金属自由自由电子气体模型及基态性质
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金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由,而是要受到金属离子的周期势场的作用,因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F。
布洛赫和L。
—N。
布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别(见能带理论,半导体),并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后,在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来,研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下,相互作用能在系统能量中占主导地位,相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用,其运动范围受到了限制,因此,动能就会远小于相互作用能。
这时候,哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi)近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足,在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下,得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。
盒子内部势能为0。
盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法。
金属自由电子气理论特鲁德电子气模型:特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德(Paul Drude )模型的基本假设11.自由电子近似:传导电子由原子的价电子提供,离子实对电子的作用可以忽略不计,离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。
2.独立电子近似:电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时,忽略电子之间的碰撞,两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行(与经典气体模型不同,电子之间没有碰撞,电子只与离子实发生碰撞,这一点我们将在能带论中证明是错误的。
)特鲁德(Paul Drude )模型的基本假设23.玻尔兹曼统计:自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似:电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ,τ称为弛豫时间(即平均自由时间)。
每次碰撞时,电子失去它在电场作用下获得的能量,即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=(或j E σ=),其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难:传导电子的热容根据理想气体模型,一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ,故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈(卡/molK.)但金属在高温时实验值只有6(卡/molK.),即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年:泡利不相容原理 1926年:费米—狄拉克量子统计 1927年:索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计,认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级,费米面等重要概念,并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。