2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.2 应用案巩固提升(苏教版)

[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

[A 基础达标]1．顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：选C.顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x .2．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C.因为直线y ＝kx －k 恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.法一：(特例法)当直线垂直于x 轴时，点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－p 2p24＝－4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y 1y 2＝－p 2，则y 1y 2x 1x 2＝y 1·y 2y 212p ·y 222p＝4p 2y 1y 2＝4p 2－p 2＝－4.4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p解析：选B.设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx＝30°，则OA 方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，所以△AOB 的边长为43p .5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若AB ＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4解析：选C.直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________．解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D .在Rt △AFD 中，∠AFD ＝60°.令FD ＝m ，则F A ＝2m .AD ＝3m .根据抛物线的定义可知，p ＋m ＝2m .所以m ＝p .所以|OA →|＝OD 2＋AD 2＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋（3p ）2＝212p . 答案：212p 7．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，所以AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8， 所以梯形APQB 的面积为48.答案：488.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴 1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代入点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 29．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)， 焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， 所以A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p2，－p ， 所以AB ＝2|p |.因为△OAB 的面积为4， 所以12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，所以p ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .10.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设k AB ＝k (k ≠0)，因为直线AB ，AC 的倾斜角互补，所以k AC＝－k (k ≠0)，因为直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. 因为A (4，2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． 所以4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，所以k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k （x B －4）＋2－[－k （x C －4）＋2]x B －x C＝k （x B ＋x C －8）x B －x C＝k ⎝⎛⎭⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14，所以直线BC 的斜率为定值．[B 能力提升]1．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为____________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由AB ＝42，DE ＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由OA ＝OD ，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4. 答案：42．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为________．解析：如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ， 因为△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， 所以S △AMF S △AOF＝12×AF ×AM ×sin ∠MAF 12×OF ×AF ×sin （π－∠MAF ）＝3.所以AF ＝AM ＝3OF ＝3.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 所以y 204＋1＝3，所以y 204＝2，解得y 0＝±2 2.所以点A 的坐标是(2，±22)． 答案：(2，±22)3．已知定点F (2，0)和定直线l ：x ＝－2，动圆P 过定点F 与定直线l 相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若以M (2，3)为圆心的圆与曲线C 交于两个不同的点A 、B ，且线段AB 是此圆的直径时，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知，点P 到F 的距离等于P 到l 的距离，所以P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，它的方程为y 2＝8x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.由AB 为圆M (2，3)的直径知，y 2＋y 1＝6， 故直线的斜率为43.所以直线AB 的方程为y －3＝43(x －2)，即4x －3y ＋1＝0.4．(选做题)如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2，0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值；(2)记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值．解：(1)依题意，设AB 的方程为 x ＝my ＋2，代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明：连结MN ，设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4， 设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1， 代入y 2＝4x 消x 得：y 2－4ny －4＝0， 所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4，由(1)y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．。

[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B ．根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B ．2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析：选A ．法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．3．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ．设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2， 即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.4．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A ．因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2. 5．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解析：选A ．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝⎛⎭⎫32，m －32，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝⎛⎭⎫32，m －32·⎝⎛⎭⎫－12，32＝0，即32×⎝⎛⎭⎫－12＋32⎝⎛⎭⎫m －32＝0， 解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎡⎦⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎡⎦⎤32，538上单调递减，在⎝⎛⎦⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝⎛⎭⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A ．6．已知平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12. 所以|a ＋2b |＝2 3. 答案：2 37．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →方向相同的单位向量的坐标为________．解析：AB →＝(3，－4)，所以与向量AB →方向相同的单位向量 n ＝（3，－4）9＋16＝（3，－4）5＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 8．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．解析：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.答案： 459．已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)． 求：(1)a ·b 和||a ＋b 的值； (2)a 与b 夹角θ的余弦值．解：由已知，a ＝(3，－2)，b ＝(4，1) (1)a ·b ＝10；||a ＋b ＝|(7，－1)|＝5 2. (2)cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝10221221.10．已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形． 证明：因为OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0， 所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12， 又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°. 所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3.故△P 1P 2P 3是等边三角形．[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________． 解析： 由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)， 故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0， 解得λ＝12.答案：122.如图，正六边形ABCDEF 的边长为3，则AC →·DB →＝________． 解析：因为||AC →＝||DB→＝2·3 cos 30°＝3，AC →，DB →夹角为120°， 所以AC →·DB →＝3×3×cos 120°＝－92.答案：－923．如图，在△ABC 中，CD →＝2DB →.(1)若AD →＝xAB →＋yBC →(x 、y 为实数)，求x 、y 的值； (2)若AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求AD →·BC →的值． 解：(1)因为CD →＝2DB →， 所以AD →－AC →＝2(AB →－AD →)， 所以AD →＝23AB →＋13AC →.又因为AD →＝xAB →＋yBC →＝(x －y )AB →＋yAC →， 所以23AB →＋13AC →＝(x －y )AB →＋yAC →.因为AB →与AC →不共线， 所以⎩⎨⎧x －y ＝23，y ＝13，所以x ＝1，y ＝13.(2)AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝13AB →·AC →－23AB →2＋13AC →2＝43.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知BC →∥DA →，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，则BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2， 则BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)． |AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.。

[学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5解析：选C ．由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.2．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C ．因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C ．因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0. 解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)． 故选C ．4．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C ．因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.5．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D ．因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2， 所以BC →·(BC →＋AB →)＝0， 所以BC →·AC →＝0， 所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________． 解析：因为⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12a·b －3|b |2 ＝16＋12|a ||b |cos 60°－3|b |2＝16＋|b |－3|b |2， 即16＋|b |－3|b |2＝12， 所以3|b |2－|b |－4＝0， 解得|b |＝43.答案：437．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案：228．如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→； ④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①9．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4.求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝25－12 2.10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0. 因为(b －2a )⊥b ， 所以(b －2a )·b ＝0， 即b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.[B 能力提升]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，又因为BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，所以AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832．已知圆O 是△ABC 的外接圆，M 是BC 的中点，AB ＝4，AC ＝2，则AO →·AM →＝________． 解析：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又O 是△ABC 的外接圆圆心，所以AB →·AO →＝|AB →||AO →|·cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝8，同理可得AC →·AO →＝12|AC →|2＝2，所以AM →·AO→＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝4＋1＝5. 答案：53．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →) ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36， 即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.4．(选做题)已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围． 解：法一：因为a 2＝9， 所以|a |＝3.又a ·b ＝－12. 所以|a ·b |＝12. 又因为|a ·b |≤|a ||b |. 所以12≤3|b |， 解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：因为a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.所以|b |＝a ·b|a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ.因为－1≤cos θ<0，所以|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。

[A 基础达标]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x答案：B2．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 解析：选B.由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74 解析：选C.过A ，B 分别作y 轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(AF ＋BF )－14＝32－14＝54.4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆； ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－ab x ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．4因为AF ＝54x 0，所以根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.答案：16．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知PF ＝3－x .又PF ＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)． 答案：(－6，62)，(－6，－62)7．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 所以抛物线的方程为标准方程． 又因为点P (4，2)在第一象限，所以抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)． 当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ； 当抛物线为x 2＝2py 时， 则有42＝2p ×2， 故2p ＝8，x 2＝8y .综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y . (2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4＋p 2＝174，解得p ＝12；所以抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.8.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．2于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)． 又F (1，0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45. [B 能力提升]1．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P (x P ，y P )为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－ 2. 设点P 在抛物线准线上的投影为点M . 由抛物线的定义知 PF ＝PM ，又PF ＝42， 所以x P ＝32，代入抛物线方程求得y P ＝26， 所以S △POF ＝12·OF ·|y P |＝2 3.2．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，－p 2.又点B 在双曲线上，故13p 23－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：63．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32， 6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， 所以p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4cx ， 因为抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6， 所以6＝4c ·32.所以c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， 所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以94a 2－61－a 2＝1.所以a 2＝14或a 2＝9(舍去)．所以b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1. 4．(选做题)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径F A ＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝F A ＝2p . 因为△ABD 的面积为42， 所以12BD ·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0，1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. (2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知AD ＝F A ＝12AB ，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时， 由已知可设n ：y ＝33x ＋b ， 代入x 2＝2py得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点， 故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时， 由图形对称性可知，坐标原点到m 、n 距离的比值为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。