2021届湖南省师大附中等高三四校联考理科数学试卷

【新高考】2021届高三数学试题一、单选题 1．已知复数z 满足z ii z+=，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i --2．设集合{}[]{}31log 1,2,0,2x A xx B y y x =-<<==∈∣∣，则A B =（ ）A ．[0，2)B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）A ．4秒钟B ．5秒钟C ．6秒钟D ．7秒钟4．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ） A ．:,:p a c b d q a b +>+>且c d >B ．():1,1,:(0,xp a b q f x a b a >>=->且1)a ≠的图象不过第二象限C ．:2p x 且222,:4y q x y +D ．():1,:log (0,a p a q f x x a >=>且1)a ≠在()0,∞+上为增函数5．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ）A ．0.20B ．0.48C ．0.60D ．0.756．已知、、A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点,A B 、C 共面”的充分条件的是（ ）A ．2OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =+- C ．1132OM OA OB OC =+-D ．111346OM OA OB OC =++ 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A 、B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点（A 在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．233+ B ．453+ C ．3174+ D ．5114+8．已知0,a <函数()1ln ,a x f x x e a x +=⋅+若()1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．1e --B ．1e -C ．1e- D ．e -二、多选题9．下列命题正确的有（ ）A ．若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的取值范围是()()22-∞-+∞，，B ．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()()22211x y -+-=C ．已知点()P x y ，在圆C ：22 66140x y x y +--+=上，yx的最大值为1 D ．已知圆221 2610C x y x y +---=：和2221012450C x y x y +--+=：，圆1C 和圆2C 的公共弦长为27 10．下列说法正确的是（ ）A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；B ．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14； C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为23. 11．在ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，能确定C ∠为锐角的有（ ） A ．222a b c +> B ．0AC CB ⋅> C ．,A B 均为锐角，且sin cos A B > D ．sin 2sin A C =12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（ ） A ．D 1D ⊥AF B ．A 1G ⊥平面AEFC ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10 D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍三、填空题13．设随机变量X 的分布列为()1,1,2,33kP X k a k ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则a 的值为___________. 14．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种.15．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=，||||OA AB =，则CA CB ⋅=______. 16．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为______.四、解答题17．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：⊥22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；⊥sin4A =⊥sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.18．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（⊥）求数列{}n b 的通项公式；（⊥）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和nT .19．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=,E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 的中点，2AC BC ==，14AA =.（1）当E 是棱1CC 的中点时，求证：CF平面1AEB ；（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45？若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由.20．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为11,46；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23；两人滑雪时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．21．已知椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭，且与曲线2212x y -=有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆的右焦点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设2F A =2F B λ，若[]2,1λ∈--，点()2,0T ，求TA TB +的取值范围.22．已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.（1）设存在[)01,x ∈+∞，使得()()30003f x a x x <-+成立，求正实数a 的取值集合A ；（2）若a A ∈，比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.【新高考】高三数学试题参考答案1．A 2．C 3．B 【分析】先根据题意推理n 秒时新被杀死的病毒为13n -个，即可计算累计杀死的总病毒数n S ，再解方程110n S ≥的正整数解，即得结果. 【详解】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个； 2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长23个； 3秒时，新被杀死的病毒为23个，自身新增长33个； …以此类推n 秒时，新被杀死的病毒为13n -个，自身新增长3n 个，故累计杀死病毒数为：23113333n n S -=+++++，由110n S ≥得1311013nn S -=-，3221n ∴，解得正整数 5.n故选：B.4．A 【详解】A 选项中，由不等式的性质可知：当a b >且c d >，则a c b d +>+. 当取5,6,7,3a b c d ====时，129a c b d +=>+=，但不满足a b > 所以故p 是q 的必要不充分条件；B 选项中，当1,1a b >>时，函数()(0,xf x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限，所以由p q ⇒成立 当函数()(0,xf x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限时，则1,1a b >≥，所以由q p ⇒不成立所以p 是q 的充分不必要条件； C 选项中，当2x ≥且2y ≥，有224x y+成立.当取5,1x y ==时，有224x y+成立，但不满足2y ≥.所以p 是q 的充分不必要条件；D 选项中，若()log (0,a f x x a =>且1)a ≠在()0,∞+上为增函数,则1a >，p 是q 的充要条件；故选：A. 5．D 【分析】记事件:A 电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件:B 电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件:A 电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件:B 电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则()0.6P AB =，()0.8P A =，所以，已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===. 故选：D. 6．B 【分析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++， 若点M 与点,,A B C 共面， 则1x y z ++=，对于选项A ：2110x y z ++=--=，不满足题意； 对于选项B ：1111x y z ++=+-=，满足题意；对于选项C ：11511326x y z ++=+-=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111346x y z ++=++≠，不满足题意；【新高考】高三数学试题故选：B. 7．C 【分析】连接1F B 、2F A ，利用双曲线的定义可得122AF c a =-，122BF c a =+，利用余弦定理求出12cos AF F ∠和21cos BF F ∠，由12//F A F B 可得出1221cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可解得双曲线C 的离心率. 【详解】连接1F B 、2F A ，则222AF BF c ==，如下图所示：由双曲线的定义可得12222AF AF a c a =-=-，12222BF BF a c a =+=+， 在12AF F △中，由余弦定理可得()()222124224cos 22222c c a c c aAF F c c a c+---∠==⋅⋅-， 在12BF F △中，由余弦定理可得()2222221244222cos 2222c c c a c ac a BF F c cc +-+--∠==⋅⋅， 因为12//F A F B ，所以1221AF F BF F π∠+∠=，即1221cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即2222022c ac a c a c c---+=，即22310e e --=，1e >，解得34e +=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8．D 【分析】设()xg x xe =，()0f x ≥可等价为()()ln a f x f x -≥，再利用()f x 的单调性转化为求最值即可求解.【详解】由()0f x ≥可得1ln a xx e a x +⋅≥-，所以1ln 1lnln 1lna a x xa a aa x x x e e x x x ⋅≥-==⋅，设()xg x xe =，则上式等价于()1lna g x g x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对于()1,x ∈+∞恒成立， 因为()()10xg x x e '=+>，所以()xg x xe =在()1,+∞单调递增，所以1lna x x ≥对于()1,x ∈+∞恒成立，即ln a x x ≥-，因为ln 0x >， 所以ln xa x ≥-对于()1,x ∈+∞恒成立，令()ln xh x x=-，则()max a h x ≥，()()()221ln 1ln ln ln x xx x h x x x -⋅-'=-=， 由()0h x '>可得0x e <<，由()0h x '<可得x e >， 所以()ln xh x x=-在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 所以()()maxln eh x h e e e==-=-，【新高考】高三数学试题可得a e ≥-，所以实数a 的最小值为e -. 故选：D. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立（或能成立）求参数由不等式恒成立（或能成立）求参数，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 9．BD 【分析】将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A ，设(),1C a 利用圆心到直线的距离等于半径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B ，yx表示圆上的点与原点()0,0 连线的斜率，可得相切时y x 取得最值，设切线为0kx y ，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出k 的值，可得yx的最值，即可判断选项C ，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D ，进而得出正确选项. 【详解】若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则()222430m +--⨯>，即28m >，解得m ≥或m ≤-A 不正确；设圆心(),1C a ()0a >，则圆心到直线430x y -=4315a -==，解得2a =，即圆心为()2,1C ，所以圆的标准方程是()()22211x y -+-=，故选项B 正确；由2266140x y x y +--+=可得()()22334x y -+-=，yx表示圆上的点与原点()0,0 连线的斜率，可得相切时y x 取得最值，设切线为0kx y，则2d ==，显然1k =不是方程的解，故yx 的最大值不是1，故选项C 不正确，将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程43230x y +-=，由221 2610C x y x y +---=：得()()221311x y -+-=，可得圆心()11,3C，1r =，圆心()11,3C 到直线43230x y +-=的距离2d ==所以弦长为==，所以公共弦长为D 正确， 故选：BD 【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x ，根据弦长公式AB =.10．BD 【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B ．利用古典概型的概率公式进行判断.C ．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D ．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可． 【详解】A:设一组数据为X ,则每个数据都乘以同一个非零常数a 后,可得Y aX =， 则()()()2D Y D aX a D X ==，所以方差也变为原来的2a 倍，故A 不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为14，故B 正确.C: 由1r →，两个变量的线性相关性越强，0r →，两个变量的线性相关性越弱，故C 不正确. D: 根据题意可得()()19P A P B ⋅=, ()()()()P A P B P A P B ⋅=⋅ 设()(),P A x P B y ==则()()()()111911x y x y y x ⎧--=⎪⎨⎪-⋅=-⋅⎩，得119x y xy x y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，即21219x x -+= 解得23x =或43（舍） 所以事件A 发生的概率为23，故D 正确. 故选：B D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题. 11．ACD 【分析】选项A 由余弦定理可判断；选项B 由向量的数量积定义可判断；选项C 由诱导公式有cos sin 2B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调性可判断；选项D 由正弦定理可得2,a c =则,a c >由大边对大角可判断. 【详解】对于222222,,cos 0,2a b c A a b c C C ab∠+-+>∴=>∴为锐角，故A 正确；对于,B AC CB ⋅()0,|cos 0,cos 0,AC CB C C C π∠>∴->∴<∴为钝角，故B 错误;对于,,C A B 均为锐角；且sin A cos ,sin cos sin ,2B A B B π⎛⎫>∴>=- ⎪⎝⎭因为,2A B π>-可得,2A B π+>则C ∠为锐角，故C 正确.对于,D sin 2sin ,A C =由正弦定理得,2,,a c a c =∴>则,A C C ∠>∴为锐角，故D 正确.故选：ACD12．BCD 【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D 1D 、AF 是否垂直及求直线A 1G 与EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A 1G 、平面AEF 是否平行. 【详解】A 选项，由11//DD CC ，即1CC 与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G ’连接AG ’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以11GG BB AA '==，而1//AA GG '，即1//AG AG '；又因为面11ABB A 面AEF =AG ，且1AG ⊄面AEF ，1AG ⊂面11ABB A ，所以A 1G ∥平面AEF ，故正确.C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有11GH AG A H ==1A GH 中有1cos AGH ∠=，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为1h、2h，则由11133A GEF GEF G AEF AEFV AB S V h S--=⋅⋅==⋅⋅且21133A CEF CEF C AEF AEFV AB S V h S--=⋅⋅==⋅⋅，知122GEFCEFShh S==，故正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2π.2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由A GEF G AEFV V--=、A CEF C AEFV V--=即可求G、C到平面AEF的距离比.13．2713【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解. 【详解】因为随机变量X 的分布列为()1,1,2,3,3kP X k a k ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以根据分布列的性质有231111,333a a a ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以111131,392727a a ⎛⎫⋅++=⨯=⎪⎝⎭所以27.13a =故答案为：271314．18. 【解析】先分成三组，每组2张卡片，其中1,2在同一组.再排列即可2343182C A =.15．3 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-,得到BC 为直径,故ABC 为直角三角形,求出三边长可得ACB ∠的值,利用两个向量的数量积的定义求出CA CB ⋅的值. 【详解】20OA AB AC ++= 0OA AB OA AC ∴+++=,OB OC ∴=-.O ∴,B,C 共线,BC 为圆的直径,AB AC ∴⊥.||1OA AB OA AB =∴== 2,BC AC == ,故6ACB π∠=.则32cos 36πCA CB ⋅=⨯=, 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出ABC 为直角三角形及三边长,是解题的关键.16．1100【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大≥a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得． 【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，≥所以a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-，∵x ﹣252x +-在[3，4]是减函数，∴252+≤x ﹣252x +≤-1+5； 即92≤x ﹣252x +≤-6； 故2115100(24)2x x ≥-++-；当x ＝3，a 225=-，b 350=-时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100．故答案为1100． 【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题．17．（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 【分析】（1）若选①，先化简，再结合正弦定理进行边化角，再利用余弦定理求得1cos 2A =，结合范围即得结果；若选②，利用二倍角以此计算cos2A、cos A ，结合范围即得结果；若选③，利用正弦定理进行边化角，再结合sinsin 2B CA +=，进行化简求得1sin ,22A =结合范围即得结果； （2）先根据三角形有一解知sin a b A =或a b ≥，解得参数m 的取值范围，再分别讨论m 在不同取值下面积的取值范围，即得最值. 【详解】解：（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0180A <<︒︒，所以60A =︒；若选②，由二倍角公式2cos12sin 24A A =-=，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒；若选③，由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=. 因为0180A <<︒︒，sin 0,B ≠所以sinsin .2B CA += 由180,ABC ++=可得sincos ,22B C A +=故cos 2sin cos 222A A A=， 因为0902A ︒<<︒，cos 0,2A ≠故1sin ,22A =26A π=，因此60A =︒；（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，sin3m π=0m ≥>，故2m =或03m<，({}2m ∴∈⋃，①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以111222S ac ==⋅=； ②当03m<时,3,3a A π==，由余弦定理可得2222cos 2,a b c bc A bc bc bc =+--=3,bc ∴当且仅当b c =时等号成立，∴三角形面积为11sin 322S bc A =⨯⨯=ABC 面积的最大值max S =.综上，ABC 面积的最大值max 4S =. 【点睛】 方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.18．（Ⅰ）31n b n =+;（Ⅱ）232n n T n +=⋅【详解】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．（1）见解析；（2）在棱1CC 上存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45， 此时52CE = 【详解】（1）证明：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG ：,F G 分别是棱AB 、AB 1中点，111//,2FG BB FG BB ∴=又//,FG EC FG EC =∴四边形FGEC 是平行四边形，//.CF DG ∴CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1//CF ∴平面AEB 1．（2）解：以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为,,x y z 轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.C xyz - 则C （0，0，0），A （2，0，0），B 1（0，2，4）设(0,0,)E m，平面AEB1的法向量(,,)n x y z=则1(2,2,4),(2,0,)AB AE m=-=-且1,AB n AE n⊥⊥于是12240,{200AB n x y zAE n x y mz⋅=-++=⋅=-++=所以,2{42mzxmz zy=-=取2,(,4,2)z n m m==-则三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，平面ABC，又平面ABC平面ECBB1CA∴是平面EBB1的法向量，(2,0,0)CA =二面角A —EB 1—B 的大小是45°，则cos 4522CA n CA nm ⋅︒===⋅⨯ 解得5.2m =∴在棱CC 1上存在点E ，使得二面角A —EB 1—B 的大小是45°．此时5.2CE =20．(1)512(2)见解析 【解析】试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=， 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为31112111(1)(1)42634624P =--⨯--=⨯=，则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=. (2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.111(0)4624P ξ==⨯=，12111(40)43264P ξ==⨯+⨯=，1112115(80)46234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，11121(120)26434P ξ==⨯+⨯=，111(160)4624P ξ==⨯=，ξ的分布列为：()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(,)X B n p ），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（()E X np =）求得.21．（1）2212x y +=；（2）2,8⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意可得1c =，设22221(0)x y a b a b +=>>，将点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入即可求解. （2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线与椭圆方程联立，设()()112212,,,,0A x y B x y y y ≠，利用韦达定理可得212221422y y m y y m ++=-+，再由22F A F B λ=，可得221422m m λλ++=-+，根据[]2,1λ∈--，可得2207m ≤≤，由()()2221212||4TA TB x x y y +=+-++，结合m 的取值范围即可求解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得1c =，设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则221121a b += 又221a b =+解得21b =或21(2b =-舍去)， 所认221 2.a b =+=故椭圆C 的标准方程为22 1.2x y +=（2）由题意设直线l 的方程为 1.x my =+将直线l 的方程代入2212x y +=中，得()222210m y my ++-=设()()112212,,,,0,A x y B x y y y ≠可得12222my y m +=-+，① 12212y y m =-+，②将上面两式①式平方除以②式，得21222142.2y y m y y m ++=-+ 因为22,F A F B λ=所以12,y y λ=且0.λ< 则2212222141422,22y y m m y y m m λλ++=-⇒++=-++ 由[]225111142,12200,2222m m λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒-≤-≤+所以2207m ≤≤，因为()()11222,,2,,TA x y TB x y =-=- 所以()12124,TA TB x x y y +=+-+又12222m y y m +=-+，所以()()21212241422m x x m y y m ++-=+-=-+，故()()2221212||4TA TB x x y y +=+-++()()()()()()()222222222222222161162282842881622222m m m mm mmmm ++-++=+==-++++++令212t m =+，因为2207m ≤≤，所以27111622m ≤≤+，即71,162t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以222717||82816842TA TB t t t ⎛⎫+=-+=-- ⎪⎝⎭.而71,,162t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以2169||4,.32TA TB ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 所以2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设直线l 的方程为1x my =+，利用韦达定理得出221422m m λλ++=-+，求出2m 的取值范围，考查了运算求解能力.22．（1）1,2e e ∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值()10g <，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数()()1ln 1h x x e x =---，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．【详解】解：（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+， 则()()2131xx g x e a x e+'=--. 当1x 时，210,10xx e x e->-， 又0,a >故()0g x '>所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞的最小值是()112.g e e a -=+-由于存在[)01,,x ∞∈+使()0030030xx e ea x x -+--+<成立当且仅当最小值()10.g <故120,e e a -+-<即1,2e e a -+>则1,.2e e A ∞-⎛⎫+=+⎪⎝⎭（2）令函数()()1ln 1,h x x e x =---则()11e h x x-=-'. 令()0,h x '=得1x e =-，当()0,1x e ∈-时(),0,h x '<故()h x 是()0,1e -上的单调减函数.当()1,x e ∞∈-+时(),0,h x '>故()h x 是()1,e -+∞上的单调增函数 所以()h x 在()0,∞+上的最小值是()1h e -. 注意到()()10h h e ==，所以当()()1,10,1x e e ∈-⊆-时()()(),110.h e h x h -<<= 当()()1,1,x e e e ∞∈-⊆-+时()(),0h x h e <= 所以()0h x <对任意的()1,x e ∈成立.①当()1,1,2e e a e e -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时(),0,h a <即()11ln ,a e a -<-从而11;a e e a --< ②当a e =时11,a e ea --=；③当()(),1,a e e ∞∞∈+⊆-+时()(),0,h a h e >=即()11ln a e a ->-，故11a e e a -->综上所述，当1,2e e a e -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时11,;a e e a --< 当a e =时11,a e ea --=；当(),a e ∈+∞时，11a e e a -->. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,4A B x x =--=∈<Z ，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1}-C ．{0,1,2}D ．{0,1}2．若复数352i z =-（i 为虚数单位）则||z =（ ） ABCD3．已知向量(2,1),(,4)AB AC a ==，若AB AC ⊥，则||BC =（ ） ABC．D ．54．已知11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则2sin cos sin cos αααα-=+（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．55．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中1.618≈）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥P ABCD -的底面边长约为656英尺，顶点P 在底面上的投影为底面的中心O ，H 为线段BC 的中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．302.7B ．405.4C ．530.7D ．1061.46．函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的离心率为（ ） A ．3BCD8．在等比数列{}n a 中，1234567845122,55a a a a a a a a a a +++++++==-，则1234567811111111a a a a a a a a +++++++=（ ） A ．6- B ．2425-C ．145D ．2二、多选题9．已知二项式2nx ⎛⎝的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为128B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第5项D ．有理项共3项10．已知函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2π个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则以下结论正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为1B ．函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．4x π=-是函数()g x 的一条对称轴D ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()g x 的一个对称中心11．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:340l kx y k -+-=，则（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系无法判定B ．当1k =时，圆C 上的点到直线l2+ C ．当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，0k =D ．如果直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，则MN 的中点的轨迹是一个圆12．已知图1中，正方形EFGH的边长为A 、B 、C 、D 是各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）．A ．平面AEF ⊥平面CGHB ．直线AF 与直线CG 所成的角为60°C ．多面体ABCD EFGH -的体积为63+D ．直线CG 与平面AEF 所成角的正切值为2 三、填空题13．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 14．从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为________．15．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径是__________．四、双空题16．已知22,30,()1ln ,0 3.1x x x f x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨≤≤⎪+⎩（1）函数()f x 的零点个数为________个；（2）若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为_______． 五、解答题17．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2S BC =⋅（其中S 为ABC 的面积）．(1)求角B 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围．19．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每环节通过的概率依次为211,,323，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为23，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为32,43．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1)求乙能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望．20．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD 、BC 上·(1)若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；(2)若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN 的周长为定值．22．已知函数ln ()1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（其中a 为非零实数）． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()e ()x g x f x =-（e 为自然对数的底数）有两个零点． ①求实数a 的取值范围；①设两个零点分别为1x 、2x ，求证：()12212e x x x x -+>．参考答案：1．B 【解析】 【分析】计算得到B 集合的等价集合，然后求交集即可. 【详解】{}24B x x =∈<Z ，{}{}{}24221,0,1B x x x x ∴=∈<=∈-<<=-Z Z ，又{}2,1,0,1,2A =--，{1,0,1}A B ∴=-．故选：B 2．C 【解析】 【分析】先对复数化简，然后再求复数的模 【详解】由题意可知：3555(2i)2i 2i 2i (2i)(2i)z -====--++-，则|z |= 故选：C 3．D 【解析】 【分析】根据AB AC ⊥求得a ，由此求得BC ，进而求得||BC . 【详解】由题意可得240AB AC a ⋅=+=，解得2a =-，所以(4,3)BC AC AB =-=-，因此||(5BC =-=．故选：D 4．D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

2021年湖南师大附中高考数学模拟试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−2x −3<0}，则A ∩B =( )A. (0,3)B. [0,3)C. [0,3]D. (0,3]2. 已知z 在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，则2zz−1=( )A. 1−3iB. 3+iC. 1−iD. 2−i3. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊥α，n ⊂β，则“m//n ”是“α⊥β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27405. 已知双曲线C ：x 24−y 2b2=1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,32)B. (1,√132)C. ( 32，√132)D. (1,√13)6. 定义：在数列{a n }中，若满足a n+2a n+1−a n+1a n=d(n ∈N ∗,d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{a n }中，a 1=a 2=1，a 3=3，则a 2021a 2019等于( )A. 4×20172−1B. 4×20182−1C. 4×20192−1D. 4×20202−17. 已知△ABC 中，∠ABC =∠ACB =45°，BC =12，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. −365B. −725C. −185D. −5458. 已知函数f(x)=tan(x −2)+3，g(x)=3x−2x−2.若f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x 6,y 6)，(x 7,y 7)，(x 8,y 8)，则x 1+x 2+⋯+x 8+y 1+y 2+⋯+y 8的值为( )A. 20B. 30C. 40D. 42二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在[80,90)的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是()A. a=0.03B. b=0.034C. 本次思想政治考试平均分为80D. 从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[90,100]内的概率为C43(0.16)3(1−0.16)10.设函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线E，则()A. 将曲线y=sin2x向右平移π3个单位长度，与曲线E重合B. 将曲线y=sin(x−π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C. (−π12,0)是曲线E的一个对称中心D. 若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值为π2 11.正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论正确的是()A. 在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B. 平面DMN⊥平面BCC1B1C. 三棱锥A−DMN的体积为定值D. △DMN可能为直角三角形12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是()A. 若抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4xB. 以AB为直径的圆与准线相切C. 线段AB长度的最小值是2p,1)D. sin∠PMN的取值范围为[12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x+2e x在x=0处的切线方程为______．14.(x+2)(x+1)4的展开式中项x3的系数为______ ．15.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→⋯，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→⋯，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是______．16.设s，t是不相等的两个正数，且s+slnt=t+tlns，则s+t−st的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若数列{a n}的前n项和S n=2a n−2，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a2n−1(n∈N∗)，求数列{a n b n}的前n项和T n．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点且DE=1．2(1)求证：平面AB1D⊥平面AEC；(2)求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值．19.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过√3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=√3千米，AN=√3千米．(1)求线段MN的长度；(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．20. 某工厂引进新的生产设备M ，为对其进行评估，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值． (1)为评估设备M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y 和原料中的该材料含量x 之间的相关关系，现取了8对观测值，求y 与x 的线性回归方程． 附：①对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，⋯，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x−； ②参考数据：∑x i 8i=1=52，∑y i 8i=1=228，∑x i 28i=1=478，∑x i 8i=1y i =1849．(2)为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)； ①P(μ−σ<X ≤μ+σ)≥0.6826； ②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≥0，9544； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级．(3)将直径小于等于μ−2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望E(Y)．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6．(1)求该椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 与某个定圆E 相切，并求出定圆E 的方程．22. 已知函数f(x)=x −12sinx −m 2lnx +1．(1)当m =2时，试判断函数f(x)在(π,+∞)上的单调性；(2)存在x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，f(x 1)=f(x 2)，求证：x 1x 2<m 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵2x−1≥0，∴x≥0，∴A=[0,+∞)，又x2−2x−3<0，∴−1<x<3，∴B=(−1,3)，∴A∩B=[0,3)，故选：B．解不等式，分别求出A，B，取交集即可．本题考查了解不等式问题，考查二次根式的性质以及集合的运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：因为z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，所以z=2−i，故2zz−1=2(2−i)1−i=2(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i．故选：B．先利用复数的几何意义求出z，然后由复数的除法运算求解即可．本题考查了复数几何意义的应用以及复数除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m//n”是“α⊥β”的充分条件；若m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，即“m//n”是“α⊥β”的不必要条件；所以“m//n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．根据m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，以及m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，以及线线、面面位置关系的判定，同时考查了逻辑推理的能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380．故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线C 的渐近线方程为y =±b2x ，焦点F(c,0)， ∵渐近线与圆相交， ∴|b 2⋅c|√1+(b a)2<3，即b <3，∴2=√c 2−b 2，可得c 2=4+b 2<13， ∴双曲线C 的离心率为：e =c a<√132，且e >1．故选：B ．由焦点F(c,0)到渐近线y =±b 2x 的距离小于3，可推出b <3，然后求解离心率的范围． 本题考查双曲线的几何性质，直线与圆相交的判断方法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意可得：a 3a 2=3，a 2a 1=1，a 3a 2−a2a 1=2，根据“等差比数列”的定义可知数列{a n+1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，则a n+1a n=1+(n −1)×2=2n −1，∴a2021a 2020=2×2020−1=2×2019+1，a2020a 2019=2×2019−1，∴a 2021a 2019=a 2021a 2020×a2020a 2019=(2×2019+1)(2×2019−1)=4×20192−1．故选：C ． 由已知可得，数列{a n+1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得a2021a 2020与a 2020a 2019，作积得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由∠ABC =∠ACB =45°，可知∠BAC =90°．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0,0)、M(4√2,2√2)、C(0,6√2)，设N(x,12x)，其中0≤x ≤4√2，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,12x)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,12x −6√2)， 故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+12x(12x −6√2)=54x 2−3√2x ． 令f(x)=54x 2−3√2x ，0≤x ≤4√2，则当x =6√25时，函数f(x)有最小值，且f(x)min =f(6√25)=−185，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−185， 故选：C ．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，求出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+12x(12x −6√2)=54x 2−3√2x.利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查向量的数量积的求法，二次函数的最值的求法，是中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)关于点(2+kπ2,3)，k∈Z对称，当x≠2时，g(x)+g(4−x)=3x−2x−2+10−3x2−x=6x−12x−2=6，故函数g(x)关于点(2,3)对称，又∵x∈[−172,2)∪(2,252]，则4−x∈[−172,2)∪(2,252]，故若点(a,b)为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，则点(4−a,6−b)也为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，故x1+x2+⋯+x8+y1+y2+⋯+y8=(4−x1)+(4−x2)+⋯+(4−x8)+(6−y1)+(6−y2)+...+(6−y8)=12[(x1+4−x1)+(x2+4−x2)+...+(x8+4−x8)+(y1+6−y1)+(y2+6−y2)+...+(y8+6−y8)]=4×4+4×6=40．故选：C．根据题意可得函数f(x)关于点(2+kπ2,3)，函数g(x)关于点(2,3)对称，若点(a,b)为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，则点(4−a,6−b)也为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，即可得出答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由题知，a=15÷50÷10=0.03，选项A正确；b=[1−(0.008+0.012+0.016+0.030)×10]÷10=0.034，选项B正确；本次思想政治考试平均分估计值为55×0.08+65×0.12+75×0.34+85×0.3+ 95×0.16=78.4，选项C错误；可知在[90,100]内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[90,100]内的概率为C43(0.16)3⋅(1−0.16)，选项D正确．故选：ABD．利用频率分布直方图的性质、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力与数据分析能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线E，故将曲线y=sin2x向右平移π3个单位长度，得到y=sin(2x−2π3)的图象，故A错误；将曲线y=sin(x−π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=sin(2x−π3)的图象，与曲线E重合，故B正确；令x=−π12，求得f(x)=−1，为最小值，故C错误；若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值半个周期，为12⋅2π2=π2，故D正确，故选：BD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：根据正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM=C1N，如图所示：对于A：连接DO，由于D、O为中点，所以DO//平面ABC，故在△DMN内存在DO与平面ABC平行的线段，故A正确；对于B：作NK⊥AK，MH⊥AD，所以DM2=DH2+HM2，DN2=DK2+KN2，整理得：DN=DM，所以△DMN为等腰三角形，所以DO⊥MN，同理DO⊥BC1，所以DO⊥平面BCC1B1，所以平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；对于C：V A−DMN=V N−ADM=13×12⋅AD⋅AB⋅√32AB=√312AB2⋅AD(定值)，故C正确；对于D：△DMN，当M和N在中点时，为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形，故D错误．故选：ABC．直接利用线面垂直的判定和性质及锥体的体积公式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，锥体的体积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，对于A，若抛物线上一点E(2,t)到焦点F的距离等于4，由抛物线的定义可得2+P2=4，解得p=4，则抛物线的方程为y2=8x，故A不正确；对于B，可设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+p2，与抛物线y2=2px联立，消去x，可得y2−2pmy−p2=0，可得y1+y2=2pm，y1y2=−p2，可得P的坐标为(pm2+p2,pm)，|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p，可得P到准线的距离为pm2+p=12|AB|，则以AB为直径的圆与准线相切，故B正确；对于C，由|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p，可得m=0时，|AB|的最小值为2p，故C正确；对于D，由上面的分析可得△=4p2m2+4p2>0，y1+y2=2pm，∴x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p，|AB|=x1+x2+p=2p(m2+1)，P到y轴的距离为d=x1+x22=pm2+p2，∴sin∠PMN=d12|AB|=pm2+p2pm2+p=1−12(m2+1)≥1−12=12．当且仅当m=0时，取得等号，故D正确．故选：BCD．由抛物线的定义求得p，可得抛物线的方程，可判断A；设直线l的方程为x=my+p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、结合直线和圆相切，可判断B；由m=0，可得弦长|AB|的最小值，可判断C；运用弦长公式和点到直线的距离公式，求得sin∠PMN关于m的表达式，求得最小值，可判断D．本题是直线与抛物线的综合问题，抛物线的焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3x−y+2=0【解析】解：∵f(x)=x+2e x，∴f′(x)=1+2e x，∴f(0)=2，∴切点坐标为(0,2)，∴k=f′(0)=3，∴切线方程为y−2=3x．故答案为：3x−y+2=0．求导得f′(x)=1+2e x，由导数的几何意义可得k=f′(0)，再计算f(0)，即可得出答案．本题考查导数的几何意义，解题中需要理清思路，属于中档题．14.【答案】14【解析】解：(2+x)(1+x)4=(2+x)(1+4x+6x2+4x3+x4)，所以展开式中含x3的项的系数为：2×4+1×6=14．故答案为：14．把(1+x)4按照二项式定理展开，可得(x+2)(1+x)4展开式中含x3项的系数本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．15.【答案】√3【解析】解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达点C，黄“电子狗”爬完2009段后到达第三段的终点A1.此时的距离为|CA1|=√3．故答案为：√3．先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2009段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于创新题，基础题．16.【答案】(1,+∞)【解析】解：由已知s+slnt=t+tlns，可得1+lnt t =1+lnss.设f(x)=1+lnxx(x>0)，则f′(x)=−lnxx2.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为増函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．如图，作出函数f(x)的大致图象，由题意知f(s)=f(t)，所以s，t为方程f(x)=m的两个不同的解．不妨设s>t，则0<t<1<s，故s+t−st−1=(s−1)(1−t)>0，所以s+t−st>1．故答案为：(1,+∞)．由已知s+slnt=t+tlns，可得1+lntt =1+lnss.设f(x)=1+lnxx(x>0)，然后利用导数求出函数f(x)的单调性，画出图像，问题转化为s，t为方程f(x)=m的两个不同的解，利用数形结合思想即可求解．本题考查了函数的性质以及导数的应用，考查了数形结合思想以及学生的理解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和S n=2a n−2，n∈N∗．n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n=2a n−1，n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．(2)b n=log2a2n−1=2n−1．a nb n=(2n−1)⋅2n．数列{a n b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+⋯…+(2n−1)⋅2n．2T n=22+3×23+⋯…+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，∴−T n=2+2(22+23+⋯…+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(2n−1−1)2−1−(2n−1)⋅2n+1，化为：T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【解析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2，n ∈N ∗.n ≥2时，a n =S n −S n−1，化为：a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1.利用等比数列的通项公式即可得出． (2)b n =log 2a 2n−1=2n −1.a n b n =(2n −1)⋅2n .利用错位相减法即可得出．18.【答案】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，有A 1B 1⊥平面AA 1D 1D ，又因为AE ⊂平面AA 1D 1D ，所以A 1B 1⊥AE ．在△ADE 与△A 1AD 中，∠ADE =∠A 1AD ，又A 1A AD=ADDE =2，所以△ADE∽△A 1AD ． 所以∠DAE =∠AA 1D ，所以∠DAE +∠A 1AD =∠AA 1D +∠A 1AD =π2，所以AE ⊥A 1D . 又因为A 1D ∩A 1B 1=A 1，所以AE ⊥平面A 1B 1D ，因为AE ⊂平面AEC ， 所以平面A 1B 1D ⊥平面AEC ．(2)解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DA ，DC ，DD 1两两垂直， 故以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．依题意，有A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,12),A 1(1,0,2)，所以DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)， 设平面AEC 的法向量为n⃗ (x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,，所以{−x +y =0,−x +12z =0,取n ⃗ =(1,1,2)． 设直线A 1D 与平面AEC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n ⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||DA 1−|=√30=√306．【解析】(1)证明A 1B 1⊥AE.AE ⊥A 1D .推出AE ⊥平面A 1B 1D ，然后证明平面A 1B 1D ⊥平面AEC ．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面AEC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A 1D 与平面AEC 所成角正弦函数值． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)在△AMN 中，由余弦定理得，MN 2=AM 2+AN 2−2AM ⋅ANcos120° =3+3−2×√3×√3×(−12)=9，所以线段MN 的长度为3千米．(2)设∠PMN =α，因为∠MPN =60°，所以∠PNM =120°−α， 在△PMN 中，由正弦定理得，MNsin∠MPN =PMsin(120∘−α)=PNsinα． 因为MNsin∠MPN =3sin60∘=2√3，所以PM =2√3sin(120°−α)，PN =2√3sinα， 因此PM +PN =2√3sin(120°−α)+2√3sinα=2√3(√32cosα+12sinα)+2√3sinα=3√3sinα+3cosα=6sin(α+30°)，因为0°<α<120°，所以30°<α+30°<150°．所以当α+30°=90°，即α=60°时，PM +PN 取到最大值6． 答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．【解析】本题考查解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．(1)在△AMN 中，利用余弦定理得到MN ；(2)设∠PMN =α，得到∠PNM =120°−α，利用正弦定理将PM +PN 用α表示，结合三角函数的有界性求最值．20.【答案】解：(1)由题意可得，b ̂=∑x i 8i=1y i −8x −y−∑x i 28i=1−8x−2=1849−8×528×2288478−8×(528)2=367140，所以a ̂=y −−b ̂x −=2288−367140×528=3209280，故y 与x 的线性回归方程为y ̂=367140x +3209280；(2)由题意可得，μ−σ=62.8，μ+σ=67.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6，所以P(62.8<X ≤67.2)=80100=0.8>0.6826， P(60.6<X ≤69.4)=94100=0.94<0.9544，P(58.4<X ≤71.6)=98100=0.98<0.9974， 故设备M 的性能等级为丙级；(3)样本中直径小于等于μ−2σ的共有2件，直径大于μ+2σ的零件共有4件， 所以样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06，由题意可知，从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y 1，则Y 1～B(2,6100)，于是E(Y 1)=2×6100=325；从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y 2，则Y 2的可能取值为0，1，2， 所以Y 2的分布列为：故E(Y 2)=0×C 942C 1002+1×C 61C 941C 1002+2×C 62C 1002=325，则次品总数Y 的数学期望E(Y)=E(Y 1+Y 2)=E(Y 1)+E(Y 2)=625．【解析】(1)利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；(2)利用正态分布曲线的对称性，求解对应的概率进行比较，即可得到答案； (3)先求出备M 生产零件的次品率，设次品数设为Y 1，则Y 1～B(2,6100)，利用数学期望的公式求出E(Y 1)，从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y 2，先求出随机变量Y 2的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式其期望，再进行求和，即可得到答案．本题考查了线性回归方程的求解，正态分布曲线对称性的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由椭圆离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6， 题意可知，a =√6， 椭圆的离心率e =ca =√22，则c =√3，b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的标准方程：x 26+y 23=1．(2)证明：∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 当直线l 的斜率不存在时， 设直线l 为x =t ，代入椭圆方程， 则A(t,√6−t 22)，B(t,−√6−t 22)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则t 2−3+t 22=0，解得：t =±√2， 此时直线l 为x =±√2，与圆x 2+y 2=2相切， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x 2+2y 2=6,y =kx +m,整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，由直线与椭圆有两个不同的交点，则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0， 化简得：m 2<6k 2+3，①由韦达定理可知：x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则x 1x 2+y 1y 2=0，则2m 2−61+2k 2+m 2−6k21+2k 2=0， 整理得：m 2=2k 2+2，满足①式， 所以√k 2+1=√2，即原点到直线l 的距离为√2，所以直线l 与圆x 2+y 2=2相切；综上可知：直线l 与圆E ：x 2+y 2=2相切．【解析】(1)由椭圆离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，分两种情况：①当直线l 的斜率不存在时，写出直线l 的方程，联立椭圆的方程，得A ，B 点坐标，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得t ，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由△>0，得m 2<6k 2+3①，在根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则x 1x 2+y 1y 2=0，得m 2=2k 2+2，进而可得原点到直线l 的距离为√2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)(方法一)当m=2时，f(x)=x−12sinx−lnx+1，f′(x)=1−12cosx−1x ，当x∈(π,+∞)时，f′(x)=1−12cosx−1x≥1−12−1π=12−1π>0，所以，当m=2时，函数f(x)在(π,+∞)上单调递增．(方法二)当m=2时，f(x)=x−12sinx−lnx+1，f′(x)=1−12cosx−1x，由1−12cosx−1x=0⇔cosx=2−2x，結合函数y=cosx与y=2−2x 图象可知：当x∈(π,+∞)时，cosx≤1，2−2x>2−2π>1，所以两函数图象没有交点，且2−2x>cosx．所以当x∈(π,+∞)时，f′(x)=1−12cosx−1x>0．所以，当m=2时，函数f(x)在(π,+∞)上单调递增．(2)证明：不妨设0<x1<x2，由f(x1)=f(x2)得，x1−12sinx1−m2lnx1+1=x2−1 2sinx2−m2lnx2+1，∴m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)．设g(x)=x−sinx，则g′(x)=1−cosx≥0，故g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴x2−sinx2>x1−sinx1，从而x2−x1>sinx2−sinx1，∴m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1lnx2−lnx1，要证x1x2<m2只要证m>√x1x2，下面证明：x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，即证x2x1−1ln x2x1>√x2x1，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1lnt>√t，只要证明：lnt√t<0，设ℎ(t)=lnt−√t ，ℎ′(t)=√t−1)22t√t<0，则ℎ(t)在(1,+∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)=0，从而lnt√t <0得证，即x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．【解析】(1)(方法一)当m=2，x∈(π,+∞)时，由f′(x)=1−12cosx−1x≥1−12−1π=1 2−1π>0可判断f(x)在(π,+∞)上的单调性；(方法二)当m=2时，由f′(x)=1−12cosx−1x=0⇔cosx=2−2x，作出函数y=cosx与y=2−2x图象，借助图象可判断f(x)在(π,+∞)上的单调性；(2)设0<x1<x2，由f(x1)=f(x2)可得，m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)>12(x2−x1)，m>x2−x1lnx2−lnx1，要证x1x2<m2，只要证m>√x1x2，利用分析法证得x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，从而得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性与求最值，考查等价转化思想、数形结合思想的运用，考查逻辑推理、运算求解能力，是难题．第21页，共21页。

湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，2，3}，则A (ðU B )=（А．{-1，0}）B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}2．已知sin⎛33πα+⎫⎭⎪= ⎝，则sin ⎛2α+6π⎫⎭⎪的值为（ ⎝）A ．79B ．-79C．9D ．-93．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度x （℃）104-2-8存活率y （％）20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2．若这种活性细胞的存放温度为6℃，则其存活率的预报值为（A ．32％）B ．33％C ．34％D ．35％4．已知双曲线C ：x 2y 2=1（k >0），若对任意实数m ，直线4x +3y +m =0与C 至16k -多有一个交点，则C 的离心率为（）A ．45B ．53C ．43D ．95．已知函数f (x )=⎨⎪⎛⎪f (x -1),x >21⎫,x ≤2⎝2x⎧ ⎭⎪⎩，则f (log 212)=（）A ．31B ．-6C ．61D ．-36．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为2π，A D 的长度为B C 的长度的3倍，AA 1=3，CD=2，则该曲池的体积为（）C ．A ．9π2B ．6π11π2D ．5π第6题图7．考察下列两个问题：①已知随机变量X~B （第9题图n ，p ），且E （X ）=4，D （X ）=2，记P （X=1）=a ；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P （A|B ）=b ，则（）A ．a =b 3B ．a =b 4C ．a =b 5D ．a =b 68．在△ABC 中，角B ，C 的对边长分别为b ，c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ， 则BC ⋅AO 的取值范围是（）A ．⎡1,0⎫⎭⎪4-⎢⎣B ．(0,2)C ．⎡1,+∞⎫⎭⎪4-⎢⎣D ．⎡1,2⎫⎭⎪4-⎢⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0<θ<2）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若）π圆柱的底面圆半径为2，θ=A ．椭圆的长轴长等于4，则（3πB ．椭圆的离心率为32C ．椭圆的标准方程可以是x 2y 2=1164+D ．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2+x -2，则（A ．f (x )是以4为周期的周期函数B ．f (2021)+f (2022)=-2）C ．函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点D ．当x ∈[3,4]时，f (x )=x 2-9x +1811．已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A >0，ω>0，-π<ϕ<-2）的部分图象如图π所示，把函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y =g (x )的图象，则（）A ．g ⎛3x +π⎫⎭⎪为偶函数 ⎝B ．g (x )的最小正周期是πC ．g (x )的图象关于直线x =23π对称D ．g (x )在区间（71π2，π）上单调递减第11题图第12题图12．如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球球心为O ，E 、F 分别是棱AB 、CC 1的中点，G 在棱BC 上移动，则（A ．对于任意点G ，OA ∥平面EFGB ．存在点G ，使OD ⊥平面EFGC ．直线EF 的被球O）D ．过直线EF 的平面截球O 所得截面圆面积的最小值为2π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足z (1-i )=4+2i ，则z =________（用代数式表示）．14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有________种．15．已知直线l过点P（0，1），且与圆O：x2+y2=3相交于A，B两点，设OC=OA+OB，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为________．16．已知函数f(x)=x-ae x+2．（1）若对任意实数x，f(x)<0恒成立，则a的取值范围是________；（2）若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f(x1)=f(x2)=0，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，已知sin2A-sin2B=sin C(sin B+sin C)．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD=1，BC=，求△ABC的面积．在数列{a n}中，已知a1=2，n(a n+1-a n)=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；S n（2）设b n=(-1)n a n，S n为数列{b n}的前n项和，求满足>100的正整数n的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的π角为θ，求当AQ为何值时，α+θ=．2某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内（单位：千元），按[0，5），（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K 2=(a ()())(d )()(d )．2a b c +d ad bc b c +a c b ++-+++临界值表：P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828已知抛物线E ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，直线x=4分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点A ，B ，C 都在抛物线E 上，若△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 求AB ⋅AC 的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=x 3+a ln x ，其中a ≥-3为常数．（1）设f '(x )为f (x )的导函数，当a=6时，求函数g (x )=f (x )-f '(x )+x9的极值；（2）设点A （x 1，f (x 1)），B （x 2，f (x 2)）（x 1>x 2≥1），曲线y =f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1，k 2，直线AB 的斜率为k ，证明k 1+k 2>2k ．。

长郡中学师大附中 联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数 学时量：120分钟满分：150 分得分一、单项选择题(本题共8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分．在每小题 给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A = {x |x 2- x - 2> 0} ,B ={x |0 < x < 3} , 则A ∩B =A. (0,2)B.(1,2)C. 0,3)D. (2,3)2.若i 32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－B. －C.D. 322323323.平面向量 a = ( l , 2) ,| b |=3, a • b =－6，则向量 a , b 夹角的余弦值为A ．－ B. － C. D.5525515454.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线， 一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为A. B.1814C. D. 38125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆybx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a , b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2yx =-+ B. ˆ2y x =--C . ˆ2y x =+ D. ˆ2yx =-6.某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，另外 4人分别去张 家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A. 120 种B. 180 种C . 240 种D . 320 种7.已知数列{a n }前 n 项和为S n ，命题p : 1()2n n n a a S +=,命题q : {a n } 为等差数列 ，则p 是 q 成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 A . B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右 顶 点 ，P 为椭圆 C 上一动点，PA , PB 与直线x = 3 交于 M , N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A. B. C. D. 54342414二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在： [0, 50]， [51, 100]， [101, 200] , [ 201, .300 ] , [ 301, 500 ] 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ． 这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B . 这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日10.设动点 P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ= ，当∠APC 为锐角时，实　数λ可能的取值是A.B.1213C.D.141511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若 A > B , 则 sin A > sin BB. 存在△ABC 满 足cos A + cos B ≤0C.若 s in A <cos B , 则△ABC 为钝角三角形D.若π2C > ，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在 R 上递增B .m (x )图象关于点( 2 . 0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x x m ++<D .π2a ≥三 填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．! Z-'· + 2 ,.r O ,14. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．15.已知三棱锥 P -ABC 外接球的表面积为 100π， PB ⊥平面ABC , PB =8，∠HAC = 120°, 则三 棱锥体积的最大值为 ．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =则双曲线的离心率为 ．四、解答题(本题共 6 小题 ．共 70 分．解答应写 出 文字说 明、证明过程或 演算步骤．)17.( 本题满分 10 分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)n n S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的 前 n 项 和为 S n , a 1 = 1， ，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注： 如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)18.( 本题满分 12 分)在△ABC 中，∠B =， AB =l5，点 D 在边BC 上，π3CD = l , cos ∠ADC =.126(1) 求 sin ∠BAD ;(2) 求△ABC 的面积.19.(本题满分 12 分)四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，∠BAD = 120°, PA ⊥底面ABCD ,P A = 2，E , F 分别是3P C ,P D 的中点．(1 ) 已知BG BC λ= , 若平面 EFG //平面PAB ,求λ的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.( 本题满分 12 分)已知 A , B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点 M ( 2,0)任作一条非水平直线交椭圆于 P , Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 AP , BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21. ( 本题满分 12 分)有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX .22. ( 本题满分 12 分)已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论 f ( x )的单调性；(2) 若x ≥0 时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。

湖南师大附中2021级高三摸底考试试卷数 学命题人：张汝波 苏萍 柳叶 杨章远 审题人：高二备课组时量：120分钟 满分：150分得分：__________第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}*24,{12}x A x B x x =∈<=∈-<<N N ∣∣，则A B ⋃等于（ ） A.{12}xx -<<∣ B.{2}x x <∣ C.{}0,1 D.{}1 2.若复数z 满足2i z z =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）A.1B.-1C.iD.i -3.函数()log 1(01)a f x x a =+<<的图象大致是（ ）A. B.C. D.4.快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km 处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（ ）A.5kmB.6kmC.7kmD.8km5.八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH ，设其边长为a ，中心为O ，则下列选项中不正确的是（ ）A.AB AC AB AD ⋅=⋅B.0OA OB OC OF ⋅+⋅=C.EG 和HD 是一对相反向量D.AB BC CD EF FG a -++-=6.已知sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A.59- B.59 C.13- D.137.已知{}n a 是公差为3的等差数列，其前n 项的和为n S ，设甲：{}n a 的首项为零；乙：23S +是13S +和33S +的等比中项，则（ ）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知函数()222x x f x x -=++，若不等式()()212f ax f x -<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.()-B.(-C.(-D.()2,2- 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP 的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP 的比率统计，则（ ）A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多B.20172022-这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9万亿元C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为0.3%D.2022年我国的GDP 超过了121万亿元10.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且{}n S 是等差数列，则下列结论正确的是（ ）A.{}n n a S +是等差数列B.{}n n a S ⋅是等比数列C.{}2n a 是等差数列D.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 11.先将函数()2sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）A.在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 B.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- C.其图象关于直线56x π=对称D.直线1y =-为曲线()y g x =的切线12.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内的一个动点，且满足12PD PB += ）A.1B D PB ⊥B.点P 的圆C.直线1B P 与平面11A BC 所成角为3πD.三棱锥11P BB C -体积的最大值为32+ 第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球､篮球､乒乓球供学生选择.甲､乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为__________.14.正实数,x y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +-恒成立，则实数m 的取值范围为__________.15.已知三棱锥A BCD -中，2,BC CD BD AC ABD ====是等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________.16.在直角ABC 中，,1AB AC AC AB ⊥==，平面ABC 内动点P 满足1CP =，则AP BP ⋅的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2sin cos 2sin cos ,c A B b A C c a +=>. （1）求角A ；（2）若2,b ABC =的面积D 是BC 边上的点，且3CD DB =，求AD .18.（12分）已知数列{}n x 的首项为1，且1121212222n n n n n n x x nx x x -+--++++=.（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若()()1121,2n n n n b n x x S +=+-为{}n b 前n 项的和，求n S . 19.（12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11111,224,A ACC AC AA AC B ===为下底面圆周上异于,A C 的点.（1）在平面1BCC 内，过1C 作一条直线与平面1A AB 平行，并说明理由；（2）若四棱锥11B A ACC -的体积为1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.20.（12分）甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为(1,0,0,0)γαβγαβγ++=>>，且每局比赛结果相互独立.（1）若111,,236αβγ===，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率； （2）当0γ=时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望()E X 的最大值. 21.（12分）已知正项数列{}n a 满足：13a =，且()()22*11121,n n n n a a a a n ++-=-∈N . （1）设1n n nb a a =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）设221n n nc a a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并确定最小正整数n ，使得n T 为整数. 22.（12分） 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 的右支相交于,A B 两点.（1）当直线l 与x 轴垂直时，OA OB ⊥，求C 的离心率；恒为锐角，求C的实轴长的取值范围.（2）当C的焦距为2时，AOB。

2021年高三数学联考试题理（含解析）湘教版【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（）A. B. C. D. 且【知识点】复数的意义；充要条件. L4 A2【答案】【解析】C解析：根据虚数的定义：复数（），当时，是虚数.故选C.【思路点拨】根据虚数的定义得结论.【题文】2．函数的定义域是（）A．[-1，4] B． C．[1，4] D．【知识点】函数定义域的求法；一元二次不等式的解法. B1 E3【答案】【解析】D 解析：由，故选 D.【思路点拨】根据函数定义域的意义，得关于x的不等式组，解此不等式组即可.【题文】3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【知识点】函数值的意义；集合运算. B1 A1【答案】【解析】C 解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，∴B={0,2,4,6}， ∴A ∩B={0,2}，故选C.【思路点拨】由函数值的意义得集合A 中元素，从而A ∩B.【题文】4、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】A 解析：由a 1=1，a 3=5得d=2,所以S k+2﹣S k =()()121221221236k k a a a k d k +++=++=++⨯=，解得:k=8,故选A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n 项和公式求得结论.【题文】5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则 （ ） A. B. C. D.【知识点】函数单调性的应用；数值大小的比较. B3 E1 【答案】【解析】B 解析：∵，∴<0,又，∴，∵函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，∴函数是上的增函数，∴.故选B 【思路点拨】先判断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论. 【题文】6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （ ） A. B. C. D. 【知识点】定积分；微积分基本定理. B13 【答案】【解析】A 解析：，故选A.【思路点拨】根据定积分的几何意义，及微积分基本定理求解.【题文】7．已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ ）【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】C 解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与重合时，三棱锥的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥的俯视图有选项D的可能.故选C.【思路点拨】由运动变化的观点，分析三棱锥的俯视图的可能情况，从而得出其不可能情况. 【题文】8.运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）A.120B.720C.1440D.5040 【知识点】算法与程序. L1 L2【答案】【解析】 B 解析：程序运行的过程为：（1）p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5;(5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,这时不满足，所以输出的p是720 ，故选B.【思路点拨】根据程序描述的意义，依次写出每次循环的结果即可.【题文】9、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)【知识点】函数的图像与性质. C4【答案】【解析】 B 解析：由图可得,又最低点 B(2,-2),所以7222,326k k k Z πππϕπϕπ⨯+=-⇒=-∈，因为0≤φ≤π，所以 ，即，解不等式得f （x ）的递增区间是[6k-4,6k-1] (K ∈Z).故选B.【思路点拨】先根据图像求得函数解析式，再利用正弦函数的单调区间求f （x ）的递增区间.【题文】10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 ( ).A. B.-1 C.2 D.1【知识点】指数函数的定点性；向量数量积的坐标运算；导数的应用. B6 F2 F3 B12 【答案】【解析】D 解析：根据题意得B(0，1),设，则()()1,11,1ax ax AB AP x e x e ⋅=-⋅-=-++，即函数有最小值0.因为，所以当a 时f(x)无最小值；当a>0时，有时f(x)=0,即，显然a=1是此方程的解，故选D.【思路点拨】易得B （0,1），设出点P 坐标，利用向量数量积德坐标运算，转化为函数最值问题，再利用导数求函数取得最值得条件.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．【题文】11、已知各项均为正数的等比数列中，则 。

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

2021年湖南师大附中高三上学期月考四理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z满足13·2i z⎛⎫+⎪⎪⎝⎭＝1＋i(其中i为虚数单位)，则|z|为（）A．2 B．C．2(＋1) D．2(－1)2．“cosα＝”是“cos 2α＝”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x＋1)＝f(1－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a6)＝f(a20)，则{a n}的前25项之和为（）A．0 B． C．25 D．50 4．为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（）A．B．C．D．5．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．四边形EFGH可能为梯形6．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数(负数)，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（）A ．T>0？，A ＝B ．T<0？，A ＝C ．T<0？，A ＝D ．T>0？，A ＝7．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．C ．8π D．4π8．设实数x ，y 满足，则z ＝＋的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设f(x)＝＋asin （）的最大值为3，则常数a ＝（ ）A ．1B ．a ＝1或a ＝－5C ．a ＝－2或a ＝4D ．a ＝±10．已知菱形ABCD 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC λ=,DF DC μ=.若21,3AE AF CE CF ⋅=⋅=-，则λμ+等于( ) A ．12 B ．23C．56D．71211．已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|＝，G为三角形PF1F2的内心，若S△GPF1＝S△GPF2＋λS△GF1F2成立，则λ的值为（）A． B．2－1 C．＋1 D．－112．设函数f(x)＝对任意给定的y∈(2，＋∞)，都存在唯一的x∈R，满足f(f(x))＝2a2y2＋ay，则正实数a的最小值是（）A． B． C．2 D．4二、填空题13．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为___________.14．在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为___________. 15．在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为______________．16．设数列{a n}满足：a1＝，a n＋1＝[a n]＋，其中，[a n]、{a n}分别表示正数a n 的整数部分、小数部分，则a2 016＝____________.三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n＝S2＋S n对一切正整数n都成立．（1）求a1，a2的值；（2）设a1>0，数列的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．18．某商场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中a，b的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立．求：①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求ξ的分布列和期望．19．为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)．（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；（2）当AE＝时，求二面角E－SH－F的余弦值．20．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝4，椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆E交于P，Q两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ ＝1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．21．已知函数f(x)＝ln x＋＋b(a，b∈R)在定义域上单调，且函数的零点为1. （1）求a(b＋2)的取值范围；（2）若曲线y＝f(x)与x轴相切，求证＋＋＋…＋<ln n(n∈N且n>2)．22．已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC ，DC的延长线交PQ于点Q.（1）求证： AC2＝CQ×AB；（2）若AQ＝2AP，AB＝，BP＝2，求QD．23．在极坐标系中，已知射线C1：θ＝(ρ≥0)，动圆C2：ρ2－2x0ρcos θ＋－4＝0(x0∈R)．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．24．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.（1）求a＋b＋c的取值范围；（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．参考答案1．B【解析】试题分析：由题得，所以.故正确选项为B.考点：复数的运算，复数的模.2．A【解析】试题分析：由倍角公式可知当所以“”是“”的充分条件，同理可得，可见“”是“”的不必要条件，故本题的正确选项为A.考点：充要条件与必要条件.3．C【解析】试题分析：由已知函数关系可知，又是等差数列，所以，所以数列的前项和为，故正确选项为C.考点：等差数列的性质，周期函数.4．C【解析】试题分析：将连续的天编号为，任意选择天的选择方法为，能连续的天分别是共种选择方法，所以选择的天恰好为连续天的概率是，故本题的正确选项为C.考点：组合的概率计算.5．D【解析】试题分析：假设平面的法向量为，则有，又因为，所以，，且不是面的法向量，由，可知，，则，可见四边形是矩形，所以A，B，C选项都正确，正确的选项为D.考点：法向量的运用，线线平行的判定.【方法点睛】本题主要利用横截面来证明线线平行，充分利用法向量的性质来证明线线平行；本题也可根据四个选项的共同点来进行筛选答案，A，B，C选项中，，是矩形，是棱柱，都有共同的结论：，而D项中，可能为梯形可得出与不平行，假如D是正确的结论，那么A，B，C都是错误的，很显然这不合理，所以错误的结论是D.6．D【解析】试题分析：因为男生平均分为，所以条件应该为，即当时，执行，否则执行，对于输出结果，处理结果中已有男生平均分以及女生平均分，缺少全班平均分，因为女生成绩记为负数，所以全班总成绩为，则平均分为，故本题正确选项为D.考点：循环结构，条件结构.7．B【解析】试题分析：仔细观察三视图，很容易得知，此几何体实为一个边长为的正方体经过两次切割而成，两切割都是沿着相对的边所在面进行切割，所以此几何体的外接球实为正方体的外接球，则外接球半径为，所以表面积为，故正确选项为B.考点：三视图，球体表面积.8．D【解析】试题分析：本题可先求得的范围，在求的范围。

2020-2021学年湖南省长沙市师大附中高新实验中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是(A) (B) (C) (D)参考答案：2. i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或B．2或5 C．D．5参考答案：C【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3. “直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，可得（0，b）在圆内，b2＜1，求出﹣1＜b＜1，即可得出结论．【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．故选：B．4. 若则的大小关系为（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B取f(x)=x3，x=-1，则f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0，故②错，又f(-x)=-x3在(-￥,0]上单调减，故③错. 对于①，设x?R，则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|T y=|f(x)|是偶函数，所以①对；对于④，设x1<x2≤0，则-x1>-x2≥0，∵f(x)在[0,+￥)上单调递增，∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0T f 2(-x1)> f 2 (-x2)T f 2(x1)> f 2 (x2)，∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f 2(x2)= f(x2) f(-x2)T y=f(x)f(-x)在(-￥,0]上单调递增，故④对.所以选B.6. 已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．7. 函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，由此根据求得的值，得到函数解析式即可求最值．【详解】函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，，∵，∴，，由题意，得，∴，∴函数在区间的最大值为，故选B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．8. 已知等差数列的前n项和为S n，若（）A．18 B．36 C．5 4 D．72参考答案：D9. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝( )A. －12B. －2 C. 0 D. 4参考答案：C10. A，B，C，D，E5人争夺一次比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A获奖，B不是第一名，则不同的发奖方式共有（）A.72种B.30种C.24种D.14种参考答案：B本题主要考查组合的应用及分类加法原理，本题可分两种情况解答，即（1）B 获奖，B 获奖可能有种，A 获奖有种，余下一个奖有种获奖方式，共有种；（2）B 不获奖，A 获奖方式有种，余下两个奖的发奖方式有，共有种，综上知不同的发奖方式共有12+18=30.解答排列组合问题主要从三个方面考虑：（1）问题的解决是分类还是分步？（2）所在完成的是组合问题还是排列问题？（3）是利用直接法还是间接法？ 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .参考答案： 312. 定义新运算为a ?b =，则2?（3?4）的值是__ __.参考答案： 313. 下列命题中，错误命题的序号有．（1）“a=﹣1”是“函数f （x ）=x 2+|x+a+1|（x∈R ）为偶函数”的必要条件； （2）“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直平面α”的充分条件； （3）若xy=0，则|x|+|y|=0；（4）若p ：?x∈R，x 2+2x+2≤0，则￢p ：?x∈R，x 2+2x+2＞0．参考答案：（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断． （2）根据线面垂直的定义进行判断． （3）根据绝对值的性质进行判断．（4）根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：（1）若“函数f （x ）=x 2+|x+a+1|（x∈R ）为偶函数”， 则f （﹣x ）=f （x ）， 即x 2+|x+a+1|=x 2+|﹣x+a+1|， 则|x+a+1|=|x ﹣（a+1）|，平方得x 2+2（a+1）x+（a+1）2=x 2﹣2（a+1）x+（a+1）2， 即2（a+1）x=﹣2（a+1）x ， 则4（a+1）=0，即a=﹣1，则“a=﹣1”是“函数f （x ）=x 2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；正确；（2）“直线l 垂直平面α内无数条直线”则“直线l 垂直平面α”不一定成立，故（2）错误； （3）当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）错误； （4）若p ：?x∈R，x 2+2x+2≤0，则￢p ：?x∈R，x 2+2x+2＞0正确．故错误的是（2）（3）， 故答案为：（2）（3）14. 一物体沿直线以速度v 运动，且v （t ）=2t ﹣3（t 的单位为：秒，v 的单位为：米/秒），则该物体从时刻t=0秒至时刻t=秒间运动的路程为．参考答案：【考点】定积分．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由题意可得：S=﹣，即可得出．【解答】解：S=﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了微积分基本定理的应用、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 已知函数（）是偶函数，则实数b=_____.参考答案：2【分析】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且又因为该二次函数的对称轴为，所以，故.故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.16. 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是参考答案：略17. （5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，则||=．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答：由||=1，||=2，|3+|=4，则（3+）2=9++6=16，即为9+4+6=16，即有=，则||====．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南师大附中高三上学期数学理科第一次抽考试卷湖南师大附中2021届高三上学期数学理科第一次月考试卷（含解析）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={xx2-2x0}，N={xxA.[2，+)B.(2，+)C.(-，0)D.(-，0]2.下列四个命题p1：x(0，+)，12x13xp2：x(0，1)，log12xlog13xp3：x(0，+)，12xlog12x p4：x0，13，12x其中的真命题是(D)A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p43.在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出(D)A.10B.11C.512D.1 0244.将函数f(x)=sin x+cos x的图象向左平移0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为(C)A.-B.C.3D.545.若实数x，y满足条件y2x-1yx+1，则z=x+3y的最大值为(B)A.9B.11C.12D.166.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则am+cn=(C)A.-2B.0C.2D.不能确定7.已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动，则OBOC的最大值是(C)A.1B.22C.2D.58.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为(D)A.34B.32C.3D.23【解析】如图所示，四面体为正四面体.9.若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y(y-mx-m)=0有4个不同的交点，则实数m的取值范畴是(B)A.-33，33B.-33，00，33C.-33，33D.-，-3333，+【解析】曲线C1：(x-1)2+y2=1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆;曲线C2：y=0，或者y-mx-m=0，直线y-mx-m=0恒过定点(-1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(-1，0)的两条直线.作图分析：k1=tan 30=33，k2=-tan 30=-33，又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m =k-33，00，33.10.已知集合A=xx=a0+a13+a232+a333，其中ai0，1，2i=0，1，2，3且a30，则A中所有元素之和等于(D)A.3 240B.3 120C.2 997D.2 889【解析】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3332种方法，当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有332 =18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(30+31+32)集合A中含有a2项的所有数的和为(320+321+322)集合A中含有a3项的所有数的和为(331+332)由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=(0+1+2)18+(30+31+32)18+(320+321+322)18+(331+332)27=18(3+9+27)+8127=702+2 187=2 889.故选D.选择题答题卡题号12345678910答案ADDCBCCDBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.在△ABC中，a=15，b=10，A=60，则cos B=__63__.12.如右图，椭圆x216+y212=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为__3__.13.若f(x)+01f(x)dx=x，则f(x)=__x-14__.【解析】因为01f(x)dx是个常数，不妨设为m，因此f(x)=x-m，其原函数F(x)=12x2-mx+C(C为常数)，因此可得方程m=12-m，解得m =14.故f(x)=x-14.14.在函数f(x)=aln x+(x+1)2x0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)-f(x2)4(x1-x2)，则实数a的取值范畴为__12，+_ _.【解析】由题意f(x)4对任意x0恒成立，也确实是a2x(1-x)max=12.15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，，若按此规律连续下去，则a5=__35__，若an=145，则n=__10__.【解析】依照图形变化的规律可归纳得an=3n2-n2.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)设f(x)=sin6-2cos28x+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，求当x0，43时y =g(x)的最大值.【解析】(1)f(x)=sin4xcos6-cos4xsin6-cos4x=32sin4x-32cos4x=3sin3，故f(x)的最小正周期为T=24=8.(6分)(2)法一：在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=3sin4(2 -x)-3=3sin4x-3=3cos3，当043时，33 ，因此y=g(x)在区间0，43 上的最大值为ymax=3cos3 =32.(12分)法二：因区间0，43关于x=1的对称区间为23，2，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故y=g(x)在区间0，43上的最大值为y=f(x)在区间2 3，2上的最大值.由(1)知f(x)=3sin3.当232时，-36.因此y=g(x)在区间0，43上的最大值为ymax=3sin6=32.(12分)17.(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的竞赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手能够参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为15、13、12，且通过各次测试的事件相互独立.(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率;若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有阻碍?说明理由;(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为，求的分布列和期望(用p1、p2、p3表示);并说明甲选手按如何样的测试顺序更有利于他进入正赛.【解析】(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为1-151-13 1-12=415，故甲选手能通过海选的概率为1-1-151-13 1-12=1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有阻碍，因为不管按什么顺序，其不能通过的概率均为1-151-13 1-12=415，即不管按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，的所有可能取值为1、2、3.P(=1)=p1，P(=2)=(1-p1)p2，P(=3)=(1-p1)(1-p2)p3.故的分布列为123Pp1(1-p1)p2(1-p1)(1-p2)p3(8分)E=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3(10分)分别运算当甲选手按CBA，CAB，BAC，BCA，ABC，ACB的顺序参加测试时，E的值，得甲选手按CBA的顺序参加测试时，E最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试更有利于进入正赛.(12分)18.(本题满分12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cosADB=101101.(1)求证：平面AEC平面BCED;(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121?若存在，确定点M的位置;若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：∵BD平面ABCBDAB，又因为BD=1，cosADB=101101.故AD=101，AB=10=直径长，(3分)ACBC.又因为EC平面ABC，因此ECBC.∵ACEC=C，BC平面ACE，又BC平面BCED，平面AEC平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y 轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4).则AD=(-8，6，1)，DE=(0，-6，3)，设DM=DE=(0，-6，3)=(0，-6，3)，01故AM=AD+DM=(-8, 6-6，1+3)由(1)易得平面ACE的法向量为CB=(0，6，0)，设直线AM与平面ACE所成角为，则sin =|AMCB||AM||CB|=36-3664+36(1-)2+(1+3)26=22121，解得=13.(1 0分)因此存在点M，且DM=13DE时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MNCE交CE于N，连接AN，则MN平面AEC，故直线A M与平面ACE所成的角为MAN，且MNAN，NCAC.设MN=2x，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121，得AM =21x，因此AN=17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN=x，NC=4-x而AC=8，故Rt△ANC中，由AN2=AC2+NC2得17x2=64+(4-x)2，x=2，MN=4，EM=25因此存在点M，且EM=25时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121. (12分)19.(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列.5436108202116(1)求此数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=3an--1nlg an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)经检验，当a1=5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列;故有a1=3，a2=6，a3=12，等比数列公比q=2，因此an=32n-1.(5分)(2)由an=32n-1得bn=3an--1nlg an=92n-1-(-1)nlg 3+(n-1)lg 2.因此Sn=9(1+2++2n-1)--1+-12++-1n(lg 3-lg 2)--1+2-3++(-1)nnlg 2(9分)n为偶数时，Sn=91-2n1-2-n2lg 2=9(2n-1)-n2lg 2.n为奇数时，Sn=91-2n1-2+(lg 3-lg 2)-n-12-nlg 2=9(2n-1)+n-12lg 2+lg 3.因此，Sn=9(2n-1)-n2lg 2，n为偶数，9(2n-1)+n-12lg 2+lg 3，n为奇数.(13分)20.(本题满分13分)已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=2通过椭圆∶x2a2+y2b2=1(a0)的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆的方程;(2)如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OMOQ的最大值.【解析】(1)在C：(x-1)2+(y-1)2=2中，令y=0得F(2，0)，即c=2，令x=0，得B(0，2)，b=2，由a2=b2+c2=8，椭圆：x28+y24=1.(4分)(2)法一：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由y=kxx28+y24=1得：(1+2k2)x2=8，x2=221+2k2.(6分)由y=kx(x-1)2+(y-1)2=2得：(1+k2)x2-(2+2k)x=0，x1=2+2k1+k2，OMOQ=x12，kx12(x2，kx2)=12(x1x2+k2x1x2)=221+k1+2k2(k0). (9分) =22(1+k)21+2k2=22k2+2k+11+2k2.设(k)=k2+2k+11+2k2，(k)=-4k2-2k+2(1+2k2)2，令(k)=-4k2-2k+2(1+2k2)20，得-1又k0，(k)在0，12上单调递增，在12，+上单调递减.当k=12时，(k)max=12=32，即OMOQ的最大值为23.(13分)法二：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由y=kxx28+y24=1得：(1+2k2)x2=8，x2=221+2k2.(6分)OMOQ=(OC+CM)OQ=OCOQ=(1，1)(x2，kx2)=(1+k)x2=221+k1+2k2(k0)(9分)=22(1+k)21+2k2.设t=1+k(t1)，则(1+k)21+2k2=t22t2-4t+3=12-41t+31t2=131t-232+2332.当且仅当1t=23时，(OMOQ)max=23.(13分)21.(本题满分13分)已知函数f(x)=ex-ax2-2x-1(xR).(1)当a=0时，求f(x)的单调区间;(2)求证：对任意实数a0，有f(x)a2-a+1a.【解析】(1)当a=0时，f(x)=ex-2x-1(xR)，∵f(x)=ex-2，且f(x)的零点为x=ln 2，当x(-，ln 2)时，f(x)当x(ln 2，+)时，f(x)0即(-，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，+)是f(x)的单调增区间.(5分)(2)由f(x)=ex-ax2-2x-1(xR)得：f(x)=ex-2ax-2，记g(x)=ex-2ax-2(xR).∵a0，g(x)=ex-2a0，即f(x)=g(x)是R上的单调增函数，又f(0)=-10，f(1)=e-2a-20，故R上存在惟一的x0(0，1)，使得f(x0)=0，(8分)且当xx0时，f(x)0.即f(x)在(-，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增，则f(x)min=f(x0)=ex0-ax20-2x0-1，再由f(x0)=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得f(x)min=-ax20+2(a-1)x0+1(10分)又令(x0)=-ax20+2(a-1)x0+1=-ax0-a-1a2+(a-1)2a+1由于-a0，对称轴x=a-1a1，而x00，1，(x0)(1)=a-1又(a-1)-a2-a+1a=-1a0，(x0)a2-a+1a故对任意实数a0，都有f(x)a2-a+1a.(13分)语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

【高三】2021高三数学考前模拟理科试题（湖南师大附中有答案）湖南师大附中2021届高考模拟卷(二）科目：数学（理科）(试题卷)注意事项：1.答题前，学生务必将自己的姓名、准考证号写下在答题卡和本试题卷的封面上，并深入细致录入答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：(1)选择题部分恳请按题号用2b铅笔ED79方框，修正时用橡皮擦整洁，不留痕迹'非选择题部分恳请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则答题违宪'(2)请勿折叠答题卡。

保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

姓名准考证号祝你考试顺利!湖南师大附中2021届中考演示卷(二）数学（理科"本试题卷包含选择题、填空题庭外和解答题三部分，共6页。

时量120分钟，满分150分后。

一、选择题:本大题共！小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设立子集a={1，2，3},b={xx(x―2)<0}，则=a.{1,2,3}b.{2,3}c.{1}d.{1,2}2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为a.27b.c9d.33．平面直角坐标系则中，双曲线万程为，c就是双曲线的两焦点，#是双曲线上的点，在三角形abc中，则双曲线的距心率为a.b.2c3d.44.给出下列命题①非零向量a，b满足用户a+b=a―b，则a，b的夹角为90°;②a?b>0是向量a，b的夹角为锐角的充要条件;③将函数的图象按向量为平移，得到的图象对应的函数表达式y=sin2x其中正确的命题编号是a.②③b.①②c.①③d.①②③5.例如图就是一个算法的程序框图，则输入的结果就是6.点(x，：y)满足的不等式组k是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则x-3y的最小值为a.-3或0b.-1或0c.-3d.-17.以下观点中恰当的存有①对于回归方程y=2―3x变量$增加1个单位时，:y平均增加3个单位'②定义在r上的可微函数y=f(x)时，函数y=f(x)必获得极值；③设随机变量x服从正态分布n(0，1)，④在一个2x2列联表中，由排序得k2=6.679，则存有99%的把握住证实这两个变量间有关系.a1b2本题可以参考独立性检验临界值表p(k2'k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.5357.87910.8288.未知函数f(x)就是定义在r上的奇函数，/(2)=0，当x>0时，恒设立，则不等式的边值问题就是二、填空题:本大题共！小题，考生作答1小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应当题号后的横线上.(?)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分"9.若直线i的极坐标方程为，曲线上的的边直线l的距离为d，则d的最大值为.(二）必搞题（12至16题）12.0.70.8与0.80.7的大小关系为.13.设i为虚数单位，则复数=.14.15.将十个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，建议每个盒子里的个数不少于盒子的编号数.则这样的装法种数为.16.我们知道182+324,242=576，它们分别由三个连续数码2，3，4及5，6，7经适当排列而成，而662=4.356是由四个连续数码3，4，5，6经适当排列而成;请回答：(1).所有自然数平方后税金数的个位数共同组成的子集为;(2)按上面的规则，将这样的平方数按从小到大顺序排列，则4356后的第一个平方数三、答疑题:本大题共）大题，共75分后.求解应允写下文字说明，证明过程或编程语言步骤.17.(本小题满分12分)函数f(x)=的部分图象如图所示.18.!本小题满分12分后）某公司有甲、乙、丙三人投票决定是否对某一项目投资，他们三人都有“同意”，“中立”，“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张，每人投三类票中的任何一类票的概率都就是，且三人投票相互没影响.规定:若投票结果中至少存有两张同意票，则决定对该项目投资;否则，放弃对该项目的投资，求：(1)该公司同意对此项目投资的概率'(2)该公司放弃对此项目投资且投票结果中最多有一张中立票的概率.19.(本小题满分12分后）如图，在正三棱柱abc―def中，ab=2，ad=1.p是cf的延长线上一点，设fp=:过a，b，p三点的平面交fd于m，交fe于n.(1)澄清:mn//平面cde;(2)当平面/ab?平面cde时，求：t的值.20.(本小题满分13分后）某旅游景点2021年的利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2021年起每年利润比上一年减少4万元.2021年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年正整数，2021年为第1年）的利馨为万元.(1)设从2021年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为an万元，开发新项目的累计利润为艮万元(须扣除开发所投入的资金），求的表达式'(2)依上述预测，该景点从第几年已经开始，研发新项目的总计利润少于不研发新项目的总计利润？如图，已知圆0:2+y2=4与y轴正半轴交于点p，a(―1，0)，b(1，0)，直线i与圆o福萨县点不旋转轴x轴），?物线过a，b两点且以l为准线.(1)当点s在圆周上运动时，试求?物线的焦点q的轨迹方程'(2)设m，n是(1)中的点q的轨迹上除与y轴两个交,点外的不同两点，且，问：amon(o为坐标原点）的面积与否存有最大值？若存有，算出该最大值;若不存有，恳请表明理由.22.(本小题满分13分）对于两个定义域相同的函数f(x),g(x)在实数m，n并使则表示函数h(x)就是由“基为函数”分解成的.(1)若由函数的取值范围'(2)利用“基为函数分解成一个函数，并使之满足用户以下条件:有最小值一上.试探究是否存在实数a，使得对任意的，e当时恒有若存在，求a的取值范围;若不。

2021年湖南师大附中高考数学模拟试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−2x −3<0}，则A ∩B =( )A. (0,3)B. [0,3)C. [0,3]D. (0,3]2. 已知z 在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，则2zz−1=( )A. 1−3iB. 3+iC. 1−iD. 2−i3. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊥α，n ⊂β，则“m//n ”是“α⊥β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27405. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,32)B. (1,√132)C. ( 32，√132)D. (1,√13)6. 定义：在数列{a n }中，若满足a n+2a n+1−a n+1a n=d(n ∈N ∗,d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{a n }中，a 1=a 2=1，a 3=3，则a 2021a 2019等于( )A. 4×20172−1B. 4×20182−1C. 4×20192−1D. 4×20202−17. 已知△ABC 中，∠ABC =∠ACB =45°，BC =12，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. −365B. −725C. −185D. −5458. 已知函数f(x)=tan(x −2)+3，g(x)=3x−2x−2.若f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x 6,y 6)，(x 7,y 7)，(x 8,y 8)，则x 1+x 2+⋯+x 8+y 1+y 2+⋯+y 8的值为( )A. 20B. 30C. 40D. 42二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在[80,90)的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是()A. a=0.03B. b=0.034C. 本次思想政治考试平均分为80D. 从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[90,100]内的概率为C43(0.16)3(1−0.16)10.设函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线E，则()A. 将曲线y=sin2x向右平移π3个单位长度，与曲线E重合B. 将曲线y=sin(x−π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C. (−π12,0)是曲线E的一个对称中心D. 若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值为π211.正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论正确的是()A. 在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B. 平面DMN⊥平面BCC1B1C. 三棱锥A−DMN的体积为定值D. △DMN可能为直角三角形12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是()A. 若抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4xB. 以AB为直径的圆与准线相切C. 线段AB长度的最小值是2p,1)D. sin∠PMN的取值范围为[12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x+2e x在x=0处的切线方程为______．14.(x+2)(x+1)4的展开式中项x3的系数为______ ．15.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→⋯，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→⋯，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是______．16.设s，t是不相等的两个正数，且s+slnt=t+tlns，则s+t−st的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若数列{a n}的前n项和S n=2a n−2，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a2n−1(n∈N∗)，求数列{a n b n}的前n项和T n．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点且DE=1．2(1)求证：平面AB1D⊥平面AEC；(2)求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值．19.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过√3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=√3千米，AN=√3千米．(1)求线段MN的长度；(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．20.某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．(1)为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y 与x 的线性回归方程．附：①对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，⋯，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x−； ②参考数据：∑x i 8i=1=52，∑y i 8i=1=228，∑x i 28i=1=478，∑x i 8i=1y i =1849．(2)为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)； ①P(μ−σ<X ≤μ+σ)≥0.6826； ②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≥0，9544； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级．(3)将直径小于等于μ−2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望E(Y)．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6． (1)求该椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 与某个定圆E 相切，并求出定圆E 的方程．22.已知函数f(x)=x−12sinx−m2lnx+1．(1)当m=2时，试判断函数f(x)在(π,+∞)上的单调性；(2)存在x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，f(x1)=f(x2)，求证：x1x2<m2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵2x−1≥0，∴x≥0，∴A=[0,+∞)，又x2−2x−3<0，∴−1<x<3，∴B=(−1,3)，∴A∩B=[0,3)，故选：B．解不等式，分别求出A，B，取交集即可．本题考查了解不等式问题，考查二次根式的性质以及集合的运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：因为z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，所以z=2−i，故2zz−1=2(2−i)1−i=2(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i．故选：B．先利用复数的几何意义求出z，然后由复数的除法运算求解即可．本题考查了复数几何意义的应用以及复数除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m//n”是“α⊥β”的充分条件；若m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，即“m//n”是“α⊥β”的不必要条件；所以“m//n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．根据m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，以及m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，以及线线、面面位置关系的判定，同时考查了逻辑推理的能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380． 故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线C 的渐近线方程为y =±b2x ，焦点F(c,0)， ∵渐近线与圆相交， ∴|b 2⋅c|√1+(ba)2<3，即b <3，∴2=√c 2−b 2，可得c 2=4+b 2<13， ∴双曲线C 的离心率为：e =c a<√132，且e >1．故选：B ．由焦点F(c,0)到渐近线y =±b 2x 的距离小于3，可推出b <3，然后求解离心率的范围．本题考查双曲线的几何性质，直线与圆相交的判断方法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意可得：a 3a 2=3，a 2a 1=1，a 3a 2−a2a 1=2，根据“等差比数列”的定义可知数列{a n+1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，则a n+1a n=1+(n −1)×2=2n −1，∴a2021a 2020=2×2020−1=2×2019+1，a2020a 2019=2×2019−1，∴a 2021a 2019=a 2021a 2020×a 2020a 2019=(2×2019+1)(2×2019−1)=4×20192−1．故选：C ． 由已知可得，数列{a n+1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得a 2021a 2020与a2020a 2019，作积得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由∠ABC =∠ACB =45°，可知∠BAC =90°．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0,0)、M(4√2,2√2)、C(0,6√2)，设N(x,12x)，其中0≤x ≤4√2，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,12x)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,12x −6√2)， 故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+12x(12x −6√2)=54x 2−3√2x ． 令f(x)=54x 2−3√2x ，0≤x ≤4√2，则当x =6√25时，函数f(x)有最小值， 且f(x)min =f(6√25)=−185，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−185， 故选：C ．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，求出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+12x(12x −6√2)=54x 2−3√2x.利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查向量的数量积的求法，二次函数的最值的求法，是中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)关于点(2+kπ2,3)，k∈Z对称，当x≠2时，g(x)+g(4−x)=3x−2x−2+10−3x2−x=6x−12x−2=6，故函数g(x)关于点(2,3)对称，又∵x∈[−172,2)∪(2,252]，则4−x∈[−172,2)∪(2,252]，故若点(a,b)为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，则点(4−a,6−b)也为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，故x1+x2+⋯+x8+y1+y2+⋯+y8=(4−x1)+(4−x2)+⋯+(4−x8)+(6−y1)+(6−y2)+...+(6−y8)=12[(x1+4−x1)+(x2+4−x2)+...+(x8+4−x8)+(y1+6−y1)+(y2+6−y2)+...+(y8+6−y8)] =4×4+4×6=40．故选：C．根据题意可得函数f(x)关于点(2+kπ2,3)，函数g(x)关于点(2,3)对称，若点(a,b)为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，则点(4−a,6−b)也为f(x)与g(x)的图象在区间[−172,2)∪(2,252]上的交点，即可得出答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由题知，a=15÷50÷10=0.03，选项A正确；b=[1−(0.008+0.012+0.016+0.030)×10]÷10=0.034，选项B正确；本次思想政治考试平均分估计值为55×0.08+65×0.12+75×0.34+85×0.3+95×0.16=78.4，选项C错误；可知在[90,100]内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[90,100]内的概率为C43(0.16)3⋅(1−0.16)，选项D正确．故选：ABD．利用频率分布直方图的性质、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力与数据分析能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线E，故将曲线y=sin2x向右平移π3个单位长度，得到y=sin(2x−2π3)的图象，故A错误；将曲线y=sin(x−π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=sin(2x−π3)的图象，与曲线E重合，故B正确；令x=−π12，求得f(x)=−1，为最小值，故C错误；若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值半个周期，为12⋅2π2=π2，故D正确，故选：BD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：根据正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM=C1N，如图所示：对于A：连接DO，由于D、O为中点，所以DO//平面ABC，故在△DMN内存在DO与平面ABC平行的线段，故A正确；对于B：作NK⊥AK，MH⊥AD，所以DM2=DH2+HM2，DN2=DK2+KN2，整理得：DN=DM，所以△DMN为等腰三角形，所以DO⊥MN，同理DO⊥BC1，所以DO⊥平面BCC1B1，所以平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；对于C：V A−DMN=V N−ADM=13×12⋅AD⋅AB⋅√32AB=√312AB2⋅AD(定值)，故C正确；对于D：△DMN，当M和N在中点时，为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形，故D错误．故选：ABC．直接利用线面垂直的判定和性质及锥体的体积公式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，锥体的体积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，对于A，若抛物线上一点E(2,t)到焦点F的距离等于4，由抛物线的定义可得2+P2=4，解得p=4，则抛物线的方程为y2=8x，故A不正确；对于B，可设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+p2，与抛物线y2=2px联立，消去x，可得y2−2pmy−p2=0，可得y1+y2=2pm，y1y2=−p2，可得P的坐标为(pm2+p2,pm)，|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p，可得P到准线的距离为pm2+p=12|AB|，则以AB为直径的圆与准线相切，故B正确；对于C，由|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p，可得m=0时，|AB|的最小值为2p，故C 正确；对于D，由上面的分析可得△=4p2m2+4p2>0，y1+y2=2pm，∴x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p，|AB|=x1+x2+p=2p(m2+1)，P到y轴的距离为d=x1+x22=pm2+p2，∴sin∠PMN=d12|AB|=pm2+p2pm2+p=1−12(m2+1)≥1−12=12．当且仅当m=0时，取得等号，故D正确．故选：BCD．由抛物线的定义求得p，可得抛物线的方程，可判断A；设直线l的方程为x=my+p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、结合直线和圆相切，可判断B；由m=0，可得弦长|AB|的最小值，可判断C；运用弦长公式和点到直线的距离公式，求得sin∠PMN关于m的表达式，求得最小值，可判断D．本题是直线与抛物线的综合问题，抛物线的焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3x−y+2=0【解析】解：∵f(x)=x+2e x，∴f′(x)=1+2e x，∴f(0)=2，∴切点坐标为(0,2)，∴k=f′(0)=3，∴切线方程为y−2=3x．故答案为：3x−y+2=0．求导得f′(x)=1+2e x，由导数的几何意义可得k=f′(0)，再计算f(0)，即可得出答案．本题考查导数的几何意义，解题中需要理清思路，属于中档题．14.【答案】14【解析】解：(2+x)(1+x)4=(2+x)(1+4x+6x2+4x3+x4)，所以展开式中含x3的项的系数为：2×4+1×6=14．故答案为：14．把(1+x)4按照二项式定理展开，可得(x+2)(1+x)4展开式中含x3项的系数本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．15.【答案】√3【解析】解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达点C，黄“电子狗”爬完2009段后到达第三段的终点A1.此时的距离为|CA1|=√3．故答案为：√3．先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2009段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于创新题，基础题．16.【答案】(1,+∞)【解析】解：由已知s+slnt=t+tlns，可得1+lntt =1+lnss.设f(x)=1+lnxx(x>0)，则f′(x)=−lnxx2.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为増函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．如图，作出函数f(x)的大致图象，由题意知f(s)=f(t)，所以s，t为方程f(x)=m的两个不同的解．不妨设s>t，则0<t<1<s，故s+t−st−1=(s−1)(1−t)>0，所以s+t−st>1．故答案为：(1,+∞)．由已知s+slnt=t+tlns，可得1+lntt =1+lnss.设f(x)=1+lnxx(x>0)，然后利用导数求出函数f(x)的单调性，画出图像，问题转化为s，t为方程f(x)=m的两个不同的解，利用数形结合思想即可求解．本题考查了函数的性质以及导数的应用，考查了数形结合思想以及学生的理解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和S n=2a n−2，n∈N∗．n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n=2a n−1，n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．(2)b n=log2a2n−1=2n−1．a nb n=(2n−1)⋅2n．数列{a n b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+⋯…+(2n−1)⋅2n．2T n=22+3×23+⋯…+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，∴−T n=2+2(22+23+⋯…+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(2n−1−1)2−1−(2n−1)⋅2n+1，化为：T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【解析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)数列{a n}的前n项和S n=2a n−2，n∈N∗.n≥2时，a n=S n−S n−1，化为：a n=2a n−1，n=1时，a1=2a1−2，解得a1.利用等比数列的通项公式即可得出．(2)b n=log2a2n−1=2n−1.a n b n=(2n−1)⋅2n.利用错位相减法即可得出．18.【答案】(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，有A1B1⊥平面AA1D1D，又因为AE⊂平面AA1D1D，所以A1B1⊥AE．在△ADE与△A1AD中，∠ADE=∠A1AD，又A1AAD =ADDE=2，所以△ADE∽△A1AD．所以∠DAE=∠AA1D，所以∠DAE+∠A1AD=∠AA1D+∠A1AD=π2，所以AE⊥A1D. 又因为A1D∩A1B1=A1，所以AE⊥平面A1B1D，因为AE⊂平面AEC，所以平面A1B1D⊥平面AEC．(2)解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，故以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．依题意，有A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,12),A 1(1,0,2)，所以DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)，设平面AEC 的法向量为n⃗ (x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,，所以{−x +y =0,−x +12z =0,取n ⃗ =(1,1,2)． 设直线A 1D 与平面AEC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n ⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||DA 1−|=√30=√306．【解析】(1)证明A 1B 1⊥AE.AE ⊥A 1D .推出AE ⊥平面A 1B 1D ，然后证明平面A 1B 1D ⊥平面AEC ． (2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面AEC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A 1D 与平面AEC 所成角正弦函数值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)在△AMN 中，由余弦定理得，MN 2=AM 2+AN 2−2AM ⋅ANcos120°=3+3−2×√3×√3×(−12)=9， 所以线段MN 的长度为3千米．(2)设∠PMN =α，因为∠MPN =60°，所以∠PNM =120°−α， 在△PMN 中，由正弦定理得，MNsin∠MPN =PMsin(120∘−α)=PNsinα． 因为MNsin∠MPN =3sin60∘=2√3，所以PM =2√3sin(120°−α)，PN =2√3sinα， 因此PM +PN =2√3sin(120°−α)+2√3sinα=2√3(√32cosα+12sinα)+2√3sinα=3√3sinα+3cosα=6sin(α+30°)，因为0°<α<120°，所以30°<α+30°<150°．所以当α+30°=90°，即α=60°时，PM +PN 取到最大值6． 答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．【解析】本题考查解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形． (1)在△AMN 中，利用余弦定理得到MN ；(2)设∠PMN =α，得到∠PNM =120°−α，利用正弦定理将PM +PN 用α表示，结合三角函数的有界性求最值．20.【答案】解：(1)由题意可得，b ̂=∑x i 8i=1y i −8x −y−∑x i 28i=1−8x−2=1849−8×528×2288478−8×(528)2=367140，所以a ̂=y −−b ̂x −=2288−367140×528=3209280，故y 与x 的线性回归方程为y ̂=367140x +3209280；(2)由题意可得，μ−σ=62.8，μ+σ=67.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6， 所以P(62.8<X ≤67.2)=80100=0.8>0.6826， P(60.6<X ≤69.4)=94100=0.94<0.9544， P(58.4<X ≤71.6)=98100=0.98<0.9974， 故设备M 的性能等级为丙级；(3)样本中直径小于等于μ−2σ的共有2件，直径大于μ+2σ的零件共有4件， 所以样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06，由题意可知，从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y 1，则Y 1～B(2,6100)， 于是E(Y 1)=2×6100=325；从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y 2，则Y 2的可能取值为0，1，2， 所以Y 2的分布列为：故E(Y 2)=0×C 942C 1002+1×C 61C 941C 1002+2×C 62C 1002=325，则次品总数Y 的数学期望E(Y)=E(Y 1+Y 2)=E(Y 1)+E(Y 2)=625．【解析】(1)利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；(2)利用正态分布曲线的对称性，求解对应的概率进行比较，即可得到答案；(3)先求出备M 生产零件的次品率，设次品数设为Y 1，则Y 1～B(2,6100)，利用数学期望的公式求出E(Y 1)，从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y 2，先求出随机变量Y 2的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式其期望，再进行求和，即可得到答案．本题考查了线性回归方程的求解，正态分布曲线对称性的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由椭圆离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6， 题意可知，a =√6， 椭圆的离心率e =ca =√22，则c =√3，b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的标准方程：x 26+y 23=1．(2)证明：∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 当直线l 的斜率不存在时， 设直线l 为x =t ，代入椭圆方程， 则A(t,√6−t 22)，B(t,−√6−t 22)，由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则t 2−3+t 22=0，解得：t =±√2，此时直线l 为x =±√2，与圆x 2+y 2=2相切， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x 2+2y 2=6,y =kx +m,整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，由直线与椭圆有两个不同的交点，则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0， 化简得：m 2<6k 2+3，①由韦达定理可知：x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则x 1x 2+y 1y 2=0，则2m 2−61+2k 2+m 2−6k 21+2k 2=0，整理得：m 2=2k 2+2，满足①式，所以√k 2+1=√2，即原点到直线l 的距离为√2， 所以直线l 与圆x 2+y 2=2相切；综上可知：直线l 与圆E ：x 2+y 2=2相切．【解析】(1)由椭圆离心率为√22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为√6，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)由|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，分两种情况：①当直线l 的斜率不存在时，写出直线l 的方程，联立椭圆的方程，得A ，B 点坐标，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得t ，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由△>0，得m 2<6k 2+3①，在根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则x 1x 2+y 1y 2=0，得m 2=2k 2+2，进而可得原点到直线l 的距离为√2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)(方法一)当m =2时，f(x)=x −12sinx −lnx +1，f′(x)=1−12cosx −1x ，当x ∈(π,+∞)时，f′(x)=1−12cosx −1x ≥1−12−1π=12−1π>0， 所以，当m =2时，函数f(x)在(π,+∞)上单调递增．(方法二)当m =2时，f(x)=x −12sinx −lnx +1，f′(x)=1−12cosx −1x ， 由1−12cosx −1x =0⇔cosx =2−2x ，結合函数y =cosx 与y =2−2x 图象可知：当x ∈(π,+∞)时，cosx ≤1，2−2x >2−2π>1， 所以两函数图象没有交点，且2−2x >cosx ． 所以当x ∈(π,+∞)时，f′(x)=1−12cosx −1x >0． 所以，当m =2时，函数f(x)在(π,+∞)上单调递增．(2)证明：不妨设0<x1<x2，由f(x1)=f(x2)得，x1−12sinx1−m2lnx1+1=x2−12sinx2−m2lnx2+1，∴m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)．设g(x)=x−sinx，则g′(x)=1−cosx≥0，故g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴x2−sinx2>x1−sinx1，从而x2−x1>sinx2−sinx1，∴m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1lnx2−lnx1，要证x1x2<m2只要证m>√x1x2，下面证明：x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，即证x2x1−1ln x2x1>√x2x1，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1lnt>√t，只要证明：lnt−√t<0，设ℎ(t)=lnt−√t ，ℎ′(t)=√t−1)22t√t<0，则ℎ(t)在(1,+∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)=0，从而lnt−√t <0得证，即x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．【解析】(1)(方法一)当m=2，x∈(π,+∞)时，由f′(x)=1−12cosx−1x≥1−12−1π=12−1π>0可判断f(x)在(π,+∞)上的单调性；(方法二)当m=2时，由f′(x)=1−12cosx−1x=0⇔cosx=2−2x，作出函数y=cosx与y=2−2x图象，借助图象可判断f(x)在(π,+∞)上的单调性；(2)设0<x1<x2，由f(x1)=f(x2)可得，m2(lnx2−lnx1)=x2−x1−12(sinx2−sinx1)>12(x2−x1)，m>x2−x1 lnx2−lnx1，要证x1x2<m2，只要证m>√x1x2，利用分析法证得x2−x1lnx2−lnx1>√x1x2，从而得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性与求最值，考查等价转化思想、数形结合思想的运用，考查逻辑推理、运算求解能力，是难题．第21页，共21页。