中考数学《二次函数的综合》专项训练含答案
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中考数学《二次函数的综合》专项训练含答案
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣12，
所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
660bkb，
解得：16kb，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=12PN•AG+12PN•BM
=12PN•（AG+BM）
=12PN•OB
=12×（﹣12t2+3t）×6
=﹣32t2+9t
=﹣32（t﹣3）2+272，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O
A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即80802320wxyxx， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w所对应的自变量的值，即解方程2212032002400x．然后检验即可.
【详解】 （1）80802320wxyxx，
2248025600xx，
w与x的函数关系式为：2248025600wxx；
（2）2224802560021203200wxxx，
2080160xQ，，
∴当120x时，w有最大值．w最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当2400w时，2212032002400x．
解得：12100140xx，．
∵想卖得快，
2140x不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
4．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线233(0)2yaxxa经过点(3,3)A，对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B.过点A作直线//ACx轴，交y轴于点C.
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P在y轴上，当PAPB的值最小时，求点P的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得13AOCAOQSS，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为213322yxx;抛物线的对称轴为直线332x;（Ⅱ）P点坐标为9(0,)4;（Ⅲ）存在，Q点坐标为(33,0)或(23,15)，理由见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将(3,3)A点代入二次函数的解析式，即可求出a，再根据对称轴的公式即可求解.
（Ⅱ）先求出B点胡坐标，要求PAPB胡最小值，只需找到B关于轴的对称点1B，则直线A1B与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P点的坐标.
（Ⅲ）设点Q的坐标，并求出△AOQ面积，从而得到△AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.
【详解】 （Ⅰ）∵233(0)2yaxxa经过点(3,3)A，
∴2333(3)32a，解得12a，
∴抛物线的解析式为213322yxx，
∵3333212222bxa，
∴抛物线的对称轴为直线332x.
（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为332x，
∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为(33,0).
作点B关于轴的对称点1B，得1(33,0)B，
设直线AB1的解析式为ykxb，
把点(3,3)A，点1(33,0)B代入得33033kbkb，
解得3494kb，∴3944yx.
∴直线3944yx与y轴的交点即为P点.
令0x得9y4，
∵P点坐标为9(0,)4.
（Ⅲ）∵(3,3)A，//ACx轴，∴3AC，3OC，
∴113333222AOCSOCAC，
又∵13AOCAOQSS，∴9332AOQAOCSS.
设Q点坐标为2133(,)22mmm， 如图情况一，作QRCA，交CA延长线于点R，
∵932AOQAOCAQROCRQSSSS梯形，
∴21133113333322222mmmm2133933222mm，
化简整理得23180mm，
解得133m，223m.
如图情况二，作QNAC，交AC延长线于点N，交x轴于点M，
∵932AOQAQNQMOOMNASSSS梯形，
∴2211331133(3m)3()222222mmmmm393(3)22mm，
化简整理得23180mm，
解得133m，223m，
∴Q点坐标为(33,0)或(23,15)，
∴抛物线上存在点Q，使得13AOCAOQSS.
