二维形式的柯西不等式

周练 5:已知 2 x2 y2 =1,求 2x y 的最大值.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.

二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。

柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。

下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。

接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。

然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。

因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。

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6.若 a>1，b>1，则b－a21＋a－b21的最小值为____8____.
b－a2 1＋a－b2 1≥a＋a＋b－b22， 令 a＋b－2＝t，则a＋a＋b－b22＝t＋t22＝t＋4t ＋4≥8， 当且仅当b－a 1＝a－b 1， 即 a＝b＝2 时取等号，
a＋b－2＝2， 所以b－a2 1＋a－b2 1的最小值为 8.
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5.f(x)＝2sin25x＋3＋5cos82x＋6的最小值为___83_17____.
f(x)＝2sin25x＋3＋5cos82x＋6 ＝52sin522x＋3＋25co4s22x＋6≥10sin2x5＋＋c4os22x＋27＝3871， 当且仅当52sin52x＋3＝25cos42x＋6， 即 sin x＝±35，cos x＝±23时取等号.
跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x12＋y82 的最小值为__2_7___. x12＋y82＝1x23＋2y23≥1x＋＋2y23＝27，当且仅当1x＝2y，即 x＝13，y＝23时取等号.
(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则a＋2 b＋b＋2 c＋a＋2 c 的最小值为
0
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
方法二 由柯西不等式得
|2x＋y|≤ 3x2＋ 2y2
232＋
1
2
2
Байду номын сангаас
0
＝ 3x2＋2y243＋12≤ 11， 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

xn x1 )

x1 x2
2



x2 x3
2



xn1 xn
2

xn x1
2




2
x2
2
x3

2
xn
x1
2
≥
x1 x2
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.

y的最小值.
解
:

x,
y,a,b
R ,
a x

b y

1,

06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。

猜想柯西不等式的一般形式
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
x12
x
2 2
xn2
y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已 知x,
y,
a,
b
R
,且
a x
b y
1,求x
y的 最 小 值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ，
将 平 面 向 量 的 坐 标 代，入化 简 后 得 二 维 形 式
的 柯 西 不 等(式a:12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立. 类 似 地,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22 x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22 x12 2x1x2 x22 y12 2 y1 y2 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2

作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb

问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a

2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
思考：你还有哪些证明方法？
一、向量法： m (a, b), n (c, d ), ac bd m n m n cos m n a 2 b2 c 2 d 2
(a b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2 2
二、二维的Cauchy不等式 • 定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时, 等号成立 .
• 定理2:(柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量 , 则 , 当且 // 仅当等号成立 .
2 2 2 3 3 2
三、例题探究
若a, b, c, d都是实数 , 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
6 例2.已知x, y R,若|x y| 1,证 : 2 x 3 y . 5
2 2
1 1 1 1 2 6 2 2 2 1) (2 x 3 y )( ) ( 2 x 3 y ) ( x y) 1, 2 x 3 y 2 3 5 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2) (2 x 3 y )(3 2) ( 2 x 3 3 y 2 ) 6( x y) 6,即2 x 3 y 5 6 2 2 变式：已知x, y R,若2 x 3 y , 证 : |x y| 1. 5
练习
练习 1 ：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值 .
练习 2：已知a b 9, 求证： a cos b sin 3

立,两边平方,得 9(1+sin2x)=16(1-sin2x).
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2


+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+

2
2
1
2
+
1
2
1

2

1
1
= ,且 2 + 2 =1,即



≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +

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3.已知 2x2+y2 =1,则 2x+y 的最大值是 答案: 3 解析:2x+y= 2 × 2x+1×y ≤ ( 2) + 12 ×
2
.
( 2x) + y 2 2x 2 + y 2 = 3.
2
= 3×
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4 .求函数 y= x 2 -2x + 3 + x 2 -6x + 14的最小值. 解:y= (x-1) + 2 + (3-x) + 5,根据柯西不等式,有 y =(x-1) +2+(3-x) +5+2 [(x-1) + 2][(3-x) + 5] ≥(x-1)2 +2+(3-x)2 +5+2[(x-1)(3-x)+ 10] =[(x-1)+(3-x)]2 +( 2 + 5)2 =11+2 10. 当且仅当 5(x-1)= 2(3-x),即 x=
2
(2-a)+(2-b).
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证明:由柯西不等式,有
a2 b [(2-a)+(2-b)] + 2-a 2-b
2 2 2
=[( 2-a) +( 2-b) ]
2
2
a 2-a
+
2
b 2-b
≥
2-a ×பைடு நூலகம்
2
a 2-a
+ 2-b ×
b 2-b
=(a+b)2=4.
a2 b 4 则 + ≥ =2, 2-a 2-b (2-a)+(2-b)

由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
设f ( x) x , p, q 0,且p q 1,求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
x2 x3
x3
L

xn1 xn

xn
xn x1
x1
x1 x2 L xn 2 ,
于是
x12 x2

x22 x3
L

x2 n1 xn

xn2 x1
≥
x1

x2 L

xn
.
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.

柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。

四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。

柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad ＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187. 设a1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. 证明：(a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22)＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2， 所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围． 解：由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3. 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，则|x －1|＋|x ＋1|≥3.即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b .证明：因为a >0，b >0， 所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b.柯西不等式的证明[典例引领]若a ，b ，c ，d 都是实数，求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．【证明】 因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2 ＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－b 2d 2－2acbd ＝a 2d 2＋b 2c 2－2adbc ＝(ad －bc )2≥0， 当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．证明：如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． 由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.证明：因1a ＋12b ＋13c ＝1， 又a ，b ，c ∈R ＋，故由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.利用柯西不等式求最值[典例引领]已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)， 所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )， 根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得[2x ＋(－1)y ＋(－2)z ]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)，将2x －y －2z ＝6代入其中，得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x ＋y ＋z ＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值．解：根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.函数与柯西不等式的综合问题[典例引领](优质试题·贵州省适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最小值；(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m .【解】 (1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －5|， 所以f (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6（x ≥5）4（1<x <5），6－2x （x ≤1）所以f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得 [1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )]， 即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2)，所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝3时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.求解函数与柯西不等式综合问题的步骤(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m)．(2)根据M(或m)构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解．(优质试题·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋3bt的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，可得－b－a<x<b－a，所以－b－a＝2且b－a＝4.解得a＝－3，b＝1.(2)利用柯西不等式，可得－3t＋12＋3t＝3(4－t＋t)≤3（1＋1）（4－t＋t）＝64－t＋t＝26，当且仅当t＝4－t，即t＝2时等号成立．利用柯西不等式解决问题的关键是构造柯西不等式的结构形式．二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2反映4个实数之间的特定关系．利用其求最值时，注意构造常量a ＋b 2(或c 2＋d 2)．用柯西不等式求最值或证明不等式时，注意等号成立的条件．1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.证明：因为(12＋12)[⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2]≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解：因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. 所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c 的最小值为2.3．已知x ，y ，z 均为实数．若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号． 4．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.解：(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3， 因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c )。

[思维启迪] 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组 数，对柯西不等式的原型，两组数可取为
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.

知识点二 求最值
3．函数 f(x)＝ 1－cos 2x＋cos x，则 f(x)的最大值是( )
A. 3
B. 2
C．1
D．2
解析：∵f(x)＝ 2· sin2x＋cos x.
又( 2· sin2x＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，
∴f(x)＝ 2 sin2x＋cos x≤ 2＋1sin2x＋cos2x＝ 3， 当且仅当 cos x＝ 33时取等号， ∴f(x)的最大值为 3. 答案：A
4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2 的最小值为________．
解析：由柯西不等式得，(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2， 所以 5(m2＋n2)≥52，得 m2＋n2≥5，所以 m2＋n2≥ 5.
答案： 5
知识点三 柯西不等式的向量形式的应用
θ2＋sinb
θ2·
1
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2.
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
≥
a1b1·
ab11＋
a2b2·
a22 b2
＝(a1＋a2)2.
a22 b2
2．设mx22＋ny22＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.
证明：因为mx22＋ny22＝1， 所以 x2＋y2＝(x2＋y2)mx22＋ny22 ≥x·mx ＋y·ny2 ＝(m＋n)2.
a2＋b2· c2＋d2≥__|_a_c_＋__b_d_| _(a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥_|_a_c_|＋__|b_d_|_(a，b，c，d∈R)．