金属自由电子气模型.pptx
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金属自由电子气模型ppt课件
2k 2 E 2m
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
固体物理第一章课件
1
3
E = V ∫0 g ( E ) EdE = V ∫0
F
E
E
F
E 2m3 2m3 E 2m 3 2 2 F 2 EdE = V E dE = V E ∫ 0 π2ℏ 3 π2 ℏ 3 π2 ℏ 3 5 F
3
5
E=3E N 5 F
能态密度的更一般形式
g ( E )= dN dE
E k =const.
NZ NZ NZ
自由电子模型的物理思想
◆ 自由电子近似 离子静止，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子运动范围 仅受限于晶体表面势垒，被限制在晶体内部 ◆ 独立电子近似 忽略电子和电子之间的相互作用 ◆ 驰豫时间近似
Zn Zm ℏ2 e2 H= −∑ ∇n 2 + ∑′ 1 2 n, m 4πε0 R − R n =1 2M n n m Zn e2 ℏ 2 2 e2 1 1 1 −∑ ∇i + ∑′ −∑∑ 2 i =1 2m i , j 4πε r − r i =1 n=1 4πε r − R i 0 i 0 i j n
kF = 3π2 ne
ℏ 2 kF 2 2m
1/3
108cm -1 2~10eV
费米能量：
EF=
费米动量： 费米速度： 费米温度：
pF = ℏk F
υF = ℏkF /m T F = EF / k B
108cm/s 104 ~105 K 参见表 1.1
单位体积内的平均能量
T=0时，单位体积内的平均能量为：
Drude 模型：应用经典力学，服从经典统计，麦克斯韦- 玻耳兹曼分布 Sommerfeld 模型：应用量子理论，服从量子统计，费米-狄拉克分布
f ( E )= e
高二物理竞赛课件：金属中的自由电子模型
dE
dE
hE
E 2kx2 2m
dkx 2
2m dE E
三维情况：
自由电子波函数
(r) A exp(ik r) Aei(kxxky ykzz)
能量
E
2
(k
2 x
k
2 y
kz2 )
2k 2
2m
2m
一个点子占有的“体积” =( 2 )3
密度
( L )3= V
2 8 3
L
能量在E--E+dE范围内的量子态数为：
式中，A1,A2,A3是归一化常数。
电子的波矢分量满足：
kx
nx
L
,ky
ny
L
, kz
nz
L
nx，ny，nz可取任意的正整数。最终结果为：
(x, y, z) Asin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
E
22
2mL2
(nx2
n
2 y
nz2 )
晶体中自由电子的本 征态波函数和能量均有 一组量子数来确定。能 量的取值可以是分立的， 形成能级。当晶体的线 度L很大时，能级成为 准连续的。
其中A是归一化常数。
周期性边界条件----行波解
晶体内部的周期性势场不能忽略，假想所研究的晶体是许许多多首尾相连的 完全相同的晶体中的一个，每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有 限性对内部例子运动状态的影响。
在周期性边界条件下，不限定波函数在边界上的值，而是要求波函数的性 质延续到下一块晶体。
在 k 空间中电子占据区域最后形成一个球，称为费米球。费 米球的半径称为费米波矢，用来 kF 表示。
k空间从原点到半径为kF的球面之间的量子态数正好等于电子数 目，则此球称为费米球。
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在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
JQ T
(1.5.1)
此即Fourier’s Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度 梯度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率
(1.2.2)
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/，它们受到碰撞后无规取向（动量 无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡 献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于
(dt / ) F (t) dt
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
凝胶模型 （Jellium model）
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合 体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金 属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场 中运动，相对势能为零。
2) 传导电子密度 （电子密度）
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假 定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联 （电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）
Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。
2. 金属的直流电导
1) 电导率
欧姆定律（Ohm’s law）： V I R
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d
d d
(t)
F (t)
md
(t)
dt
(1.2.5)
碰撞的作用，相当于一个阻尼项
欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？
按照Drude模型分析：
假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
p(t
dt
)
1
dt
[
p(t)
F
(t)dt]
上式中F(t)是电子所受的外力。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na:
Na 蒸汽 Na 固体
KLM 1s 2s2p 3s 281
传导电子
conduction electron
芯电子(core electrons)
3s 轨道半径 0.19 nm
最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型和凝胶模型
1）传导电子和芯电子
将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：
1 n
V N
4
3
rs3
定义电子占据体积的等效球半径：
rs
3
1/ 3
4n
rs的典型值Å。
3) Drude模型的假设
（1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子——电子之间的相互作用
第四章 金属自由电子气模型
§1 金属的Drude模型
• 金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材 料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热 导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的 发端。
• 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据 气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的 电子看到由电子组成的理想气体。
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
可以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套 用理想气体热导率公式得：
1 3
CV
1 3
CV
2
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。
计算比值：
1 3
cV
m
2
ne2
应用经典统计的结果：
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/
通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。
这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞， 电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动， （如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自 由运动时间后再一次受到碰撞。
3
0.22
rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻，尔为半金径属。电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍
对于恒定外电场的稳态情况，
dd
(t)
0, F
eE
dt
(1.2.5)式为：
d
eE
m
(1.2.6)
相应地：
J
ne d
ne2
m
E
J E
ne2
m
(1.2.7) (1.2.8)
2）金属中电子的弛豫时间
m
ne2
m
ne2
(1.2.9)
在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻 值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：
则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
JQ T
(1.5.1)
此即Fourier’s Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度 梯度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率
(1.2.2)
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/，它们受到碰撞后无规取向（动量 无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡 献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于
(dt / ) F (t) dt
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
凝胶模型 （Jellium model）
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合 体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金 属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场 中运动，相对势能为零。
2) 传导电子密度 （电子密度）
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假 定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联 （电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）
Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。
2. 金属的直流电导
1) 电导率
欧姆定律（Ohm’s law）： V I R
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d
d d
(t)
F (t)
md
(t)
dt
(1.2.5)
碰撞的作用，相当于一个阻尼项
欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？
按照Drude模型分析：
假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
p(t
dt
)
1
dt
[
p(t)
F
(t)dt]
上式中F(t)是电子所受的外力。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na:
Na 蒸汽 Na 固体
KLM 1s 2s2p 3s 281
传导电子
conduction electron
芯电子(core electrons)
3s 轨道半径 0.19 nm
最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型和凝胶模型
1）传导电子和芯电子
将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：
1 n
V N
4
3
rs3
定义电子占据体积的等效球半径：
rs
3
1/ 3
4n
rs的典型值Å。
3) Drude模型的假设
（1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子——电子之间的相互作用
第四章 金属自由电子气模型
§1 金属的Drude模型
• 金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材 料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热 导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的 发端。
• 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据 气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的 电子看到由电子组成的理想气体。
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
可以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套 用理想气体热导率公式得：
1 3
CV
1 3
CV
2
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。
计算比值：
1 3
cV
m
2
ne2
应用经典统计的结果：
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/
通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。
这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞， 电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动， （如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自 由运动时间后再一次受到碰撞。
3
0.22
rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻，尔为半金径属。电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍
对于恒定外电场的稳态情况，
dd
(t)
0, F
eE
dt
(1.2.5)式为：
d
eE
m
(1.2.6)
相应地：
J
ne d
ne2
m
E
J E
ne2
m
(1.2.7) (1.2.8)
2）金属中电子的弛豫时间
m
ne2
m
ne2
(1.2.9)
在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻 值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：