平面与圆锥表面相交

解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。

它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。

一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。

根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。

1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。

椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。

2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。

抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。

3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。

双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。

二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。

2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。

3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。

土木工程制图知到章节测试答案智慧树2023年最新甘肃工业职业技术学院第一章测试1.A0大小的图幅是A3大小的图幅的几倍大（）。

参考答案:82.A0大小的图幅的尺寸是（）。

参考答案:841*1189mm3.《营造法式》一书中总结了我国两千年以来的建筑技术成就，这本书收集整理了大量建筑图样，是由（）所著。

参考答案:宋·李诫4.以下有关于图线说法错误的是（）。

参考答案:细实线一般是图面中运用最多的线。

;粗实线只能表示主要建筑的轮廓线。

5.有一栋房屋在图上量得长度为80cm，用的是1：100的比比例，其实际长度是（）m。

参考答案:806.在建筑平面图中，横向定位轴线自下向上用（）依次编写，纵向定位轴线自左向右用阿拉伯数字依次编写。

参考答案:大写拉丁字母7.将三角板和丁字尺配合，可画出一系列不同角度的线条，除了30°、45°、60°、90°以外，还能画出（）的直线。

参考答案:75°;135°;15°;150°8.以下说法正确的是（）。

参考答案:相互平行的尺寸线，小尺寸线离轮廓线较近，大尺寸线离轮廓线较远。

;竖直方向尺寸数字应注写在尺寸线的左侧、字头朝左。

;尺寸数字标注在尺寸线中部的上方，字头朝上。

9.平面图形中的尺寸，按其在图中所起的作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。

（）参考答案:对10.会签栏一般在装订边内、图框线外，标题栏一般在图框的右下角。

（）参考答案:对第二章测试1.物体在水平投影面反映该物体的（）关系。

参考答案:前后、左右2.以下说法错误的一项是（）。

参考答案:透视投影图形象逼真，接近人的真实视觉感受。

3.当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形，这叫做平行投影的（）特性。

参考答案:显实型4.根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和（）两种。

参考答案:平行投影法5.工程中常用的投影图有（）。

圆锥的结构与计算圆锥是几何学中的一种常见形状，它由一个平面与一个旋转轴相交而成。

在这篇文章中，我们将探讨圆锥的结构特征、计算方法和相关应用。

一、圆锥的结构特征圆锥的定义是一个由一个顶点和几个平面形成的空间几何体。

由此，我们可以得出以下结构特征：1. 顶点：圆锥的顶点是一个点，它位于旋转轴的终点处。

2. 旋转轴：圆锥旋转轴是连接顶点和底部圆形的直线。

3. 底面：圆锥的底面是一个圆形平面，其圆心位于旋转轴的底部，圆的半径称为底面半径。

4. 侧面：圆锥的侧面是从顶点到底面边缘的直线段。

二、圆锥的计算方法1. 圆锥的体积计算：圆锥的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3)πr²h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。

根据公式，我们可以得出圆锥的体积是底面圆的面积乘以高度再除以3。

2. 圆锥的侧面积计算：圆锥的侧面积可以通过以下公式计算：S = πrl，其中S表示侧面积，r表示底面半径，l表示侧边长度。

根据公式，我们可以得出圆锥的侧面积是底面圆的周长乘以侧边长度。

3. 圆锥的全面积计算：圆锥的全面积可以通过以下公式计算：A = πr(r + l)，其中A表示全面积，r表示底面半径，l表示侧边长度。

根据公式，我们可以得出圆锥的全面积是底面圆的面积加上底面圆的周长乘以侧边长度。

三、圆锥的应用圆锥在日常生活和工程领域中得到了广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 食品包装：许多甜点和零食的包装形状是圆锥形，这种设计可以减少包装材料的使用量，并方便消费者取用食物。

2. 圆锥漏斗：圆锥漏斗常用于液体倒注和粉末物料的过滤，其特殊的形状能够使物料流动更加顺畅。

3. 交通锥：交通锥是道路交通安全设施，用于指示交通流向并保护工作区域。

它们通常由耐用的塑料制成，底部为圆锥形以提供稳定性。

4. 圆锥形建筑物：有些建筑物的设计采用圆锥形，例如美国的盖乌根海瑟尔天文台和法国的卡尔卡松城堡等，这些建筑物不仅具备实用性，还赋予了建筑艺术的美感。

平面与圆柱的截交线的三种情况
1、当平面与二次锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。

2、当平面与二次
锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。

3、当平面只与二次锥面一侧相交,
且不过圆锥顶点,结果为椭圆。

4、当平面只与二次锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆
锥的对称轴垂直,结果为圆。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×
母线/2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条
母线，且底面开图为一圆形，侧面展开图是扇形。

平面和圆锥的截交线有5种，分别是圆、两相交直线、椭圆、双曲线和抛物线。

平面与圆锥相截的平面通过圆锥顶点，那么截交线
是两条相交直线。

平面与圆锥底面平行时，截交线是圆。

平面与圆锥底面既不平行也不垂直，截交线是椭圆。

截交线是指当一平面p将一立体截切后在立体的表面上形成的交线，
平面p被称作截平面，因此截交线的形状就受到两个相对位置的影响，其一是立体的表面
形状及与平面p的相对位置，其二是平面p，即截平面和投影面两者的相对位置。

当空间
形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线，当空间形体表面由若干个平面组成时，截交
线是一个多边形。

平面与圆锥体相交的五种情况
1.平面与圆锥体的顶面相交：此时，交线为圆锥体的底面，交点为圆锥体的顶点。

2. 平面与圆锥体的侧面相交，且交线为一条直线：此时，交线为圆锥体的母线，交点为交线与圆锥体侧面的交点。

3. 平面与圆锥体的侧面相交，且交线为一条射线：此时，交线为圆锥体的母线，交点为交线与圆锥体侧面的交点。

4. 平面通过圆锥体的顶点并且与圆锥体的侧面相交：此时，交线为两条射线，一条为圆锥体的母线，另一条为从圆锥体顶点延伸出的射线。

5. 平面通过圆锥体的顶点并且与圆锥体最底部的圆面相交：此时，交线为一条圆，圆的半径为平面与圆锥体的交线长度。

- 1 -。

平面与圆锥面的截线湖州市吴兴高级中学刘晓东一、考、学情简析平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.二、教学目标1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.三、教学重点难点教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.教学难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.四、教学策略1.直观性原则通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.2.探究性原则应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.3.适度性原则根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明. 五、教学过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况图1图2【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.【环节 2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.【实验 1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，∠BAD= α，直线l与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为β(0< β <π2) .【探究 1】当α,β满足什么关系时有（1）l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2）l与 AB 不相交；（3）l与 AB 的延长线、AC 都相交.【结论】如图4，可得如下结论：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.因为β是∆AEP的外角,所以必然有β > α;反之,当β > α时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交. 图3 图42(2)当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有β = α;反之,当β = α时,l/ /AB,那么l与AB不相交.(3)当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是∆APG的外角,所以β < α;如果β < α,那么l与BA的延长线、AC都相交【设计意图】实验1从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必用几何画板演示.【实验 2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.（实验只需演示，不必让学生探究）【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的β = α），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：（1）当β > α时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当β < α时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可以适当引申.【定理】在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以 O 为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记着β＝0），则：（1）β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β = α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 图5 利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明β > α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为 B、C，则易得：AB=AF,AE=AC，所以AE+AF=AB+AC=BC=定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆. 【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.【环节 3】定理应用例 1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面α与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;（2）一圆锥面的母线和轴线成30︒角，当用一与轴线成30︒的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（C）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为30︒，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面α 使它与轴线所成的角为45︒，则截出的曲线是（B）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【设计意图】例1的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.例 2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为60︒，平面α与母线所成的角为60︒，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α 上的动点P满足∠PAB =30 ，则点P的轨迹是（C）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形图6成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C.【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面α 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面α 所成的角，则动点 C 的轨迹为( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线图7【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.例 3：活用定理解决下列问题.（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面α 的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面α 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值则动点 P 的轨迹是（ B ）图8A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角α - l - β 大小120， AB 垂直平面 β 交 l 于 B ，动点 C 满足 AC 与 AB 成 40角，则点 C 在平面α 和平面 β 上的轨迹分别是 （ C ）A ．椭圆、圆B ．双曲线、椭圆C ．双曲线、圆D ．抛物线、圆【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.【反馈练习】1.如图 9，直线 PO ⊥ 平面 M ，垂足为 O ，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中∠APO = α ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ∠APB = β ，则下列说法正确的是＿（１）若α = 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若α ≠ 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；图9（４）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β < 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；答案（２）（３）2.如图 10，平面α 的斜线 AB 交α 于 B 点，且与α 所成的角为θ 平面α 内有一动点 C 满足 ∠BAC =π，若动点 C 的轨迹为椭圆图106π , π ） 则θ 的取值范围为________.答案：（6 23.如图 11，直线 AB 是平面α的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面α内运动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B ）图11A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线。