高考数学 考前抢分训练填空题综合练 训练21 综合(五)

高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。

2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。

3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。

4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。

5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。

综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。

2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。

3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。

4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。

综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。

2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。

3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。

4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。

综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。

2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编051.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f x =5e x+1,x<0x2-6x+8,x≥0，g(x)=x2-ax+4，若y=g f x有6个零点，则a的取值范围为()A.4,+∞B.4,17 2C.4,5D.203,172∪4,52.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1-f(1-x)，若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x2025,y2025)，则2025i=1(x i+y i)=()A.0B.20252C.2025 D.607523.(山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知数列a n满足：a1=1，点n,a n+a n+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数k≠0，且a1,a2,a4成等比数列，则k的值为()A.2B.3C.4D.54.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =e x-a-a+1xx≥1，则使f x 有零点的一个充分条件是()A.a<-1B.-1<a<0C.0<a<1D.a>15.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f(x)=x2-2-x ln x，a= f(ln2)，b=f ln33，c=f1e ，则()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c6.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)若x=2是函数f x = ax2+2x-2e x的极小值点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,1C.-1,+∞D.1,+∞7.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x =sin6ωx+cos6ωx-1ω>0在0,π3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.32,3B.32,3C.3,92D.3,928.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知a，b为正数，若∀x>-b，有函数f x =x +b x -a ≥1，则1a +8b的最小值为()A.9+22B.9+42C.9D.639.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且P A =AB =2，侧棱P A ⊥底面ABCD ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为12π，则该四棱锥的表面积为()A.8+43B.8+63C.6+43D.8+4210.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f x =e x -xa-b ，当实数a >0时，对于x ∈R 都有f (x )≥0恒成立，则a 2b 的最大值为()A.-1e 2B.1e 2C.-2e 2D.2e 211.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数f (x )=e 2x -2ae x -4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是()A.0,12B.(0,1]C.12,+∞ D.(1,+∞)12.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知ω>0，函数f x =sin ωx 与g x =cos ωx 的图象在π,2π 上最多有两个公共点，则ω的取值范围为()A.0,14∪54,178 B.0,54∪94,178C.0,178 ∪94,218D.0,178∪94,5213.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=e x -3-e 3-x +x ，则满足f (2m -2)+f (m +1)>6的m 的取值范围是()A.(3,+∞)B.32,+∞C.13,+∞D.73,+∞14.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-ax +2a ,x <-11-ln (x +2),x ≥-1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[-2,+∞)D.[-2,0]15.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)定义x 为不超过x 的最大整数，区间a ,b (或(a ,b ),[a ,b ),(a ,b ])的长度记为b -a ．若关于x 的不等式k [x ]>2[x ]-6 的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为()A.0,45B.12,45C.12,1D.45,116.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为()A.313B.15C.14D.41317.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)对于x>0，e2λx-1λln x≥0恒成立，则正数λ的范围是()A.λ≥1e B.λ≥12eC.λ≥2eD.λ≥e18.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =xe3x-ln x-x-a x，若对任意的x>0，f x ≥1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-3,3B.-2,2C.-4,4D.-1,119.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)函数f x =sin x-cos x cos5x2+π4在区间-π,2π上的所有零点之和为()A.πB.2πC.3πD.420.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知函数f x 的定义域为0,1，当x=0或x=1或x是无理数时，f x =0；当x=nm (n<m，m，n是互质的正整数)时，f x =1m．那么当a，b，a+b，ab都属于0,1时，下列选项恒成立的是()A.f a+b≤f a +f b B.f a+b≥f a ⋅f bC.f ab≥f a +f b D.f ab≥f a ⋅f b21.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为()A.2B.1+2C.3D.1+322.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知x0为函数f(x)=x2e x+e2ln x-2e2的零点，则x0+ln x0=()A.1B.2C.3D.423.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab ,a =b +1 个小球，第二层有a +1 b +1 个小球，第三层有a +2 b +2 个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.424.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PD =2,∠APD =π4,∠BAD =π3，则三棱锥P -OCD 的外接球的体积为()A.423π B.823π C.1623π D.6423π25.(多选题)(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f (x )=(x -1)ln x -ax -a (a ≠0)在区间(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列选项正确的是()A.a 的取值范围是(0,1)B.x 1x 2=1C.x 1+1 x 2+1 >4D.ln x 1+2a <ln x 2<ln x 1+2a +4326.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k +1(k =0,1,2,3,⋯)是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记S k 为曲线P k 所围成图形的面积，则()A.P 3的边数为128B.S 2=4027C.P n 的边数为3×4nD.S n =85-35⋅49n27.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x3-ax+2,a∈R，则()A.f x 的图象关于点0,2对称B.∃a∈R,f x 仅有一个极值点C.当a=1时，f x 图象的一条切线方程为2x-y+4=0D.当a<3时，f x 有唯一的零点28.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.8a+8b有最大值82C.1a +1b有最小值4 D.a2+b2有最小值2229.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)函数f x =x+1x,x<03xe x,x≥0 ，关于x的方程f2x -m f x=0m∈R，则下列正确的是()A.函数f x 的值域为RB.函数f x 的单调减区间为-∞,0,1,+∞C.当m=12时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3e ,+∞30.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知幂函数f x =9m2-3x m的图象过点n,-1 m，则()A.m=-23B.f x 为偶函数C.n=364D.不等式f a+1>f3-a的解集为-∞,131.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x及其导函数f x 的定义域均为R，记g x =f x ，若g x+2的图象关于直线x=-2对称，且f x-1+f x+1=1+f-x，则()A.g x 是偶函数B.f x 是奇函数C.3为y=f x 的一个周期D.2025i=1g(i)=032.(多选题)(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)若存在实数b使得方程x4+mx 3+nx +b =0有四个不等的实根，则mn 的值可能为()A.-2024B.2025C.0D.-633.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f (x )=ln (cos x )+sin 2x ，则()A.f (x )=f (-x )B.f (x )在-π2,-π4单调递增C.f (x )有最小值D.f (x )的最大值为1-ln2234.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l :y =x -1与C 相交于A ，B 两点，则()A.p =2B.p =4C.AB =8D.FA ⋅FB=-435.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数φ(x )的定义域为R ，对于∀x ，y ∈R ，恒有φ(x +y )=φ(x )+φ(y )-t ，且当x >0时，φ(x )<t ，则下列命题正确的有()A.φ(0)=tB.φ(x )=φ(2t -x )C.φ(-2024)=2t -φ(2024)D.∀x ≠y ∈R ，(x -y )[φ(x )-φ(y )]<036.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，(3n +2)S n +1+(3n -1)S n -1=(6n +1)S n (n ∈N ，且n ≥2)，若a 1=12，a 2=15，则下列说法正确的是()A.a 5=114B.数列1a n为等差数列C.数列an a 2n +1中的最小项为12D.数列(-1)na n a n +1的前2n 项和T 2n 为18n 2+12n37.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知a >0,b >0，且2a +b =4，则()A.ab ≤1B.1a +2b≥2C.2a +b ≤22D.b 2a+4a ≥1238.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )与g (x )，且f (x ),g (x ),f (x ),g (x )的定义域均为R ，g (x )-f (6-x )=3，f (x )=g (x -2)，g (x +4)为奇函数，则()A.g (2)+g (6)=0B.f(x +4)为偶函数C.f (x )=f (x +8)D.2024k =1g (k )=0同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A.P A∪B=1 B.P B∪C=1325C.A与B相互独立D.B与C相互独立40.(多选题)(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)定义：设f x是函数f x 的导数，f x 是函数f x 的导数，若方程f x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y=f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f x =ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为1,1，则下列说法中正确的有()A.a=13，b=-1B.f110+f210 +⋅⋅⋅+f1810 +f1910 的值是19C.函数f x 有三个零点D.过-1,13只可以作两条直线与y=f x 图象相切41.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A.BM⊥平面PCDB.P A⎳平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为18πD.四棱锥M-ABCD的体积为1242.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)某学习小组用函数图象：C1:y=4+-x2+4x，C2:y=4+-x2-4x和抛物线C3:x2=2py部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是()A.抛物线C3的方程为C3:x2=4yB.|PB|+|FB|的最小值为4C.S△P AB的最大值为h34=352 D.若P在C1上，则P A ⋅PB 的最小值为-443.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2AA 1，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则()A.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都垂直B.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都相交C.有且仅有一个点M 满足△MAC 和△MB 1D 1的面积相等D.有且仅有一个点M 满足平面MAC ⊥平面MB 1D 144.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知P x 0,y 0 是曲线C :x 3+y 3=y -x 上的一点，则下列选项中正确的是()A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意x 0∈R ，直线x =x 0与曲线C 有唯一交点PC.对任意y 0∈-1,1 ，恒有x 0 <12D.曲线C 在-1≤y ≤1的部分与y 轴围成图形的面积小于π445.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =4，M ，N ，D ，Q 分别为棱AB ,AC ,B 1C 1,AA 1的中点，DQ ⊥QM ，则以下结论正确的是()A.B 1C 1⎳平面QMNB.AA 1=6C.点Q 到平面DMN 的距离为6D.三棱锥D -QMN 的外接球表面积为131π1846.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF =-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=047.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点，下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2-y2=8C.若QF1+QF2=8，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则PF2+PQ的最小值是5+32248.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知增函数f x的定义域为正整数集，f x 的取值也为正整数，且满足f f n=2n+1,n∈N*.下列说法正确的是()A.f1 =2B.f4 =6C.f2025=2536 D.对任意正整数n，都有f2n=3⋅2n-149.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立)，其向上的点数依次为a1,a2, a3，则事件“a1-a2+a2-a3+a3-a1=6”发生的概率为.50.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ≈109°28 ，设BC=1，则上顶的面积为.(参考数据：cosθ=-13,tanθ2=2)51.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x ln x，则f x 的最小值为；设函数g x =x2-af x ，若g x 在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是.52.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =3x ,0≤x ≤1,ln x ,x >1, 若存在实数x 1,x 2满足0≤x 1<x 2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-6x 1的取值范围为.53.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +2 -2为奇函数，f 3x +1 为偶函数，f 1 =0，则2024k =1f (k )=.54.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知a >0且a ≠1，函数f x =2x ,x ≥1a x,x <1 ，若关于x 的方程f 2x -5f x +6=0恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．55.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知三棱锥A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，若AB =26,CD =23，球O 的半径为7，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为．56.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =log 3(3sin x +9sin 2x +1)+1，则f (m -2)+f 2-m =．57.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)函数f x =8ln sin x +sin 22x 在区间0,π2上的零点个数为个．58.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知平面向量a=(2,1)，b 为单位向量，且(a +2b )⊥(a -b )，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为．59.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=2，且a n +1=a n +a n +2，则a 2029=60.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知不等式a +2ln x -2x2≤e x-1x恒成立，则实数a 的取值范围为．61.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)若函数f (x )=e xx 2+bx +1在x =2时取得极小值，则f (x )的极大值为．62.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=m x ,g (x )=3+ln x ，若存在两条不同的直线与曲线y =f (x )和y =g (x )均相切，则实数m 的取值范围为.63.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)已知样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6的平均数为3，方差为4，样本y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的平均数为8，方差为2，则新样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6,y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的方差为.1164.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)在△ABC 中，AB ⋅CB -AC ⋅BC =-12BC 2，则tan B -C 的最大值为.65.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知数列a n 的通项公式是a n =2n -1，记b m 为a n 在区间m ,2m m ∈N ,m >0 内项的个数，则使得不等式b m +1-b m >2062成立的m 的最小值为.66.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =-x 2-2x +1,x <0log 2x ,x >0 ，若方程f x =a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，x 4⋅x 1+x 2 +16x 3⋅x 24的取值范围是..67.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知曲线y =e x 在x =1处的切线l 恰好与曲线y =a +ln x 相切，则实数a 的值为．68.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)数学老师在黑板上写上一个实数x 0，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数x 0乘以-2再加上3得到x 1，并将x 0擦掉后将x 1写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数x 0除以-2再减去3得到x 1，也将x 0擦掉后将x 1写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x 2．现已知x 2>x 0的概率为0.5，则实数x 0的取值范围是．69.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108；现将所有由1，2，3组成的4位(如：1231，3211)四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．70.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.。

数列高考复习含答案———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++= 时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

2021届高考冲刺金卷（新课改5月）数学试题一、单选题1．若1zi i =-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i --C ．1i -D ．1i -+【答案】C【分析】先由复数的乘法化简复数z ，再根据共轭复数的概念可得选项. 【详解】因为2zi i i i ⋅=-，1z i -=--，所以1z i =+，所以1z i =-． 故选：C ． 2．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}0 2.5B x N x =∈≤<，则A B =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}02x x ≤<C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}0 2.50,1,2B x N x =∈≤<=，所以{}{}{}020,1,20,1A B x x ⋂=≤<⋂=. 故选:C ．3．火车站流动旅客较多，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某火车站安排6名防疫工作人员每天分别在A ，B ，C 三个进出口对旅客进行防护宣传与检查工作，每名工作人员只去1个进出口，A 进出口安排1名，B 进出口安排2名，剩下的人员到C 进出口，则不同的安排方法共有（ ） A ．48种 B ．60种 C ．100种 D ．120种【答案】B【分析】应用分步计数，首先从6人选1人去A ，再从5人选2人去B ，最后安排C ，由乘法公式求不同的安排方法数.【详解】1、从6名工作人员中选1名去A 进出口，方法数有16C ； 2、从其余5名工作人员中选2名去B 进出口，方法数有25C ； 3、剩下的3名工作人员去C 进出口，方法数有33C ．∴故不同的安排方法共有12365360C C C ⋅⋅=种．故选：B ．4．在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--【答案】B【分析】连接AC 与BD 交于O ，根据F 为三角形ACD 的重心，结合向量的运算法则，即可求解.【详解】连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点， 因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心， 所以()()112333a bAF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.5．已知圆柱1OO 中，点A ，B ，C 为底面圆周上的三点，CD 为圆柱的母线，2AC =，60ACB ∠=︒，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．1C 3D 3【答案】A【分析】由圆柱母线的性质易得CD ⊥平面ABC ，过点A 作AE BC ⊥，根据面面垂直的判定及性质可知AE 为点A 到平面BCD 的距离，由sin ∠=AEACB AC结合已知，即可求AE .【详解】如图所示，由题意知：CD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面BCD ， ∴平面BCD ⊥平面ABC ，又面BCD面ABC BC =，∴过点A 作AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，即AE 为点A 到平面BCD 的距离，在△ABC 中，sin ∠=AEACB AC，故sin 2sin603=⋅∠=⨯︒=AE AC ACB ， 故选：A6．已知双曲线2213-=-x y m m()03m <<的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，O 为坐标原点，1230PF F ∠=︒，1212OP F F =，则m 的值为（ ） A ．32B ．332C ．1D ．2【答案】B【分析】由题知12PF PF ⊥，进而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题知223,a m b m =-=，所以3c =， 因为1212OP F F =，所以12PF PF ⊥， 又1230PF F ∠=︒，所以13PF =，23PF =，所以由双曲线的定义可知123323-=-=-PF PF m ，解得332m =. 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得12PF PF ⊥，进而结合双曲线的定义求解.7．2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【分析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的． 故选：A.【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明. 8．已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是以下错误的为（ ）A ．01p ≤≤B ．()203-==pP ξη C ．()()2=+E E ηξ D ．()()()E E E ηξξη+=+【答案】C【分析】根据分布列的性质，以及概率的计算和期望的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由分布列的性质，可得2031020302p p p p -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎪⎨⎪≥⎪⎪⎪≥⎩，解得01p ≤≤，所以A 正确．对于B 中，()()2003-====pP P ξηξ，所以B 正确． 对于C 中，()13-=p E ξ，()32+=pE η，所以()()15322332-+++=+=≠=p p pE E ξη，所以C 错误． 对于D 中，()()11101,1326+===-==⨯=P P ξηξη，()3216-+==pP ξη，()2226-++==p p P ξη，()22336-++==p p P ξη，()246+==p P ξη， 计算得()576++=p E ξη，所以()()()E E E ξηξη+=+，所以D 正确. 故选：C ．二、多选题9．若21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ） A ．5n =B ．展开式中含4x 的系数为270C ．展开式的第4项为90-xD ．展开式中含有常数项【答案】ABC【分析】令1x =，可得21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和()1232-==n na ，解之求得n ；可判断A 选项，再运用二项式的展开式的通项公式可判断BCD 选项.【详解】令1x =，由题意可得()1232-==nna ，∴5n =，3a =．∴二项式为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭x x ，∴A对； ∴()()5251031551C 331C ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭rrr rr r rr T xxx ，令2r ，计算可知展开式中含4x 的系数为270，∴B 对；令3r =，所以()353310334531C 90T x x --⨯=⋅-⋅⋅=-，所以展开式的第4项为90-x ．∴C 对；令1030r -=，解得103r =，而r N *∉，所以展开式中不含有常数项， 故选：ABC ．【点睛】方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．10．流行病学调查，简称“流调”，是疫情防控工作中的重要一环，它为描绘清晰的病毒传播链、判定密切接触者、采取隔离措施以及划定消毒范围提供了科学依据．下图是某地183名“新冠”病例年龄分布“流调”数据，以下关于“流调”说法正确的是（ ）A ．51～60岁的中年人感染风险最高B ．年龄的中位数在51～60岁之间C ．婴幼儿抵抗能力较强D ．“隔离”相关人员是防止病毒传播的重要措施之一 【答案】ABD【分析】根据图表中的数据，逐项判定，即可求解.【详解】由图可知，51~60岁感染46人最多，所以A 正确；由于183********++=<，1833153446982+++=>， 所以年龄的中位数在51至60岁之间，故B 正确；中老年人外出较多，因此感染的风险就越高，而婴儿和外界接触少是感染者少的主要原因，并不是因为抵抗力强，所以C 错误， D 正确． 故选：ABD ．11．函数()()cos f x x ωϕ=+()02π≤<ϕ的部分图象如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．6π5=ϕ C ．函数()f x 在3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 图象的对称轴方程为ππ315=-k x ()k Z ∈ 【答案】AD【分析】由图象可得函数的周期2π3T =，求得3ω=，判定A 正确；根据五点对应法求得π5ϕ=，可判定B 错，由三角函数的图象与性质，可判定C 错，D 正确． 【详解】由图象可得函数的周期13ππ2π2π230103⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭T ω，解得3ω=，所以A正确；由五点对应法得ππ32π102⋅+=+k ϕ()k Z ∈，因为0πϕ≤<2，所以π5ϕ=，所以B 错，所以()πcos 35⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 当π2π32ππ5≤+≤+k x k ()k Z ∈时，函数()f x 单调递减， 取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图象的对称轴方程为π3π5+=x k ()k Z ∈，即ππ315=-k x ()k Z ∈，所以D 对． 故选：AD.12．设函数()f x 满足：①()21,0,log ,02,x f x x x =⎧=⎨<≤⎩；②()()22f x f x +=-；③()()22f x f x +=-．当0x >时，函数()f x 与函数y kx b =+[)(),0,1∈k b 交点的横坐标从左到右依次构成数列{}n a ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为0,1 B ．函数()f x 是偶函数C ．对任意的k ，[)0,1b ∈，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠D ．当0k =，0b ≠时，满足1128=>∑nii a的n 的最小值为17【答案】BCD【分析】A 应用特殊值直接判断正误；B 由递推关系判断()()f x f x -=是否成立；C 根据题设描述，直线与()f x 在0x >上恒有交点，可判断正误；D 结合图象，利用函数的对称性易知42=-x m ()m *∈N 为对称轴，即可判断正误.【详解】A ：当13x =时，得2211log log 3133⎛⎫==> ⎪⎝⎭f ，错误；B ：设0x <，0x ->，则()()()()()()()()222222-=-+-=-++=--+=f x f x f x f x f x ，故函数()f x 是偶函数，正确；C ：对∀k ，[)0,1b ∈，由y kx b =+总与()f x 图象在第一象限有交点，如下图示，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠，正确；D ：由②③可知，函数()f x 是周期为4的周期函数，且42=-x m ()m *∈N 为周期内的对称轴．而()0,1b ∈时()1614261014128==⨯+++=∑ii a．要使1128=>∑ni i a ，则n 取到的最小值为17，正确.故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：对于D 选项，根据()f x 的周期性及对称性，易知在每个周期内与y b =的交点横坐标关于42=-x m 对称，即可求1i ni a =∑，进而判断选项的正误.三、填空题13．已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，(),n n x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为24=-+y x ，若数据1x ，2x ，3x ，…n x 2计数据1y ，2y ，3y ，…n y 的均值为______． 【答案】2【分析】根据题意求得2x =2y =，即可得到答案.【详解】因为回归方程为24=-+y x ，且数据1x ，2x ，3x ，…，n x 2即2x =把x =42y ==，所以可以估计数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的均值为2． 故答案为：2．14．过点()1,1P -作斜率为k 的直线l 与圆()22:29C x y -+=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则k 的值为______．【答案】2-或12【分析】设直线l 的方程为()11y k x -=+，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】依题可设直线l 的方程为()11y k x -=+，即10kx y k -++=， 设圆()2,0C 到直线l 的距离为d，则d =所以==AB所以4=，解得2k =-或12. 故答案为：2-或12． 15．已知133log 80a =，=b 4log 102=c ，则a ，b ，c 的大小关系为______．【答案】b a c <<【分析】由对数运算得380log 3a =，进而得23a <<，5log 242b =<，3c =>，进而得答案.【详解】因为133380log log 803a ==，3332780812log log log 3333=<<=，所以23a <<，55log 24log 252==<=b ，4log 10log 223==>c ，所以b a c <<．故答案为：b a c <<【点睛】本题考查对数式的大小比较，对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用对数运算性质化简,,a b c ，进而借助中间量2,3实现大小比较.四、双空题16．飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有4辆飞车A 、B 、C 、D ，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车D 飞行在上圆周，飞车A 、B 、C 飞行在下圆周，且满足30BAC ∠=，4m =BC ，则ABCS的最大值为______2m ；若三棱锥D ABC -的最大体积为()31683m +，则球形飞车大棚的直径约为______m ．【答案】843+ 10【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得AB AC ⋅的最大值，进而可求得ABCS的最大值，求出ABC 的外接圆半径以及三棱锥D ABC -的高h 的最大值，利用球的截面圆的性质得出2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求出球形飞车大棚的半径，由此可得出结果.【详解】由余弦定理可得：(22162cos3023=+-⋅⋅︒≥⋅⋅AB AC AB AC AB AC ， 111sin 3084322223=⋅⋅︒≤=+-ABC S AB AC △ 设三棱锥D ABC -的高为hm ，由题中最大体积知，(142316833⨯+⋅=+h 6h =．由正弦定理可得：截面圆的直径428sin 30r ==，所以4r =．由球的截面性质可知球的半径R 满足222169252⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭h R r ，故5R =，球形飞车大棚的直径大约为10m ． 故答案为：843+10.【点睛】思路点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且636S =，______请在①35a =；②24621a a a ++=，③749=S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】选择见解析；（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-． 【分析】（1）由636S =，得到12512a d +=，分别选择①②③，列出方程组求得1,a d 的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2133-=n n na n ，利用乘公比错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-． 选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =， 所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =-=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）由（1）可得2133-=n n na n ， 所以23135213333-=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+-+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+-+++⋅⋅⋅+-=+n n n n T23411111112123333333+-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-- ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=⨯--=--n n n n n所以113n nn T +=-． 【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.18．在梯形ABCD 中，//AB CD ，<AB CD ．对角线AC ，BD 交于点O，且有AC =π4BDC ∠=，ACD α∠=． （1）用关于α的函数分别表示BD ，AB CD +； （2）若32AB =，52CD =，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值和ABC 的面积．【答案】（1）=BD α，+=AB CD αα；（2）210sin cos 5αα+=；34． 【分析】（1）过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理得25sin =AE α，π25sin 10sin 10cos 4⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα，进而得答案；（2）由题知210sin cos 5αα+=，此外由余弦定理222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅得2BD =，进而得34ABD S =△，所以34ABCS =. 【详解】解（1）如图，过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，则π4∠=∠=AED BDC ，AB ED =，BD AE =， 在三角形ACE 中，由正弦定理得，sin sin sin ==∠∠∠AE АC ECACD AEC CAE，所以10ππsin sin sin 44==⎛⎫+ ⎪⎝⎭AE ECαα， 所以25sin =AE α，π2510104⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα， 所以25sin =BD α，1010+=AB CD αα． （2）因为35422=+=+=EC AB CD ，10104=+=EC αα， 所以210sin cos 5αα+=； 因为4=+=+=CE DC DE DC AB ，AE BD =，代入余弦定理有222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅，即221610=28BD BD+-， 解得2BD =或32BD =， 当32BD =，此时322πsin sin 242525==>=BD α，与π4<α矛盾，所以2BD =， 所以11323sin 222224=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=ABD S AB BD ABD △．由于ABD △与ABC 等底等高，故ABD ABC S S =△△ 所以34ABCS=. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于过点A 作//AE BD 交CD 的延长线于E ，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理求解.19．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度H （单位：m ）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度H （m ）服从正态分布()2,0.122N μ，其中μ近似为样本平均数x ．记X 为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间()2.122,2.244的数量，求()E X ；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）附：若()2~,H N μσ，则()0.6827-<<+=P H μσμσ，()220.9545-<<+=P H μσμσ．【答案】（1）()2m ；（2）()1359E X =；（3）0.919．【分析】（1）根据直方图中各矩形的面积之和为1，可求得抽取树木高度为1.95 2.05-的频率，再运用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得样本的平均值；（2）根据（1）估计得2μ=，由正态分布密度曲线的性质求得概率()2.122 2.244P H <<，依题意知()~10000,0.1359X B ，从而根据二项分布的期望公式可得答案． （3）根据独立重复实验的概率公式可求得答案． 【详解】（1）抽取树木高度为1.95 2.05-的频率为()10.10.20.9 2.2 2.40.80.20.33-⨯+++++=，所以样本均值()1.70.02 1.80.09 1.90.222.00.33 2.10.24 2.20.08 2.30.022m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．（2）由第一问估计2μ=，()()2.122 2.24420.122220.122<<=+<<+⨯P H P H()0.95450.682720.13592-=+<<+==P H μσμσ，一棵树的高度位于区间()2.122,2.244的概率为0.1359，依题意知()~10000,0.1359X B ，所以()100000.13591359=⨯=E X ． （3）记移植五棵树中成活了Y 棵．()()()4455445C 0.90.10.90.919≥==+==⨯⨯+≈P Y P Y P Y ．【点睛】方法点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．如图，等腰直角ACD △的斜边AC 为直角ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将ACD △沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面DEF ⊥平面ABC ．已知2AC =，30B ∠=，（1）证明：//EF 平面ABD ；（2）若2DF =，求二面角A BC D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）由面面垂直和下面垂直的性质可得DG AC ⊥，DE AC ⊥，从而得到AC ⊥平面DEF ，根据线面垂直性质知AC EF ⊥，从而得到//EF AB ，由线面平行的判定可得结论；（2）以E 为坐标原点可建立空间直角坐标系，在根据角度和长度关系求得所需点的坐标和向量坐标后，根据二面角的向量求法可直接求得结果. 【详解】（1）证明：过D 做DG EF ⊥，垂足为G ，平面DEF ⊥平面ABC ，平面DEF ⋂平面ABC EF =，DG ⊂平面DEF ，∴DG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴DG AC ⊥，E 是等腰直角三角形ADC 斜边AC 的中点，∴DE AC ⊥，又DEDG D =，,DE DG ⊂平面DEF ，AC ∴⊥平面DEF ，又EF ⊂平面DEF ，∴AC EF ⊥， AC AB ⊥，∴//EF AB ，EF ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，//EF ∴平面ABD ．（2）在等腰直角ADC 中，2AC =，∴112DE AC ==， 由（1）可知：EF 为直角三角形BAC 的中位线，30B ∠=，32AB AC EF ∴==，3EF ∴=，2DF =，222EF DE DF ∴=+，DE DF ∴⊥，∴63DG =，33EG =． 以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0C ，()3,0F ，36⎛ ⎝⎭D ， ∴()3,0=-CF ，361,33⎛=- ⎝⎭CD ， 设平面CDF 的法向量(),,n x y z =，则3603330n CD x y z n CF x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1y =，解得：3x =2z =(3,1,2n ∴=，显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，23cos ,6m n m n m n⋅∴<>===⋅， 由图形知：二面角A BC D --为锐二面角，∴二面角A BC D --3【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线243y x =的焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交的弦长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，直线l 交椭圆C 于点A 、B ，直线m 交椭圆C 于点C 、D ，求22CD AB的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）)(21,2⎡⋃⎣． 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 为()12y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得AB ，同理可得CD ，分0k >、0k <两种情况讨论，利用基本不等式与不等式的基本性质可求得22CD AB的取值范围.【详解】（1）抛物线2y =的焦点为)F ，准线方程为x =设c =c =由椭圆的定义可得122a =，则2a =，1b ==，则椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）因为两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，所以可设直线l 为()1y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程代入椭圆方程2214x y +=得()()2222148420++-+--=k x k x k ，所以12+=x x，12=x x ，所以12=-==AB x同理214=+CD k所以2221116==-=-++CDAB k k， 当0k >时，所以1111216k k >-≥==++ 当且仅当16k k=时，即k =时，不等式中的等号成立， 所以22CDAB的取值范围为)2⎡⎣；当0k <时，所以111216<-≤=+++k k ， 当且仅当16k k =，即k =时，不等式中的等号成立，所以22CD AB 的取值范围为(1,2+， 综上，22CDAB的取值范围为)(21,2⎡⋃+⎣．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2e =+-xf x ax x ，()a R ∈1310e 3.67⎛⎫≈ ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明：()35f x >在()0,∞+恒成立． 【答案】（1）2ln 22a ≥-；（2）证明见解析．【分析】（1）求得()e 2'=+-x f x a x ，令()()g x f x '=，得到()e 2xg x '=-，求得函数()g x 的单调性，得到()()ln 2g x g ≥，由()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，即可求解；（2）当1a =-时，求得()e 12'=--xf x x ，由（1）得到()()min ln 20f x f ''=<，得到存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=，得出函数的单调性，求得()200min 1f x x x =-++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由()2e =+-x f x ax x ，可得()e 2'=+-xf x a x ， 记()()e 2'==+-xg x f x a x ，则()e 2xg x '=-， 当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()()ln222ln2≥=+-g x g a ，因为()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，又当0x >时，且12a x +<时，()e 2120'=+->+->x f x a x a x ， 所以()0f x '≥，即22ln 20+-≥a ，解得2ln 22a ≥-．（2）当1a =-时，()2e =--x f x x x ，所以()e 12'=--x f x x ，由（1）知()f x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以()()min ln212ln20''==-<f x f ．又因为()00f '=，()130f e '=-<，13 3.67 3.6010⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭f ，所以存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=， 所以当()00,x x ∈，()00f x '<，当()0,x x ∈+∞，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，且()000e 120'=--=xf x x ， 所以()()2220000000min 15e 124⎛⎫==--=-++=--+ ⎪⎝⎭xf x f x x x x x x ， 又因为0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以2201513156132410241005⎛⎫⎛⎫--+>--+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ， 所以()min 35>f x ，所以()35f x >恒成立． 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

高考数学临考突击专项训练系列 填空 211．已知集合}01211|{2<--=x x x A ，集合}),13(2|{Z n n x x B ∈+==，则B A ⋂等于2．为了得到函数y=cos(2x +4π)的图象，可以将函数y=sin （2x +2π）的图象向 平移 个单位长度3．函数y ＝cos 3x ＋sin 2x －cosx 的最大值等于4．设ax x f x 21)13(log )(3++=是偶函数，则a 的值为 5．已知函数f (x )＝32x 3＋32x ，则f (1101)＋f (2101)＋……＋f (100101)＝________________. 6．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于7．正弦曲线y=sin x 上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是8．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R.命题q ：函数xa y )25(--=是R 上的减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是9．已知函数y=f(x)（x ∈R ）满足f(x+1)=f(x —1)，且x ∈[—1，1]时，f(x)=x 2，则y=f(x)与y=log 5x 的图象的交点个数为10．若ABC ∆的内角满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 则角A 的取值范围是___ ___ 11．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为 ．12、点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为13．函数)(x f 是R 上的单调函数且对任意的实数都有1)()()(-+=+b f a f b a f .,5)4(=f 则不等式3)23(2<--m m f 的解集为14．（2012年安陆一中三模）已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．1． {2，8}2． 左 ， 4π3． 32274． 21-5． 506． π 7． ),43[]4,0[πππ⋃8． 1<a<29． 410． ⎪⎭⎫⎝⎛43,2ππ11． [-1 ．1213． (－1,34)14． ③．。

必刷03：高考热点填空题和双空题设AEG α∠=，则π3FEB α∠=-，2cos GE α=22πcos cos 3GE EF αα+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭圆()22:1C x y m -+=的圆心为当圆和线段AB 相切时，()()31:1311AB l y x -=-+--，即10211m -+∴=+，得92m =，当圆过B 点时，()22113m -+=，得9m =.故答案为：9,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为【答案】96【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排竞赛课程中即可.【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的则有：24C 6=种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：②2名同学各选择1个学科竞赛则有所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：()612496⨯+=种情况，故答案为：96.7．已知直线l ：32x y --则C 的实轴长为______．【答案】2【答案】278【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，根据题意得到点的坐标，代入求出参数p 的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，依题意可得设抛物线的标准方程为()220x py p =>，则8164p =，解得故该抛物线的焦点到准线的距离为278cm.故答案为：27812．已知n S 是等比数列{a 【答案】64【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解【详解】设等比数列的公比为则312374S a a a ==++，6S -【答案】43【分析】根据几何体平面展开图得到其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得【详解】由三棱锥A BCD -其中AC CD ⊥，AC CB ⊥又BC CD C ⋂=，,BC CD 所以13A BCD BCD V S AC -=⋅= 故答案为：4314．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第【答案】1512【分析】根据题意得到a 【详解】*A 的第1n +项为。

保分02 填空题保分训练保分系列内容简介：临近高考，咱们所剩的复习时间不是很多了，更应该注重基础知识和基本题型的掌握，提高自己的学习效率。

本系列主要就是为了夯实基础，采取保分政策，减少高考中的容错率，从而避免高考中发挥失误.一共二十组填空，选自优质的模考试卷中的13-15题，适用新高考. ☆☆第一组☆☆13．（2022•沈阳一模）函数f （x ）＝2cos x ﹣cos2x 的最大值为 32 ． 【解答】解：f （x ）＝2cos x ﹣cos2x ＝﹣2cos 2x +2cos x +1，设t ＝cos x ，t ∈[﹣1，1]，则g （t ）＝﹣2t 2+2t +1＝﹣2(t −12)2+32， ∴当t =12时，g （t ）max =32，∴函数f （x ）＝2cos x ﹣cos2x 的最大值为32， 故答案为：32．14．（2022•沈阳一模）若(2x −1x 2)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x 3项的系数为 ﹣192 ．（用数字作答） 【解答】解：由已知可得2n ＝64，则n ＝6，所以二项式的展开式的通项公式为T r +1＝C 6r (2x)6−r (−1x 2)r =C 6r ⋅26−r⋅(−1)r x 6−3r ，令6﹣3r ＝3，解得r ＝1，则x 3的系数为C 61×25×(−1)=−192，故答案为：﹣192．15．（2022•沈阳一模）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 12 ．【解答】解：记A 与A 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B 表示是女生，由题意可得，P （A ）=58，P （A ）=38，P （B |A ）=35，P （B |A ）=13， 由全概率公式可得，P （B ）＝P （A ）P （B |A ）+P （A ）P （B |A ）=58×35+38×13=12，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12，故答案为：12． ☆☆第二组☆☆13．（2021秋•聊城期末）经过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |的最小值为 4 ．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线斜率不存在时，令x ＝1得：y ＝±2，所以|AB |＝4，当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)y 2=4x 得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，k ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k 2，|AB|=x 1+x 2+p =2+4k 2+2=4+4k 2＞4， 所以，|AB |的最小值为4． 故答案为：4．14．（2021秋•聊城期末）已知α∈(−π2，π2)，且sinα+cosα=√55，则tan α的值为 −12 ．【解答】解：因为sinα+cosα=√55， 所以两边平方，可得1+2sin αcos α=15，可得2sin αcos α=−45＜0， 又因为α∈(−π2，π2)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以cos α﹣sin α=√(cosα−sinα)2=√1−(−45)=3√55， 解得sin α=−√55，cos α=2√55，则tan α=−12．故答案为：−12．15．（2021秋•聊城期末）甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为 12 ．【解答】解：甲箱中摸到红球的概率为P1=C31C51=35，乙箱中摸到红球的概率为P2=C21C51=25，硬币正面向上时摸到红球的概率为12×35=310，硬币正面向下摸到红球的概率为12×25=15，所以摸到红球的概率为310+15=12，故答案为：12．☆☆第三组☆☆13．（2022•福田区校级一模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则满足f（m）＞0的实数m的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：根据偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则f（1）＝0；故函数的图象如图所示：当m＝0时，满足条件；则满足f（m）＞0的实数m的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．（2018•咸阳二模）（x+y）（x﹣y）8的展开式中，x2y7的系数为20．【解答】解：（x+y）（x﹣y）8 ＝（x+y）（C80•x8−C81•x7y+C82•x6•y2−⋯−C87•x •y7+C88•y8），故（x+y）（x﹣y）8的展开式中x7y2的系数为−C81+C82=20，故答案为：20．15．（2022•福田区校级一模）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为14．【解答】解：每位同学从这4本书中随机抽取l本，基本事件总数为42＝16个，其中A、B两位同学抽到同一本书，包含的基本事件有4个，所以两位同学抽到同一本书的概率为P=416=14，故答案为：14．☆☆第四组☆☆13．（2022•茂名一模）已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为√52．【解答】解：双曲线C的方程为x 24−y2=1，可得a＝2，b＝1，则c=√a2+b2=√5．所以双曲线的离心率为：e=√52．故答案为：√52．14．（2022•茂名一模）函数f(x)=√3sin2x+2cos2x在区间[−π6，π6]上的最大值为3．【解答】解：函数f(x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+π6）+1，又x∈[−π6，π6]，所以2x+π6∈[−π6，π2]，则当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f（x）取最大值3，故答案为：3．15．（2022•茂名一模）已知函数f(x)={|log2x|，0＜x＜2−x+3，x≥2，若x1，x2，x3均不相等，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（2，3）．【解答】解：f（x）的大致图象如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，由图可得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）∈（0，1），即|log2x1|＝|log2x2|＝﹣x3+3∈（0，1），所以log2x1＝﹣log2x2，即log2x1+log2x2＝0，所以log2x1x2＝0，所以x1x2＝1，由﹣x3+3∈（0，1）得x3∈（2，3），所以x1•x2•x3∈（2，3）．故答案为：（2，3）．☆☆第五组☆☆13．（2022•山东一模）若sinα=cos(α+π6)，则tan2α的值为√3．【解答】解：由sinα=cos(α+π6)，得sinα＝cosαcosπ6−sinαsinπ6=√32cosα−12sinα，∴32sinα=√32cosα，得tanα=√33．∴tan2α=2tanα1−tan2α=2×√331−(√33)=√3．故答案为：√3．14．（2022•山东一模）若（1﹣2x）n的展开式中x3项的系数为﹣160，则正整数n的值为6．【解答】解：（1﹣2x）n的展开式的通项公式为T r+1=C n r1n−r(−2x)r= (−2)r C n r x r，又展开式中x3项的系数为﹣160，则（﹣2）3C n3=−160，则C n3=20，解得n＝6，故答案为：6．15．（2022•山东一模）已知f（x）为R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当﹣1＜x＜0时，f（x）＝2x，则f（2+log25）的值为−45．【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，f （2﹣x ）＝﹣f （x ）＝f （﹣x ），变形可得f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，则f （2+log 25）＝f （log 25﹣2）＝f （log 254），f （x ）为奇函数且当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＝2x ，则f （log 254）＝﹣f （﹣log 254）＝﹣f （log 245）=−45； 则f （2+log 25）=−45； 故答案为：−45． ☆☆第六组☆☆13．（2022•临沂一模）函数f （x ）＝xln （﹣x ），则曲线y ＝f （x ）在x ＝﹣e 处的切线方程为 y ＝2x +e ．【解答】解：求导函数可得f ′（x ）＝ln （﹣x ）+1， 当x ＝﹣e 时，f ′（﹣e ）＝lne +1＝2，∵f （﹣e ）＝﹣elne ＝﹣e ，∴切点为（﹣e ，﹣e ），∴曲线y ＝f （x ）在x ＝﹣e 处的切线方程是y +e ＝2（x +e ），即y ＝2x +e ． 故答案为：y ＝2x +e ．14．（2022•临沂一模）已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，Q （2，3）为C 内的一点，M 为C 上的任意一点，且|MQ |+|MF |的最小值为4，则p ＝ 2 ；若直线l 过点Q ，与抛物线C 交于A ，B 两点，且Q 为线段A ，B 的中点，则△AOB 的面积为 2√2 ．【解答】解：如图，过M 作MM 1垂直准线于M 1，由抛物线定义可知|MF |＝|MM 1|，所以|MQ |+|MF |＝|MQ |+|MM 1|，过Q 作QQ 1垂直准线于Q 1，交抛物线于P ，所以|MQ |+|MM 1|≥|PQ |+|PQ 1|， 所以当M 在P 处时，|MQ |+|MM 1|＝|PQ |+|PQ 1|＝|QQ 1|最小，此时|QQ 1|=3+p2=4，解得：p ＝2．所以抛物线标准方程为：x 2＝4y ．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有{x12=4y1x22=4y2，两式相减得：x12−x22=4y1−4y2，即（x1+x2）（x1﹣x2）＝4（y1﹣y2），因为Q（2，3）为线段AB的中点，所以x1+x2＝4，所以直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=x1+x24=1，所以直线AB的方程为：y﹣3＝1×（x﹣2），即y＝x+1，由A（x1，y1），B（x2，y2）符合{x2=4yy=x+1，消去y得：x2﹣4x﹣4＝0，所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，所以弦长|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16+16=8，而O到直线AB的距离为d=√12+(−1)2=√22，所以S△ABO=12|AB|⋅d=12×8×√22=2√2．故答案为：2；2√2．15．（2022•临沂一模）已知正三棱台ABC﹣A′B′C′的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为2π．【解答】解：过B作BD⊥A′B′，∵AB＝2，A′B′＝5，∴DB′=5−22=32，∵侧棱长为BB′＝3，∴∠DB′B=π3，即∠AA′B＝∠AA′C′＝∠C′A′B′=π3，则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长3×π3×2=2π，故答案为：2π．☆☆第七组☆☆13．（2022•岳阳一模）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y ）且tan （π﹣α）＝2，则sin α＝ 2√55．【解答】解：∵tan （π﹣α）＝2， ∴tan α＝﹣2，∵角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y ）， ∴α为第二象限角，∵sin 2α+cos 2α＝1 且sinαcosα=−2， ∴sinα=2√55． 故答案为：2√55． 14．（2022•岳阳一模）已知抛物线y =14x 2的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点Q （1，1），当△PQF 的周长最小时，点P 的坐标为 （1，14） ． 【解答】解：设l ：y ＝﹣1是抛物线的准线， 过P 作PH ⊥l 于H ，作QN ⊥l 于N ，则|PF |＝|PH |，F （0，1），|FQ |＝1，|PF |+|PQ |＝|PQ |+|PH |，易知当Q ，P ，H 三点共线时，|PQ |+|PH |最小，且最小值为1+1＝2，所以△PQF 的周长最小值为3，此时x p ＝1，y p =14，即P(1，14)． 故答案为：(1，14)．15．（2022•岳阳一模）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 36 种．（结果用数字作答）【解答】解：相声，跳舞看成一体，与唱歌，杂技全排列，共有A 33⋅A 22=12种， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，剩下3个空，小品选其一，有C 31=3种，故共12×3＝36种． 故答案为：36． ☆☆第八组☆☆13．（2022•潍坊一模）已知函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，则f （﹣1）+f（log 312）＝ 7 ．【解答】解：根据题意，函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，，则f （﹣1）＝2+log 22＝3，f （log 312）=3log 312−1=3log 34=4， 则f （﹣1）+f （log 312）＝7； 故答案为：7．14．（2022•广州一模）已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点P 在BC 边上（包括端点），则AD →⋅AP →的取值范围是 [﹣2，2] ．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），D （2，0），C （1，√3），D （﹣1，√3）当点P 在BC 上时，设P （x ，√3），x ∈[﹣1，1]，AD →=（2，0），AP →=（x ，√3）， 则AD →⋅AP →=2x ∈[﹣2，2]． 故答案为：[﹣2，2]．15．（2022•广州一模）已知三棱锥P ﹣ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP ＝AB ＝AC ＝2√3，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于4π3．【解答】解：将三棱锥P ﹣ABC 补全为棱长为2√3的正方体， 如下图所示，若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又OA=√6＞2，OP=3√2＞4，所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为π，面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为π12的圆弧，故弧长为π3，面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为π3的圆弧，故弧长为4π3，综上所述，最长弧的弧长为4π3．故答案为：4π3．☆☆第九组☆☆13．（2022•淮北一模）(2x−1x+2y)6展开式中的常数项是﹣160．【解答】解：要得到(2x−1x+2y)6中的常数项，需有3个因式取2x，其余的3个因式取−1x，故展开式的常数项为C63×23×C33×（﹣1）3＝﹣160，故答案为：﹣160．14．（2022•淮北一模）已知∀n∈N*，函数f（x）＝x﹣（a n+1）lnx在x∈（n，n+1）．有极值，设b n=[√a n]，其中[x]为不大于x的最大整数，记数列{b n}的前n项和为{S n}，则S100＝615．【解答】解：f（x）＝x﹣（a n+1）lnx，f′（x）＝1−a n+1x =x−(a n+1)x，∵∀n∈N*，函数f（x）＝x﹣（a n+1）lnx在x∈（n，n+1）上有极值，∴n＜a n+1＜n+1，∴n﹣1＜a n＜n，∴√n−1＜√a n＜√n，∵b n=[√a n]，∴n＝1时，0＜√a1＜1，b1＝0；同理可得：n＝2，3，4时，b2＝b3＝b4＝1；n＝5，6，7，8，9时，b5＝…＝b9＝2；n＝10，11，…，16时，b10＝…＝b16＝3；n＝17，18，…，25时，b17＝…＝b25＝4；n＝26，27，…，36时，b26＝…＝b36＝5；n＝37，38，…，49时，b37＝…＝b49＝6；n＝50，51，…，64时，b50＝…＝b64＝7；n＝65，66，…，81时，b65＝…＝b81＝8；n＝82，83，…，100时，b82＝…＝b100＝9．∴数列{b n}的前100项和S100＝0×1+1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19＝615．故答案为：615．15．（2022•唐山一模）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数，若ξ的数学期望E（ξ）＞0.05，则k的最小值为19．附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2）则P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：由已知可得X～N（μ，σ2），P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973，每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数为ξ，而每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9973＝0.0027，所以ξ～B（k，0.0027），故E（ξ）＝k×0.0027＞0.05，解得k≥19，即k的最小值为19．故答案为：19．☆☆第十组☆☆13．（2022•麒麟区校级一模）若（4x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4＝80．【解答】解：由于（4x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，当x＝0时，a0＝1，当x＝1时，a0+a1+a2+a3+a4＝34＝81，故a1+a2+a3+a4＝80，故答案为：80．14．（2022•麒麟区校级一模）已知函数f（x）＝log32−x2+x+b，若f（a）＝1，f（﹣a）＝3，则log b a＝0．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log32−x2+x+b，且f（a）＝1，f（﹣a）＝3，则f（a）＝log32−a2+a +b＝1，f（﹣a）＝log32+a2−a+b＝3，则f（a）+f（﹣a）＝log32−a2+a +log32+a2−a+2b＝log31+2b＝2b＝4，则b＝2，若f（a）＝1，则log32−a2+a=−1，解可得a＝1，故log b a＝0，故答案为：0．15．（2022•湛江一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF=π6，则椭圆C的离心率是√3−1．【解答】解：因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |，所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F '，连接BF '，AF '，又因为2|OF |＝|AB |＝2c ，可得四边形AFBF '为矩形，即|FF '|＝|AB |，且∠ABF ＝∠AF 'F ，在Rt △AFF '中，|AF |＝|FF '|sin ∠AF 'F ＝2c •sin ∠AF 'F ， |AF '|＝|FF '|cos ∠AF 'F ＝2c •cos ∠AF 'F ， 由椭圆的定义可得|AF |+|AF '|＝2a ， 所以2a ＝2c •（sin ∠AF 'F +cos ∠AF 'F ）， 因为∠BAF =π6，故∠AF 'F =π6， 所以离心率e =c a =12+√32=√3−1．故答案为：√3−1． ☆☆第十一组☆☆13．（2021秋•马鞍山期末）已知AB →=(−2，1)，AC →=(2，t)，|BC →|=4，则AB →⋅BC →= ﹣8 ．【解答】解：因为 BC →=AC →−AB →=（4，t ﹣1）； ∵|BC →|＝4，∴42+（t ﹣1）2＝42⇒t ＝1； ∴BC →=（4，0），∴AB →⋅BC →=−2×4+1×0＝﹣8； 故答案为：﹣8．14．（2022•辽宁一模）已知定义在R 上的函数f （x ）不是常值函数，且同时满足：①f （2+x ）＝f （2﹣x ）；②对任意x 1∈R ，均存在x 2∈R 使得f （x 1）＝2f（x 2）成立；则函数f （x ）＝ （x ﹣2）2 ．（写出一个符合条件的答案即可） 【解答】解：由f （2+x ）＝f （2﹣x ） 知：f （x ） 关于 x ＝2 对称， 由对任意 x 1∈R ，均存在 x 2∈R 使得f （x 1）＝2f （x 2）成立知： 函数值域为（﹣∞，0]或（0，+∞）或全体实数， ∴f （x ）＝（x ﹣2）2符合要求． 故答案为：（x ﹣2）2（答案不唯一）．15．（2022•辽宁一模）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育馆胜利开幕．冬奥会期间，北京市758个城市志愿者站点全部“开门迎客”，保障了北京冬奥会顺利举行现将含甲、乙、丙在内的6位志愿者分配到3个服务站点参加服务，要求每位志愿者只能去1个站点，每个站点至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有 114 种．（用数字作答）【解答】解：由题意可得分配方案共有3种：2，2，2；1，2，3；1，1，4． 对于方案2，2，2：有C 22C 42C 22A 22•A 33=18种；对于方案1，2，3：有C 22C 31•C 32•A 33+C 22•C 43•A 33=78种； 对于方案1，1，4：有C 22•C 32•A 33=18种．∴甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有18+78+18＝114种． 故答案为：114． ☆☆第十二组☆☆13．（2022•汕头一模）在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调全党同志要做到学史明理、学史增信、学史崇德，学史力行．某单位对200名党员进行党史知识测试，将成绩分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则a ＝ 0.050 ．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.025+0.035+0.040+a +0.030+0.020）×5＝1，解得a ＝0.050． 故答案为：0.050．14．（2022•汕头一模）已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ＝3，AD =BC =√2，点E 是CD 的中点，则AE →⋅BD →= ﹣2 ．【解答】解：如图，分别过点C ，D 作CG ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为G ，F ．由题得四边形ABCD 为等腰梯形，AF ＝BG ＝1，∴DF =√(√2)2−1=1，所以∠DAF ＝45°．由题得 AE →⋅BD →=(AD →+DE →)⋅(AD →−AB →)=(AD →+16AB →)⋅(AD →−AB →)=−56AB →⋅AD →+2−16×9 =−56×√2×3×√22+12=−2故答案为：﹣2．15．（2022•汕头一模）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，l 1，l 2为C 的两条渐近线，过C 的右焦点F 作l 1的垂线，垂足为A ，且该垂线交l 2于点B ，若BA →=3AF →，则曲线C 的离心率e ＝2√63．【解答】不妨设l 1为y =b a x ，l 2为y =−ba x ，过右焦点F 作l 1的垂线，垂足为A ，有该垂线交l 2于点B ，F （c ，0），则直线AB 的方程为y =−ab （x ﹣c ）， 联立{y =−ab (x −c)y =ba x ，解得A 的坐标为（a 2c ，abc ）， 联立{y =−a b (x −c)y =−b a x ，解得B 的坐标为（a 2c a 2−b 2，abcb 2−a 2）， 则BA →=（a 2c −a 2ca 2−b 2，abc −abcb 2−a 2），AF →=（c −a 2c，−ab c），∵BA →=3AF →，（a 2c−a 2c a 2−b2，ab c−abc b 2−a2）＝3（c −a 2c，−ab c），∴abc −abcb 2−a 2=−3abc ，∴4c =cb 2−a 2，即4（b 2﹣a 2）＝c 2＝b 2+a 2， ∴3b 2＝5a 2，∴b 2a 2=53，∴e =√1+b 2a 2=√1+53=2√63． 故答案为：2√63． ☆☆第十三组☆☆13．（2021•香洲区校级模拟）《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的 必要条件 ．（选“充分条件”必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空）【解答】解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要条件． 故答案为：必要条件．14．（2021•香洲区校级模拟）已知sin β2=√55，cos(α+β)=513，α∈（0，π2），β∈（0，π），则sin α＝1665．【解答】解：∵β∈（0，π），∴β2∈（0，π2）， ∵sin β2=√55，∴cos β2=√1−(√55)2=√1−525=√2025=2√55， 则sin β＝2sin β2cos β2=2×√55×2√55=45，cos β＝2cos 2β2−1＝2×2025−1=1520=35，即β∈（0，π2）， 则α+β∈（0，π）， ∵cos(α+β)=513， ∴α+β∈（0，π2）， 则sin （α+β）=1213，则sin α＝sin （α+β﹣β）＝sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=1213×35−513×45=1665，故答案为：1665．15．（2021•大庆模拟）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0），圆（x −p2）2+y 2＝1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点（A ，B 两点在x 轴的同一侧），若AB →=4CD →，则k 的值为 ±2√2 ． 【解答】解：设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），x 1＞0，x 2＞0， 由圆（x −p2）2+y 2＝1与y 轴相切，可得p2=1，即p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，圆（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心为（1，0），半径为1， 设过F 的直线的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线的方程y 2＝4x 联立，可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 可得x 1+x 2＝2+4k 2，x 1x 2＝1，① 由AB →=4CD →，即为|AB |＝4|CD |， 可得|AF |﹣1＝4（|DF |﹣1）， 即为x 1＝4x 2，②由①②可得x 1＝2，x 2=12，k ＝±2√2． 故答案为：±2√2． ☆☆第十四组☆☆13．（2021•惠来县校级模拟）测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米，某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，∠P AB ＝60°，∠PBA ＝45°，∠P AC ＝30°，则该建筑物CP 的高度为 100（√3−1） （单位：m ）．【解答】解：因为PC ⊥面ABC ，所以可得PC ⊥AC ，PC ⊥BC ， 在△P AB 中，P A =PCsin∠PAC =PC12=2PC ，在△P AB 中，∠P AB ＝60°，∠PBA ＝45°，所以∠APB ＝75° 由正弦定理可得PA sin∠PBA =ABsin∠APB ， 所以可得2PCsin45°=200sin75°，可得PC =100×√22√6+√24=100（√3−1），故答案为：100（√3−1）．14．（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 35 （用数字作答）．【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有A 33种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 A 33A 32A 21=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 A 33•（A 21•A 31）•A 33=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为A 33A 44=144，而所有的排法共有A 66=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为72+216+144720=35，故答案为 35．15．（2021•惠来县校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的内接△ABC 的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且CF →=2FK →，则椭圆离心率的取值范围是 （0，√33） ．【解答】解：由题意可设B （0，b ），F （c ，0），线段AB 中点为K ，且CF →=2FK →，可得F 为△ABC 的重心，设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 由重心坐标公式可得， x 1+x 2+0＝3c ，y 1+y 2+b ＝0， 即有AC 的中点坐标，可得 x =x 1+x 22=3c2，y =y 1+y 22=−b2，由题意可得中点在椭圆内， 可得9c 24a 2+14＜1，由e =ca ，可得e 2＜13，即有0＜e ＜√33． 故答案为：（0，√33）． ☆☆第十五组☆☆13．（2021•全国模拟）设F 1，F 2分别为双曲线x 2m 2−y 2m 2+5=1（m ＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=2π3，且|AF 1|＝3|AF 2|，则m ＝ 2 ．【解答】解：由双曲线x 2m 2−y 2m 2+5=1（m ＞0），得a ＝m ，b =√m 2+5，c =√2m 2+5，又A 为双曲线上的点，且|AF 1|＝3|AF 2|，∴|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ， 联立解得|AF 1|＝3m ，|AF 2|＝m ，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|F 1A|2+|F 2A|2−2|F 1A ||F 2A |cos ∠F 1AF 2，∴4×(2m 2+5)=9m 2+m 2−6m 2×(−12)，解得m ＝2（m ＞0）． 故答案为：2．14．（2021•全国模拟）若定义在R 上的非零函数f （x ），对任意实数x ，存在常数λ，使得f （x +λ）＝λf （x ）恒成立，则称y ＝f （x ）是一个“f ▫λ函数”，试写出一个“f ▫1函数”： y ＝sin （2πx ）（答案不唯一） ．【解答】解：由题意，“f ▫1函数”是非零函数，且对任意x ∈R ，都有f （x +1）＝f （x ）恒成立，所以f （x ）是周期为1的非零函数，例如非零常函数，y＝sin（2πx），y＝cos（2πx）等．故答案为：y＝sin（2πx）（答案不唯一）．15．（2021•全国模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若三棱锥A﹣A1B1C1的体积等于底面三角形边长的√32，则该正三棱柱的高与底面三角形边长的积为6；正三棱柱外接球表面积的最小值为8√3π．【解答】解：由题意，设底面边长为a，那么A1B1C1的面积S=12a2sin60°，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，根据三棱锥A﹣A1B1C1的体积V=13Sℎ=√32a，可得ah＝6．底面A1B1C1的外接圆的半径r=asin60°=2r，可得r=√3．由正三棱柱外接球R=√(ℎ2)2+r2=√ℎ24+a23由于ℎ24+a23≥2√(ℎa)212=2√3（当且仅当√3ℎ=2a时取等号）正三棱柱外接球表面积的最小值为S＝4πR2=8π√3．故答案为：8√3π．☆☆第十六组☆☆13．（2021•朝阳三模）写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z＝1+2i．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则z2+3＝（a+bi）2+3＝a2﹣b2+3﹣2abi为纯虚数，∴a2﹣b2+3＝0，2ab≠0，取a＝1，b＝2，则z＝1+2i，故答案为：1+2i．14．（2021•山东模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为y＝±√3x．【解答】解：由双曲线的定义，可得|MF2|﹣|MF1|＝|MF2|﹣|MN|＝|NF2|＝2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|＝a，又|F1F2|＝4|OP|，可得2c＝4a，即c＝2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±√3x．故答案为：y＝±√3x．15．（2021•山东模拟）2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A区B区C区D区E区外来务工人员数5000400035003000250080%90%80%80%84%留在当地的人数占比根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为y=0.8135x+a．该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为818.6万元．（参考数据：取0.8135×36＝29.29）×（5000+4000+3500+3000+2500）＝3600，【解答】解：由表知，x=15A，B，C，D，E五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为5000×80%＝4000，4000×90%＝3600，3500×80%＝2800，3000×80%＝2400，2500×84%＝2100，×（4000+3600+2800+2400+2100）＝2980，所以y=15因为样本中心点在（x，y）上，所以2980＝0.8135×3600+a，解得a=51，所以y =0.8135x +51，当x ＝10000时，y =0.8135×10000+51＝8186，所以估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为8186×1000＝818600元＝818.6万元． 故答案为：818.6． ☆☆第十七组☆☆13．（2021•宝坻区校级模拟）一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则白球的个数为 5 ；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ＝ 32 ．【解答】解：设白球的个数为y ，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79， 则C y 2+C y 1C 10−y1C 102=79，解得y ＝5，所以白球的个数为5；由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3， 所以P （ξ＝0）=C 53C 103=112，P （ξ＝1）=C 51C 52C 103=512， P （ξ＝2）=C 52C 51C 103=512，P （ξ＝3）=C 53C 103=112，则随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P112512512112则E （ξ）＝0×112+1×512+2×512+3×112=32． 故答案为：5；32．14．（2021•南开区模拟）已知a ＞0，b ＞0，且a +b 2＝1，则√ab−2的最小值为 −√33．【解答】解：a ＞0，b ＞0，且a +b 2＝1，令a ＝sin 2θ，b ＝cos θ，其中θ∈（0，π2），设点P （cos θ，sin θ），则动点P 在单位圆（第一象限弧MN ）上，A （2，0），如图所示，所以√ab−2=sinθcosθ−2表示P ，A 两点连线的斜率， 由图可知，当连线P A 与弧MN 相切时，斜率最小， 此时P A 的倾斜角为5π6，其斜率为tan 5π6=−√33， 即√ab−2的最小值为−√33． 故答案为：−√33． 15．（2021•南开区模拟）已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，∠BCD ＝60°，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若AD =√3，则EB →⋅EF →= 73 ；若EB →⊥EF →，则AD ＝3√3+3√194．【解答】解：过B 作BM ⊥DC 于M ，故AB ＝DM ＝2， ①因为BM ＝AD =√3，∠BCD ＝60°， 故CM ＝1，则DF =12DC =32，则EB →⋅EF →=（EA →+AB →）•（ED →+DF →）=EA →⋅ED →+EA →⋅DF →+AB →⋅ED →+AB →⋅DF →=13×√3×2√33×(−1)+0+0+2×32×1=73．②∵EB →⋅EF →=（EA →+AB →）•（ED →+DF →）=EA →⋅ED →+EA →⋅DF →+AB →⋅ED →+AB →⋅DF →=EA →⋅ED →+AB →⋅DF →=13AD ⋅23AD ×(−1)+2×（2√3）×12=0， ∴29AD 2=√33AD +2，∴AD =3√3+3√194， 故答案为：73，3√3+3√194．☆☆第十八组☆☆13．（2021秋•佛山期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，﹣5），则（1﹣i）z＝﹣2﹣8i．【解答】解：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，﹣5），所以z＝3﹣5i，所以（1﹣i）z＝（1﹣i）（3﹣5i）＝3﹣5﹣3i﹣5i＝﹣2﹣8i，故答案为：﹣2﹣8i．14．（2021秋•佛山期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，t）与焦点F的距离|MF|＝p，则M到坐标原点的距离为3√5．【解答】解：根据定义，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，t）与焦点F 的距离|MF|＝p，可得p2=3，解得p＝6，抛物线y2＝12x，x＝3时，t＝±6，∴点M的坐标（3，±6），则M到坐标原点的距离为：√9+36=3√5．故答案为：3√5．15．（2021秋•佛山期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，图中f(0)=12，f(5π12)=0，则f(−5π12)=−√32．【解答】解：根据三角函数f（x）＝sin（ωx+φ）在一个周期内的图象知，f（0）＝sinφ=12，且0＜φ＜π，所以φ=π6或φ=5π6（不合题意，舍去），φ=π6时，f（5π12）＝sin（ω•5π12+π6）＝0，因为ω＞0，所以5π12ω+π6=π，解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+π6），所以f（−5π12）＝sin[2×（−5π12）+π6]＝sin（−2π3）＝﹣sin2π3=−sinπ3=−√32．故答案为：−√32．☆☆第十九组☆☆13．（2021•全国三模）S n是等比数列{a n}的前n项和，若S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），则a＝﹣3．【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），∴a1＝S1＝a+1，a2＝S2﹣S1＝2a，a3＝S3﹣S2＝6a，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，∴4a2＝6a2+6a，解得a＝﹣3或a＝0（舍），综上，a＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（2021•湛江三模）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，且∠F1PF2=π2，△F1PF2的面积为a2，则双曲线C的渐近线方程为x±y＝0．【解答】解：F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，且∠F1PF2=π2，△F1PF2的面积为a2，可得：||PF1|﹣|PF2||＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，12|PF1||PF2|＝a2，解得a＝b，所以双曲线的渐近线方程为：x±y＝0．故答案为：x±y＝0．15．（2021•海南三模）已知m＞0，n＞0，m+n＝1，则1m +2n+1的最小值为32+√2．【解答】解：∵m＞0，n＞0，m+n＝1，∴12（m+n+1）＝1∴1m +2n+1=12（1m+2n+1）•（m+n+1）=32+12（n+1m+2mn+1）≥32+12×2√n+1m⋅2mn+1=3 2+√2，当且仅当n+1m=2mn+1时取等号，∴1m +2n+1的最小值是32+√2．故答案为：32+√2．☆☆第二十组☆☆13．（2021秋•淄博期末）在(x−√x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为15．【解答】解：在(x−√x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，故n ＝6；所以(x−√x )6的展开式T r+1=C6r x6−r⋅√x)r=（﹣1）r•C6r⋅x6−32r，令6−32r=3，解得r＝2．故展开式中含x3项的系数为(−1)2⋅C62=15．故答案为：15．14．（2021秋•威海期末）已知抛物线C1：y2=8x，圆C2：x2+y2−4x+3=0，点M（1，1），若A，B分别是C1，C2上的动点，则|AM|+|AB|的最小值为2．【解答】解：由抛物线C1：y2＝8x得焦点F（2，0），准线为x＝﹣2，由圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0得（x﹣2）2+y2＝1，所以C2是以F（2，0）为圆心，r＝1为半径的圆，所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1，当且仅当A，B，F在一条直线上时，取等号，所以当|AM|+|AF|取得最小值时，|AM|+|AB|取得最小值，根据抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x＝﹣2的距离，所以过点M作准线x＝﹣2的垂线，垂足为N，与抛物线C1：y2＝8x相交，当点A为此交点时，|AM|+|AF|取得最小值，最小值为|1﹣（﹣2）|＝3，所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1≥3﹣1＝2．故答案为：2．15．（2021秋•淄博期末）已知函数f（x）＝x（e x+1），g（x）＝（x+1）lnx，若f（x1）＝g（x2）＝m（m＞1），则x1+x1x2lnm的最小值为e．【解答】解：g（x）＝（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx＝f（lnx），则f（x1）＝f（lnx2）＝m（m＞1），因为f(x1)=x1(e x1+1)＞1，故x1＞0，又当x＞0时，f'（x）＝（x+1）e x+1＞0恒成立，即f（x）＝x（e x+1）单调递增，所以x1＝lnx2，则x1+x1x2lnm =x1(1+x2)lnm=x1(1+e x1)lnm=f(x1)lnm=mlnm，令ℎ(x)=xlnx (x＞1)，ℎ′(x)=lnx−1(lnx)2，当x∈（1，e）时，h（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）在x＝e处取得最小值，h（e）=elne =e，即x1+x1x2lnm的最小值为e．故答案为：e。

江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（）A．B ．C．D．第(2)题已知集合，，则（ ）A ．或B．C ．或D．第(3)题设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为A ．6B ．7C ．13D ．14第(4)题已知函数，，当时，，的值分别为（ ）A ．1，0B ．0，0C ．1，1D ．0，1第(5)题若数列的前项和为，且，则（ ）A ．684B ．682C ．342D ．341第(6)题已知，，则（ ）A．B．C．D．第(7)题过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．第(8)题若函数满足对都有，且为上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集为第(2)题已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（）A．B．C．椭圆的离心率为D．直线的斜率的绝对值为第(3)题已知，函数的定义域为，且满足当时，，当时，，则下列说法正确的是（）A．若存在极值点，则B．若，，则C．若方程在区间上恰好有三个解，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________．第(2)题已知双曲线：的左右焦点分别为，，为右支上一动点，的内切圆的圆心为，半径，则的取值范围为______．第(3)题若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一个盒子里装有大小均匀的个小球，其中有红色球个，编号分别为；白色球个, 编号分别为, 从盒子中任取个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）．（1）求取出的个小球中，含有编号为的小球的概率；（2）在取出的个小球中, 小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列．第(2)题已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点.(1)求的值；(2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点.第(3)题已知各项为正数的数列满足，对任意的正整数，，都有成立.（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和.第(4)题南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.(1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．(2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.第(5)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．(1)写出曲线的极坐标方程；(2)若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．。

高三文科数学第一轮复习综合训练题（五）一、选择题1．集合P={x|x 2=1}，Q={x|mx=1}，若Q ⊆P ，则m 等于 （ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0,1或-12．已知函数f （x ）=x-11定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域N ，则M ∩N等于（ ）A ．{x|x>-1}B ．{x|x<1}C ．{x|-1<x<1}D ．φ 3．以下有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题1,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x xR x p x xR x p 均有则使得4．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 5．函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈=,1,log )1,(,32x x x y x 的值域为（ ）A ．（0，3）B ．[0，3]C ．(]3,∞-D ．[)+∞,06(|log=x y 的图像大致是( )D 7． 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=- C ．cos(4)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-8．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ） A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x yD ．22sin y x =9．已知函数23)(23+-+=x xaxx f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，-3)B ． (-∞，-3)C ．(-3,0)D ．[-3,0]10． 已知函数f （221)1xxx x +=-则f （3）=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题： 13．若函数f （x ）=（x-1）（x-a ）为偶函数，则a=___________． 11．若=--∈=-)sin(),0,2(35)2cos(a a a πππ则且___________12．给出下列命题： ①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④8π=x是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；其中正确命题的序号是_______________．三、解答题：13．设条件p ：2x 2-3x+1≤0，条件q ：x 2-（2a+1）x+a （a+1）≤0，若p ¬是q ¬的必要不充分条件，求实数a 的去值范围．14．已知函数f （x ）=ax 3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导数f /(x)的 最小值为-12,求a,b,c 的值．15．已知函数.2321)3(,2)0(,cos sin cos2)(2+==+=πf f x x b x a x f 且（1）求a ，b 的值； （2）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合；（3）写出函数)(x f 在[0，π]上的单调递减区间．。

高考填空题提升训练1．已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图,其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边, cos ()+12C C f =,则ABC ∆的面积S =. 2．在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈．则1a ＝，经猜想可得到n a ＝．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．4．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为；若该平面区域存在点00(,)x y 使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值X 围是.5．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-≥，121,3a a ==，记12n n S a a a =+++．则3a =，2015S =．6．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d+=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当d x c ≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是．7．若ABC ∆的重心为G ，5,4,3===BC AC AB ，动点P 满足GC z GB y GA x GP ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于．8．如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为.9．如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD .(1)若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直；(2)当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点；(3)截面四边形EFGH 的周长有最小值；(4)若AB ⊥CD ，AC BD ⊥，则在四面体内存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是．10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为11．如图是导函数)(x f y '=的图象:①2x 处导函数)(x f y '=有极大值；②在41,x x 处导函数)(x f y '=有极小值；③在3x 处函数)(x f y =有极大值；④在5x 处函数)(x f y =有极小值;以上叙述正确的是____________。