2020年中考数学压轴专题：二次函数的中的线段问题(含答案)

2020中考数学 压轴专题 二次函数的中的线段问题（含答案）

1. 如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C.直线y＝x＋2经过点A，交抛物线于点D，AD交y轴于点E，连接CD，且CD∥x轴．

第1题图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A的直线交抛物线第四象限于点F，若tan∠BAF＝12，求点F的坐标；

(3)在(2)的条件下，P为直线AF上方抛物线上一点，过点P作PH⊥AF，垂足为H，若HE＝PE，求点P的坐标．

解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋5与y轴交于点C，

当x＝0时，y＝5，即C(0，5)，

∵CD∥x轴，

∴D点的纵坐标为5，

∴当y＝5时，x＋2＝5，解得x＝3，

∴D(3，5)，

当y＝0时，x＝－2，

∴A(－2，0)，

将A(－2，0)，D(3，5)代入y＝ax2＋bx＋5中，

得4a－2b＋5＝09a＋3b＋5＝5，解得a＝－12b＝32，

∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋5； (2)设F(t，－12t2＋32t＋5)，

如解图①，过点F作FG⊥x轴于点G，则G(t，0)，

第1题解图①

由tan∠BAF＝FGAG＝12，得AG＝2FG，

即t－(－2)＝2×[0－(－12t2＋32t＋5)]，

化简，得t2－4t－12＝0，

解得t1＝－2，t2＝6，

∵点F在第四象限，

∴t>0，

∴t＝6，即F点坐标为(6，－4)；

(3)∵A(－2，0)，F(6，－4)，

设直线AF的解析式为y＝kx＋b，

∴0＝－2k＋b－4＝6k＋b，解得k＝－12b＝－1，

∴直线AF的解析式为y＝－12x－1.

∵直线AD的解析式y＝x＋2交y轴于E点，

∴当x＝0时，y＝2，即E点坐标为(0，2)；

如解图②，设直线PE交AF于点Q，

第1题解图②

∵HE＝PE，

∴∠EHP＝∠EPH，

∵PH⊥AF于点H，

∴∠PHA＝90°，

∴∠EPH＋∠PQH＝90°，

∠EHP＋∠EHQ＝90°，

∴∠PQH＝∠EHQ，

∴EQ＝EH，

∴EQ＝EP，即E为PQ的中点，

设P(m，－12m2＋32m＋5)，

∵E(0，2)，

∴Q(－m，12m2－32m－1)，

∵点Q在直线AF上，

∴12m2－32m－1＝－12(－m)－1，

整理，得m2＝4m，

解得m1＝0，m2＝4，

当m1＝0时，P1(0，5)，

当m2＝4时，P2(4，3)，

综上所述，点P的坐标为(0，5)或(4，3)．

2. 如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；

(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．

第2题图

解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，

∴A(－1，0)，C(0，5)，

∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点， ∴405 acc，

解得15 ac，

∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)如解图①，

第2题解图①

∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，

∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，

设直线BC解析式为y＝kx＋b，

∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，

∴505 kbb，

解得15 kb，

∴直线BC解析式为y＝－x＋5， 设ND的长为d，N点的横坐标为n，

则N点的坐标为(n，－n＋5)，

D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，

则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，

由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，

∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，

∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是254；

（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，

∴m＝5，∴M(4，5)．

∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，

∴顶点坐标为H(2，9)，

如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．

第2题解图②

设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，

∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，

∴9254mnmn，

解得73133mn，

∴y＝－73x＋133，

∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)，

当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0)，

故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．

3. 已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；

(3)当PC＝CO时，求P点坐标．

第3题图

解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴点B坐标为(4，0)，

设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x， 解得x1＝3，x2＝0(舍去)，

∴点A的坐标为(3，3);

（2）如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，

第3题解图①

∵点A坐标为(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x轴，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．

∵PE与线段OA相交， ∴0≤x≤1，

由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，

∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，

∴PE＝2，CE＝22，

∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22，

∴△PCE周长的最大值为4＋22，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴点P的坐标为(1，3)；

（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，

第3题解图②

①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝2x， ∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝2x，

解得x1＝3－2，x2＝0(舍去)．

把x＝3－2代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－2)2＋4(3－2)＝1＋22，

∴P1(3－2，1＋22)，

②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝2x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝2x，

解得x1＝3＋2，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋2代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，

∴P2(3＋2，1－22)．

综上所述，P点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．

4. 如图，一抛物线过原点和点A(1，3)，△AOB的面积为3. (1)求过点A、O、B的抛物线解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得△AOM的周长最小，求△AOM周长的最小值；

(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段PE＝233？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

解：(1)过点A作AC⊥x轴于点C，如解图①，

第4题解图①

∵A(1，3)，

∴AC＝3，

∵S△AOB＝12BO·AC＝12BO×3＝3，

∴BO＝2，

∴B(－2，0)．

由题意可设抛物线解析式为y＝ax2＋bx，

把A、B两点的坐标代入可得3420abab，

解得33233ab，

∴过A、B、O三点的抛物线的解析式为y＝33x2＋233x；

(2)由(1)可求得抛物线的对称轴为直线x＝－1，

设AB交对称轴于点M，如解图②，连接OM，