+12t ×6=6-3t+3t=6；∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．（1）点C的坐标为 ；（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．（2）在图中画出△A1B1C1．（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C （-4，-1）．（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；（2）求△A1B1C1的面积；（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为．（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(−2,0)，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；S四边形ABD？若存在这（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD 的面积为10，求点D的坐标；（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)，C(0,c)|2−b| =0，c=1(a−b)．2（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A′，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q′，3秒后，A′、C、Q′在同一直线上，求m的值；（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B(4,3)，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；（2）求四边形AA′BB′的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A(0,a)，点B(0,b)，点D a,12a，点E m−b,12a+4.（1）若a=1，求m的值；（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．（1）如图（1），若A(1,3),B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D 的坐标；（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)．且a，b满足|a+3|+(a−2b+7)2=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．ABDC；（1）点C，D的坐标分别为_______，________，并求出四边形ABDC的面积S四边形（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D______（填“变”或“不变”）．16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D 在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．（1）填空：点D的坐标为 ．（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点A(a,0)、B(b,0)满足(3a+b)2+|b−3|=0．将线段AB 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．（1）请求出点A和点B的坐标；（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(1,b)，a，b满足|a+b−1|+=0，连接AB交y轴于C．（1）直接写出a=______，b=______；（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，直线BD交x轴于D(4,0)，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Q(x,y)在直线AE上，且，求点Q横坐标x的取值范围．三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13。

七年级下学期期末备考之平面直角坐标系中几何综合题Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》 2015-06-15一．解答题（共17小题）1．（2015春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM =S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM =S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．（2015春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B （b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2015春?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A （a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB =S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．4．（2014春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C （﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．（2014春?泰兴市校级期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．6．（2014春?江岸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P 点坐标．7．（2014春?黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB =S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．8．（2014春?海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一=12．点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．9．（2014春?黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2014春?通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a、b、c的值；（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；（3）如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标．11．（2014春?鄂州校级期中）如图，A、B两点坐标分别为A（a，4），B（b，0），且a，b满足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）若C为y轴上一点且S△AOC =S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．12．（2014春?东湖区期中）如图，平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（3，0），现同时将A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD（1）直接写出C、D的坐标：C D 及四边形ABCD的面积：（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S△MAB ＞S四边形ABCD若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（2014春?台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A （0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD =S四边形ABDC若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．14．（2014春?海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB =S四边形ABDC若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（2014春?武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S△AOE =S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（2013秋?江岸区校级月考）如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D 处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（2013春?武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△PAC =S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E m，0，F m+3，0，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)a>1 2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)若OD :OC =2:1，直线y =-x +b 分别交x 轴、y 轴、AD 于点E ，F ，M ，且M 是AD 的中点，直线EF 交DC 延长线于点N ，求tan ∠MND 的值；(3)在(2)的条件下，点P 在y 轴上，在直线EF 上是否存在点Q ，使△NPQ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠A =60°，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ．(1)当∠QPB =45°时，求四边形BB C C 的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP =x ，四边形BB C C 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y =-3x 2+23x 的图象与x 轴分别交于点O ,A ，顶点为B ．连接OB ,AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60°得到线段AC ，连接BC ．点D ,E 分别在线段OB ,BC 上，连接AD ,DE ,EA ,DE 与AB 交于点F ,∠DEA =60°．(1)求点A ,B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①∠EDA 的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45° ，AB 交直线y =x 于点E ，BC 交y 轴于点F ．(1)当旋转角∠COF 为多少度时，OE =OF ；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A (4,3)，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y =x 于点N ，连接FN ，将△OFN 与△OCF 的面积分别记为S 1与S 2，设S =S 1-S 2，AN =n ，求S 关于n 的函数表达式．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A (0,2),B (2,0)．点E 位于第二象限且在直线y =-2x 上，∠EOD =90°，OD =OE ，连接AB ，DE ，AE ，DB ．(1)直接判断△AOB 的形状：△AOB 是三角形；(2)求证：△AOE ≌△BOD ；(3)直线EA 交x 轴于点C (t ,0),t >2．将经过B ，C 两点的抛物线y 1=ax 2+bx -4向左平移2个单位，得到抛物线y 2．①若直线EA 与抛物线y 1有唯一交点，求t 的值；②若抛物线y 2的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线y 2再向下平移，2(t -1)2个单位，得到抛物线y 3．若点D 在抛物线y 3上，求点D 的坐标．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．15(2023·天津·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A (3,0),B (0,1),D (23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,12 ,F -3,12 ,H 0,32．(1)填空：如图①，点C 的坐标为，点G 的坐标为；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E F G H ，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ，F ，G ，H ．设EE =t ，矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E F 与AB 相交于点M 、边G H 与BC 相交于点N ，且矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围(直接写出结果即可)．16(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA =32，AC =1．如图2，连接AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH =x ，MN =y ．(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH <PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值．(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ =154x -3时，求MN 的长．17(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．18(2023·江苏连云港·统考中考真题)【问题情境 建构函数】(1)如图1，在矩形ABCD 中，AB =4,M 是CD 的中点，AE ⊥BM ，垂足为E ．设BC =x ,AE =y ，试用含x 的代数式表示y ．【由数想形 新知初探】(2)在上述表达式中，y 与x 成函数关系，其图像如图2所示．若x 取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．【数形结合 深度探究】(3)在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y 随x 的增大而增大；②函数值y 的取值范围是-42<y <42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 是平行四边形．其中正确的是．(写出所有正确结论的序号)【抽象回归 拓展总结】(4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可)．19(2023·四川凉山·统考中考真题)阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan ∠BAM 、tan ∠NAE 的值；(3)求直线AE 的解析式．20(2023·山东泰安·统考中考真题)如图1，二次函数y =ax 2+bx +4的图象经过点A (-4,0),B (-1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 在二次函数对称轴上，当△BCP 面积为5时，求P 坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使∠DAB +∠ACB =90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．21(2023·湖北恩施·统考中考真题)在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．(1)如图，若A 0,3 ，抛物线的对称轴为x =3．求抛物线的解析式，并直接写出y ≥3时x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当△PBC 为等边三角形时，求点P ，C 的坐标；(3)若抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点D m ,2 ，E n ,2 ，F 1,-1 ，且m <n ，求正整数m ，n 的值．22(2023·辽宁营口·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx -1a ≠0 与x 轴交于点A 1,0 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D 3,0 ，过点B 作直线l ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥CD ，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．23(2023·山东日照·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax2+5ax+2a>0交y 轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点E1a ,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a的值．24(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知二次函数y=22x2+bx+c的图像与y轴交于点A，且经过点B(4,2)和点C(-1,2)．(1)请直接写出b，c的值；(2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22x2+bx+c图像上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．25(2023·辽宁·统考中考真题)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．11。

第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合【知识点睛】❖ 平面直角坐标系知识网络系统图各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0； 若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0； 若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0； 若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =； 若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =； 若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1； 点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3；问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”； 问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，； 若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -； 若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|； 问题七：割补法，优先分割，然后才是补全 问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）注意横纵坐标的规律可能不同。

【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（ ）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可． 【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0）， 故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m 的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P 从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D 在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A （1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q 的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．2122。

七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》一．解答题（共17小题）1．（春•玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．（春•汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（春•鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．4．（春•富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．（春•泰兴市校级期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP 上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．6．（春•江岸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．7．（春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．8．（春•海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．9．（春•黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（春•通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a、b、c的值；（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；（3）如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标．11．（春•鄂州校级期中）如图，A、B两点坐标分别为A（a，4），B（b，0），且a，b满足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）若C为y轴上一点且S△AOC=S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．12．（春•东湖区期中）如图，平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（3，0），现同时将A、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD（1）直接写出C、D的坐标：C D及四边形ABCD的面积：（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S△MAB＞S四边形ABCD？若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（春•台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．14．（春•海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S△AOE=S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（2013秋•江岸区校级月考）如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（2013春•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△PAC=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。

2、在平面直角坐标系中，点A(1,2a +3)在第一象限。

(1)若点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，求a 的值； (2)若点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，求a 的取值范围。

3、如图所示,三角形ABC 中,任意一点P(a ,b )经平移后对应点1P (a −2,b +3),将∆ABC 作同样的平移得到111C B A ∆.求111C B A 的坐标。

4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(−5,0),B(3,0)，△ABC的面积为12，试确定点C的坐标特征。

5、△OAB的三个顶点坐标分别是O(0,0),A(2,0),B(0,4).(1)求△OAB的面积；(2)平移线段AB 得到线段CD,A 的对应点为点C(4,2)，连接OC 、OD ，求△OCD 的面积。

6、在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示,点A ′的坐标是(−2,2),现将△ABC 平移,使点A 变换为点A ′,点B ′、C ′分别是B. C 的对应点。

(1)请画出平移后的△A ′B ′C ′(不写画法)；(2)并直接写出点B ′、C ′的坐标：B ′(______)、C ′(______)；(3)若△ABC 内部一点P 的坐标为(a ,b ),则点P 的对应点P ′的坐标是(______). 7、如图,将△ABC 平移得到111C B A ∆,使1A 点坐标为(−1,4)，(1)在图中画出111C B A ∆；(2)直接写出另外两个点11C B 的坐标； (3)求111C B A ∆的面积。

坐标。

当s∆的面积.t3=时,求PDC(1)求三角形ABC 的面积；(2)如果三角形ABC 的纵坐标不变，横坐标增加3个单位长度，得到三角形111C B A ,试在图中画出三角形111C B A ,并求出111C B A 的坐标。

(3)三角形111C B A 与三角形ABC 的大小、形状有什么关系? 已知点A(-5,0),B(3,0).（1）在y 轴上找一点C,使之满足S △ABC =16,求点C 的坐标.（2）在坐标平面上找一点C,能满足S △ABC =16的点C 有多少个?这些点有什么规律?已知三角形ABC 在坐标系中的位置如图.(1)若三角形ABC中任意一点P(a，b)经平移后的对应点的坐标为P′(a+4，b-3)，求将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′三点的坐标；(2)求△ABC的面积.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣2，2），现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的像△A′B′C′（不写画法），并直接写出点B′、C′的坐标：B′_____、C′_____；（2）若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P′的坐标是_____．已知：如图,A(0,3),B(2,4),C(3,0)，求四边形ABCO的面积。

平面直角坐标系一、知识点复习1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作),(b a 。

注意a 与b 的先后顺序对位置的影响。

2.平面直角坐标系（1）定义：在同一平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

这个平面叫做坐标平面。

（2）平面直角坐标系中点的坐标：通常若平面直角坐标系中有一点A ，过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上的坐标为a ，过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上的坐标为b ，有序实数对),(b a 叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫做纵坐标。

3.各象限内的点与坐标轴上的点的坐标特征：4. 特殊位置点的特殊坐标5.对称点的坐标特征：6.点到坐标轴的距离：点),(yxP到X轴距离为y，到y轴的距离为x。

7.点的平移坐标变化规律：简单记为“左减右加，上加下减”二、典型例题讲解考点1：点的坐标与象限的关系1．在平面直角坐标系中，点P （-2，3）在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2.若点)2,(-a a P 在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A. 02<<-aB.20<<aC.2>aD.0<a 3.在平面直角坐标系中，点P （-2，12+x ）所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 考点2：点在坐标轴上的特点1.点)1,3(++m m P 在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．)2,0(- B.)0,2( C.)0,4( D.)4,0(-2.已知点)12,(-m m P 在y 轴上，则P 点的坐标是 。

3.若点P（x，y）的坐标满足xy=0（x≠y），则点P必在（）A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上（除原点）考点3：对称点的坐标1.平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（）A.)2,3(- D.（2,3）,3(- C.)3,2(- B.)22.已知点A的坐标为（-2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）3.若坐标平面上点P（a，1）与点Q（-4，b）关于x轴对称，则（）A．a=4，b=-1 B．a=-4，b=1 C．a=-4，b=-1 D．a=4，b=1考点4：点的平移1.已知点A（-2，4），将点A往上平移2个单位长度，再往左平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（-5，6） B．（1，2） C．（1，6） D．（-5，2）2．已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C．A．向左平移4个单位，再向上平移6个单位B．向左平移4个单位，再向下平移6个单位C．向右平移4个单位，再向上平移6个单位D．向下平移6个单位，再向右平移4个单位3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点5：点到坐标轴的距离1.点M（-3，-2）到y轴的距离是（）A．3 B．2 C．-3 D．-22.点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，且点P在x轴的上方，则P点的坐标为．考点6：平行于x轴或y轴的直线的特点1.如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同2.已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2 B．-4 C．-1 D．33.已知点M（-2，3），线段MN=3，且MN∥y轴，则点N的坐标是（）A.（-2，0） B．（1，3）C．（1，3）或（-5，3） D．（-2，0）或（-2，6）考点7：角平分线的理解1．已知点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，则a= .考点8：特定条件下点的坐标1．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）考点9：面积的求法（割补法）1.（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（-1，0），B（3，-1），C（4，3）；（ 2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．参考答案：（1）略（2）8.52.如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积．3.在图中A（2，-4）、B（4，-3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．考点10：根据坐标或面积的特点求未知点的坐标1.已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或-42.如图，已知：)4,5B、)2,0(-C。

专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则 四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。

中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()()1, 0, 3, 0A B -两点，点C 为抛物线的顶点．点(0,)M m 为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B C 、旋转后的对应点分别记为’'B C 、．（1）若1a =，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形''BCB C 的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形' 'BCB C 为菱形?请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP 的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12 0121 2 n 4 ……y……21715 25m85285 12515 217…… （3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质： ．（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x ﹣815|≤21bkx +．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数2||y x x =-的有关图象和性质”．探究过程如下：（1）列表：问m =______． x …3- 2- 1- 0 1 2 122…y (6)20 0 2 m…（2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根，则p =______．（4）试写出方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根时，p 的取值范围是______． 8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推． （1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________． （3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，,GE BC ⊥垂足为点,E GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AGBE的值为_ _； （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转a 角)045(a ︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若24AB EC ==，正方形CEGF 在绕点C 旋转过程中，当A E G 、、三点在一条直线上时，则BE = ．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 13．几何探究： （问题发现）（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ． 求证：四边形ABCD 是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由； （升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长． 15．综合与实践 操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．16．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB 与△EFC 全等，∠ADB ＝∠EFC ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6．将直角边AD 和EF 重合摆放．点P 、Q 分别为BE 、AF 的中点，连接PQ ，如图1．则△APQ 的形状为 ．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2． ①FG ：GA ＝ ；②PF 与DC 的位置关系为 ； ③求PQ 的长； 开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为 ． 17．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG =______，AGE BGFS S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 18．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE ⊥CE ．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC ，BD ，EF ，AF ．设AC 与BD 相交于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，且AC =BD ． 又∵四边形BEDF 是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=1EF，且EF=BD．2∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．19．（1）问题发现如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP 长度的最小值及此时点N的坐标．20．如图，已知ABC和ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．B解析：（1）2 23;y x x =--（2）416m m ==-或；（3）3a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形，理由见解析【分析】（1）因为1a =，所以2y x bx c =++，将()()1, 0, 3, 0A B -代入得关于b 和c 的二元一次方程组，解方程组得到b 和c 即可求得原抛物线的解析式；（2）连接','CC BB ，延长BC 与y 轴交于点E ，根据题（1）可求出点B 、C 的坐标，继而求出直线BC 的解析式及点E 的坐标，根据题意易知四边形''BCB C 是平行四边形，继而可知()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆=-=⨯-⨯=，由此可知ME ＝10，继而即可求解点M 的坐标；（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，继而可证MOB CDM ∆∆，根据相似三角形的性质可得MO MD BO CD •=•代入数据即可求解．【详解】解：（1）∵1a =，∴2y x bx c =++将()()1, 0, 3, 0A B -代入得：10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴原抛物线的函数表达式为：2 23y x x =--；（2）连接','CC BB ，并延长BC 与y 轴交于点E ，二次函数2 23y x x =--的项点为(1,4,)-()1,4,C ∴-()3, 0,B∴直线BC 的解析式为： 2 6.y x =--()0,6E ∴-抛物线绕点M 旋转180︒','MB MB MC MC ==∴四边形''BCB C 是平行四边形，()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆∴=-=⨯-⨯= 10ME416m m ∴==-或（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，当MB MC ⊥时，MOB CDM ∆∆，MO BO CD MD∴= 即MO MD BO CD •=•二次函数()()13y a x x =+-的顶点为()()()1,4,0,,3,0a M m B - 1,,4,3CD MO m MD m a ON ∴==-=+=，()43m m a ∴-+=，∴2430m am ，216120,0a a ∆-≥>a ∴≥所以a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．2．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC =2246+=213． 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =-，2114x =+， ∴1N （114-，154），2N （114+，154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去），∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 3．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(P -+-+或9177317()P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩， 解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++． （2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54）， 设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+）， ＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ， ∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45． （3）符合条件的点P 914511924145-+-+9177317--+ ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254．∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ， ∴12BP AC BQ BC ==， 分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°， ∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ，∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0， 解得：)1291459145n n -+--==舍∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-， 化简得：2n 2﹣9n +8＝0， 解得：)12917917n n -+==舍， ∴P 9177317--+． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．4．A 解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为124(85,858)55Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．(1) y=221x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1, 则y=1, ∴m =1令y =15,则x =±3,∵2＜n ＜4, ∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2. (4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b dc e =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3， ∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3， 即y ＝−x 2＋4x −1； （2）如图，由（1）知，A （2，3）， 设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ）， ∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上， ∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3， 解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a-，244ac b a-），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---），∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，∴224444ac b ae d a a ---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．（1）154m =；（2）见解析；（3）0p =；（4）14p =-或0p >．【分析】（1）把x=122代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x 轴上方两种情形解答即可． 【详解】（1）当x=122时，2||y x x =-=25)2|(|52- =154， ∴154m =； （2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为2y x x ；当x ＜0时，函数为2y x x =+；∵方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根， ∴两个方程有一个公共根，设这个根为a ， 则22a a a a -=+， 解得a=0， 当a=0时，p=0， 故答案为：p=0；（4）∵方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根， ∴p ＞0； 或△=0 即1+4p=0， 解得14p =-．综上所述，p 的取值范围是14p =-或0p >． 【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ， 令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-， 中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ． 【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解． 【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ； 故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2； （3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去）， 抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1； ②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2， y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可． 【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3 得：{309330a b a b ++=-+=解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+ ∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3） ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y x = 根据题意 得 223x x x --+= 整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或)解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3 ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3 ∴23(23)3x x x +---+= 整理得 2330x x +-= 解得 13212x -+=23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y=x ∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴 根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3) ∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形 ∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+ 得：{320k bk b =-+=-+ 解得：{33k b =-=-∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意 得 22333x x x --+=-- 解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或 【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF 是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2解析：（1）①证明见解析；2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =；（3【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CGCE=GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG ，只需证ACG BCE 即可得；（3）由（2）证出ACGBCE 就可得到BE AG =，再根据A E G 、、三点在同一直线上分在CD 左边和右边两种不同的情况求出AG 的长度，即可求出BE 的长度． 【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，90,45BCD BCA ∴∠=︒∠=︒ ,,GE BC GF CD ⊥⊥90,CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEGF 是矩形，45,CGE ECG ∠=∠=︒,EG EC ∴=∴四边形CEGF 是正方形；②解：由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CGCE=，GE ∥AB ，∴AG CGBE CE==（2）如下图所示连接,CG 由旋转性质知,BCE ACG a ∠=∠=在Rt CEG △和Rt CBA 中，45CE cos CG =︒=45CB cos CA =︒=CG CACE CB∴== ,ACGBCE ∴AG CABE CB∴==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2AG BE =；（3）解：①当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时： 当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CABE CB∴==， 22BE AG ∴=∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+=42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-=27AE ∴=272AG AE EG ∴=+=+22(272)14222BE AG ∴==⨯+=+②当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时：当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CA BE CB∴==， 2BE AG ∴=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+= 42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-= 27AE ∴=272AG AE EG ∴=-=-22(272)14222BE AG ∴==⨯-=-142142【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（1）是，理由见解析；（2）或或；（3），证明见解析．【分析】（1）证明，可得，又点F 为CD 中点,即可得出结论；（2）当为点构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：和，根解析：（1）是，理由见解析；（2）1211t =或2t =或4t =；（3）M CNF ∠=∠，证明见解析．【分析】（1）证明EDB ABD ∠=∠，可得DE BE AE ==，又点F 为CD 中点,即可得出结论； （2）当MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：BE AF 和EF AB ∥，根据平行线分线段成比例列方程即可求解；（3）连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH ，FH 得两条中位线，根据中位线定理，得平行，可找到相等角和线段，从而可得EFH △是等腰三角形，进而可得M HEF HFE CNF ∠=∠=∠=∠．【详解】解：（1）EF 是四边形ABCD 的准中位线，理由如下：∵DE AE =，。