平面与圆锥面的截线课堂

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线〔下列图由软件?立几画板?制作〕：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下列图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，假设它与轴l交角为β〔π与l平行，记作β＝0〕，那么：〔1〕β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；〔2〕β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；〔3〕β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球〔这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切〕证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下列图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在?几何图霸?中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1〔图中显示大圆，光照后显示为球〕，同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线〞.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器〞中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：?几何图霸?文章列表几何图霸网站：:// jihetu。

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。

《平面与圆锥面的截线》教学案一、教学目标：1. 知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2. 过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。

3. 情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。

二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明（2）椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。

生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e<1)的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。

()()()()()391,,.,(0).:?21;2;3AD ABC BAD l AD P AD l AB AB AC l AB l BA AC απββαβ-∠=<<如图是等腰三角形底边上的高直线与相交于点且与的夹角为试探究当与满足什么关系与或的延长线、都相交与不相交与的延长线、思考：都相交()391-图()392,:-如图可以有如下结论 ()()1,(),.,;,,().l AB AB AC l AB AB E AC F AEP l AB AB AC ββαβα∆>>当与或的延长线、都相交时设与或的延长线交于与交于 因为是的外角所以必然有 反之当时与或的延长线、都相交 ()2,//,;,,//,.l AB l AB l AB l AB βαβα==当与不相交时则这时有 反之当时那么与不相交()3,,l BA AC l BA G 当与的延长线、都相交时设与的延长线交于 ,;,APG l BA AC αβαβα∆<<因为是的外角所以如果那么与的延长线、都相交 思考：39,,310.--将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图AB C P D l αβαβlCD BAP E FG ()392-()(392),,;βα-=如果平面与一条母线平行相当于图中的那么（1）平面就只与正圆锥的一半相交这时的交线是一条抛物线,:如果平面不与母线平行那么会出现两种情形,;（2）平面只与圆锥的一半相交这时的交线为椭圆,.（3）平面与圆锥的两部分都相交这时的交线叫做双曲线 归纳提升：定理 在空间中，取直线l 为轴，直线l '与l 相交于O 点，其夹角为α，l '围绕l 旋转得到以O 为顶点，l '为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β（π与l 平行，记住β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O 为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值. 下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F 到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸：.jihetu.。

平面与圆锥面的截线湖州市吴兴高级中学刘晓东一、考、学情简析平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.二、教学目标1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.三、教学重点难点教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.教学难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.四、教学策略1.直观性原则通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.2.探究性原则应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.3.适度性原则根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明. 五、教学过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况图1图2【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.【环节 2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.【实验 1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，∠BAD= α，直线l与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为β(0< β <π2) .【探究 1】当α,β满足什么关系时有（1）l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2）l与 AB 不相交；（3）l与 AB 的延长线、AC 都相交.【结论】如图4，可得如下结论：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.因为β是∆AEP的外角,所以必然有β > α;反之,当β > α时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交. 图3 图42(2)当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有β = α;反之,当β = α时,l/ /AB,那么l与AB不相交.(3)当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是∆APG的外角,所以β < α;如果β < α,那么l与BA的延长线、AC都相交【设计意图】实验1从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必用几何画板演示.【实验 2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.（实验只需演示，不必让学生探究）【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的β = α），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：（1）当β > α时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当β < α时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可以适当引申.【定理】在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以 O 为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记着β＝0），则：（1）β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β = α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 图5 利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明β > α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为 B、C，则易得：AB=AF,AE=AC，所以AE+AF=AB+AC=BC=定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆. 【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.【环节 3】定理应用例 1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面α与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;（2）一圆锥面的母线和轴线成30︒角，当用一与轴线成30︒的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（C）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为30︒，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面α 使它与轴线所成的角为45︒，则截出的曲线是（B）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【设计意图】例1的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.例 2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为60︒，平面α与母线所成的角为60︒，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α 上的动点P满足∠PAB =30 ，则点P的轨迹是（C）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形图6成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C.【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面α 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面α 所成的角，则动点 C 的轨迹为( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线图7【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.例 3：活用定理解决下列问题.（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面α 的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面α 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值则动点 P 的轨迹是（ B ）图8A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角α - l - β 大小120， AB 垂直平面 β 交 l 于 B ，动点 C 满足 AC 与 AB 成 40角，则点 C 在平面α 和平面 β 上的轨迹分别是 （ C ）A ．椭圆、圆B ．双曲线、椭圆C ．双曲线、圆D ．抛物线、圆【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.【反馈练习】1.如图 9，直线 PO ⊥ 平面 M ，垂足为 O ，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中∠APO = α ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ∠APB = β ，则下列说法正确的是＿（１）若α = 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若α ≠ 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；图9（４）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β < 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；答案（２）（３）2.如图 10，平面α 的斜线 AB 交α 于 B 点，且与α 所成的角为θ 平面α 内有一动点 C 满足 ∠BAC =π，若动点 C 的轨迹为椭圆图106π , π ） 则θ 的取值范围为________.答案：（6 23.如图 11，直线 AB 是平面α的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面α内运动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B ）图11A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线。

圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)本文介绍了平面与圆锥面的截线问题。

首先观察到平面截圆锥面的图形，可以得到三种圆锥曲线：椭圆、抛物线和双曲线。

然后讨论了一条直线与等腰三角形的位置关系，将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，通过定理得出了平面与圆锥的交线类型与夹角的关系。

接着利用Dandelin双球证明了椭圆的情况，并讨论了抛物线和双曲线的情况。

最后通过制作三维图形，展示了三种曲线的丹迪林Dandelin双球图。

6.在图中选取点O1和F1，以点O1为圆心作圆O1（在光照后会显示为球），以同样的方法作出圆O2.然后在线段EF上选取点G和H，以线段GDO的垂线上的伸缩点I为基准点，作出点I关于点G的对称点I’。

通过向量GH将点I和点I’平分，得到点I2和点I"。

将这些点连接起来，形成一个截面，其长和宽可以由点G、H和I控制，而点F则控制其旋转。

8.添加点J在下底圆上，然后将点OJ与截面相交于点K。

选取点J和K，形成一个轨迹，即截线，它在图中呈现为一个椭圆。

9.将点E按照向量OD'的方向平移，得到点E'。

将线段EE'与圆相交于点G1，使得线段EG1与母线OD'平行。

添加一个名为“抛物线”的动画，它将点F移动到点G1上。

10.参照前面的图形，添加其他的图形元素。

下载图霸文件后，在“对象浏览器”中查看各个对象。

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