某射手射击一次

高考数学概率压轴题通常比较复杂，需要学生具备扎实的概率论和统计学基础，同时还需要具备一定的分析问题和解决问题的能力。

以下是一个高考数学概率压轴题的示例：
题目：某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为$p$，且每次射击的结果互不影响。

该射手进行射击直到击中目标两次为止，则第一次射击击中目标但第二次射击未击中的概率为____。

解析：设该射手第一次射击击中的事件为A，第二次射击未击中的事件为B。

首先，第一次射击击中的概率为$p$，即$P(A) = p$。

其次，第一次射击击中后，该射手还有两次射击机会。

第二次射击未击中的概率为$1 - p$，即$P(B) = 1 - p$。

由于第一次和第二次射击是独立的事件，根据独立事件的概率乘法公式，第一次射击击中但第二次射击未击中的概率为：
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = p \times (1 - p) = p - p^2$故答案为：$p - p^2$。

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×1022．在武汉市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，某学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图，根据图中信息，该班平均每人捐书的册数是（）A．3 B．3.2 C．4 D．4.53．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7 B．72C．82D．94．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b5．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D 为（ ）A ．85°B ．75°C ．60°D ．30°6．将某不等式组的解集13x ≤<-表示在数轴上，下列表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．7．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数（n ）1020 50 100 200 500 …… 击中靶心次数（m ） 8 194492178451……击中靶心频率（）0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.90 ……由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率是( ) A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.98．函数22a y x--=（a 为常数）的图像上有三点17()2y -，，21()2y -，，33()2y ，，则函数值123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＜B ．t ＞C ．t≤D ．t≥10．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≤6C．若点（2，m）（5，n）在抛物线上，则m＞n D．8a+b=011．我省2013年的快递业务量为1．2亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2012年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到2．5亿件，设2012年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1．2（1＋x）＝2．5B．1．2（1＋2x）＝2．5C．1．2（1＋x）2＝2．5D．1．2（1＋x）＋1．2（1＋x）2＝2．512．实数6的相反数是（）A．-6B．6C．16D．6-二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．化简代数式（x+1+11x-）÷22xx-，正确的结果为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为_______.15．新定义[a，b]为一次函数（其中a≠0，且a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴正半轴上，以OA、OC为边作矩形OABC，双曲线6 yx =（x＞0）交AB于点E,AE︰EB=1︰3.则矩形OABC的面积是__________.17．如图，在⊙O中，点B为半径OA上一点，且OA＝13，AB＝1，若CD是一条过点B的动弦，则弦CD的最小值为_____．18．对于函数y= 2x，当函数y﹤-3时，自变量x的取值范围是____________ .三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．20．（6分）如图，己知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结.(1)求证：.(2)若，求的长.21．（6分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线2y x 的“完美三角形”斜边AB 的长；②抛物线21y x +=与2yx 的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；（2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值． 22．（8分）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC, AB 上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB ．23．（8分）先化简，再求值：（x ﹣3）÷（21x -﹣1），其中x=﹣1． 24．（10分）先化简，再求值：（1﹣11a +）÷221aa -，其中a=﹣1．25．（10分）如图，∠MON 的边OM 上有两点A 、B 在∠MON 的内部求作一点P ，使得点P 到∠MON 的两边的距离相等，且△PAB 的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）26．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，经过C 作CD ⊥AB 于点D ，CF 是⊙O 的切线，过点A 作AE ⊥CF 于E ，连接AC ． （1）求证：AE=AD ．（2）若AE=3，CD=4，求AB的长．27．（12分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═kx（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m=12，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．数据8 600用科学记数法表示为8.6×103故选C．【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．2、B【解析】七年级(1)班捐献图书的同学人数为9÷18%=50人，捐献4册的人数为50×30%=15人，捐献3册的人数为50-6-9-15-8=12人，所以该班平均每人捐书的册数为（6+9×2+12×3+15×4+8×5）÷50=3.2册，故选B.3、B【解析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=72．【详解】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，弧AD=弧BD，∴DA=DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，∴△AFD≌△BGD，∴AF=BG．易证△CDF≌△CDG，∵AC=6，BC=8，∴AF=1，（也可以：设AF=BG=x，BC=8，AC=6，得8-x=6+x，解x=1）∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）．∴CD=．故选B．4、A【解析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a的正方形的边长－边长为2b的小正方形的边长＋边长为2b的小正方形的边长的2倍代入数据即可.【详解】依题意有：3a﹣2b+2b×2=3a﹣2b+4b=3a+2b．故这块矩形较长的边长为3a+2b．故选A．【点睛】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键.5、B【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．详解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B．点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE 得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．6、B【解析】分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．点睛：不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分：故选B.点睛：本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.7、D【解析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．【详解】依题意得击中靶心频率为0.90，估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为0.90.故选：D.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率,然后用频率估计概率即可解决问题.8、A【解析】试题解析：∵函数y＝2-2ax（a为常数）中，-a1-1＜0，∴函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵32＞0，∴y3＜0；∵-72＜-12，∴0＜y1＜y1，∴y3＜y1＜y1．故选A．9、B【解析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x 2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解． 【详解】由题意可得：﹣x+2=，所以x 2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数， ∴解不等式组，得t ＞． 故选：B ．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解. 10、C 【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac - ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中．11、C 【解析】试题解析：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x ，由题意得： 1.2（1+x ）2=2.5， 故选C ． 12、A 【解析】根据相反数的定义即可判断.【详解】实数6的相反数是-6故选A.【点睛】此题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟知相反数的定义即可求解.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、2x【解析】根据分式的运算法则计算即可求解.【详解】（x+1+11x-）÷22xx-=()()() 1111121 x x xx x x⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎣⎦=() 2211xxx x-⋅-=2x.故答案为2x．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式的混合运算顺序及运算法则是解答本题的关键．14、（3，2）．【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵OP=13OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15、.【解析】试题分析：根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0，解得：m=-2，则分式方程为，去分母得：2-（x-1）=2（x-1），去括号得：2-x+1=2x-2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解考点：1.一次函数的定义；2.解分式方程；3.正比例函数的定义．16、1【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，6t），则利用AE：EB=1：3，B点坐标可表示为（4t，6t），然后根据矩形面积公式计算．【详解】设E点坐标为（t，6t ），∵AE：EB=1：3，∴B 点坐标为（4t ，6t）， ∴矩形OABC 的面积=4t•6t =1． 故答案是：1．【点睛】考查了反比例函数y=k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．17、10【解析】连接OC ，当CD ⊥OA 时CD 的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.【详解】连接OC ，当CD ⊥OA 时CD 的值最小，∵OA =13，AB =1，∴OB=13-1=12，∴BC ，∴CD =5×2=10.故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 . 18、-23<x<0 【解析】根据反比例函数的性质：y 随x 的增大而减小去解答.【详解】解：函数y=2x中，y 随x 的增大而减小，当函数y ﹤-3时 223? x 3x -∴- 又函数y= 2x中，x 0≠ 203x ∴-<< 故答案为：-23<x<0. 【点睛】此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）证明见解析；（2）1.【解析】作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH 的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH+∠DGH＝90°，∵∠MGP+∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG；（2）作PM⊥DG于M，如图，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC＝2；∵△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，∴PD＝＝，∴DF＝PG＝PD＝，∵四边形CDMP是矩形，∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，∵PD＝PG，PM⊥AD，∴MG＝MD＝1，DG＝2，∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，∴，∴GH＝＝，∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．【点睛】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值20、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意推出再结合，可得△BHE～△BCO.（2）结合△BHE～△BCO ，推出带入数值即可.【详解】（1）证明：∵为圆的半径，是的中点，∴,,∵,∴，∴,∴,∵,∴,∴,又∵,∴∽．（2）∵∽， ∴, ∵，, ∴得， 解得， ∴.【点睛】 本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形.21、（1）AB=2；相等；（2）a=±12；（3）34m =-， 83n =． 【解析】（1）①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，设出点B 的坐标为（n ，－n ），根据二次函数得出n 的值，然后得出AB 的值,②因为抛物线y=x 2+1与y=x 2的形状相同，所以抛物线y=x 2+1与y=x 2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点B 的坐标，得出a 的值；根据最大值得出mn －4m －1=0，根据抛物线的完美三角形的斜边长为n 得出点B 的坐标，然后代入抛物线求出m 和n 的值.（3）根据225y mx x+n =+-的最大值为-1，得到()45414m n m --=-化简得mn-4m-1=0，抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，所以抛物线2y mx =2的“完美三角形”斜边长为n ，得出B 点坐标，代入可得mn 关系式，即可求出m 、n 的值.【详解】（1）①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴，易证MN=BN ，设B 点坐标为（n ，-n ），代入抛物线2y x ，得2n n =， ∴1n =，0n =（舍去），∴抛物线2y x 的“完美三角形”的斜边2AB =②相等；（2）∵抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的形状相同，∴抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的“完美三角形”全等，∵抛物线24y ax +=的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线2y ax =的“完美三角形”斜边的长为4，∴B 点坐标为（2，2）或（2，-2），∴12a=±． （3）∵ 225y mx x+n =+-的最大值为-1，∴ ()45414m n m --=-，∴410mn m --= ，∵抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，∴抛物线2y mx =的“完美三角形”斜边长为n ，∴B 点坐标为,22nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴代入抛物线2y mx =，得222n n m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭， ∴ mn 2=-（不合题意舍去）， ∴34m =-， ∴83n = 22、见解析【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C ，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证 ADC DEB .【详解】证明：∆ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°,∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，∵∠ADE=60°，∴∠ADB=∠BDE+60°,∴∠CAD=∠BDE,∴ADC DEB【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.23、﹣x+1，2．【解析】先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.【详解】原式=（x﹣2）÷（﹣）=（x﹣2）÷=（x﹣2）•=﹣x+1，当x=﹣1时，原式=1+1=2．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.24、原式=12a-=﹣2．【解析】分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．详解：原式=112()+11(1)(1) a aa a a a+-÷++-=(1)(1)·12a a aa a+-+=1 2a-，当a=﹣1时，原式=312--=﹣2．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．25、详见解析【解析】作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．26、（1）证明见解析（2）25 3【解析】（1）连接OC，根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE≌△CAD（AAS），得AE=AD；（2）连接CB，由（1）得AD=AE=3，根据勾股定理得：AC=5，由cos∠EAC=，cos∠CAB==，∠EAC=∠CAB，得=.【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF是圆O的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO，在△CAE和△CAD中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC中，cos∠EAC==，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB==，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点睛】本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用. 解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形性质得到相应等式.27、（1）y1=8x，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═kx（x＞0）的图象上∴k=8∴y 1=8x∵a=2∴点A 坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B （4，2），A （﹣2，﹣4）代入y 2=mx+n 得，2=42m n m n +⎧⎨-=-+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩， ∴y 2=x ﹣2；②当y 1＞y 2＞0时，y 1=8x图象在y 2=x ﹣2图象上方，且两函数图象在x 轴上方， ∴由图象得：2＜x ＜4；（2）分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连BO ，∵O 为A A′中点，S △AOB =12S △AOA′=8 ∵点A 、B 在双曲线上∴S △AOC =S △BOD∴S △AOB =S 四边形ACDB =8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，k a ）（3a ，3k a ） ∴1()2823k k a a a⨯+⨯=， 解得k=6；（3）由已知A （a ，k a ），则A′为（﹣a ，﹣k a）. 把A′代入到y=12x n +，得：﹣1=2k a n a -+，∴n=12kaa-，∴A′B解析式为y=﹣1122k x aa+-.当x=a时，点D纵坐标为kaa -，∴AD=2ka a-∵AD=AF，∴点F和点P横坐标为22+=k ka aa a-，∴点P纵坐标为1211 222k ka aa a⨯+-=.∴点P在y1═kx（x＞0）的图象上.点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件与概率--知识讲解【学习目标】1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义.【要点梳理】要点一、确定事件与不确定事件1.确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.2.不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.要点诠释：要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率1.频率与概率的定义频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值mn称为事件A发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P （A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典型例题】类型一、确定事件与不确定事件1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义进行判别.举一反三【变式1】（2016•凉山州模拟）下列事件中不是随机事件的是（）A．打开电视机正好在播放广告B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书D．明天太阳会从西方升起【答案】D．解：A、打开电视机正好在播放广告是随机事件，选项错误；B、从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球，是随机事件，选项错误；C、从课本中任意拿一本书正好拿到数学书，是随机事件，选项错误；D、明天太阳会从西方升起是不可能事件，不是随机事件，选项正确．故选D．【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】要掌握三种事件的区别与联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、频率与概率3.（2015•阜新）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【答案】20．【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，解得：n=20，故答案为：20．【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？【答案与解析】落在黄色区域的可能性大.理由如下：由图可知：黄色占整个转盘面积的；红色占整个转盘面积的；蓝色占整个转盘面积的.由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.5. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?【思路点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率. 【答案与解析】（1）(2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：((1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90.(2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

随机事件与概率教案一、教学目标1．知识与技能（1）了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；（2）理解频率的稳定性及概率的统计定义。

2．过程与方法发现法教学，通过学生在抛硬币的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高。

理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解概率和频率的关系。

从而培养学生从试验中归纳出一般规律的能力以及学生动手能力与解决实际问题的能力。

3．情感态度价值观（1）在探究过程中，鼓励学生大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践等良好的个性品质。

（2）通过对概率的学习，渗透偶然寓于必然、事物之间既对立又统一的辩证唯物主义思想；增强学生的科学素养。

二、教学重点、难点重点：理解频率的稳定性及概率的统计定义难点：频率与概率的区别和联系三、教学方法与手段方法：试验、观察、探究、归纳和总结手段：采用实物试验，多媒体计算机辅助教学四、教学过程1．新课导入在现实生活中，我们常听到"概率"这个词. 比如说：买彩票时，总关心中奖的概率有多大；正规的足球比赛，为了体现比赛的公平性，比赛前，主裁判往往以抛硬币的方式，根据是正面还是反面来确定比赛场地，这些都和概率有关。

那么什么是概率呢？怎么获得概率的大小呢？知道概率的大小又有何意义呢？今天我们就开始学习概率的有关知识：第二十五章概率，我们先来学习第一节：随机事件与概率（1）（板书课题）2．事件的分类首先，请同学们看这样一些事件，分析它们的发生与否，各有什么特点？（1）"导体通电时，发热"；（2）"抛一石块，下落"；（3）"在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化"；（4）"在常温下，焊锡熔化"；（5）"某人射击一次，中靶"；（6）"掷一枚硬币，出现正面"通过学生讨论，指出事件（1）、（2）是必然要发生的，（3）、（4）是不可能发生的，而（5）、（6）是可能发生、也可能不发生的，进而引出三类事件的概念：【归纳指出】（1）它们是按照事件的发生与否这个标准，来进行分类的；（2）这三类事件是相对于一定条件来说的，条件改变了，事件的性质有时也会改变. 例如：事件（3）是不可能事件，若将其改为"在标准大气压下且温度高于0℃时，冰融化"，这就是一个必然事件例1．指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：（1）"某电话机在一分钟之内，收到三次呼叫"；（2）"当是实数时，"；（3）"没有水分，种子发芽"；（4）"打开电视机，正在播放新闻"答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件（根据三类事件的概念，让学生举出现实生活中有关这三类事件的一些例子）3．试验、观察和归纳在三类事件中，必然事件和不可能事件，它的发生与否是很容易确定的，事先就知道它发生或者不发生；而随机事件的发生具有不确定性，可能发生，也可能不发生. 那么，它发生的可能性有多大呢？对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，能为我们的决策提供关键性的依据. 那么，如何才能获得随机事件发生的可能性大小呢？最直接的方法就是试验（观察）一次试验，就是将事件的条件实现一次．例如："抛掷一枚硬币，正面向上"这个事件来说，做一次试验，就是将硬币抛掷一次，随机事件在一次试验中是否发生是不能事先确定的，那么在大量重复试验的情况下，它的发生是否会有规律性呢？下面我们通过做一个抛掷硬币的试验，来了解"抛掷一枚硬币，正面向上"这个随机事件发生的可能性大小（一）先将学生进行分组，指定组长（二）试验要求及规则每人做10次抛掷硬币试验，记录正面向上的次数，并计算正面向上的频率，将试验结果填入表中：姓名抛掷次数（）正面向上次数（）频率（）抛硬币的规则：（1）硬币统一（1角硬币）；（2）垂直下抛；（3）离桌面高度大约为一尺.（这样的话，我们基本上在相同的条件下做试验）（三）试验做完后，让学生比较他们的试验结果是否相同，并请组长统计本组的结果教师问：试验结果与其他同学比较，你的结果和他们相同吗？为什么？（因为"抛掷一枚硬币，正面向上"这个事件是一个随机事件，在每一次试验中，它的结果是随机的，所以10次的试验结果也是随机的，可能会不同）（四）教师将组长统计的数据及历史上科学家得到的大量试验的数据输入电脑，借助Excel统计功能把频率图画出来．（1）抛掷硬币试验结果表抛掷次数2048 4040 12000 24000 30000 72088正面向上次数1061 2048 6019 12012 14984 36124正面向上的频率0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4995 0.5011引导学生来观察这个频率图，看一看由个人到小组、全班再到大量试验频率的变化，有什么规律？（同学们相互讨论，请同学来回答，如果不完善，请其他同学补充，最后教师总结）【规律】："掷一枚硬币，正面向上"在一次试验中是否发生不能确定，但随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐地接近于0.5（五）教师用计算机来演示大量抛掷硬币的模拟试验，让学生进一步来体会这样一个规律再让学生看另外两组试验结果，观察分析频率的变化规律（2）某批乒乓球质量检查结果表抽取球数50 100 200 500 1000 2000优等品数45 92 194 470 954 1902优等品频率0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951可以看到，当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，在它附近摆动（3）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806发芽的频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903可以看到，当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率接近于常数0.9教师问：通过观察以上试验结果及频率图，它们的规律有什么共性呢？（引导学生归纳）【结论】：随机事件A在每次试验中是否发生是不能事先确定的，但是在进行大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于某个常数这个常数，我们给它起个名称，叫做概率4．概率的定义一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)这里的P是英文Probability（概率）的第一个字母【说明】（1）概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小（概率越大，表明事件A发生的频率越大，它发生的可能性越大；概率越小，它发生的可能性也越小）例如：抛一枚硬币出现"正面向上"的概率是0.5，是指："正面向上"可能性为50%任取一个乒乓球得到优等品的概率是0.95，是指：得到优等品的可能性为95%（2）概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值上面有关概率的定义，实际上也是求一个事件的概率的基本方法：进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率，频率是否等同于概率呢？(可以提示：频率是不是不变的？概率是不是不变的？)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都有可能不同. 而概率是一个确定数,是客观存在的，与每次试验无关。

第六章概率课时练习题1、 条件概率的概念 .................................................................................................... - 1 -2、 乘法公式与事件的独立性 全概率公式 ............................................................ - 6 -3、 随机变量.............................................................................................................. - 13 -4、 离散型随机变量的分布列 .................................................................................. - 16 -5、 离散型随机变量的均值 ...................................................................................... - 21 -6、 离散型随机变量的方差 ...................................................................................... - 27 -7、 二项分布.............................................................................................................. - 34 -8、 超几何分布.......................................................................................................... - 39 -9、正态分布.............................................................................................................. - 44 -1、 条件概率的概念一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A ．56 B ．910 C ．215 D ．115C [由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215．] 2．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A ．91216B ．518C ．6091D ．12C [事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60．∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝6091．] 3．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A ．29B ．49C ．23D ．79D [甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79．]4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．110C ．59D ．25C [把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59．]5．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．14B ．23C ．12D ．13D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13．]二、填空题6．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________．13 [∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13．] 7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0．72 [设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9．根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72．]8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．当蓝色骰子的点数为3或6时，两枚骰子的点数之和大于8的概率是________．512 [设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与(x ，y )建立对应关系，由题意作图(如图所示)．依题意P (A )＝1236＝13，P (AB )＝536． 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512．]三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110．(1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．[解] (1)由题意得：C 2nC 2n ＋3＝n (n －1)(n ＋3)(n ＋2)＝110，解得n ＝2．(2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 22C 25－C 23＝17． 10．任意向x 轴上(0，1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．[解] 由题意知，任意向(0，1)这一区间内掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的，令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13，由几何概率的计算公式可知 (1)P (A )＝131＝13．(2)令B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 15＜x ＜1，则AB ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪15＜x ＜13，P (AB )＝13－151＝215．故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝21513＝25．11．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.48A [设“一个这种元件使用超过1年”为事件A ，“使用超过2年”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.6，则这个元件在使用到1年时还未失效的前提下，这种元件使用寿命超过2年的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.8＝0.75．故选A ．] 12．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )A．310B．29C．78D．79D[法一：设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730，则所求概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝730310＝79．法二：第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为C17C19＝79．]13．(多选题)下列说法正确的是() A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0≤P(B|A)≤1 D．P(A|A)＝1BCD[由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B)P(A)，故B选项正确；C，D选项正确．]14．(一题两空)从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．(1)选出球的最大号码为6的概率为________．(2)已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．1 21114[(1)令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．则P(B)＝C35C410＝121．(2)法一：依题意知P(A)＝C39C410，P(AB)＝C24C410，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝C24C410C39C410＝114．法二：依题意知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C24＝6，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝684＝114．]15．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A．1127B．1124C．827D．924C[设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B．由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为8 27．]2、乘法公式与事件的独立性全概率公式一、选择题1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C 间的关系是()A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立A [由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A 与B ，A 与C 均相互独立．而A 与B ，A 与C 均能同时发生，从而不互斥．]2．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23D [由题意，P (A B )＝P (B A －)，即P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 则P (A )＝P (B )．又P (AB )＝[P (A )]2＝19，所以P (A )＝13， 故P (A )＝1－P (A )＝23．]3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是( )A ．0.56B ．0.92C ．0.94D ．0.96C [设“甲击中目标”为事件A ，“乙击中目标”为事件B ，目标被击中即为事件A 发生或事件B 发生，则P ＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB )＝0.8×0.3＋0.2×0.7＋0.8×0.7＝0.94．]4．如图，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06B [系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]5．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是( )A ．4170B ．712C ．47D ．12A [设B ＝{该球是红球}，A 1＝{球取自甲袋}，A 2＝{球取自乙袋}，根据题意， P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝47， 则有B ＝A 1B ∪A 2B ，由全概率公式得，P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝12×35＋12×47＝4170．] 二、填空题6．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则(1)2个球不都是红球的概率________． (2)2个球都是红球的概率________． (3)至少有1个红球的概率________． (4)2个球中恰好有1个红球的概率________．56 16 23 12[(1)、(2)、(3)、(4)中的事件依次记为A 、B 、C 、D ， 则P (A )＝1－12×13＝56；P (B )＝13×12＝16；P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23；P (D )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12 ＝12．]7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．0.128 [记“该选手回答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，且P (A i )＝0.8．选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P ＝P (A 2·A 3·A 4)＝P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128．]8．设甲、乙两人独立地解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出此题的概率为________．0.2 [设甲、乙独立解出的概率为x ，法一：只有甲解出的概率为x (1－x )，只有乙解出的概率为x (1－x )，甲和乙都解出的概率为x 2．由题意得，x (1－x )＋x (1－x )＋x 2＝0.36．解方程得，x ＝0.2或x ＝1.8(舍去)，即甲独立解出的概率为0.2．法二：甲没有解出此题的概率为1－x ，乙没有解出此题的概率为1－x ，此题没有被解出的概率为(1－x )2，由题意得，1－(1－x )2＝0.36，解方程得x ＝0.2，或x ＝1.8(舍去)．]三、解答题9．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次的概率．[解] 记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得 P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ) ＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736．10．甲，乙，丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位，其能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中相互之间没有影响．(1)求三人能被选中的概率； (2)求只有两人被选中的概率．[解] 设甲，乙，丙被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13．(1)∵A ，B ，C 是相互独立事件，∴三人都被选中的概率为P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110．(2)三种情形①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×13＝320．②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P (A B －C )＝P (A )P (B )P (C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝130．③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P (AB C －)＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝15．以上三种情况是互斥的．因此，只有两人被选中的概率为P 2＝320＋130＋15＝2360．11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735 D ．1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735．故选C ．]12．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．34 C [∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56． 又A ，B 为相互独立事件， ∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512．∴A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A B )＝1－512＝712．] 13．(多选题)下列说法正确的是( )A ．若事件A 和B 互斥，则事件A 与B 一定不相互独立 B ．如果事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与B 一定不互斥C ．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立D ．若事件A ，B 相互独立，则A 与B 相互独立CD [当事件A 是不可能事件与事件B 是必然事件时，事件A 与事件B 既相互独立，又互斥．]14．(一题两空)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响，从中任选一名儿童．(1)这两项均合格的概率是________；(2)这两项至少有一项合格的概率是________．120 25[设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ， 则P (A )＝15，P (B )＝14．因为A ，B 相互独立，所以A ，B 也相互独立，则P (AB )＝15×14＝120，P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35， 故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25．]15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2＝0.301 0)[解] (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1∩A 2∩A 3∩A 4∩A 5．∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1∩A 2∩A 3∩A 4∩A 5)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝(1－0.2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫455．∴敌机未被击中的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫455．(2)设至少需要布置n 门高炮才能使敌机有0.9以上的概率被击中，由(1)可得敌机被击中的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n，∴令1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n≥0.9．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ≤110．两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3．∵n ∈N ＋，∴n ＝11．∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．3、随机变量一、选择题1．下列不是随机变量的是()A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数C[选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．]2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是()A．出现正面向上的次数B．掷硬币的次数C．出现正面向上的概率D．出现反面向上的概率A[正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故选A．]3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，3，…，6B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5B[由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B．] 4．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．24B．20C．18D．12A[由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．]5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标C[“ξ＝5”表示前4次均未击中目标．]二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则X＝6表示的随机试验的结果是________．[答案]一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3 7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是________．0，1[X可能取值有两种，即0，1．]8．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是________．[答案]0，1，2三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X ＝6所表示的试验结果．[解]X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．[解](1)ξ可能取的值为0，1，2，3．(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5C[“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．] 12．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是()A．6B．7C．10D．25C[X的所有可能取值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个．]13．下列随机变量中，是离散型随机变量的是()A．某宾馆每天入住的旅客数量XB．广州某水文站观测到一天中珠江的水位XC．深圳欢乐谷一日接待游客的数量XD．虎门大桥一天经过的车辆数XACD[ACD中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．]14．(一题两空)在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲正确回答这三个问题的题数X的所有可能取值是________．选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是________．3，2，1，0；300分，100分，－100分，－300分[可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]15．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[解]ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．“ξ＝0”表示在第一盏信号灯前停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下； “ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下； “ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下； “ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．4、 离散型随机变量的分布列一、选择题1．若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0123P0.10.20.2 0.3 0.1 0.1则当P (X ＜a )A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．(1，2] D ．(1，2)C [由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1，2]．]2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A ．528B ．17C ．1556D ．27D [X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27．故选D ．]3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<ξ≤4)等于( )A ．316B ．14C ．116D ．15A[2<ξ≤4时，ξ＝3，4．∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316．]4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于() A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)B[由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2)C．P(X＝1)D．P(X＝2)C[C18C16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C14C16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X＝1．]二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．0．3[根据随机变量分布列的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于________．1－22[由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22．]8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：0.6[由概率和为1知，最后一位数字和必为零，∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]三、解答题9．某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X．(1)求该选手得分不少于6分的概率；(2)求X的分布列．[解](1)P(X＝6)＝C24A44＝14，P(X＝12)＝1A44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝7 24．(2)X的可能取值是0，3，6，12．P(X＝3)＝C14×2A44＝13，P(X＝0)＝1－724－13＝924＝38．X的分布列为10X的分布列为其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．[解]Y的可能取值为200元，250元，300元．P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．故Y的分布列为Y＝i 200250300P(Y＝i)0.40.40.211．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()A．1220B．2755C．27220D．2125C[X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220．]12．设随机变量X的分布列为X 1234P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝()A．712B．512C．14D．16B[根据分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝14，随机变量X的分布列为X 1234P 13141416所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝512．故选B．]13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是()A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和ABC[根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]14．(一题两空)随机变量η的分布列如下η123456P 0.2x 0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________．00.55[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．[解](1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且P(Y＝0)＝C012C228C240＝63130，P(Y＝1)＝C112C128C240＝2865，P(Y＝2)＝C212C028C240＝11130．所以随机变量Y的分布列为Y 012P631302865111305、离散型随机变量的均值一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝14(k＝1，2，3，4)，则EX＝()A．2.5B．3.5C．0.25D．2A[EX＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52．]2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于()X 012P 0.10.30.6A．1.5B．1.6CA[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论()工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的质量好一些B[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X 024P 0.30.20.5A．16B．11C．A [由已知得EX ＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A ．]5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望EX 为( )A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243B [依题意，知X 的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故EX ＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681．] 二、填空题6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的均值为________．8.5 [从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为：2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是110．∴EX ＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×110＝8.5．] 7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．2 [设P (ξ＝1)＝P (ξ＝3)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1． 于是，Eξ＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2．]8．某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了某种流感病毒，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定下，B 、C 、D 直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，X 的均值为________．116[X 可能取值为1，2，3，则P (X ＝1)＝12×23＝13，P (X ＝2)＝12×23＋12×13＝12，P (X ＝3)＝12×13＝16．则EX ＝1×13＋2×12＋3×16＝116．] 三、解答题9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望(均值)．[解] (1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6．P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为(2)Eξ＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[解](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110．(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得EX1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为()A ．13B ．14C ．16D ．18A [由Y ＝12X ＋7得EY ＝12EX ＋7＝34，从而EX ＝94，所以EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13．故选A ．]12．设l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率k 等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离d ，则随机变量ξ的数学期望Eξ为( )A ．37B ．47C ．27D ．17B [当k ＝±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时d ＝13；当k ＝±3时，d ＝12；当k ＝±52时，d ＝23；当k 为0时，d ＝1．由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以Eξ＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47．]13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则( )C ．P (X ≤1)＝0.4D ．P (X ＞1)＝0.6ABCD [根据题意，⎩⎨⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎨⎧a ＝0.3，b ＝0.5.由此易知，ABCD 均正确．]14．(一题两空)一次单元测验由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中选对的题数的均值是________，成绩的均值是________．3.618[设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则Y＝5X．EX＝0×0.14＋1×C14×0.9×0.13＋2×C24×0.92×0.12＋3×C34×0.93×0.1＋4×0.94＝3.6．由随机变量均值的性质得EY＝E(5X)＝5×3.6＝18．]15．某商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品作销毁处理，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，该商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？[解](1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36．则P(X＝30)＝15×15＝125，P(X＝31)＝15×310×2＝325，P(X＝32)＝15×25×2＋310×310＝14，P(X＝33)＝15×110×2＋310×25×2＝725，P(X＝34)＝310×110×2＋25×25＝1150，。

高一数学随机事件及其概率试题1.某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则该射手射击一次未命中环靶的概率为（）A．0.1B．0.65C．0.70D．0.75【答案】A【解析】由对立事件概率计算公式得，射手射击一次未命中环靶的概率为1-（0.35+0.30+0.25）=0.1，故选A。

【考点】本题主要考查对立事件的概念及其概率计算公式。

点评：“射手射击一次未命中环靶”就是“脱靶”。

2.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是．【答案】2=21种选法，【解析】∵从7人中选2人共有C72=6种选法从4个男生中选2人共有C4∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=。

【考点】本题主要考查古典概型及其概率计算公式。

点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

3.下列事件属于不可能事件的为A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16【答案】D【解析】骰子点数的最大值为6，两次点数和的最大值为12，不可能为16。

【考点】随机事件、不可能事件点评：解答本题要正确区分和理解随机事件、必然事件和不可能事件。

4.给出下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A、B、C，满足AÍB，BÍC，则AÍC；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥7月天下雪；⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．其中属于随机事件的有A．4个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】⑤是必然事件；任意两奇数的和都是偶数，所以⑦是必然事件；①②③⑥⑧为随机事件，故选C。

2022届[全国百强校首发]广东省汕头市潮阳实验校中考冲刺卷数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 2．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞3．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ）A ．±3B ．3C ．5D ．94．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出下列四个结论：①△APE ≌△CPF ；②AE=CF ；③△EAF 是等腰直角三角形；④S △ABC =2S 四边形AEPF ，上述结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若等式x 2+ax +19＝（x ﹣5）2﹣b 成立，则 a +b 的值为（ ）A ．16B ．﹣16C ．4D ．﹣46．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数（n ） 10 20 50 100 200 500 ……击中靶心次数（m ） 8 19 44 92 178 451 ……击中靶心频率（）0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.90 ……由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率是( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.97．已知一元二次方程ax 2+ax ﹣4＝0有一个根是﹣2，则a 值是（ ）A ．﹣2B ．23 C ．2 D ．48．实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a ---化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定9．﹣3的相反数是（ ）A ．13- B ．13 C ．3- D ．310．已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．26±B ．6±C ．2或3D ．2或311．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，AC ，BD ，则DAB ∠与C ∠的数量关系为（）A ．DABC ∠=∠ B ．2DAB C ∠=∠C ．90DAB C ∠+∠=︒D ．180DAB C ∠+∠=︒12．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（ ）A ．6.5×105B ．6.5×106C ．6.5×107D ．65×105二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是_____________.14．分解因式：2x+xy=_______．15．二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．16．方程x+1=25x+的解是_____．17．在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数4yx=(x＞0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将4yx=(x＞0)的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′．此时点B′的坐标是_____．18．如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）一道选择题有,,,A B C D四个选项.（1）若正确答案是A，从中任意选出一项，求选中的恰好是正确答案A的概率；（2）若正确答案是,A B，从中任意选择两项，求选中的恰好是正确答案,A B的概率.20．（6分）如果a2+2a-1=0，求代数式24()2aaa a-⋅-的值.21．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．（Ⅰ）如图①，求OD的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′．①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．22．（8分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中a = ，b = ，并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？23．（8分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP ∽△BCP ；②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．（2）已知锐角△ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD ，CE 和 BD 相交于 P 点．如图（2） ①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．24．（10分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P .（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.25．（10分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下． 成绩/分 120﹣111 110﹣101 100﹣91 90以下成绩等级 A B C D请根据以上信息解答下列问题：（1）这次统计共抽取了 名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有多少人？ （3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A 等级学生数可提高40%，B 等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生可达多少人？26．（12分）如图所示，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在PC 上，∠P=30°，D 为弧BC 的中点.(1)求证：PB=BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由.27．（12分）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B【解析】设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.2、C【解析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质． 3、B【解析】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-【详解】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，原式3===故选：B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.4、C【解析】利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF ，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半．【详解】∵AB=AC ，∠BAC=90°，点P 是BC 的中点，∴AP ⊥BC ，AP=PC ，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF 是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中， 45APE CPF AP PCEAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，故①②正确；∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC．故④正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．5、D【解析】分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，可得a=-10，b=6，则a+b=-10+6=-4，故选D．点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6、D【解析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．【详解】依题意得击中靶心频率为0.90，估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为0.90.故选：D.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率,然后用频率估计概率即可解决问题.7、C【解析】分析：将x=－2代入方程即可求出a的值．详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0，解得：a=2，故选C．点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键．8、C【解析】根据数轴上点的位置判断出a ﹣4与a ﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据数轴上点的位置得：5＜a ＜10，∴a ﹣4＞0，a ﹣11＜0，则原式＝|a ﹣4|﹣|a ﹣11|＝a ﹣4+a ﹣11＝2a ﹣15，故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9、D【解析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.10、A【解析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．【详解】∵方程2230x kx -+=有两个相等的实根，∴△=k 2-4×2×3=k 2-24=0，解得：k=±故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．11、C【解析】首先根据圆周角定理可知∠B=∠C ，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.【详解】解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.∵∠B=∠C ，∴∠DAB+∠C=90°.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.12、B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】将6500000用科学记数法表示为：6.5×106. 故答案选B.【点睛】本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、80250(15)2900x x +-=【解析】分析：根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可. 详解：设他推车步行的时间为x 分钟，根据题意可得：80x+250(15-x)=2900.故答案为80x+250(15-x)=2900.点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.14、()x x+y ．【解析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】+=+．直接提取公因式x即可：2x xy x(x y)15、m>1【解析】由条件可知二次函数对称轴为x=2m，且开口向上，由二次函数的性质可知在对称轴的左侧时y随x的增大而减小，可求得m+1＜2m，即m＞1．故答案为m＞1．点睛：本题主要考查二次函数的性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小是解题的关键．16、x=1【解析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）1=1x+5，即x1=4，开方得：x=1或x=-1，经检验x=-1是增根，无理方程的解为x=1．故答案为x=117、（1，-4）【解析】利用旋转的性质即可解决问题.【详解】如图，由题意A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知′（4，-1），B′（1，-4）；所以，B′（1，-4）；故答案为（1，-4）.【点睛】本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18、9332+．【解析】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3. ∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.∴根据锐角三角函数，得3.∴OB3∴S△POB=12OB•PH933+.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）14;（2）16【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的恰好是正确答案A，B的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）选中的恰好是正确答案A的概率为14；（2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中选中的恰好是正确答案A ，B 的结果数为2，所以选中的恰好是正确答案A ，B 的概率=21126=． 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．20、1【解析】 221a a +=2224422a a a a a a a a -⎛⎫-⋅= ⎪--⎝⎭=()()()()2222222a a a a a a a a a +-=+=+-=1. 故答案为1.21、（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A 、B 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为22+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2） 【解析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB ,可知sin ∠AG′B =12AB BG =,推出∠AG′B =30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A 、B 、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A （0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．22、（1）a=0.3，b=4；（2）99人；（3）1 4【解析】分析：（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．详解：（1）a=1-0.15-0.35-0.20=0.3；∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：31= 124．点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；【解析】试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PA•PC=12，∴PB=2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF ∽△CFP ，∴AF•PF=DF•CF ，∵∠AFP=∠CFD ，∴△AFP ∽△CDF ．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC ﹣∠APC=120°，∴P 点为△ABC 的费马点．考点：相似形综合题24、（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣）， 即243y x x +＝﹣， 221y x ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，），EA EC ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠＝， 而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=， 设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣， 在Rt QHE 中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.25、（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.【解析】（1）用总人数乘以A 所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A 等级人数所占比例可得其人数，继而根据各等级人数之和等于总人数可得D 等级人数，据此可补全条形图；（2）用总人数乘以（A 的百分比+B 的百分比），即可解答；（3）先计算出提高后A ，B 所占的百分比，再乘以总人数，即可解答．【详解】解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷108360=1（人）， 则A 等级人数为1×72360=10（人），D 等级人数为1﹣（10+15+5）=20（人）， 补全直方图如下：故答案为1．（2）估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有1000×101550=10（人）； （3）∵A 级学生数可提高40%，B 级学生数可提高10%，∴B 级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A 级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%， ∴1000×（33%+28%）=610（人），∴估计经过训练后九年级数学成绩在B 以上（含B 级）的学生可达610名．【点睛】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26、（1）见解析；（2）菱形【解析】试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP =90°，进而得到∠BOP =60°，由OC =BO ，得到∠OBC =∠OCB =30°，由等角对等边即可得到结论；（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．试题解析：证明：（1）∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP =90°，∠POB =90°-30°=60°．∵OB =OC ，∴∠OBC =∠OCB ．∵∠POB =∠OBC +∠OCB ，∴∠OCB =30°=∠P ，∴PB =BC ；（2）连接OD 交BC 于点M ．∵D 是弧BC 的中点，∴OD 垂直平分BC ．在直角△OMC 中，∵∠OCM =30°，∴OC =2OM =OD ，∴OM =DM ，∴四边形BOCD 是菱形．27、（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】(1)∵DE⊥BC，∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；(2)菱形，理由如下：在直角三角形ABC中，∵D为AB中点，∴BD=AD，∵CE=AD，∴BD=CE，∴MN//AB，∴BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）∴四边形BECD是菱形；(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB=45°，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

第十章 10.1 10.1.4A 级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ．2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A ．3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )A ．1328B ．57C ．1528D ．37【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝1328.故选A ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A ．12B ．23C ．56D ．1【答案】B 【解析】(方法一)A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ∪B )＝46＝23.(方法二)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.故选B ．5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A ．710B ．35C ．45D ．110【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.(方法二)设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.故选B ．6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2.(1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________；(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________.【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB )＝P (B )＝0.2.(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6，P (AB )＝0.7．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.【答案】25 【解析】因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25.8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：． 【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a ＋b ＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a ＋b ＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a －b ＝0.68.9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B 为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率．解：(1)甲获得比赛胜利的概率P 1＝1－P (B )＝1－0.4＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P 2＝P (A )－P 1＝0.7－0.6＝0.1.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝610＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.B 级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.故选C ．12．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．【答案】0.2 【解析】设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 【答案】1928 【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.14．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________.【答案】0.9 【解析】因为P (B )＝0.6，所以P (B )＝1－P (B )＝0.4.又A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】310 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A )＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.7＝0.3.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.C 级——探索创新练19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n ≥17，则利润y ＝85； 若当天需求量n <17，则利润y ＝10n －85.故y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.。

高一数学概率试题答案及解析1.已知二次函数，若实数均是从集合中任取的元素（可以重复），则该函数只有一个零点的概率为__________.【答案】【解析】要使函数有且只有一个零点，当且仅当，即，从集合{0，1，2，3}随机取一个数作为，其中，可以是（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16个基本事件，其中满足（其中）的事件有（1，1），（2，2），（3，3）共3个，∴函数只有一个零点概率.【考点】基本事件的个数及事件的概率.2.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，将得到的点数分别记为a,b.（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；（提示：点到直线的距离公式：）（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段围成等腰三角形的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.满足条件的情况只有或两种情况，由此能得出直线与圆相切的概率；（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36．满足条件的不同情况共有14种．由此能求出三条线段能围成不同的等腰三角形的概率 .试题解析：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.因为直线与圆相切，所以有，即,由于∈{1,2,3,4,5,6}.所以，满足条件的情况只有a=3,b=4或a=4,b=3两种情况.所以，直线与圆相切的概率是.（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.因为，三角形的一边长为5,所以，当a=1时，b=5,（1,5,5）共1种；当a=2时，b=5,（2,5,5）共1种；当a=3时，b=3,5,（3,3,5）,（3,5,5）共2种[ ；当a=4时，b=4,5,（4, 4,5）,（4,5,5）共2种；当a=5时，b=1,2,3,4,5,6，（5,1,5）,（5,2,5）,（5,3,5）,（5,4,5）,（5,5,5）,（5,6,5）共6种；当a=6时，b=5,6,（6,5,5）,（6,6,5）共2种；故满足条件的不同情况共有14种.所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为.【考点】古典概型及其概率 .3.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子.（1）求得分X的分布列；（2）求得分大于6的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）X的取值为5、6、7、8.，，，.X的分布列为（2）根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为【考点】（1）随机变量的分布列；（2）求随机变量的概率4.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（Ⅰ）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.【答案】（1）;.【解析】（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：解（Ⅰ）设黑色球记为，白色球记为，摸出两球颜色恰好相同，有，即两个黑球或两个白球，共有4种可能情况.基本事件共有，共有10种情况，故所求事件概率.（Ⅱ）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故事件包括：共有25种情况，颜色不同包括：12种情况故所求事件的概率.【考点】求随机事件发生的概率.5.某射手一次射击中，击中环、环、环的概率分别是，则这位射手在一次射击中不够环的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知某射手一次射击中，击中环、环、环的事件是互斥的，而事件：“这位射手在一次射击中不够环”的对立事件为：“这位射手在一次射击中环或10环”，故所求概率P=1-(0.28+0.24)=0.48.故选A.【考点】互斥事件的概率和公式与对立事件.6.下列现象是随机事件的是()A．天上无云下大雨B．同性电荷，相互排斥C．没有水分，种子发芽D．从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到1号签【答案】D【解析】在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件．在一定条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。