沪科版七年级数学第四章直线与角之专题二：余角与补角复习学案

余角与补角教学目标：1.理解余角和补角的定义和性质并熟练应用其性质。

2.通过结合具体图形，经过两角关系的分析、讨论、概括得出有关余角、补角的性质；通过联系实际，在数学活动中发挥动手动脑的意识。

教学重难点：重点：互余、互补等概念和性质难点：理解互余、互补等概念并熟练应用教学准备：直角、平角的有关概念和书上有关内容教学过程：一、导入新课一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成角中：∠1与∠2有什么数量关系？∠3与∠4又有什么数量关系？二、传授新课余角和补角的概念：如果两个角的和为90°(直角)，那么称这两个角互为余角，简称“互余”。

如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两个角互为补角，简称“互补”。

练一练1:1、钝角有没有余角？2、直角有没有补角？3、∠α的余角可表示为________，补角可表示为__________。

4、填一填5.判断1）一个角的余角必为锐角。

（）2）一个角的补角必为钝角。

（）3）一个角的补角一定比这个角大。

（）4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（）5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，则∠1、∠2、∠3这三个角互为余角.（）三、典例分析例1.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。

解：设这个角为x°，那么它的余角为(90-x) °，它的补角为(180-x) °，则180-x=4(90-x)x=60答：这个角是60°.想一想：如图两堵墙围一个角∠AOB，但人不能进入围墙，我们如何去测这个角的大小呢？引申：结论1：:同角的补角相等；结论2：等角的补角相等.同理可得：同角或等角的余角相等.归纳性质：同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

注意：两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。

互余或互补是两个角之间的数量关系,不能是三个或三个以上角的关系。

沪科版七年级数学上册《第4章直线与角4.5角的比较与补（余）角（第1课时）》教学设计一. 教材分析《第4章直线与角4.5角的比较与补（余）角（第1课时）》这一节的内容，主要介绍角的补角和余角的概念，以及它们的性质。

这部分内容是学生在学习了角的分类和基本概念之后，进一步深化对角的理解，是培养学生逻辑思维能力和解决问题能力的重要环节。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，对角的概念和分类有了初步的认识。

但学生在理解补角和余角的概念，以及它们的性质时，可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动形象的讲解，以及丰富的教学活动，帮助学生理解和掌握这部分内容。

三. 教学目标1.让学生理解补角和余角的概念，以及它们的性质。

2.培养学生通过观察、分析、归纳等方法解决问题的能力。

3.培养学生与他人合作、交流的意识，提高学生的团队协作能力。

四. 教学重难点1.重点：理解补角和余角的概念，以及它们的性质。

2.难点：如何运用补角和余角的性质解决问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索和解决问题。

2.运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流能力。

3.利用多媒体教学，直观展示角的补角和余角的概念，帮助学生更好地理解和掌握。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学课件。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入补角和余角的概念。

例如：在一条直线上，有一个角A，它的度数为30度，请问它的补角和余角分别是多少度？2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角的补角和余角的图形，引导学生观察和分析，让学生自己总结出补角和余角的性质。

3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检验学生对补角和余角概念的理解。

教师在旁边巡视，对有困难的学生给予个别指导。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生运用补角和余角的性质解决问题。

第4章小结与复习【学习目标】对本章的内容进行回顾和总结，熟练掌握线段、角的概念和表示方法，能运用线段、角的相关性质解决问题．【学习重点】回顾本章知识，构建知识体系． 【学习难点】 利用性质求线段与角．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入 生成问题知识结构我能建：空间图形平面图形直线⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧两点确定一条直线线段⎩⎪⎨⎪⎧线段的比较线段的中点两点之间，线段最短射线→角⎩⎪⎨⎪⎧角的表示与度量角的大小比较角的平分线两角的互余、互补自学互研 生成能力知识模块一 直线、射线、线段 1．下列图形中，能比较长短的是( D )A ．两条直线B ．两条射线C ．一条直线和一条射线D ．两条线段2．已知点C 是线段AB 上的点，则下列条件中，不能确定C 是AB 中点的是( D )A ．AC ＝BCB ．AC ＝12AB C ．AB ＝2BC D ．AC ＋BC ＝AB3．如图，AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是3cm ，则BC ＝1.5cm ．4．如图，已知AD ＝6cm ，B 是AC 的中点，CD ＝23AC ，求AB 、BC 、CD 的长．解：因为AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋23AC ＝6cm ，所以AC ＝185cm ，因为B 是AC 的中点，所以AB ＝BC ＝12AC ＝12×185＝95(cm )，CD ＝23×185＝125(cm )，所以AB 、BC 、CD 的长分别为95cm 、95cm 、125cm .5．已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求AM 的长．图(1)解：如图(1)，点C 在AB 延长线上． ∵AC ＝AB ＋BC ＝10＋4＝14.又∵M 是AC 的中点，∴AM ＝12AC ＝12×14＝7.图(2)如图(2)，点C 在AB 上．∵AC＝AB －BC ＝10－4＝6. 又∵M 是AC 的中点，∴AM ＝12AC ＝12×6＝3.学习笔记：行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.知识模块二 角的比较及计算1．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如右图的位置．若∠AOD＝110°，则∠BOC＝70°． 2．一个角的余角是它的补角的25，求这个角的大小．解：设这个角为x 度，得90°－x °＝25(180°－x °)．x ＝30.所以这个角为30°.3．计算：(1)107°－52°32′30″；解：原式＝54°27′30″； (2)39°48′＋41°37′； 解：原式＝81°25′；(3)25°36′24″×4；解：原式＝102°25′36″； (4)48°2′÷5. 解：原式＝9°36′24″.4．下列关于平角和周角的说法中，正确的是( C )A ．平角是一条直线B ．周角是一条射线C ．平角的两条边在同一条直线上D ．一条射线组成360°的角5．如图，A 、O 、B 三点在一条直线上，∠AOC ＝2∠COD，OE 平分∠BOD，∠COE ＝77°，求∠COD 的度数． 解：设∠COD＝x °，则∠AOC＝2x °，∴∠BOD ＝180°－3x. ∵OE 平分∠BOD，∴∠DOE ＝12(180°－3x)＝90°－32x.∴∠COE ＝x ＋90°－32x ＝90°－12x ＝77°，∴x ＝26°.答：∠COD 为26°.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 直线、射线、线段 知识模块二 角的比较及计算课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。

CBA4.5 角的比较与补（余）角教学目标：1、知识与技能：⑴、在具体的现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小,认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。

⑵、通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，•认识角的平分线.了解方位角，能确定具体物体的方位。

2、过程与方法：进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法．进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。

3、情感态度与价值观：体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。

重、难点及关键：1、重点：比较角的大小，认识角平分线认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。

2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。

3、关键：比较两个角的大小,了解推理的意义和推理过程是掌握性质的关键。

教学过程：一、 引入新课：教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示） 1．提出问题：比较图中线段AB 、BC 、CD 的长短．学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法． 教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB 、BC 、CD 三条线段长短的过程，并写出结论：AB>AC>BC ．2．提出问题：怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小．教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，•比较它们的大小，板书结论：∠C>∠B>∠A．（2）启发引导学生，类比线段长短的比较方法，•也可以把它们叠合在一起比较大小．3.让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。

比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。

⎧⎨⎩第4章 直线与角的复习复习目标:1.直观认识立体图形，掌握平面图形（线段、射线、直线）的基本知识；2.掌握角的基本概念，能利用角的知识解决一些实际问题。

复习重点: 线段、射线、直线、角的性质和运用复习难点:角的运算与应用；空间观念建立和发展；几何语言的认识与运用。

复习过程： 一、知识结构二、知识点回顾与梳理： （一）几何图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等.2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形 平面图形几何图形立体图形直线、射线、线段角 两点之间，线段最短线段大小的比较角的度量 角的比较与运算余角和补角 角的平分线等角的补角相等等角的余角相等两点确定一条直线（二）直线、射线、线段1、基本概念2.直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.（三）线段1.线段的长短比较方法（1）度量法（2）叠合法2.线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等3.线段的性质两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短. （四）角1.角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2.角的表示法：3.角的度量单位及换算4.角的分类5.角的比较方法（1）度量法（2）叠合法6.角的和、差、倍、分及其近似值7.角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.8.互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.（五）尺规作图1.画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法2.画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.三、随堂练习：（见练习题）。

4．5 角的比较与补(余)角1．会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；(重点)2．掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题；(难点)3．在具体情景中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质并能够运用其进行简单的推论．(重点)一、情境导入有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)．下面是他们的一段对话：聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些．”明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些．”同学们有办法帮他们进行判断吗？二、合作探究探究点一：角的大小比较如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是( )A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOBC．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC，D错误．故选D.方法总结：此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角比较大小的方法．探究点二：角的平分线及有关角度的计算【类型一】利用角平分线进行角度的计算如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD 的度数；(2)若∠BOC ＝90°，求∠AOE 的度数．解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ＝12×120°＝60°；(2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°.方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝( )A．120° B．180° C．150° D．135°解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．【类型三】折叠问题中角的计算如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处．若∠EFC＝119°，则∠BFC′为( )A．58° B．45° C．60° D．42°解析：∵将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°，故选A.方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．探究点三：余角和补角【类型一】利用余角和补角计算求值已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．【类型二】余角、补角和角平分线的综合计算如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC ＝90°，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°，根据角的和差，可得∠AOB ＋∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝12∠AOB ，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据角的和差，可得答案．解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB ＋∠COM ＝180°.由角的和差，得∠AOB ＋∠BOM ＋∠COB ＝180°，∠AOB ＋∠BOM ＝90°.由OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM ＝12∠AOB ，即∠AOB ＋12∠AOB ＝90°.解得∠AOB ＝60°.由角的和差，得∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝90°＋60°＝150°.由ON 平分∠AOC 得∠AON ＝12∠AOC ＝12×150°＝75°.由角的和差，得∠BON ＝∠AON －∠AOB ＝75°－60°＝15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．三、板书设计1．角的比较方法：(1)度量法；(2)叠合法． 2．角的计算：(1)角平分线；(2)角的折叠． 3.角度的换算本节课的教学内容是角的大小比较、角的和差关系、角平分线及余角和补角；学习角的大小比较时可以类比于线段的比较的学习方法；教学时利用多媒体软件，演示角的有关问题，增加教学趣味性，能够充分调动学生的学习兴趣．。

4.5 角的比较与补(余)角【学习目标】1．会比较两个角的大小，能分析图中角的和差关系．2．理解角平分线的概念，会利用角的平分线求角的度数．3．理解互补、互余的概念，并能利用补(余)角的性质解决问题．【学习重点】认识角的大小，分析角的和差关系，理解角平分线和互补(余)的性质．【学习难点】认识角之间的关系．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题旧知回顾：1．角有哪两种定义方式？答：角可以看作是从一点O出发的两条射线所组成的图形，∠AOB也可以看作是射线OA绕点O旋转到OB的位置后形成的图形．2．如图：怎样比较图形中线段AB、BC、CA的大小？怎样比较∠A、∠B、∠C呢？答：比较线段大小用度量法、叠合法；角的大小，比较边也同样如此．自学互研生成能力知识模块一角的大小比较阅读教材P147～P149的内容，回答下列问题：问题1：如何比较两个角的大小？方法指导：比较角的大小可以根据角之间的和、差关系来进行分析．说明：①一个角α的补角可用代数式(180°－α)来表示；一个角α的余角可用代数式(90°－α)来表示；②关于余角、补角的计算问题，通常可以通过设未知数，列方程来解决．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题2：用叠合法时应注意什么问题？答：比较角的大小的方法：(1)度量法：用量角器分别量出角的度数，然后比较数值的大小；(2)叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一边的同侧．典例1：在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定有( D)A．∠AOC＝∠BOC B．∠BOC>∠AOCC．∠AOC>∠BOC D．∠AOB>∠BOC典例2：如图，若∠AOB＝∠COD，那么∠1＝∠2(选填“>”“＝”或“<”)．知识模块二角的平分线及计算1．什么是角的平分线？答：从角的内部、以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．2．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB＝100°．知识模块三补（余）角1．怎样的两角互补？怎样的两角互余？补(余)角的性质是什么？答：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补．如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余．同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等．2．已知一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的度数．解：设这个角为α，由题意得180－α＝3(90－α)＋10，解得α＝50.答：这个角为50°.3．如图，∠ACB＝∠C DB＝90°，则∠ACD的余角有两个．4．两个角相等且互余，则这两个角都等于45°；两个角相等且互补，则这两个角都等于90°．5．如果一个角的补角是150°，则这个角的余角为60°．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一角的大小比较知识模块二角的平分线及计算知识模块三补(余)角课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．困惑：______________________________________________________________________。

2018 秋沪科版数学七年级上册：第四章直线与角【教案】余角和补角余角和补角【学习目标】在详细的现真相境中，认识一个角的余角和补角；【重点难点】正确求出一个角的余角和补角。

【导学指导】一、知识链接思虑：在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？如图 1，已知∠ 1=61°，∠ 2=29°，那么∠ 1+∠2=。

如图 2 ，已知点 A、O、B 在向来线上，∠ COD=90°，那么∠ 1+∠ 2=。

C D290°11 2O图1图2二、自主研究1.互为余角的定义：思虑：如图 3，已知∠ 1=62°, ∠2=118° , 那么∠1+∠2＝如图 4，A、O、B 在同向来线上，∠ 1+∠2=1 21 2ＡＯＢ图3图 42.互为补角的定义：2018 秋沪科版数学七年级上册：第四章直线与角【教案】余角和补角问题 1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题 2：若∠1+∠ 2 +∠3 =180°，那么∠ 1、∠ 2、∠ 3互为补角吗？3.新知应用：例 1: 若一个角的补角等于它的余角 4 倍，求这个角的度数。

例 2：如图，∠ AOC＝∠ COB＝90°，∠ DOE＝ 90°， A、O、B 三点在向来线上（ 1）写出∠ COE的余角，∠ AOE的补角；C（ 2）找出图中一对相等的角，并说明原因； DEA O B【讲堂练习】：课本练习 1、2、 3；【重点概括】：【拓展训练】：11、一个角的余角比它的补角的3 还少20，求这个角的度数。

2、若和互余，且：=7：2，求、的度数。

2018 秋沪科版数学七年级上册：第四章直线与角【教案】余角和补角【总结反省】：。