厦门第一中学2019_2020学年高一数学上学期入学考试试题
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1 福建省厦门第一中学2019-2020学年高一数学上学期入学考试试题
(考试时间为90分钟,本卷满分100分)
一、选择题：（共10小题，每题4分，计40分）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2。 下列计算正确的是（ )
A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 C．a6÷a3＝a2
D．（a+b）2＝a2+b2
3. 点点同学对数据26，36，46，5□,52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是（ )
A．平均数 B．中位数 C．方差
D．标准差
4．如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB的长是3米．
若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C为( ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b）,函数y1和y2的图象可能是（ ) 第4
2 A． B． C． D．
7．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．
某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A．1。95元 B．2。15元 C．2。25元 D．2。75元
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，
则∠A+∠C＝（ ）
A．216° B．217° C．218° D．219°
9．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，
点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为（ ）
A．3 B．2 C．5
D．6
10．三个关于x的方程：a1(x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1)（x﹣2)＝1,a3（x+1）(x﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是第7
3 （ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＞x2＞x3 C．x1＝x2＝x3
D．不能确定x1、x2、x3的大小
二、填空题：(共4小题，每题4分，计16分)
11。 计算＝
．
12．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝5cm，那么AB＝ ．
13．有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．
如果第一个数是0，第二个数是1，这2019个数的和是 ．
14．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．则点C的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 ．
三、解答题:（共5小题，计44分)（须写出详细的解答过程）
15．（本题8分) 已知x+y+z＝18．
（1）若x：y:z＝3:2：1，求x的值； (2）若x≥y≥z，求x的第8题图
第14第9题图
4 最小值．
16．(本题8分)如图,△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分线，
（1）证明：△CBD∽△ABC ； （2）求sin18°的值．
17．(本题8分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(为了方便记录，把a≤x
最高气温 ［10，15） [15，20） ［20，25） [25,30) ［30,35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 第16
5
18．（本题8分） 阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德•欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程(部分）:
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE,
在图2,动手连接BE,BD，BI，IF．
6 ∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．
∵⊙I与AB相切于点F,所以∠AFI＝90°，
∴∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB， ∴＝．
∴IA•BD＝DE•IF②
(1）观察发现:IM＝ ，IN＝ （用含R，d的代数式表示)；
(2）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，
完成该定理证明的剩余部分．
19．（本题12分） 如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于点B，
S△OAB＝1．
（1）求抛物线的解析式；
(2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，
过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求直线l的解析式；
（3）若点M、N是抛物线的两点，以线段MN为
7 直径的圆经过点A,
求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．
8 厦门一中2019级高一入学考试数学参考答案与评分标准
二、选择题：（共10小题，每题4分，计40分）
1. B 2. B 3。 B 4．A 5．C
6．A 7．C 8．D 9．C 10．A
二、填空题：（共4小题，每题4分，计16分）
11。 2 12．10cm 13．2 14．xy6
三、解答题:（共5小题，计44分）（须写出详细的解答过程)
15．（本题8分)．(1)∵x:y:z＝3：2：1
∴设x=3k,则y=2k，z=k……………………1分
代入x+y+z＝18，解得k=3， ……………………3分
∴x=3k=9……………………4分
（2）∵x≥y≥z
∴x≥y，x≥z
∴x+y+z≤3 x……………………6分
∴18≤3 x即x的最小值是6……………………8分
16．(本题8分) （1)∵△ABC中，AB＝AC,∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°．……………………2分
∵CD是角平分线,
∴∠BCD＝0.5∠ACB＝36°．……………………3分
∵∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠ACB＝72°，
∴△DBC∽△ABC．……………………4分
9 （2)解：设AB＝x，BC＝y．则AD＝CD＝BC＝y， BD＝x﹣y．
由（1）得∴△DBC∽△ABC． ∴． 即,
x2﹣xy﹣y2＝0，……………………6分
x＝y(负值舍去）． ∴＝． ……………………7分
过点A 作AH⊥BC于点H，则∠BAH=18°
∴sin18°=4152xyABBH……………………8分
17．（本题8分）解:（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝＝．………………3分
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，……………………4分
10 当温度在[20,25)℃时，需求量为300,
Y＝300×2﹣（450﹣300)×2＝300元，……………………5分
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣(450﹣200)×2＝﹣100元,……………………6分
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P＝．……………………8分
18．(本题8分)解：（1）IM＝R+d, IN＝R﹣d;………………2分
(2）∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI……………3分
∵弧CD
∴∠DBC＝∠CAD，……………4分
∴∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI
∴∠BID＝∠DBI
∴BD＝ID………………6分
∴IA•ID＝DE•IF
∵DE•IF＝IM•IN
∴2R•r＝（R+d）（R﹣d)
∴R2﹣d2＝2Rr
