七年级数学上册 余角与补角

-举例：判断∠ABC和∠CBD是否互为余角或补角。
-重点二：余角、补角的性质掌握。学生需要熟练掌握互为余角、补角的两个角之间的数量关系，并能运用这些关系进行计算。
-举例：如果∠A和∠B互为余角，且∠A=40°，求∠B的度数。
-重点三：运用余角、补角解决实际问题。培养学生将余角、补角知识应用于实际问题的能力，如平面几何图形的角的求解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角和补角的概念以及它们之间的数量关系。对于难点部分，比如两个角的和的关系，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角相关的实际问题，如直角三角形中的角度关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪纸或使用量角器，学生可以直观地观察到余角和补角的形成。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和等于90°的两个角，补角是指两个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和平面角度的计算中非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。在一个等腰直角三角形中，底角的度数如何求解？通过余角的概念，我们可以轻松找到答案。
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质。本节课我们将学习以下内容：
1.余角的概念：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
2.补角的概念：两个角的和等于180°时，这两个角互为补角。
3.余角、补角的性质：
a.互为余角的两个角的和为90°；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

所以∠DOE= ∠BOD=75°.

所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,

所以∠AOE= ∠AOC=70°.

(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
A.互余
B.互补
C.相等D.∠α=90°+∠γ
5.一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1补角的度数为( D )
A.45° B.135°
C.75° D.165°
6.如图所示,已知点O是直线AB上的一点,∠BOC=40°,OD,OE分别是
∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE的度数.
(2)写出图中与∠COE互余的角.
B.59°50′
C.149°10′
D.60°10′
2.如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( D )
A.150°
B.90° C.60° D.30°
3.若一个角比它的余角大30°,则这个角等于( B)
A.30° B.60° C.105°
D.120°

《余角和补角》知识解析课标要求：1. 理解余角、补角、互余、互补等概念，在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。

理解余角（补角）与互余（互补）的区别和联系，会求已知角的余角或补角.2.理解余角（补角）的性质，并能用它解决相关问题。

会用方程的思想方法求有关角的度数.3．理解互余（及互补）两角的等式表示方法，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.知识结构：内容解析：本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础.教学重点：1. 理解余角、补角的概念，会求已知角的余角或补角.2. 理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数. 教学难点：1.理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数.2. 理解互余（及互补）两角的等式表示方法.教法导引：现代教学论认为数学应加强学生的数学活动，如果能让学生在“做数学”的过程中获得知识和技能，掌握基本数学思想和规律，那将是课堂教学中最理想的境界，也是新课程改革的一个重要目标。

根据以上认识，我的教学思路是：老师的“教”体现在创设情境，激发兴趣，组织探索，引导发现。

学生的“学”体现在操作讨论，探索发现，归纳结论。

另外针对发展学生的逻辑推理能力，教学时注重让学生发表自己的见解，引导学生用数学语言表达自己的思考过程。

本节课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—概括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权完全交给学生．通过问题情境的设置，激发学生的学习兴趣，营造师生间民主、和谐的学习氛围和每个学生平等参与学习的机会．这种合作学习的方式，使得全体学生都能在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，共同发展．在教学中，要关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念并初步学会应用．并给学生提供探索和交流的空间，使数学活动不是单纯地依赖、模仿与记忆，而是一个生动活泼、积极主动和富有个性的过程，围绕本节课所学的知识，设置有现实意义的具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验。

∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,

∴∠BOC= ×90°=67.5°.

又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?

3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是

( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;

(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个

Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这


∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.

知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
数学人教版七年级上册
4.3.3 余角和补角
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用. 2.正确地根据方位角确定方向.

(1)如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90
余角
同角（或等角） 的余角相等
°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90
°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4
练习
1. 填表：
∠α
【教材P160 练习 第1题】
50° 45° 60° n°（0＜n＜90）
∠α的余角 40° 45° 30° （ 90-n ）°
随堂练习
1.下列说法不正确的是（ B ） A.任意两直角互补 B.任意两锐角互余 C.同角或等角的补角相等 D.同角或等角的余角相等
2.下列结论正确的个数为（ C ） ①互余且相等的两个角都是45° ②锐角的补角一定是钝角 ③一个角的补角一定大于这个角 ④一个锐角的补角比这个角的余角大90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
因为∠3与∠4互余，所以∠4=90°- ∠3. 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4.
【归纳总结】
性质
数学语言
(1)如果∠1+∠2= 180°, ∠1+∠3= 18
补角
同角（或等角） 的补角相等
0°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180
°，且∠1=∠3, 那么∠2=∠4
补角
同角（或等角） 的补角相等
那么∠2=∠3; （2）如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
且∠1=∠3，那么∠2=∠4
（1）如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90°，
余角
同角（或等角） 的余角相等
那么∠2=∠3; （2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且

4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．
∠3＝∠4 理由：由(1)知∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝90°， 又∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．
4．3.3 余角和补角
＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.其推理
根据是( C )
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
4．3.3 余角和补角
课堂导案
7．如上图，∠AOB＝∠COD＝90°，则下列结论中，
正确的是( B )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3
D．∠1与∠3互余
∠BOE，OD⊥OC于点O，则与∠DOE互补的角
是( D )
A．∠EOC
B．∠AOC
C．∠AOE
D．∠BOD
4．3.3 余角和补角
课后练案
16．如上图，点O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，
∠COE＝90°，图中与∠AOC互补的角有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．3.3 余角和补角
4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (1)∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由．
∠2与∠3互余． 理由：∵∠1与∠4互余，∴∠1＋∠4＝90°，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2与∠3互余．
课后练案
17．一个角的补角比这个角的余角的3倍少18°，求 这个角．

线， OD平分∠AOC， ∠DOE＝90°， OE平分
∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：紧扣角平分线的 定义，利用余角的性质说明 两个角相等.
感悟新知
知2－练
解：OE平分∠BOC. 理由如下： 因为∠DOE＝90°，∠AOB＝180°， 所以∠DOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°. 因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC. 所以∠COE＝∠BOE. 所以OE平分∠BOC .
感2悟. 互新为知补角
知1－讲
若两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称
互补，其中一个角叫作另一个角的补角。
数学语言：若∠3＋∠4＝180°，就说
∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，
或∠3与∠4互为补角，如图6.6－2.
延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为反向
延长线，就说这两个角互为邻补角。
B.2 个
C.3 个
D.4 个
感悟新知
知识点 2 余角、补角的性质
知2－讲
1. 余角的性质
同角或等角的余角相等.
(1)如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝
∠3； ∠2是∠1的余角 ∠3是∠1的余角 (2) 如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝
∠3，那么∠2＝∠4. ∠2是∠1的余角 ∠4是∠3的余角
感悟新知
知1－讲
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相 等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.
2. 互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是

初中数学七年级上册 （苏科版）
§6.3 余角与补角（1）
∠α与 ∠ β的度数之间有什么特殊关系？
α β
∠α+ ∠ β=90
0
如果两个角的和是一个直角，这两个角 叫做互为余角，简称互余。
0
其中的一个角叫做另一个角的余角。
∠α= 90
0 -∠ β
∠ β=
90
0 - ∠α
∠α与 ∠ β的度数之间有什么特殊关系？
3.概念及性质的应用
同学们
：再见！
知识就象一艘船 让它载着你 驶向理想的彼岸
谢谢各位专家的光临与指导
α β
∠α+ ∠ β=180
0
如果两个角的和是一个平角，这两个角 叫做互为补角，简称互补。
其中的一个角叫做另一个角的补角。
∠α= 0 - ∠ β 180 ∠β= 180 0 - ∠α
知识抢答
1.填表，看谁答的既快又准！
0
∠A的度数
50
45
0
60 30
0
n (0＜n＜90) 90－n
0 0 0 0
0
A
C
D E F B
3.两个互补的角中必有一个是钝角（
4.一个角的补角一定比这个角大。（
）
）
5.互补的两个角中，至少有一个角大于或等于 直角（ ） 6.两个互余的角都是锐角。（ )
看谁记的牢
1、如图，O为直线AB上一点，
∠AOD=900,则图中哪些角互为 余角？哪些角互为补角？
Ｄ Ｃ
∠DOC与∠COB互余 ∠AOC与∠COB互补
知识提升
我叫∠ α，如果你们都是我 的余角，你们相等吗？
我发现：
同角的余角相等
我叫∠ α

C
A
B
1
2
E
D
F
课堂练习
1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
10°
30°
60°
80°
100°
120°
150°
170°
互为余角： 10°和80°，30°和60°的角
.
10°和170°，30°和150°，60°和120°，
互为补角： 80°和100°的角
.
课堂练习
2. 一个角是70°39′，求它的余角和补角. 解：90°- 70°39′=19°21′. 180°-70°39′=109°21′ 答：它的余角是19°21′，它的补角是109°21′。
(1) 因为∠1与∠2，∠3都互为余角， (2) 因为∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1， 所以∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3，
所以∠2=∠3.
因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
新知探究
由此，我们可以得到余角的性质： 同角(等角)的余角相等.
类似地，补角的性质： 同角(等角)的补角相等.
观察可得：锐角的补角比它的余角大 90°.
新知探究
提醒：
①余角、补角都是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上 的角之间不能说互余或互补； ②互余的两个角都必须是锐角，互补的两个角为一个锐角、一个 钝角或两个角都是直角.
新知探究
思考
(1) 若∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？ (2) 若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，那么∠2与∠4 的大小有什么关系？
3. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：根据题意得：180°-∠α=3∠α， 解得∠α=45°。

∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB.
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，


故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1










＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：

解：设这个角的度数为x∘ .
根据题意，得(180 − x)Leabharlann − 3(90 − x) = 20.
解得x = 55.
故这个角的度数为55∘ .
目标素养 导航
新知预习 导学
重点直击 导析
素养达标 导练
19
能力提升
7.设∠α ，∠β 的度数分别为(2n − 1)∘ 和(68 − n)∘ ，且∠α ，∠β 都是 ∠γ 的补角. （1）求n的值. 解：因为∠α ，∠β 都是∠γ 的补角， 所以∠α = ∠β ，即2n − 1 = 68 − n. 解得n = 23.
简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 3.性质：同角（等角）的余角_相__等___，同角（等角）的补角_相__等___.
目标素养 导航
新知预习 导学
重点直击 导析
素养达标 导练
5
课前自测
1.如图1，点C在直线AB上，∠ACE的补角、余角分别是(
A.∠ACB，∠ACD
B.∠ACD，∠ACB
17
3.如图7，点O在直线AB上，∠EOD = 90∘ ，
∠COB = 90∘ ，那么下列说法错误的是( D ) .
A.∠1与∠2相等
B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOC与∠COB互补
D.∠AOE与∠COD互余
图7
4.已知∠1 = 100∘ ，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3的度数是_1_0_∘_.
目标素养 导航
新知预习 导学
重点直击 导析
素养达标 导练
18
5.如图8，直线AB与CD交于点O,则∠1 + ∠3 =__1_8_0_∘ ，
∠2 + ∠3 =__1_8_0_∘ .若∠1 = 32∘ ，则∠2 =__3_2_∘ .

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和实际应用中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个三角形的例子，展示如何利用余角和补角求解未知角度，以及它们在实际中的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-余角和补角的概念：学生需要掌握余角和补角的定义，即两个角的和分别为90°和180°时，它们互为余角和补角。
-余角和补角的性质：学生需要理解并运用余角和补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-运用余角和补角解决实际问题：学生需要学会将余角和补角的概念应用于角度计算，解决实际问题。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了余角和补角的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对余角和补角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我会在课后认真反思本次教学过程中的不足，不断改进教学方法，努力提高学生的学习效果。同时，我也将关注学生的学习进度和反馈，为他们在几何学习道路上提供更多的支持和帮助。
举例解释：
-例如，强调当一个角为40°时，它的余角为50°，补角为140°。通过具体数值让学生直观感受余角和补角的概念。
-在解题过程中，强调利用余角和补角的性质简化计算，如已知一个角的度数，求其补角或余角的度数。

6.3 角6.3.3 余角和补角教学内容 6.3.3 余角和补角课时1核心素养目标1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.教学重点了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.教学难点运用余角、补角和方位角的相关知识解题.教学准备课件、纸片教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知一、复习导入如图，∠1 +∠2 =师生活动：教师提问，引导学生回忆上节课关于角的运算的知识，学生积极发言回答，预测学生能够答出∠1 +∠2 =∠AOB.教师追问：当∠AOB = 90°时，∠3 +∠4 等于多少度？当∠AOB= 180°时，∠3 +∠4 等于多少度？学生独立思考，再由学生代表发言，教师给予评价并引导出今日所学的知识.二、探究新知知识点一：余角定义总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.师生活动：教师讲解，学生集体朗读知识.教师强调：余角是两个角之间的关系，可以说∠3与∠4互余；∠3 是∠4 的余角；∠4 是∠3 的余角.设计意图：通过回忆上节课的内容，承上启下引出本节课的内容.设计意图：教师讲解知识，保证知识的有效传达，让学生心中有数.讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师给予适当的评价与引导，得出结果：∠3与∠4依然互余，并且共同总结：角的数量关系与位置无关.讨论2：钝角有余角吗？师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师引导学生讲述原因，并给予适当的评价，得出结果：钝角没有余角.最后师生共同归纳出结论：只有锐角有余角.几何语言：师生活动：小组讨论，由小组代表发言，教师给予适当的评价与引导，得出结果：钝角没有余角，并且共同总结出结论：只有锐角有余角.知识点二：补角探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？师生活动：通过PPT动画的展示，预测学生可以答出∠1和∠2的和为180°.教师以此引出补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.教师可引导学生将补角和余角进行类比帮助记忆.几何语言：设计意图：通过动画的直观展示帮助学生理解互余是数量关系，与位置无关.设计意图：通过小组讨论，加强学生的自主学习能力与团队合作意识，通过计算或者画图等方法验证，加深对知识的印象与理解，培养学生探索精神.设计意图：规范学生几何语言的书写，为后期几何题目的解答规范做铺垫，养成良好的书写习惯.设计意图：通过动画的直观展示再次让学生明白角的数量关系与位置无关.用类比的方式帮助学生理解补角的知识点，学会举一反三，发展学生自主学习的能力和应用能力.师生活动：教师提示学生类比余角的几何语言，思考补角的定义在题目中应该如何书写运用.学生代表上台板书，教师予以适当的评价与指导，共同得到规范的关于补角的几何语言.判断：下列论述是否正确？①∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余；②∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补；③∠1 +∠2 = 90°，则∠1是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3是∠4的补角；④如图，∠A不是∠B的余角；⑤如图，∠C是∠A的补角.师生活动：学生独立思考，请学生代表发言，教师引导学生说出判断依据，并给予适当的评价.比一比：看看谁计算得又快又好！师生活动：学生独立思考，教师让先全部算完的小组举手示意，予以适当的表扬奖励.再由小组代表发言，最终计算全部正确的同学举手示意，教师对这些同学予以表扬，并奖励举手最多的小组.知识点三：余角与补角的性质探究2：∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师与学生共同完成板书：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，设计意图：通过判断的方式巩固余角和补角的知识，起到查漏补缺的作用.设计意图：通过比赛的方式提高学生的积极性，提高学生的计算能力，并且帮助学生在解决几何问题中初步形成方程思想.设计意图：让学生通过题目学会补角的性质，脱离图片，让学生体会性质的普遍适用性，帮助学生发展抽象思维.所以∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.所以∠2 =∠3.教师引导学生总结出补角的性质：同角（等角）的补角相等.探究3：类比探究2，∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？师生活动：教师提示学生类比补角的性质完成题目，学生先独立思考，由学生代表板书（预测如下）：因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，所以∠2 = 90°-∠1，∠3 = 90°-∠1所以∠2 =∠3.教师及其余同学给出适当评价与鼓励，再由教师引导学生得出余角的性质：同角（等角）的余角相等.例题精析：例1 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师整理完成板书（如下），并适时提问学生两步转换的原因是什么，引导学生思考其中的原理.练一练：1. 已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1 = 65°，则∠3 =.2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是.师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师引导学生讲述分析思路并整理板书（如下），并得设计意图：通过类比的形式，帮助学生学习余角的意义，再次练习几何语言的书写，以及这类题目的思考方式.设计意图：让学生熟悉几何语言的书写，并明确每一步的理由，加深对知识的理解与综合运用，强化学生的分析能力和语言规范意识.设计意图：通过练习提高学生的计算能力与应用能力，让学生体会方程思想在几何中的应用，做到数形结合融汇贯通.三、当堂练习到结果.三、当堂练习1. 如果∠AOB +∠BOC = 90°，∠BOC +∠COD = 90°，那么∠AOB与∠COD的关系是() A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定2. 如图，下列说法中错误的是()A. OA的方向是北偏东30°B. OB的方向是北偏西20°C. OC的方向是西南方向D. OD的方向是南偏东50°设计意图：通过练习巩固余角和补角的知识.设计意图：通过练习检测方位角的知识的掌握情况.板书设计余角和补角一、余角→和为90°二、补角→和为180°三、余角与补角的性质教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善表格.1.培养抽象意识和空间观念。

余角和补角(1)
分层检测
17. 如图，两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起，其中∠ ACD ＝
∠ BCE ＝90°.
(1)若∠ DCE ＝25°，则∠ ACB ＝
155°
(2)若∠ ACB ＝150°，则∠ DCE ＝
30°
；
⁠
；
⁠
(3)试说明：∠ ACB 与∠ DCE 互补.
解：∵∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，
知识点2：余角与补角的应用
5. 【例】如图，已知∠ ABP 与∠ CBP 互余，∠ CBD ＝32°， BP 平分
∠ ABD . 求∠ ABP 的度数.
解：∵∠ ABP 与∠ CBP 互余，
∴∠ ABC ＝∠ ABP ＋∠ CBP ＝90°，
∵∠ CBD ＝32°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC ＋∠ CBD ＝122°，
6.3.3 余角和补角(1)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.3
余角和补角(1)
课前预习
1. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为 余角
角
，∠2是∠1的
余角
.
⁠
2. 若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β互为
3. 同角(等角)的余角 相等
，其中∠1是∠2的
补角
，同角(等角)的补角
.
⁠
相等
.
⁠
余
∠ BON ＝64°
(1)求∠ COM 的大小；
解：∵ ON 平分∠ BOC ，∠ BON ＝64°，
∴∠ BOC ＝2∠ BON ＝128°，
∴∠ AOC ＝180°－∠ BOC ＝52°，
∵ OM 平分∠ AOC ，

由题意得,90°-x=14(180°-x). 所以x=60°.
所以这个角的度数是60°.
知识点 余角、补角的性质及计算
1.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角为 ( D )
A.12(180°-∠1)
B.12∠1
C.12(∠1+∠2)
D.12(∠1-∠2)
【解析】因为12(∠1-∠2)+∠2=12(∠1+∠2)=90°,所以∠2的余角为12(∠1-∠2).
【解析】180°-46°35'
=179°60'-46°35'
=133°25'.
4.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;
③∠β-12∠α;④∠β+12∠α.其中可以表示∠α余角的式子有( ) B
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】因为∠α与2∠β互补,
5.如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,则 ∠COE的余角是_____∠_C__O_D__,∠__A_O_D___. 【解析】因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠AOD=∠COD=12∠AOC,∠COE=∠BOE=12∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°, 所以∠COE+∠AOD=90°, 所以∠COE的余角是∠COD,∠AOD.
(2)因为OE平分∠BOD,OF平分∠AOC, 所以∠DOE=∠EOB=12∠BOD, ∠COF=∠FOA=12∠AOC. 因为∠AOD=k∠BOC,∠EOF=14∠BOC, 即∠BOC=4∠EOF, 所以∠AOD=4k∠EOF. 因为∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD,∠BOD=2∠BOE,∠AOC=2∠COF, ∠BOE+∠COF-∠BOC=∠EOF, 所以4∠EOF=2(∠EOF+4∠EOF)-4k∠EOF,k=32.

同一个锐角角的的补补角角比比它它的的余余角角大大多9少0？度。
探究新知 活动 1、动手画一画:
（1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
α
1
α
（2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？ （3) 这一结论用文字怎么叙述？
性质1：同角的余角相等
探究新知
延伸 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
170o ⑧
互为补角的有①__与_⑧__,②__与_⑦__, _③_与__⑥_,④__与_⑤_________.
探索发现
①
②
③
④
互为余角的有_①__与__④__,②__与__③___.
若两个角互余，则这两个角一定是___锐__角__.
探索发现
①
②
③
④
100o
120o
⑤
⑥
150o
⑦
170o ⑧
互为补角的有_①_与__⑧__,②__与__⑦_,_③__与__⑥_,_④_与__⑤______.
2
1
3
4
等角的补角相等
补角性质：同角或等角的补角相等
归纳小结
两角间的 数量关系
互余 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2
对应图形
12
性质
同角或等角的 余角相等
互补 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2
12
同角或等角的 补角相等
例题讲解
如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分 别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
人教版·初中数学·七年级上册