初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
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初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
圆中最值域定值问题研究
类型一：
例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆
基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.
例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？
例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？
类型三：随动位似隐圆
例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？
分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：
1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。则点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1的中垂线与O1的交点。
2.对于随动位似隐圆问题，可以求出动点在固定圆上的轨迹，然后通过几何关系求出所求的最值。
1.中点。构造中位线
在直角三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，M是BD的中点。将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点）。若AC=4，BC=3，则在线段CM长度的旋转过程中，其取值范围为2.5≤CM≤3.5.
2.等边三角形中的点运动路径
在边长为2的等边三角形△ABC中，以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点。则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为1.
3.定性分析——垂线段最短
在半圆O的半径为1的情况下，连接AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点。则封闭图形ABDPC面积的最大值为4.解题思路如下：
连接CD，梯形ABCD面积为定值。要使封闭图形ABDPC面积取最大值，则使△CPD面积取最小即可。△CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时，面积有最小值。因此，问题变成当点P在圆上运动至何处时，点P到CD距离最小。由勾股定理可知，CD、OC、OD长，且OC⊥CD。设点P到CD距离为h，则h+r≥OC，即h≥OC-r。即当O、P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故OC与圆O交点即为所求点P。
4.定弦定角
在圆O内一个定点P，圆O上一个动点A，射线AP，AO分别与圆O交于B，C两点。若圆O的半径为3，OP=3，则弦BC的最大值为6.
在⊙O中，AB为直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8.点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M。则PM的取值范围为2≤PM≤4.
5.定弦定角
在图中，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度。画出点C的运动轨迹的作图步骤如下：
以AB为直径作圆，圆心为O；
以O为中心，OC为半径作圆，交AB于点D、E；
以D为中心，DE为半径作圆，交AB于点F、G；
以F为中心，FG为半径作圆，交AB于点H、I；
以H为中心，HI为半径作圆，交AB于点J、K；
连接CK、BJ，则CKBJ为点C的运动轨迹。
步骤1、删除明显有问题的段落：
无
步骤2、剔除格式错误并改写每段话：
练1： 如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度。请在图中画出点C的运动轨迹，并求圆心角∠AOB的大小。
练2：
如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度。请在图中画出点C的运动轨迹。
实战应用1：
如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C。求△ABC的最大面积。
实战应用2：
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠XXX。求线段CP长的最小值。
定弦定角——反客为主： 如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB=10.求点O到顶点A的距离最大值和点O到AB的距离的最大值。
定弦定角——条件的确定：
如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△XXX的内心。求点I点运动路径长。
1、已知等边三角形ABC边长为3，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD、BE交于点P，求CP的最小值。
2、在直角三角形ABC中，AC=3，BC=5，D为AC上的一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于点E，求CE的最小值。
3、已知点A(2.0)，B(4.0)是x轴上的两点，点C为y轴上的动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为多少？
4、在直角三角形ABC中，∠BAC=30°，AB=23，点P在AB边上，点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，求线段CQ的最小值。 5、已知点A(2.0)，B(5.0)，点P为以A为圆心、半径为2的圆上的一动点，以PB为边作等边三角形PMB，求线段AM的取值范围。
思路2：线段BM可以看作是由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到的。当点P在圆A上运动时，我们可以作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，这些点的集合就是点M的运动轨迹。显然，这个轨迹是一个圆。因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到的，所以点M所在圆的圆心就是将点P所在XXX绕点B顺时针旋转60度得到的点。我们可以将其想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度。
1、已知A（2，0），圆O半径为1，点B为圆O上的一个动点，点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90度，求线段OC的最大值。
2、如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为半圆AB上的一个动点，在BC上作正方形BCDE（点D在直线AB的上方），连接OD。当点C运动时，则线段OD的最大值为多少？
10、在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°。将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的一个动点。在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1.则线段EP1的长度的最大值为多少？最小值为多少？
11、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.将△ABC绕点C顺时针方向旋转，得到△A1B1C。点E是BC的中点，点F为线段AB上的一个动点。在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是点F1.请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差。
