中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

1

D

BO

C

A 与圆有关的最值（取值范围）问题

引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限

内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径

作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，»

AB

BC=，AC=，求的最大值. abab

引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，

以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE

长度的最大值为( ).

A．3 B．6 C

． D．

33

233

一、题目分析：

此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本

技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接

1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的

变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化

（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；

2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，

结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；

3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质

运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A

构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦

DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；

综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的

套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.

二、解题策略

1．直观感觉，画出图形；

2．特殊位置，比较结果；

3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）

之间的关系，建立等式，进行转化.

BA

CMDDOPC

BA三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

1.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的

一个动点，请探索n+m的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，

M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .

2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧»

AB

向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，

过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ；

（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 .

例三、正弦定理

1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=

，D是线段BC上的一个动点，以AD22

为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值

为 ．

2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中

点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 ．

3

OA

BC

EBA

C

OD

OD

CE

AB

例四、柯西不等式、配方法

1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过

点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜

4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .

2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△

BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为( ).

A.4 B.

C. D. 2 23

332

2

3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的xy

最小值是 .

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线

交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是 .

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙

O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 .

3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O

于点Q，则PQ的最小值为（ ）A

． B

． C．3 D．2

例五、其他知识的综合运用

1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于

点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐

标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O

1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E

重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为

1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为

线段CD的中点．

（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）求线段CD长的最小值；

（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．

5

lQ

P

NM

OA

DBCE

FC

ADBQ

P

OA

BD

CP【题型训练】

1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相

切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等

腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .

2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒

cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒

(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相3

切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.

（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是 ；

（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .

3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙

N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，l

的最大值为

( ).(A)；

(B)；

(C)；

(D) tan6

124

33

33

4

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙

D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).

(A)4 (B) (C) (D) 21535817

4

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB

分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).

A

． B． C．5 D． 19

424

542

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，

线段EF长度的最小值为 ．

7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为

1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).

A．2 B．1 C. D. 2

2

222