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大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
大联考2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}{13},2,1,0,1M x x N =-<<=--∣，则M N ⋂=（）A.{}1,0,1- B.{}0,1 C.{11}x x -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】B 【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】由已知得{}0,1M N = ．故选：B2.已知i 是虚数单位，若()()2i 1i 4i a ++=，则实数=a （）A.2B.0C.1- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数乘法运算法则，根据复数相等列方程组即可求.【详解】因为R a ∈，()()()2i 1i 22i 4i a a a ++=-++=，所以2024a a -=⎧⎨+=⎩，解得2a =．故选:A3.设随机变量2(,)X N μσ ，且()3()P X a P X a <=≥，则()P X a ≥=（）A .0.75B.0.5C.0.3D.0.25【答案】D 【解析】【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.【详解】随机变量2(,)XN μσ ，显然()()1P X a P X a <+≥=，而()3()P X a P X a <=≥，所以()0.25P X a ≥=.故选：D4.已知43log log 5,log 2a b c ===，则下列结论正确的是（）A.<<b c aB.c b a <<C.b a c <<D.<<c a b【答案】B 【解析】【分析】利用1作为中间量，判断b 、c 的大小，利用换底公式判断a 、b 的大小.【详解】因为2234422log 62log log 21log 5log 6==log log 42c b a =<<=<=，即c b a <<．故选：B ．5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（）A.6πB. C.9πD.12π【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知111,2O D SO ==，可知130O SD ∠=，所以圆锥的轴截面为正三角形，因为3SO =，所以圆锥底面圆半径tan 30AO SO =⋅=cos 06AOSA ==o，则圆锥的表面积为2ππ9πS =⨯+=．故选：C ．6.已知角π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且满足cos 4παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα+=（）A.2-B.2516 C.2516-D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件可得tan α的值，从而可得sin ,cos αα，即可得到结果.【详解】由已知得π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3(sin cos )cos ααα-=，∴4tan 3α=，∵π(0,2α∈，∴43sin ,cos ,sin 2cos 255αααα==+=.故选：D7.在等腰ABC 中，2,30,AC CB CAB ABC ∠===︒ 的外接圆圆心为O ，点P 在优弧 AB 上运动，则2PA PB PO PC PA PB⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪-+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的最小值为（）A.4B.2C.-D.6-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得圆O的外接圆直径，从而可得PA PB PA PB += ，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知2,30AC CB CAB ∠===︒，所以圆O 的外接圆直径为24sin BCR A==，因为30APC ABC BPC BAC ∠∠∠∠====︒，所以PA PB PA PB += ，所以22112||2(2622PA PB PO PC PO PC PC PC PA PB PC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪-+⋅=-⋅=-=--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2AC PC R <≤ ，即24PC <≤，所以PC = 时，取到最小值6-．故选：D ．8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A.221189x y += B.2212718x y += C.2213627x y += D.2214536x y +=【答案】A 【解析】【分析】利用弦中点坐标由点差法即可计算出222a b =，利用焦点坐标即可得2218,9a b ==，即得出椭圆方程.【详解】根据题意设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，整理可得2221211122y y x x b a x x y y --++=-；又因为AB 的中点坐标为()1,1-，可得12122,2x x y y +=+=-；因此过,A B 两点的直线斜率为212212ABy y b k x x a -==-，又()3,0F 和AB 的中点()1,1-在直线上，所以101132AB k --==-，即2212b a =，可得222a b =；又易知3c =，且22229a b c b =+=+，计算可得2218,9a b ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=，代入AB 的中点坐标为()1,1-，得()22113118918-+=<，则其在椭圆内部，则此时直线AB 与椭圆相交两点.故选：A二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A.0.01a =B.满意度计分的众数为80分C.满意度计分的75%分位数是85分D.满意度计分的平均分是76.5【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率之和为1即可求解A ，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD.【详解】由频率分布直方图可知()0.0150.035101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，所以选项A 正确；满意度计分的众数为75分，所以选项B 错误；前三组的频率之和为0.10.150.350.6++=<0.75，前四组的频率之和为0.60.30.90.75+=>，则75%分位数[80,90)m ∈，故0.750.68010850.90.6m -=+⨯=-，满意度计分的75%分位数为85，所以选项C 正确；满意度计分的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，所以选项D 正确．故选:ACD ．10.已知函数()sin2(0)f x a x x a =+>的最大值为，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为π2B.3a =C.函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称D.函数()f x =在区间()0,π内有两个不同实根【答案】BD 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()sin2(0)f x a x x a =+>，求出最大值，根据最大值为a 的值，然后利用正弦型函数的性质依次判断即可.【详解】因为()()sin22,sin f x a x x x ϕϕϕ=+=+==所以max 2ππ,()2T f x ===又()f x的最大值是=，又0a >，所以3a =，所以选项A 错误，B 正确；由于()313sin2sin2cos22226f x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为πππ2012126f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以选项C 错误；当()00,πx ∈时，0ππ13π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由()00π26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即0π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求得0π2x =或05π6x =，所以选项D 正确．故选：BD ．11.已知数列{}n a 满足()*111,N 12nn na a a n a +==∈-，数列{}nb 满足1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.10218211a a a =+C.12n S <-D.1n S ≥-【答案】ABC 【解析】【分析】由题意可得1112n na a +-=-，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB ；求出数列{}n a 和{}nb 的通项，再利用裂项相消法即可求出n S ，从而可判断CD .【详解】因为111,12n n n a a a a +==-，所以112112n n n na a a a +-==-，所以1112n na a +-=-，且111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2-，所以10218211a a a =+，所以选项AB 正确；因为()112132n n n a =--=-，所以132n a n=-，所以()()()()1111113212232122321n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪------⎝⎭，所以11111111111211133525232321n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11112212n ⎛⎫=--<- ⎪-⎝⎭，所以选项C 正确，D 错误．故选：ABC ．12.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD的正方形，1,DE BF DE == ,BF DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是（）A.AC DP⊥B.存在点P ，使得DP 平面ACFC.当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面AFC 所成角的余弦值为31010D.三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是92π【答案】ABC 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可判断选项A ；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B ；由面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项C ；由截面是ACF △的外接圆及正弦定理可判断选项D .【详解】令AC BD O = ，连接FO ，令EF 中点为G ，连接DG ，如图所示：由底面ABCD 是正方形可得：O 是,BD AC 的中点，且AC BD ⊥；由DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面DEFB ，BD ⊂平面ABCD 可得：平面ABCD ⊥平面DEFB ，DE BD ⊥；由1,DE BF DE ==BF ，DE BD ⊥可得：四边形BDEF 为矩形.对于选项A ：由AC BD ⊥，平面ABCD ⊥平面DEFB ，平面ABCD ⋂平面DEFB BD =，AC ⊂平面ABCD ，可得AC ⊥平面DEFB .又DP ⊂平面DEFB ，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于选项B ：因为在矩形BDEF 中，DO ,FG DO FG =，所以四边形DOFG 是平行四边形，则直线DG OF .因为OF ⊂平面,ACF DG ⊄平面ACF ，则DG 平面ACF .故当P 是线段EF 中点G 时，直线DP 平面ACF ，故B 正确；对于选项C ：因为AC ⊥平面DEFB ，AC ⊂平面AFC ，所以平面BDEF ⊥平面AFC ，所以()DP DF 在平面AFC 内射影在直线OF 上，直线DP 与平面AFC 所成角为()OFD OPD ∠∠.在OFD △中，2223101,210OF DF DO OD OF DF OFD OF DF ∠+-=====⋅，故C 正确；对于选项D ：因为在ACF △中，2,AC AF ==CF FO ==，则6sin 3OF FAC AF ∠==.由正弦定理得：ACF △的外接圆直径2sin FC r FAC ∠==，则半径r =29ππ8S r ==.因为三棱锥A CDE -的外接球的球心在过点O 且与平面ACD 垂直的直线上，四边形BDEF 为矩形，所以点F 在三棱锥A CDE -的外接球上.所以三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面是ACF △的外接圆，因此三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是98π，故D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线线垂直的证明、线面平行的证明、线面角的求法及球的截面问题.解题关键在于熟练灵活掌握空间线面位置关系的判断方法.选项D 先判断出截面的形状，再利用正弦定理求出半径即可求解判断.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数()()32,2log 2,2xx f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()7f f 的值为__________．【答案】4【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】由题意可得，()()37log 272f =+=，所以()()()27224f f f ===．故答案为：414.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有,,A B C 共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为__________．【答案】29【解析】【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为33，3个窗口各有1辆车在等候的事件含有33A 个基本事件，所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为333A 329P ==.故答案为：2915.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B两点，坐标原点为O ，若1|||5OA BF a ==，则该双曲线的离心率为___________.【答案】2【解析】【分析】由12OA OF OF ==得出12AF AF ⊥，由定义结合勾股定理得出m a =，再由勾股定理得出离心率.【详解】解：如图，1212,OA OF OF c AF AF ===∴⊥因为15BF a =，则21||||23BF BF a a =-=，设2AF m =，则12AF m a =+，则3AB m a =+，由勾股定理可得22211||||||AF AB BF +=，即()()()222235m a m a a +++=，整理可得22560m am a +-=，因为0m >，解得m a =，所以，2AF a =，13AF a =，由勾股定理可得2221212||||||AF AF F F +=，即()22292a a c +=，整理可得210c a =，因此，该双曲线的离心率为10c e a ==.故答案为：10216.已知关于x 的不等式()21e 0xx k x -+>恰有3个不同的正整数解，则实数k 的取值范围是__________．【答案】43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意知，关于x 的不等式()21e x x k x >+恰有3个不同的正整数解．设函数()2e x x f x =，()1y k x =+，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k 取值范围．【详解】当0k =时，不等式20x >有无数个正整数解，不满足题意；当0k <时，当0x >时，不等式()21e 0xx k x -+>恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意；当0k >时，不等式()21e 0xx k x -+>等价于()21ex x k x >+，令()2e x x f x =，所以()()222e ex x x x x x f x --=='，当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当02x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，又()()2400,2ef f ==，结合单调性可知，当0x >时，()0f x >恒成立，而()1y k x =+表示经过点()1,0-的直线，由图像可知，关于x 的不等式()21e 0xx k x -+>恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件：()()()34111,e 931,e 1641,e k k k ⎧+<⎪⎪⎪+<⎨⎪⎪+≥⎪⎩解得431695e 4e k ≤<．则实数k 的取值范围是43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类：（1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化；（2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观；（3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决.四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin sin sin 2sin 2sin a A c B b C b B c C ++=+．（1）求角A 的大小；（2）设角A 的内角平分线交BC 于点M ，若ABC的面积为AM =b c +的值．【答案】（1）π3A =（2）8+=b c【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；（2）根据=+ ABC ABM ACM S S S 化简整理可得.【小问1详解】由2sin sin sin 2sin 2sin a A c B b C b B c C ++=+及正弦定理得：222222a cb bc b c ++=+，即222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】由角A 的内角平分线交BC 于点M 可知π6BAM CAM ∠=∠=，11sin sin 22ABC ABM ACM S S S AM c BAM AM b CAM ∠∠=+=⋅+⋅()1133sin sin 224BAM CAM b c ∠∠=⨯+⨯=+=所以8+=b c．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足74349,29S a a ==+，数列{}n b 满足114,3n n n b b b a +==-．（1）证明：数列{}n b n -是等比数列，并求{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足,,,,n n n b n n c a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）证明见解析；21n a n =-，3nn b n=+（2）21233288n n n +++-【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意求得47a =和35a =，得到1d =，得到21n a n =-，再由()()113n n b n b n +-+=-，得到{}n b n -为等比数列，进而得到数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得到3,21,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，结合分组求和，即可求解.【小问1详解】解：依题意，设数列{}n a 的公差为d ，因为749=S ，所以()17477492a a a +==，则47a =，因为4329a a =+，即3149a =+，所以35a =，所以43132,21d a a a a d =-==-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =-．所以()13321n n n n b b a b n +=-=--，所以()()113n n b n b n +-+=-，又因为14b =，所以1130b -=≠，故数列{}n b n -是首项为3，公比为3的等比数列，所以()11133n n n b n b --=-⋅=，所以3n n b n =+．【小问2详解】解：由（1）知21n a n =-，3nn b n =+，可得3,21,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2123212n n nT c c c c c -=+++++ ()()()()135213333221241221n n -⎡⎤=+++++⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦()()21231934133219288n n n n n n +-+-=+=++--．19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC 与BD 交于点O ，平面11AC CA ⊥平面11,2,ABCD AB AA CC ==与底面ABCD 所成的角为60 ．（1）求证：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求平面1ACB 与平面11CDD C 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）过1C 作11C O AC ⊥于1O ，利用面面垂直证明线面垂，再结合线面角证明1,O O 为同一点即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】过1C 作11C O AC ⊥于1O ，因为平面11AC CA ⊥平面ABCD ，又平面11A C CA ⋂平面ABCD AC =，11C O ⊂平面11A C CA ，所以11C O ⊥平面ABCD ，所以11C CO ∠为直线1CC 与平面ABCD 所成的角，所以1160C CO ∠=，112CC AA ==，则11CO =，又因为底面ABCD 为正方形，2AB =，所以2AC =，O 是AC 中点，1CO =，可知1,O O 为同一点，所以1C O ⊥平面ABCD ．【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，以O 为原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．2==AC BD ，1CO =，112CC AA ==，3CO =，则()()(()()10,1,0,0,1,0,3,1,0,0,1,0,0A C C B D --．又(110,3BB CC ==-，所以(11,3B -，所以()(10,2,0,3AC AB ==，设平面1ACB 的法向量是(),,n x y z =r ，由120,30,n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1z =，则3,0x y =-=，得()3,0,1n =，因为(()10,3,1,1,0CC CD =-=--，设平面11CDD C 的法向量为()111,,m x y z =r ，所以1111130,0,m CC y z m CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令11z =，则3,3x y ==，得()3,3,1m =-，所以2222223330117cos ,7(3)01(3)(3)1n m n m n m++⨯⋅==-++-++，所以平面1ACB 与平面11CDD C 的夹角的余弦值为277．20.已知圆22:2C x y x +=，动点P 在y 轴的右侧，P 到y 轴的距离比它到的圆心C 的距离小1．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若2AM NB MN +=，求AB 及直线l 的方程．【答案】（1）24(0)y x x =>（2）||6AB =，2(1)y x =-【解析】【分析】（1）易得圆的半径1r =，圆心(1,0)C ，由题意得到点P 到定点(1,0)C 的距离与到定直线=1x -的距离相等，再利用抛物线的定义求解；（2）由圆C 的半径为1，得到||2MN =，再由||||||||2||AM NB AB MN MN +=-=，得到36AB MN ==，易知直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =+，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.【小问1详解】22:2C x y x +=化为()2211x y -+=，可得半径1r =，圆心(1,0)C ，因为动点P 在y 轴的右侧，P 到y 轴的距离比它到的圆心C 的距离小1，所以点P 到定点(1,0)C 的距离与到定直线=1x -的距离相等，∴由抛物线的定义得(,)P x y 的轨迹E 方程为24(0)y x x =>；【小问2详解】如图所示：由圆C 的半径为1，可得||2MN =，||||2||4AM NB MN ∴+==又||||||||2||AM NB AB MN MN +=-=，36AB MN ∴==，当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线只有1个交点，不合题意；所以直线l 的斜率不为0，可设直线:1l x my =+，联立2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160m ∆=+>恒成立，12124,4y y m y y +==-，因为||6AB =，126y -==，解得212m =，所以直线l 的方程为11)2x y y x =±+⇒=-．21.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T 全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X 的分布列；（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设()*n p n ∈N 表示事件“第n 天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若12n p >恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）可以；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得X 的可能取值为1,2,3，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分布列.（2）根据题意，由条件可得12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，38为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.【小问1详解】设计算机4次生成的数字之和为ξ，则14,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()444012444111113C C C 22216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()531316P P ξξ≥=-<=，X 的可能取值为1,2,3，则()5115511616256P X ==⨯=，()25511805216161625616P X ⎛⎫==+⨯==⎪⎝⎭，()211121316256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X123P55256516121256【小问2详解】设1n A -表示事件第n 1-天该企业产品检测选择的是智能检测，n A 表示事件第n 天该企业产品检测选择的是智能检测，由全概率公式可知()()()()()()11111111153511616816n n n n n n n n n n n P P A P A A P A P A A P A P P P -------==+=+-=+则153168n n P P -=+，2n ≥，即1131282n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2n ≥，且11122P -=，所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，38为公比的等比数列，则1113228n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以111312282n n P -⎛⎫=+⋅>⎪⎝⎭恒成立，所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.22.已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，利用构造函数法、放缩法，结合多次求导来研究所构造函数的单调性，进而证得不等式成立.【小问1详解】因为()()e 11xf x a x =+--，所以()e 1xf x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10xf x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减．【小问2详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,xa x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()()cos ,1sin 0k x x x k x x =-'=+≥，故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln xxa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1xg x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos xh x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，则()21e sin xm x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->．综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x x a x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-．【点睛】方法点睛；求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x '；（3）求出()0f x '=的根；。
湖南省湖南师范大学附属中学2020届高三数学上学期月考试题（四）理（含解析）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A}，则A∩B＝(C) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{0} 【解析】A ＝{x∈R |x 2－x －2＜0}＝{x|－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A∩B＝{0，1}，故选C.2．已知复数z ＝21－i ，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z 2＝2i ；③z 的共轭复数z ＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0 B. 1 C ．2 D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z|＝2，z 2＝2i ，z ＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.3．若向量a 与b 满足()a ＋b ⊥a ，且||a ＝1，||b ＝2，则向量a 在b 方向上的投影为(B) A. 3 B ．－12 C ．－1 D.33【解析】利用向量垂直的充要条件有：()a ＋b ·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，向量a在b 方向上的投影为a ·b ||b ＝－12.4．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k 进制数a(共有N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1 203，4，则输出的b ＝(A)A ．178B ．386C ．890D ．14 303【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b ＝3·50＋0·51＋2·52＋1·53＝178.故选A.5．若(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝(A)A ．0B ．1C ．32D ．－1【解析】由二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r5(－x)r＝C r5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为(C)A ．1 B. 2 C.94 D.52【解析】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，2x －y ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3，则2×b 3＋2b 3＝3，解得b ＝94.故选C.7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B)A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选B.8．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为(D)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ＝AF ，平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ，∴BD ∥AF ，又∵A 1C 1∥AC ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角即为直线BD 与直线AC 所成的角，为90°.故选D.9．对于数列{}a n ，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{}a n 的“优值”，现已知某数列的“优值”H n ＝2n，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S 2 0192 019＝(B)A ．2 022B ．1 011C ．2 020D ．1 010 【解析】由H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n ＝2n，得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n， ①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n －1， ② ①－②得2n －1a n ＝n·2n－(n －1)·2n －1＝(n ＋1)·2n －1，即a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2，所以S 2 0192 019＝1 011.故选B.10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C ，cos B ＋3sin B ＝2，则a ＋c 的取值范围是(B)A.⎝⎛⎦⎥⎤32，3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3【解析】由题意cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C可得：ccos B ＋bcos C bc ＝sin Ccos B ＋sin Bcos C bsin C ＝sin （B ＋C ）bsin C ＝23sin A 3sin C ，∴b ＝32. cos B ＋3sin B ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2，∴B ＋π6＝π2，B ＝π3，bsin B ＝1，∴A ＋C ＝2π3，0<C ＝2π3－A<π2，0<A<π2，∴π6<A<π2，a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵π6<A<π2，∴π3<A ＋π6<2π3， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤ 3.故答案选B.11．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是(B)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，当x＝0时，y＝1,当x＝32时，y＝－1，所以0＜k≤32.令g(x)＝x3－3x2＋3，则g′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x＝2时，函数取得极小值－1，当x3－3x2＋3＝1时，解得x1＝1，x2＝1＋3，x3＝1－3＜0(舍)，所以2≤a≤1＋3，故选B.12．设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论个数为(C)①|OA|·|OB|≥2；②直线AB过定点(1，0)；③O到直线AB的距离不大于1.A．0 B．1 C．2 D．3【解析】设A(x1，x21)，B(x2，x22)，OA→·OB→＝x1x2(1＋x1x2)＝0x2＝－1x1，|OA|·|OB|＝x21()1＋x211x21⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x21＝1＋x21＋1x21＋1≥2，①正确；直线AB的斜率x22－x21x2－x1＝x2＋x1＝x1－1x1，方程为y－x21＝⎝⎛⎭⎪⎫x1－1x1(x－x1)，过定点(0，1)，②错误；原点到直线AB：⎝⎛⎭⎪⎫x1－1x1x－y＋1＝0的距离d＝1⎝⎛⎭⎪⎫x1－1x12＋1≤1，③正确．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝__1__．【解析】由T2＝π2，T＝2π2ω得ω＝1.14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x≤0），1－x 2（0<x≤1），则⎠⎛－11f(x)dx 的值为__12＋π4__． 【解析】⎠⎛－11f(x)dx ＝⎠⎛－10(x ＋1)dx ＋⎠⎛011－x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x |0－1＋π4＝12＋π4.15．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点(M 在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点Q(O 为坐标原点)，连接QN.若∠MPO＝120°，∠MNQ ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±x __ .【解析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN · k QN ＝b2a 2，∵k MN ＝3，k QN ＝33，∴b2a2＝1，渐近线方程为y ＝±x.16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__9__．【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即43πR 3＝36π，R ＝3，则球心O 到底面等边△ABC 的中心O′的距离||OO′＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33×322＝3，可得三棱锥的高h ＝2||OO′＝23，故三棱锥的体积V ＝13×34×(32)2×23＝9.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－2，S 3＝2a 3－2. (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n ＝log 2()a n －1·a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求使T n >177－2n60成立的正整数n的最小值．【解析】(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.2分又因为S 3＝2a 3－2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－2，所以a 1＝2. 所以a n ＝2n.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝log 2(a n －1·a n )＝log 2(2n －1×2n)＝2n －1，所以b n a n ＝2n －12n ，6分T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，则12T n ＝122＋323＋524＋……＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，T n －12T n ＝12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n ，10分由T n ＝3－2n ＋32n >177－2n 60，得2n ＋32n <3－177－2n 60＝2n ＋360，即2n>60，则n≥6，所以n 的最小值是6.12分 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(Ⅰ)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF∥平面PCE ，并说明理由；(Ⅱ)当二面角D －FC －B的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【解析】(Ⅰ)在棱AB 上存在点E ，使得AF∥平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE∥FQ 且AE ＝FQ.所以，四边形AEQF 为平行四边形.3分所以，AF∥EQ，又EQ 平面PEC ，AF 平面PEC ， 所以，AF ∥平面PEC.5分(Ⅱ)由题意知△ABD 为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD ，平面ADP∩平面ABCD ＝AD ， 所以PD⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分设FD ＝a ，则由题意知D ()0，0，0，F ()0，0，a ，C ()0，2，0，B ()3，1，0， FC →＝()0，2，－a ，CB →＝()3，－1，0， 设平面FBC 的法向量为m ＝()x ，y ，z ，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝0，m ·CB →＝0 得⎩⎨⎧2y －az ＝0，3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a ，所以取m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，显然可取平面DFC 的法向量n ＝()1，0，0，由题意：24＝||cos 〈m ，n 〉＝11＋3＋12a2，所以a ＝ 3.10分由于PD⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝PDBD＝a ＝3，从而∠PBD＝60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.12分 19．(本小题满分12分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别 第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米) [0，10)[10，15)[15，＋∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (Ⅰ)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；(Ⅱ)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．【解析】(1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝C 05C 35C 310＝112，P(X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P(X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P(X ＝3)＝C 35C 05C 310＝112，4分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P112512512112X 的数学期望E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.6分(2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，310，P(X ＝k)＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫310k⎝ ⎛⎭⎪⎫71010－k(k ＝0，1，2，3，…，10)，9分由⎩⎪⎨⎪⎧C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫310k⎝ ⎛⎭⎪⎫71010－k ≥C k ＋110⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫7109－k，Ck 10⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫71010－k ≥C k －110⎝ ⎛⎭⎪⎫310k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫71011－k，解得2310≤k≤3310，又k∈N *，所以当k ＝3时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.12分 20．(本小题满分12分)已知点F 是椭圆x 21＋a2＋y 2＝1(a>0)的右焦点，点M(m ，0)，N(0，n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →(O 为坐标原点)．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．【解析】(Ⅰ) ∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)右焦点F 的坐标为(a ，0)，1分∴NF →＝(a ，－n)．∵MN →＝(－m ，n)， ∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0. 3分设点P 的坐标为(x ，y)，由OM →＝2ON →＋PO →，有(m ，0)＝2(0，n)＋(－x ，－y)， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y2.代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax. 即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax.5分(Ⅱ)解法一：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋a ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214a ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224a ，y 2，则l OA ：y ＝4a y 1x ，l OB ：y ＝4ay 2x. 6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4a y 1x ，x ＝－a ，得S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－4a 2y 1，同理得T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－4a 2y 2. 8分∴FS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 1，FT →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.9分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax ，得y 2－4aty －4a 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.10分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F.12分解法二：①当AB⊥x 时，A(a ，2a)，B(a ，－2a)，则l OA ：y ＝2x ，l OB ：y ＝－2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＝－a ，得点S 的坐标为S(－a ，－2a)，则FS →＝(－2a ，－2a)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＝－a ，得点T 的坐标为T(－a ，2a)，则FT →＝(－2a ，2a)． ∴FS →·FT →＝(－2a)×(－2a)＋(－2a)×2a＝0. 7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －a)(k≠0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214a ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224a ，y 2， 同解法一，得FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.8分 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），y 2＝4ax ，得ky 2－4ay －4ka 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.9分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 11分 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F. 12分21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x －1)，g(x)＝(ax －1)e x ，a ∈R .(Ⅰ)若直线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相切于点P(x 0，y 0)，证明：0<x 0<1；(Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)g′(x)＝(ax ＋a －1)e x ，由导数的几何意义可知，(ax 0＋a －1)ex 0＝a ， ①1分又直线y ＝f(x)的图象过定点(1，0)，因此（ax 0－1）ex 0x 0－1＝a ， 即(ax 0－1)ex 0＝a(x 0－1)， ②2分联立①②消去a 有ex 0＋x 0－2＝0.3分设φ(x)＝e x ＋x －2，则φ′(x)＝e x ＋1>0，所以φ(x)在R 上单调递增．而φ(0)＝－1<0，φ(1)＝e －1>0，φ(0)φ(1)<0，由函数零点存在性定理知 0<x 0<1.5分(Ⅱ)由f(x)>g(x)得a ⎝⎛⎭⎪⎫x －x －1e x <1， 令h(x)＝x －x －1e x ，则h′(x)＝1＋x －2e x ＝e x＋x －2ex ，6分 由(Ⅰ)知φ(x)＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且x∈(－∞，x 0)时，φ(x 0)<0；在x∈(x 0，＋∞)，φ(x 0)>0，故h(x)在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．∴h(x)min ＝h(x 0)＝x 0－x 0－1ex 0＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0. 易证e x ≥x ＋1，∴h(x 0)＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0>x 20＋1ex 0>0，8分 当x≤0时，h (x)≥h(0)＝1>0；当x≥1时，h (x)≥h(1)＝1.(1)若a≤0，则ah(x)≤0<1，此时ah(x)<1有无穷多个整数解，不合题意；9分(2)若a≥1，即1a≤1，因为h(x)在(]－∞，0上单调递减，在[)1，＋∞上单调递增， 所以x∈Z ，h (x)≥min {}h （0），h （1）＝1≥1a， 所以h(x)<1a无整数解，不合题意；10分 (3)若0<a<1，即1a >1，此时h(0)＝h(1)＝1<1a ，故0，1是h(x)<1a 的两个整数解，又h(x)<1a只有两个整数解，因此⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≥1a ，h （2）≥1a ，解得a≥e 22e 2－1，所以a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 22e 2－1，1.12分 (二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．【解析】(Ⅰ)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)， 化为普通方程为(x －a)2＋y 2＝a 2，展开为：x 2＋y 2－2ax ＝0，其极坐标方程为ρ2＝2aρcos θ，即ρ＝2acos θ，由题意可得当θ＝0时，|OA|＝ρ＝2，∴a ＝1.2分曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)， 化为普通方程为x 2＋(y －b)2＝b 2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，由题意可得当θ＝π2时，|OB|＝ρ＝4，∴b ＝2.5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ.∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos 2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4，8分 ∵2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4的最大值为42＋4， 当2θ＋π4＝π2，θ＝π8时取到最大值.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a≠0. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f(x)＜4；(Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．【解析】(Ⅰ)∵ a＝1，∴原不等式为2|x ＋1|＋|x －1|＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x ＋2＋x －1＜4，3分∴－53＜x ＜－1或－1≤x＜1或， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜1.5分 (Ⅱ)由题意得g(x)＝f(x)＋f(－x)＝2()|x ＋a|＋|x －a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2|2a|＋2|a|＝4||a ＋2|a|≥42，8分 当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x≤22时，g(x)取最小值4 2.10分。
湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
2023-2024学年湖南省长郡中学高三上学期月考(四）数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则()A.B.C. D.2.已知i 是虚数单位，若，则实数()A.2B.0C.D.3.设随机变量，且，则()A. B.C.D.4.已知，，，则下列结论正确的是()A.B. C.D.5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为()A. B. C.D.6.已知角，且满足，则()A. B.C.D.27.在等腰中，，，的外接圆圆心为O ，点P 在优弧上运动，则的最小值为()A.4B.2C.D.8.已知椭圆E ：的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E 的方程为A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制满分100分，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中则下列结论正确的是()A. B.满意度计分的众数为80分C.满意度计分的分位数是85分D.满意度计分的平均分是10.已知函数的最大值为，则下列结论正确的是()A.函数的最小正周期为B.C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间内有两个不同实根11.已知数列满足，，数列满足，记数列的前n 项和为，则下列结论正确的是()A.数列是等差数列B.C. D.12.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为的正方形，，，平面ABCD，动点P在线段EF上，则下列说法正确的是()A.B.存在点P，使得平面ACFC.当动点P与点F重合时，直线DP与平面AFC所成角的余弦值为D.三棱锥的外接球被平面ACF所截取的截面面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
