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第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt

第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt
设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
8
第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
第10讲 正规子群与群论的基本课题 第10讲 正规子群与群论的基本课题
1
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
2
第10讲 正规子群与群论的基本课题
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
3
第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.

第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT

第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT

[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),

群论群论基础课件

群论群论基础课件
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有

《化学中的群论》课件

《化学中的群论》课件

02
子群
一个群G的子集H也是群（称为“子 群”），如果H关于H上的群运算也 是群。
03
同态
如果存在一个映射f，使得对于G中的 任意两个元素a和b，都有 f(a*b)=f(a)*f(b)，则称f为同态映射， G和它的同态像之间存在一一对应关 系。
02
分子对称性与群论
对称操作与对称元素
对称操作
旋转、反演、镜面反射等。
可以使得电子云更好地重叠，反键轨道则会使得电子云分离，而非键轨
道则对分子稳定性没有明显影响。
03
分子轨道的填充规则
根据泡利不相容原理和洪特规则，电子优先填充能量较低的轨道，并且
优先占据空轨道。
群论在分子轨道理论中的应用
群论的基本概念
群论是研究对称性问题的数学工具，它可以用来描述分子中的电子云分布和分子整体的对 称性。
群论在分子轨道理论中的应用
群论可以用来描述分子轨道的对称性和分类，以及分析分子中的电子云分布和分子整体的 对称性。这有助于理解分子的性质和反应机理。
群论在化学反应中的应用
群论还可以用来描述化学反应中的对称性变化，以及预测反应产物的结构和性质。这有助 于设计新的化学反应和合成路线。
化学键的稳定性与群论
化学反应的预测与群论
01Biblioteka 0203化学反应的预测是计算 化学中的重要任务之一 ，通过理论计算可以预 测可能的反应途径和产
物。
群论在化学反应预测中 的应用主要体现在对反 应中间体的对称性和反
应路径的分析上。
通过群论的方法，可以 更好地理解反应机理， 预测可能的反应产物， 并为实验研究提供理论
支持。
晶体结构可以通过X射线晶体 学、中子散射和电子显微镜等 技术进行测定。

群论课件

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24
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R

群论第二章ppt

群论第二章ppt

5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd

群论课件ppt

有限集合
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。

第2部分第3章 空间群(1) 群论讲义PPT

第二部分 群论应用
第三章 空间群 (1)
(一) 广义空间群
2
一, 转动平移算符 { | t } ( 由此构成广义空间群 )
坐标变换: x’ = R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’ = R21 x + R22 y + R23 z + t2 z’ = R31 x + R32 y + R33 z + t3
r’ = r + t
令 { | t } r = r + t = r ’ -------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作 { | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作 ) , { | t } ( 纯平移操作 )
(2) 乘积关系 ( 和封闭性 )
一, 狭义空间群的定义 ( 此为群论的定义, 它符合晶体对称性)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
根据定义, 群{ | R n } 是群{ | t }的不变子群 ,
则 { | t}{ | R n} {| t }-1 = { | R n + t }{-1| - -1 t }
= { | - t + R n + t } = { | R n }, 为 { | R m },

群论课件第二章


12
两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子 例如：AB=D
B D A
BC=D
C D
B
作业：D2=？ D3=？DA=？AD=？
13
D3群的乘法表
14
3. 置换群
以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘， 构成置换群
（1）置换操作
┌1 2 3┐
f=∣ ∣ └3 1 2┘ 位置1上的粒子换到位置3上了……
9
重排定理： Ak G = G Ak = G
求证: GAk = G 证明: 第一步：证明每个元素必出现在 GAk 中 （即证明若元素 X G，则必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 ∵ X，Ak-1 G, ∴ Ar G ( 封闭性 ) 则 X = ArAk G Ak 第二步：证明每个元素只出现一次 （即证明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 则必有As =Ar ） ∵ AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ∴ ArAk = AsAk 则 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1）= As
不一定成立
----交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）
----非交换群：不满足交换律
按运算方法分：交换群和非交换群
4
1.3 群元的基本性质
1. 单位元
E-1 = E , E 的逆元仍为E
2. 逆元
(A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身
3. 乘积的逆元
(AB)-1 = B-1 A-1
28
3.2 共轭类
(1)定义：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集 合----群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=C X∈G 式中：C={C1,C2,…,Cn}, XCiX-1=Cj (i,j=1,2,…,n) (2)性质 ①单位元自成一类 ②不同的类中没有共同元 ③除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为 这些类中不包含单位元 ④Abel群的每个元自成一类（请证明）

近世代数课件(全)--2-1 群的定义


3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.

对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
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第五章 空间群
1
第一节 广义空间群
1 转动平移算符 空间中有两点（x1,x2,x3）,(y1,y2,y3) 间距：d2=(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2
作一个变换，两点的坐标变为 （x1’,x2’,x3’）,(y1’,y2’,y3’)
间距： d’2=(x1’-y1’)2+(x2’-y2’)2+(x3’-y3’)2
平移群是广义空间群的正规子群
8
第二节 晶体空间群
1 基本概念 格点:周期性排列的点 点阵：格点的总和 晶格：点阵构成的网格 原胞：晶格最小的周期性单元 格矢：沿原胞的边矢量 晶体空间群：两点距离在变化前后不变，转 动部分与平移部分匹配
9
晶体最主要的特征：周期性重复平移。
两个主要因素：
(1)认定重复排列的单元—基元(basis)，基 元中的原子的种类、数量、相对取向、位置
18
2.空间群的由来 1.简单空间群
点群 平移群
晶系
立方 四角
布拉 维格
3
2
点群 数
5
7
乘积
15 14
群中的各元都是{R︱Rm} 正交 4
3
12
这种类型的算符
单斜 2
3
6
其中Rm=m1a1+m2a2+m3a三3 斜 1
三角 1
2
2
5
5
六角 1
7
7
总数 14 32 61
32种点群+14种点阵=73种简单空间群
13
(3) 正交晶系 特征 晶胞的a,b,c是二次旋转轴方向或镜面法线方
向的最短平移矢量 点群 D2,C2v,D2h 晶胞几何形状 a≠b≠c α=β=γ=90o 简单正交，底心正交，体心正交，面心正交
14
(4)三角（三方）晶系 特征 凡是有一条三次旋转轴或三次反演轴的晶体
中，选取三次轴关联着的最短平移矢量为晶胞 的a,b,c. 点群 C3,S6(C3i)D3,C3v,D3d 晶胞几何形状 a=b=c α=γ=β≠90o
Rt
1
R1 R1t
(4)转动平移算符满足乘法结合律，即
R1
t1[R2
t2
R3
t3
]
[R1
t1R2
t2
]R3
t3
由(1)到(4)可知，全部转动平移算符的集合满足 群的四个条件，因此构成群。
7
3.广义空间群的子群 1)t=0时，{R︱0}纯转动群
{R1︱0} {R2︱0}= {R1R2︱0} 2)R=E时，{E︱t}平移群
4
{R t }r Rr t
表示：转动平移算符作用于位矢r上时，其作用先
将r绕过某点的轴转动R，然后整体移动一段距离t，
最后得到一个新的位矢r’,且︱r’︱≠︱r︱
所以{R︱t}描述的不是一个保长变换
性质：
R R R
t
(r1
r2
t
(r1
r2
t r1 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
Rtr1
R
tr2
)
Rr1
Rr2
t
t r2 Rr1 Rr2 2t
5
2.广义空间群 定义：{R︱t}的集合组成群
(1)单位元 {E︱0}、纯平移 {E︱t} 纯转动 {R︱0}
(2)连续两个转动平移操作，仍是同类型的操作 即 {R1︱t1} {R2︱t2}= {R1R2︱R1t2+t1}
6
(3)每个转动平移算符都有逆元存在，且左逆元与 右逆元是相同的，都是
19
2.非简单空间群 (1)非点式操作
螺旋转动，滑移反映 (2)非简单空间群
包含非点式操作的点群 平移群=157种非 简单点群 73+157=230种空间群
20
2 空间群的性质 (1)若平移操作{R︱t}是晶体的对称操作，则其
模型化为一个“点”，即格点 (2)基元排列的形式—晶格
Bravais(lattice)格子
10
布拉维格子 1.布拉维格子是矢量 Rn 端点的集合.
Rn n1a1 n2a2 n3a3 ——(2.1.1)
n1、n2和n3均为整数，则称 a1 、a2 和a3 为
基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不
是唯一的，可以有多种不同的选择方式。
Note
(1) Rn 遍及所有格点位置 网格＋格点 (2)每个格点周围环境相同 =Bravais格子
11
2 七大晶系 (1)三斜晶系
特征 不存在任何对称元素，或只有反演中心 点群 C1和Ci 晶胞几何形状 a≠b≠c α≠β≠γ 简单三斜
12
(2)单斜晶系 特征 二次旋转轴方向或镜面的法线方向的最短平 移矢量旋转晶胞的b。在垂直于b的平面上， 两个最短的平移矢量选作晶胞a和c 点群 C2，C1h,C2h 晶胞几何形状 a≠b≠c α=γ=90o β≠90o 简单单斜和底心单斜
15
(5)四方晶系 特征 凡有一条四次旋转轴或四次反演轴的晶体中，晶
胞的c是四次轴方向的最短平移矢量，由四次轴 关联着的两个最短平移矢量取作晶胞的a和b 点群 C4,S4,C4h,D4,C4v,D2d,D4h 晶胞形状特征 a=b≠c α=γ=β=90o
16
(6) 六方晶系 特征 凡有一条六次旋转轴或六次反演轴的晶体中，晶
2
x1' R11x1 R12 x2 R13x3 t1 x2' R21x1 R22 x2 R23x3 t2 x3' R31x1 R32 x2 R33x3 t3 y1' R11 y1 R12 y2 R13 y3 t1 y1' R21 y1 R22 y2 R23 y3 t2 y1' R31 y1 R32 y2 R33 y3 t3
其中Rij，ti是实数，且不相关 变换前后两点间距离的平方不变,即
d’2=d2
3
Rij组成的矩阵称为转动矩阵，R称为转动算符
R11 R12 R13
R RR3211
R22 R32
R23 R33
t
t1 tt32
等距离的变换：由正交变换（包括正当的或
非正当的转动）加上平移的组合
符号：{R︱t} 记为转动平移算符
胞的c是六次轴方向的最短平移矢量，由六次轴 关联着的彼此成120o夹角的两个最短平移矢量取 作晶胞的a和b 点群 C6,C3h,C6h,D6,C6v,D3h,D6h 晶胞形状特征 a=b≠c α=β=90o γ=120o
17
(7) 立方晶系 特征 那些具有四面体(T)和八面体群(O)的晶体中都
具有四条三次轴，可以选取由三次轴关联着的 且相互正交的三条二次轴或四次轴上最短的平 移矢量作晶胞的a,b,c 点群 T,Th,Td,O,Oh 晶胞形状特征 a=b=c α=β=γ=90o 简单立方，体心立方，面心立方