中考数学圆中最值问题专题含答案

点圆关系问题

三、利用坐标特性进行转换

【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .

【解析】如图，连接AP，

∵点A(0，1)、点B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，

∴AB=(1+t)−1=t，AC=1−(1−t)=t，

∴AB=AC，

∵∠BPC=90∘，

∴AP=21BC=AB=t，

要t最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，

∴点P在AD延长线上，

∵A(0，1)，D(4，4)，

∴AD=51-4162，

∴t的最大值是AP=AD−PD=5+1=6，最小值为4.

故答案为：6，

练习5-1如图，已知直线y=43x−3与x轴、y轴分别交于A. B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是( )

A. 8 B. 12 C. 221 D. 217

【解析】∵直线y=43x−3与x轴、y轴分别交于A. B两点，

∴A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，−3)，3x−4y−12=0，

即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，

过C作CM⊥AB于M，连接AC，

则由三角形面积公式得：21×AB×CM=21×OA×OC+21×OA×OB，

∴5×CM=4×1+3×4，

∴CM=516，

∴圆C上点到直线y=43x−3的最大距离是1+516=521，

∴△PAB面积的最大值是21×5×516=221，

故选：C.

练习5-2如图，直线y=43x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是( )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

【解答】

作CH⊥AB于H交⊙O于E. F.

∵C(1，0)，直线AB的解析式为y=43x+3，

∴直线CH的解析式为y=34-x+34，

由3433434xyxy解得51254yx，

∴H(−54，512)，

∴CH=22)512()541(=3，

∵A(4，0)，B(0，3)，

∴OA=4，OB=3，AB=5，

∴EH=3−1=2，

当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=21×5×2=5，

练习5-3如图，已知直线y=343x与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为________．

【解析】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，

∵直线y=343x与x轴、y轴分别交于A，B两点，

令x=0，得y=-3，

令y=9，得x=4

∴A(4，0)，B(0，−3)，

∴OA=4，OB=3，

∴AB=

则由三角形面积公式得，21×AB×CM=21×OA×BC，

∴ 21×5×CM=21×4×(1+3)，

∴CM=516 ∴BM=

∴圆C上点到直线y=343x的最大距离是DM=1+ 516 = 521

当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，

∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB，

∴△COE∽△CMB，

∴

∴

∴OE=43，CE=45，

∴ED=1+45=49

∵DN⊥x轴，

∴DN∥OC，

∴△COE∽△DNE，

∴ ，即

∴DN=59，NE=2027

∴ON=NE−OE=2027−43=53

∴D(−53，59)

∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为(−53，59)

故答案为：(−53，59)

练习5-4在平面直角坐标系xOy中，A(-m,0) ，B(m,0) （其中m>0 ），点P在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90°，

（1）线段OP的长等于________（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为________．

【解析】（1）∵OA=OB=m，∴OP=21AB=m；

（2）连结OC交⊙C于D，则OD最短，∵OC= =5，∴OD=OC－r=5－2=3．∴m的最小值为3．

故答案为（1）m；（2）3．

练习5-5如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(-72，)为圆心，1为半径的⊙O上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 .

【解析】P（x,y），根据两点间距离公式

PA2=（x+1）2+y2

PB2=（x-1）2+y2

OP2=x2+y2

当点P处于OC与圆的交点上是，OP取得最值

所以OP最小值为CO-CP=15

【经典例题6】如图，抛物线y=41x2-4与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ。则线段OQ的最大值是________。

【解析】如图，连接BP.

当y=0时，41x2-4=0，解得x1=4，x2=-4

∴A（-4，0），B（4，0）

∴OA=OB=4

∵Q是线段PA的中点

∴OQ为△ABP的中位线

∴OQ=21BP

∴当BP最大时，OQ最大。当BP过圆心C时，PB最大，即当点P运动到P′位置时，BP最大。

∵BC=

∴BP′=5+2=7

∴OQ=21BP=21×7=27.

即线段OQ的最大值是27 ．

练习6-1在直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B是y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的最小值是( )

【解析】tan∠BOC=tan∠OAC=25ACOC

随着点C的移动，角BOC越来越大，

点C在第一象限，所以角BOC小于90°

所以tan角BOC大于等于25

所以最小值是25

练习6-2如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 .

【解析】

作AB的中点E，连接EM、CE．

在直角△ABC中，AB=222286BCAC=10，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，

∴CE=21AB=5．

∵M是BD的中点，E是AB的中点，

∴ME=21AD=2．

∴在△CEM中，5−2⩽CM⩽5+2，即2⩽CM⩽7． ∴最大值为7，

故答案为：7．

练习6-3如图，一次函数y=2x与反比例函数)0(kxky的图象交于A，B两点，点P在以点C(-2，0)为圆心，个单位长度为半径的圆C上，点Q是AP的中点，已知OQ长度的最大值为23，则k的值为(

)

A.89 B.1825 C.2532 D .3249

【解答】本题选C

连接BP，

由对称性得：OA=OB，

∵Q是AP的中点，

∴OQ=21BP，

∵OQ长的最大值为23，

∴BP长的最大值为23×2=3，

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP=1， ∴BC=2，

∵B在直线y=2x上，

设B(t，2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，

∴22=(t+2)2+(−2t)2，

t=0(舍)或−54，

∴B(−54，−58)，

∵点B在反比例函数y=xk(k>0)的图象上，

∴k=−54×(−58)=2532；

故选：C.

练习6-4如图，抛物线y=1912x与轴交于A ,B两点， 是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD，则线段OE的最小值是 。

【解析】令y＝91x2﹣1＝0，则x＝±3，

故点B（3，0），

设圆的半径为r，则r＝1，

当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，

而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，

则OE＝21BD＝ 21（BC﹣r）＝21（ ﹣1）＝2， 故答案为：D.

【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解.

练习6-5如图，在平面直角坐标系中，圆的半径为2，圆心坐标为（4,0），y轴上有点B(0,3)，点C是圆A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是

.

【解析】A 2723OP

练习6-6如图，抛物线4412xy与x轴交于A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最大值是( )

A.3 B.241 C.27 D .4

【解析】连接BP，如图，

当 y=0时，04412x，解得x1=4，x1=-4，

则 A(-4，0) ， B(4，0) ，

∵Q是线段PA的中点，

∴OQ为Rt△ABP的中位线，

∴OQ=21BP ，

当BP最大时，OQ最大，

而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到 P' 位置时，BP最大，

∵BC=2243=5 ，