湖南省师大附中2020年高考理科数学模拟卷

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数学（理科）一、选择题1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =，那么EF =( )A. 1123AB AD -B. 1132AB AD +C.1223AB AD - D.1142AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+. 因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =， 所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A.12B.2πC .12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+， 故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知α为锐角，且()cos 11α︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )B.2C.12【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =3c e a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）B.12【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242t t ab t =<≤.构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t t t t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=. 所以22bc BF b c a b ===+，22OB c b a =-=，225433a a AB a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a aAF b a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==，由此能求出结果． 【详解】解：在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PCDE E =，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=，即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6. 综上，ABC ∆的周长为6或513+.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =，1BC ⊂平面1ABC ，AB 平面1ABC ，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥， 又∵11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A，()1C ，(113,0,A B =，()111,0B C =--，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1111113030n AB x n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得()11,n =-， 而平面11BB CC 的一个法向量为()20,0,1n =， 则112122cos ,55n nn n n n ⋅===， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即2y ac =±442ac =则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,3a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞.（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+， 令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据()32||f x x -，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩，然后解不等式组即可得到解集； （2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可． 【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A.(){}1,1 B.(){}2,4- C.()(){}1,1,2,4- D.∅2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A.甲B.乙C.丙D.丁4.已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（ ）A.存在平面α，使//,//a b ααB.存在平面α，使,a b αα⊥⊥C.存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D.存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒5.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B. C. D.6.()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( )A.－60B.240C.－80D.1807.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）B.413D.478.关于函数()sin cos 22x x f x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x = .其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设a,b,c 分别是ΔABC 的内角A,B,C 的对边，已知(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，设D 是边BC 的中点，且ΔABC 的面积为√3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )等于（ ）A. 2B. 4C. -4D. -210.已知椭圆C:x 24+y 2b =1(0<b <2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b=( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. √6211.在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，G 为ΔDBC 的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30∘，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12.已知函数()1ln m f x n x x=--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A.22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B.22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C.2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ D.1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）S 的值是__________．14.在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =cos cos c B b C +=，则ABC 的面积的取值范围为______．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 是坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为A ，B ，且OAB ∠为直角，记OAF △和OBF 的面积分别为OAF S ，OBF S ，若35OAF OBF S S =△△，则双曲线C 的离心率为______． 16.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2n+1，若不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n 对∀n ∈N ∗恒成立，则整数λ的最大值为__.三、解答题（题型注释）17.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1n n S pa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；（3）在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由. 19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 20.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是()01p p <<，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1ξ，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2ξ． (i)求1ξ，2ξ的概率分布列和数学期望1E ξ，2E ξ；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由．21.设函数()ln x f x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数． （1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，若()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证： 212x x e >． 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB，求α的值. 23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020)|+ |y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案1.C【解析】1.首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，故选：C.2.D【解析】2. 试题由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 3.B【解析】3.结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.4.B【解析】4.根据充要条件的定义，逐项判断//a b 是否能推出选项成立，和选项是否能得出//a b 成立，即可得出结果.A 选项，//a b ⇒存在平面α，使//,//a b αα；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故A 错误.B 选项，//a b ⇒存在平面α，使,a b αα⊥⊥；反之，也成立.故B 正确.C 选项，//a b ⇒存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故C 错误.D 选项，//a b ⇒存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故D 错误.故选：B5.D【解析】5.∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ， 故选：D ．6.D【解析】6.求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案.由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D【解析】7.设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a ，再利用面积之比可得结论.由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos 3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得AF =，所以，大正六边形的边长为AF =，所以，小正六边形的面积为21122222S a a a =⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为2212222S =⨯⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.8.B【解析】8.根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()f x ∈,可知③错误. 依题意，()()()sin cos sin cos ()2222x x x x f x f x ---=+=+=， 故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误； 因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B .【解析】9.利用三角形内角和定理可得(b +c )sinB =(a +c )(sinA −sinC )．由正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A ∈（0，π）可得A 的值，结合ΔABC 的面积求得bc,将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )利用向量加减法运算转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,即可求得结果.∵(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，，∴由正弦定理可得：(b +c )b =(a +c )（a −c ），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ，∴由余弦定理可得：cosA=−12，∴由A ∈（0，π），可得：A=2π3，又ABC 的面积为√3，即12bcsin 2π3=√3,∴bc=4,又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=(DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )•(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2-DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=−4AB⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 4=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ •AC⃑⃑⃑⃑⃑ =-bccosA=2. 故选A.10.B【解析】10.分析：首先设出点A ,B 的坐标，然后结合点差法计算b 的值即可.详解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则{x 124+y 12b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+ (y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0. 因为y 1−y 2x 1−x 2=−1,所以x 04−y 0b 2=0.即y 0x 0=b 24. 由y 0x 0=b 24=12,解得b 2=2,即b =√2. 本题选择B 选项.11.D【解析】11.分析：求出△ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球O 的半径，即可求出球O 的表面积．详解：取BC 的中点为E ，由题意，AE=√3，AD=1，cos ∠BAC=2×2√3×2√3=﹣12，∴sin ∠BAC=√32，∴△ABC 外接圆的直径为2r=√32=4√3，设球O 的半径为R ，∴R=√12+14=72 ∴球O 的表面积为49π， 12.A【解析】12.由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n=-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0, (e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em mn -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或 (1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤，所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2）所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示， 则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A. 13.0【解析】13.模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案.1,0tan3n S π==+=22,tan 03n S π=== 33,0tan 03n S π==+=44,0tan3n S π==+=55,tan 03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：014.【解析】14.利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【解析】15.不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，先求出点,A B 的纵坐标，再根据35A OAFOBF B y S S y ==△△求出离心率. 不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，因为OAB ∠为直角，所以直线AB 的方程为()ay x c b=--， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得点A 的纵坐标22A abc y a b =+， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点B 的纵坐标22B abc y b a =-， 所以222235A OAF OBF B b a y S S y a b -===+△△，解得2214b a =或4，又离心率e =，所以双曲线C16.4【解析】16.试题分析：当n =1时，S 1=2a 1−22得a 1=4，S n =2a n −2n+1；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，所以a n2n −a n−12n−1=1． 又a 121=2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)•2n ．因为a n >0，所以不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n ，等价于5−λ>2n−32n．记b n=2n−32n，n ≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n =2n−14n−6．所以n ≥3时，b n+1b n<1,(b n )max =b 3=38．所以5−λ>38,λ<5−38=378，所以整数λ的最大值为4．17.（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【解析】17.（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2a a p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . （1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=， 两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列， 又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-， 所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-，所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．18.（1）证明见解析.（2（3）存在，13PM PB =【解析】18.（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，可证//EF PB ，从而得线面平行；（2）由题意以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设(01)PM PB λλ=<<，求出平面MAC 和平面EAC （（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得λ． （1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF .∵ABCD 是平行四边形，∴F 是BD 的中点.又E 是PD 的中点，∴//EF PB 又PB ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(030)B ，，，(200)C ，，，(230)D -，，，(003)P ，，，33(1)22E -，，.设平面AEC 的法向量为()x y z n =，，. ∵33(1)(200)22AE AC =-=，，，，，， ∴00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3302220.x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 不妨取1y =，得(011)n =，，又(203)PC =-，，.设直线PC 与平面AEC 所成的角为α，则326sin cos 26PC αPC PC n n n⋅=<==⋅>，即直线PC 与平面AEC所成角的正弦值为26． （3）假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为.连接AM MC ，.设(01)PM PB λλ=<<， 得(0333)M λλ-，，. 设平面MAC 的法向量为()x y z m =，，. ∵(0333)(200)AM λλAC =-=，，，，，， ∴00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3(33)020.y z x λλ+-=⎧⎨=⎩，不妨取1z =，得1(011)λm =-，， 设二面角M AC E --的平面角为θ，则cos cos 102θm n m n m n⋅=<===⋅⋅>，.化简得29920λλ-+=， 解得13λ=，或23λ=. ∵二面角M AC E --的余弦值为10，∴13λ=. ∴在线段PB 上存在一点M ，且13PM PB =，使得二面角M AC E --的余弦值为10. 19.（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】19.(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以1212222y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m =+222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 20.（1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大；（2）(i)分布列见解析，1E ξ=1.2，2E ξ20.50.3 1.4p p =--+； (ii) 当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．理由见解析【解析】20.（1）由图表可知甲地区的数据比较分散，所以甲地区比乙地区的方差大；也可求出两地区的平均数，比较平增多数；（2）（i ）由题可知1ξ分别取l.38、1.18、l.14时，其对应的概率分别为16、12、13，从而可列出1ξ的分布列，由题意得~(2,)B p ξ，从而可列出ξ的分布列，而ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元，由此可列出2ξ的分布列，并可求出期望； （ii ）对（i ）得到的数学期望1E ξ，2E ξ比较大小，进行决策. （1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大； （2）（i ）由题意得1ξ的概率分布列为所以1 1.38 1.18 1.14 1.2623E ξ=⨯+⨯+⨯=． 由题意得~(2,)B p ξ，即ξ的概率分布列为由题意得下调次数和利润2的关系为所以2的概率分布列为所以222 1.4(1) 1.252(1)0.6E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯()()2221.412 2.50.6p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.50.3 1.4p p =--+（ii ）当12E E ξξ<，得21.20.50.3 1.4p p <--+，即25320p p +-<，整理得(52)(1)0p p -+<，解得205p <<； 当12E E ξξ=时，25p =； 当12E E ξξ>时，215p <<； 所以，当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．21.（1）1(0,)e；（2）证明见解析.【解析】21.（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则()0f x '=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t tt +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.解：（1）()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根， 即1xlnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a=图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数； 所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ， 要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则10a e <<． 故a 的取值范围为1(0,)e． （2）10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=-- ()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，则1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+- 于是()()221212111221211ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==-- 又120x x <<，设21x t x =则1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t t t +>-，1t > 即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t >，则 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >=于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+， 所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证22.（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】22.（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解.（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩, 消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+= 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=, 设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈ 点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 23.（Ⅰ）(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）[−1010,0).【解析】23.（Ⅰ）由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，分别求出[f(x)]max 和[|y +2020|+|y −a|]min ，列出不等式求解即可．（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1， 若a≤12，则不等式化为1−2a −1+a >1，解得a <−1； 若12<a <1，则不等式化为2a −1−(1−a)>1，解得a >1，即不等式无解； 若a≥1，则不等式化为2a −1+1−a >1，解得a >1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0).。

湖南师大附中2020届高考模拟卷(二)数学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}故选C.2. 设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝()A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】.故选B.3. 右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是()A. x甲＝76，x乙＝75B. 甲数据中x＝3，乙数据中y＝6C. 甲数据中x＝6，乙数据中y＝3D. 乙同学成绩较为稳定【答案】C【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以，解得y＝3，故选C.4. 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，所以：.离心率为.故选C.5. 一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x可能为()A. －1B. 1C. 1或5D. －1或1【答案】B【解析】若，符合题意；若，不满足故错误.所以选.6. 平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为( )A. B. 10 C. 8 D.【答案】A【解析】如图过点A作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B到β的距离为9－7＝2，C到β的距离为13－7＝6，利用梯形中位线易求得BC中点D到β的距离为，而重心G在AD上，且，重心G到β的距离为d′＝4×，故重心G到α的距离为d＝4×＋7＝.故选A.7. 设数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，S n、T n分别为数列{lg a n}与{lg b n}的前n项和，且＝，则log b5a5＝( )A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】B【解析】V＝×3×4×5－×5＝20.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A. －7B. 7C. －28D. 28【答案】B【解析】试题分析：由题意，，令，，故常数项为．故选B．考点：二项式定理的应用．【名师点睛】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项．2．求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．10. 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|，则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得PF1⊥PF2，由tan θ＝2sin θ＝，cos θ＝，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c，从而|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，∴e＝.故选A.11. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝.又函数g(x)＝cos，x∈[－3，3]，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和等于( )A. －B. －C.D.【答案】D【解析】f(x)＝g(x)x＝，和为，选D.点睛：对于函数与方程函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；将方程转化为两个函数的交点，数形结合.12. 已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a n＋12＋a n＋1－1＝a n2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－a n2－3t－3a n≤0恒成立，则正数t的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】易证得数列{a n}是递增数列，又t2－a n2－3t－3a n＝(t－a n－3)(t＋a n)≤0，t＋a n>0，∴t≤a n＋3恒成立，t≤(a n＋3)min＝a1＋3＝3，∴t max＝3.故选C.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13. 设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥b，b∥c，则＝____．【答案】【解析】向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，且a⊥b，b∥c所以，，解得.则14. 设变量x、y满足约束条件：则z＝x2＋y2的最大值是_____．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图△ABC)，而z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA＝2，故答案为：8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝60°，则|PA|2＋|PB|2的取值范围为___．【答案】(5，6]【解析】过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|＝2.令∠APQ＝θ，则∠BPQ＝－θ.由题意可知：0<θ<.那么，|PA|＝|PQ|cos θ＝2cos θ，|PB|＝|PQ|cos＝2cos.|PA|2＋|PB|2＝(2cos θ)2＋＝4＝4＝4cos2θ＋＝2cos2θ＋2sin θcos θ＋3＝sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2+4＝2sin＋4.∵0<θ<，∴0<2θ<，∴<2θ＋<，∴<sin≤1.∴5<2sin＋4≤6.因此，|PA|2＋|PB|2的取值范围为(5，6]．16. 已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是_____．【答案】a≥1........................令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1.综上所述，实数a的取值范围是a≥1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC中有f(B)＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝－1，求三角形ABC的面积．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)利用倍角公式降幂，结合辅助角公式化一可得正弦型函数，进而结合正弦函数性质即可求解；(Ⅱ)讲f(B)＝1代入解析式得B＝，在△ADC中由余弦定理可得cos C＝，解出三角形即可求面积.试题解析：(Ⅰ)f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin＋.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin＋.令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)．(Ⅱ)由f(B)＝sin＋＝1，即sin＝.由0<B<得<2B＋<，所以2B＋＝，解得B＝.再由已知：AC＝，CD＝－1，AD＝2.∴在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C，得cos C＝，又∠C∈(0°，90°)，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.在△ABC中，由＝，得AB＝2，∴S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×2××＝.18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面PBC；(Ⅱ)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H－PB－C的余弦值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．试题解析：(Ⅰ)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因为PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC为PC与底面PBD所成的角．所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1，又＝2及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以D点为坐标原点，DA，DC，DP分别x，y，z轴建立空间坐标系，则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由得取n＝(1，－3，－2)，设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则由得取m＝(1，1，2)．所以cos〈m·n〉＝＝－，所以二面角H－PB－C余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P （B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)＝·＝.(Ⅱ)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝＝，P(X＝35)＝C21＋·C21··＝，(6分)P(X＝40)＝＋C21C21··＋＝，P(X＝45)＝C21＋C21··＝，P(X＝50)＝＝，∴X的分布列为：X 30 35 40 45 50PEX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.20. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点F与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．(Ⅰ)直线x＝1与椭圆交于不同的两点M，N，椭圆C的左焦点F1，求△F1MN的内切圆的面积；(Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A，B，直线l′与抛物线E交于不同两点C，D，直线l与直线l′交于点M，过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P，Q，G，H四点．证明：＝.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用条件得椭圆方程，将x＝1代入椭圆得M，N坐标，求出△F1MN 的周长和面积，进而得内切圆半径；(Ⅱ)设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式表示弦长，进而化简运算即可证明.试题解析：(Ⅰ) 依题意，得c＝1，e＝＝，即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求椭圆C的方程为＋＝1.直线l的方程为x＝1，得M，N，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长＝4a＝8，S△F1MN＝ (|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.又因为S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求内切圆的面积为π.(Ⅱ)设直线l和l′的方程分别为x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由方程组得y2－4k1y－4m1＝0 ①方程①的判别式Δ>0，得4k12＋4m1>0.由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，由方程组得y2－4k2y－4m2＝0 ②方程②的判别式Δ>0，得4k22＋4m2>0.由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.联立直线l与直线l′的方程可得：M点坐标为.因为|MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入计算得，|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.同理可得|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝·.因此＝.由于PQ，HG分别与直线l和直线l′平行，故可设其方程分别为x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.由方程组得y2－4k1y－4＝0. ③由③得y P＋y Q＝4k1，y P y Q＝－4，因此|PQ|＝x P＋x Q＋p＝k1(y P＋y Q)＋4＝4(1＋k12)．同理可得|HG|＝x H＋x G＋p＝k1(y H＋y G)＋4＝4(1＋k22)．故＝.所以＝.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数φ(x)＝，a为正常数．(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且对任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有<－1.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：当x∈(0，2]时，g(x)≥ln 2＋.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) (ⅰ) ；(ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）>0求得的区间是单调增区间，f′（x）<0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．(ⅰ)下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0<x<1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a 的取值范围．(ⅱ) h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范围放缩得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，进而构造函数T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用单调性即可证得.试题解析：(Ⅰ)当a＝4时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－＝≥0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(Ⅱ)因为<－1，所以＋1<0， <0 .设h(x)＝g(x)＋x，依题意，h(x)在(0，2]上是减函数，h′(x)≤0恒成立．(ⅰ)①当1≤x≤2时，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.从而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3对x∈[1，2]恒成立．设m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，则m′(x)＝2x＋3－>0.所以m(x)在[1，2]上是增函数，则当x＝2时，m(x)有最大值为，所以a≥.②当0<x<1时，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.从而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.设t(x)＝x2＋x－－1，则t′(x)＝2x＋1＋>0，所以t(x)在(0，1)上是增函数．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.综合①②，又因为h(x)在(0，2]上图形是连续不断的，所以a≥.(ⅱ)因为h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，当且仅当x＝2时等号成立．从而g(x)≥ln 2＋＋2－x.令T(x)＝ln 2＋＋2－x，则T(x)在(0，2]上单调递减．∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.∴T(x)≥ln 2＋.选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 (s为参数)，曲线C的参数方程为 (t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求AB的长．【答案】(Ⅰ) 为参数）；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)有图像可知x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ即得；(Ⅱ)联立解得交点，进而得线段长.试题解析：(Ⅰ)圆的半径为，记圆心为C，连结CP，则∠PCx＝2θ，故x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为 (θ为参数)．(Ⅱ)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以AB＝.23. 选修4—5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【答案】(Ⅰ) {x|x≥4或x≤0}；(Ⅱ) a＝2.【解析】(I)当a=1时，不等式转化为,此不等式易解.（II）解本小题关键是把转化为,然后再讨论去绝对值转化为或即或求解.解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得或．故不等式的解集为或．…………5 分(Ⅱ) 由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故…………10分。

2020届湖南师大附中新高考精准模拟考试（三）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确的答案填在答题卡相应的位置上。

1.已知i R y x ,,∈是虚数单位，若yi x +与i i++13互为共轭复数，则=+y xA.OB. 1C. 2D.32.已知集合A={0352|2≤--x x x }，B= {2|≤∈x Z x }，则 B A 中的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.53.图中为截止2019年3月末.我国的外汇储备近1年的变化折线图，由此得到以下说法，其中叙述正确的是A.近1年以来，我国外汇储备月增长量最大的月份是2019B. 2018年4月至10月，我国外汇储备连续下降C. 2018年底，我国外汇储备降至近年来最低D.截止2019年3月末，我国外汇储备连续第五个月上升4. 已知双曲线C: 12222=-b y ax (a>b>0)的离心率45=e ，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线的C 方程为A. 13422=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-y xD. 14322=-y x 5.已知)'(,cos 41)(2x f x x x f +=为)(x f 的导函数，则)'(x f 的图象是 6.函数)42sin(2)(π+=x x f 向右平移)＞0(ϕϕ个单位后，得到x y 2cos =的图象，则ϕ的最小值为 A.87π B. 85π C. 83π D.8π7.某三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 A.4B. 23C. 32D.78.已知等差数列{n a }的第8项是二项式4)1(y xx ++展开式的常数项，则=-11931a aA.32B. 2C. 4D. 6 9.已知抛物线：0)>(22p py x =的焦点为F ，准线为l ，点P(4，0y ）在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且||2||PF PK =，则0y 的取值为A.4B. 2C.32D.2 10.甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了 5局，乙共打了 6局， 而丙共当了 2局裁判，那么整个比赛共进行了 A. 13 局B. 11局C. 9局D. 8 局11.数列{n a }中，0>),2,(2||,12111a n N n a a a n n n ≥*∈=--=--,若数列{12-n a }单调递减，数列{n a 2}单调递增，则=2019aA. 3122019-B. 3122019+ C.3122019+- D. 3122019+- 12.已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数t tx x x f ()(3-=为给定的正常数）的 图象作两条切线，则22)1(-+=b a z 的最小值为 A.211t + B. 211t + C. 21t + D.21t + 二、填空题（本小题共4题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。

一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南师大附中高考数学模拟试卷(三)一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={0,1，2}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 3C. 4D. 162.设i为虚数单位，复数2+ii2在复平面上对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“复数为纯虚数”是“”的()A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分也不是必要条件4.函数y=sin2(π4+x)−sin2(π4−x)的值域是()A. [−1,0]B. [0,1]C. [−1,1]D. [−12,1] 5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则()A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于()A. 15B. 35C. 65D. 27.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则A. 3B. 1C. −1D.8.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B. C. D.9.设a⃗，b⃗ ，c⃗均为非零向量，若|(a⃗+b⃗ )⋅c⃗|=|(a⃗−b⃗ )⋅c⃗|，则()A. a⃗//b⃗B. a⃗⊥b⃗C. a⃗//c⃗或b⃗ //c⃗D. a⃗⊥c⃗或b⃗ ⊥c⃗10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交双曲线的左支于点M，交双曲线的右支于点N，且MF2⊥NF2，|MF2|=|NF2|，则该双曲线的离心率是()A. √3B. √2C. √5D. √2+111.在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则这个三角形为()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形12.函数f(x)=cos22x的周期为()A. π4B. π2C. πD. 2π二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.有下列命题：①是函数的极值点；②三次函数有极值点的充要条件是；③奇函数在区间上是递增的；④曲线在处的切线方程为．其中真命题的序号是．14.已知实数x，y满足x2+y2−4x+6y+4=0，则√x2+y2的最小值是______ ．15.函数y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<2π)的图象如图所示，则ω=______ ，φ=______ ．16.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则异面直线AB与CD所成的角______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前9项和为153，且点P(a n,an+1)(n∈N∗)在直线x−y+3=0上．(1)求数列{a n}通项公式：(2)从数列{a n}中，依次取出第2项、第8项、第24项，……，第n·2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n．18.有一批单放机原价为每台80元，两个商场均有销售，为了吸引顾客，两商场纷纷推出优惠政策．甲商场的优惠办法是：买一台减4元，买两台每台减8元，买三台每台减12元，…，依此类推，直到减到半价为止；乙商场的优惠办法是：一律7折．某单位欲为每位员工买一台单放机，问选择哪个商场购买比较划算？19.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边CD的中点，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB⊥平面ABED．(Ⅰ)证明：PB⊥AE；(Ⅱ)求三棱锥A−PED的体积．20.已知动点M到A(0,1)的距离比它到x轴的距离多1．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点N(2,1)作曲线C的切线L，求切线L的方程，并求出L与坐标轴所围成图形的面积S．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx ，g(x)=12ax 2+x(a ∈R)．(1)当a =12时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设F(x)=f(x)−g(x)，若关于x 的不等式F(x)≥1−ax 恒成立，求整数a 的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =cosϕy =a +sinϕ(a ∈R,φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=1，且圆心C 在直线l 上．(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若A(ρ1,π6)是直线l 上一点，B(ρ2,4π3)是圆C 上一点，求△OAB 的面积．23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)若f(1)>1，求a的取值范围；(Ⅱ)若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}，A∩B的子集个数n=22=4．故选：C．由交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的子集个数．本题考查交集中子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C=−2−i，解析：解：i为虚数单位，复数2+ii2复数的对应点为：(−2,−1)．复数对应点在第四象限．故选：C．利用复数i的幂运算化简复数的分母，求出复数的对应点即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3.答案：A解析：试题分析：由“复数为纯虚数”，一定可以得出，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b不为0.故选A。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|2x−1>1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]2. 在复平面内，复数1+ii对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数y =x 2e|x|+1(其中e 为自然对数的底)的图象大致是( )A.B.C.D.5. 在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A. 12 B. π2 C. π2−1 D. 2−π26. (3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为( )A. 14B. −14C. 16D. −167. 已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°8. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E(0,t)(0<t <b).已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. √539. 设三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB =AC =2，∠BAC =90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. 24πB. 18πC. 26πD. 16π10. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n =2a n+2−a n+1(n ∈N ∗)，则数列{1nb n}的前99项和为( )A. 9798B. 9899C. 99100D. 10010111. 已知函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2.若f(a)=f(b)(a <b)，则ab 的最小值为( ) A. √22B. 12C. √24D. √5312. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B.交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=( )A. 54B. 43C. 32D. √52二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=αx −log 2(2x +1)+cosx(α∈R)为偶函数，则α=______． 14. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5=6，则a 8=______．15. 若f(x)=2sin(2x +φ)(φ>0)的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0,π2)，使得f(x 0)=a ，则a 的取值范围是______．16. 在四面体P −ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，PA =6，PB =8，PC =10，则四面体P −ABC 的体积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asin(A+B−C)=csin(B+C)．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若2a+b=6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.(Ⅰ)求证：AO⊥平面BB1C1C：(Ⅱ)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1−B1C1−B的余弦值．19.已如椭圆：C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为12，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)过点A(−4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．(Ⅰ)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(Ⅱ)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，(n∈N∗)次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=αe x−e−x−(a+1)x(α∈R)，f(x)既存在极大值，又存在极小值．(Ⅰ)求实数α的取值范围；(Ⅱ)当0<α<1时，x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点．且f(x1)+kf(x2)> 0，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt(t为参数)，直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k(m为参数).设直线l1与l2的交点为P.当k变化时点P的轨迹为曲线C1．(Ⅰ)求出曲线C1的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥3−2|x|的解集；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+|x−5|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m.求证：a2b+b2a≥4．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵2x−1>1，∴A ={x|x >1}， 又x 2−2x ≤0，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤2}=(1,2]， 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：1+i i=i(1+i)−1=1−i故选：D ．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当x ≥0时，函数y =x 2e |x|+1=x 2e x+1，y′=2x−x 2e x+1，有且只有一个极大值点是x =2，故选：A ．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．5.【答案】C【解析】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为8×(14π×12−12×1×1)=2π−4．∴所求概率P=2π−44=π2−1．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵(3x+1)(1x −1)5=(3x+1)(1x5−5x4+10x3−10x2+5x−1)，故它的展开式中的常数项为3×5+1×(−1)=14，故选：A．把(1x −1)5按照二项式定里展开，可得(3x+1)(1x−1)5的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10∘)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1，即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10∘=1，则：cosα⋅2sin40°cos10∘=1．当α=40°时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.【答案】D【解析】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|=|PF2|+|PF1|=2a=3b，∴4a2=9(a2−c2)，5a2=9c2∴e=ca =√53，故选：D．当P，E，F1共线时，此时△PEF2的周长的最小，即可得到2a=3b，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.【答案】C【解析】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O′，则外接圆的半径r=BC2，而AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，所以r=√2，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：R2=r2+(AA12)2=2+92=132，所以外接球的表面积S=4πR2=26π，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：a n +S n =2n ，a n+1+S n+1=2n+1， 两式作差得a n+1−a n +S n+1−S n =2n ，2a n+1=a n +2n ，故2b n =2a n+2−a n+1=2n+1， b n =n +1，所以1nb n=1n −1n+1，所以S 99=1−12+12−13+⋯+199−1100=99100，故选：C ．利用两式作差2a n+1=a n +2n ，代入求出b n =n +1，再利用裂项相消法求出和即可． 考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.【答案】B【解析】解：画出函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f(a)=f(b)，且a <b ，设2+log 12a =2b=k ，则2<k ≤4；所以a =(12)k−2，b =log 2k ；当k =4时，ab =(12)2⋅log 24=14⋅2=12；考虑ab −12=(12)k−2⋅log 2k −12=(12)k−2⋅(log 2k −2k−3)，在同一坐标系中画出函数y =log 2x 和y =2x−3的图象，其中x ∈(2,4]，如图②所示；则函数y=log2x的图象总在y=2x−3的图象上方，所以ab−12≥0，即ab的最小值为12．故选：B．画出函数f(x)的图象，由题意得出2+log12a=2b=k，则2<k≤4；可求得a、b的表达式，计算k=4时ab=12；再求ab−12≥0恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，渐近线OB的方程为y=bax，渐近线OA的方程为y=−bax，可得|BF|=|bc|√b2+a2=b，|OB|=√c2−b2=a，|AB|=√(5a3)2−a2=4a3，可得tan∠AOB=|AB||OB|=43=−ba−ba1−b2a2，解得b=2a或b=−12a(舍去)，可得|AF|=4a3+2a=10a3，由|OB|2=|CB|⋅|BF|，可得|CB|=a2b =12a，则|CF|=b+12a=5a2，则|FA||FC|=43．故选：B．设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得|BF|，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理和锐角三角函数的定义、以及两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)=αx−log2(2x+1)+cosx，其定义域为R，若f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)，则有a(−x)−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cosx，变形可得：2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=x，必有a=12；故答案为：12．根据题意，由函数奇偶性的定义可得a(−x)−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cosx，据此变形分析可得答案．本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，且设公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6，显然q=1时，18a1=9a1，即a1=0不成立；则2⋅a1(1−q 9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化为2q9=q3+q6，即2q6−q3−1=0，解得q3=−12，由a2+a5=6，可得a1q+a1q4=a1q(1+q3)=12a1q=6，则a8=a1q7=a1q(q6)=14a1q=12×6=3．故答案为：3．等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质，对公比q判断不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得q3，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】(−√3,2]【解析】解：f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象关于直线x=π12对称，所以2×π12+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ+π3，当k=0时，φ=π3．所以f(x)=2sin(2x+π3).由于∃x0∈(0,π2)，所以π3<2x0+π3<4π3，所以−√3<f(x0)≤2，即a的范围为(−√3,2]．故答案为：(−√3,2]．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】8√11【解析】解：∵在四面体P−ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA=6，PB=8，PC=10，∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD=√36−9=3√3，DE=4，AE=√36−25=√11，∴AE2+DE2=PD2，∴AE⊥DE，∵PC ∩DE =E ，∴AE ⊥平面PBC ， ∴四面体P −ABC 的体积为：V P−ABC =P A−PBC =13⋅S △PBC ⋅AE =13×12×PB ×BC ×AE =13×12×8×6×√11=8√11．故答案为：8√11．推导出PB ⊥BC ，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD ⊥BC ，AE ⊥PC ，DE ⊥BC ，推导出AE ⊥DE ，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P −ABC 的体积为V P−ABC =P A−PBC =13⋅S △PBC ⋅AE ，由此能求出结果．本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)∵asin(A +B −C)=csin(B +C)，∴sinAsin(π−2C)=sinCsinA ， ∴2sinAsinCcosC =sinCsinA ， ∵sinAsinC ≠0， ∴cosC =12， ∵0<C <π， ∴C =13π，(II)由题意可得，12ab ×√32=√3，∴ab =4， ∵2a +b =6，联立可得，{a =1b =4或{a =2b =2，若a =1，b =4，则由余弦定理可得，c 2=1+16−2×1×4×12=15，此时a +b +c =5+√15，若a =2，b =2，则此时△ABC 为等边三角形，此时周长6．【解析】(I)结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cosC ，进而可求C ， (II)由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长．本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础试题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1=B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB=AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1=O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)∵AB//A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO=45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，BO=√3,CO=B1O=1，在直角△ABO 中，AO=BO=√3，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，O(0,0,0),A(0,0,√3),A1(−√3,1,√3),B1(0,1,0),C1(−√3,0,0)，A1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3),A1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，设平面A1B1C1的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅A1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x−√3z=0m⃗⃗⃗ ⋅A1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y−√3z=0，令x=√3，则m⃗⃗⃗ =(√3,−3,√3)，易知平面B 1C 1B 的一个法向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+9+3⋅√3=√55，又二面角A 1−B 1C 1−B 为钝角，故其余弦值为−√55．【解析】(Ⅰ)利用B 1C ⊥平面ABC 1可证得B 1C ⊥AO ，利用三线合一可证得AO ⊥BC 1，进而得证；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a =p2，则C 2：y 2=4ax ，代入x =c ，得y 2=4ax ，即y =±2√ax ，所以4√ac =4√2， 则有ac =2，ca =12，a 2−b 2=c 2⇒a =2，b =√3，c =1，p =4， 所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x ；(Ⅱ)过点A(−4,0)的直线l 设为y =k(x +4)，联立椭圆方程3x 2+4y 2=12，消去y 得(3+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，E(x 1,−y 1)， 可得x 1+x 2=−32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，直线EN 的方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，即为y +k(x 1+4)=k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1(x −x 1)，即y =k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1⋅x −2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)x 2−x 1，代入韦达定理可得y =1x2−x 1⋅24k3+4k 2(x +1)，则直线EN 过定点(−1,0)．【解析】(Ⅰ)利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；(Ⅱ)把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，E(x 1,−y 1)，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B(5,14)，∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P(X =2)=C 52(14)2(34)3=5512．(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P(ξ=0)=14，P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2⋅14，…，P(ξ=n −1)=(34)n−1⋅14，P(ξ=n)=(34)n ， ∴ξ的分布列为：E(ξ)=34⋅14+2⋅(34)2⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1⋅14+n ⋅(34)n ，①34E(ξ)=(34)2⋅14+2⋅(34)3⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n +n ⋅(34)n+1，② ①−②，得：14E(ξ)=34⋅14+(34)2⋅14+(34)3⋅14+⋯+(34)n−1⋅14+(34)n ⋅14 ∴E(ξ)=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n =34[1−(34)n ]1−34 =3−3⋅(34)n ．【解析】(Ⅰ)任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X ～B(5,14)，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P(ξ=0)=14，P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2⋅14，…，P(ξ=n −1)=(34)n−1⋅14，P(ξ=n)=(34)n ，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=ae x +e −x −(a +1)=ae2x −(a+1)e x +1e x=(ae x −1)(e x −1)e x，∵f(x)存在极大值点x 1和极小值点x 2， ∴a >0且a ≠1，令f′(x)=0，解得x 2=−lna ，或x 1=0， ①0<a <1时，−lna >0，∴当x <0或x >−lna 时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <−lna 时，f′(x)<0，函数单调递减，∴当x 1=0时，函数取得极大值，当x 2=−lna 时，函数取得极小值， ②a >1时，−lna <0，∴当x >0或x <−lna 时，f′(x)>0，函数单调递增，当−lna <x <0时，f′(x)<0，函数单调递减，∴当x 1=0时，函数取得极小值，当x 2=−lna 时，函数取得极大值， 故a 的范围为(0,1)∪(1,+∞)，(2)由(1)可知0<a <1，且f(x)的极大值点为x 1=0，极小值点为x 2=−lna ， ∴f(x 2)=f(−lna)=1−a +(a +1)lna ，f(x 1)=f(0)=a −1， ∵f(x 1)>−kf(x 2)，令−k =m ，∵a −1>m[1−a +(a +1)lna]对任意0<a <1恒成立， 由于此时f(x 1)<f(x 2)<0，故m >0， 故(a +1)lna <(1+1m )(a −1)， 即lna <(1+1m )⋅a−1a+1， 设g(x)=lnx −(1+1m ))⋅x−1x+1， g′(x)=x 2−2x m+1x(x+1)2，令x 2−2xm +1=0(∗)，△=4m 2−4， ①m ≥1时，△≤0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增，故g(a)<g(1)=0，即lna<(1+1m )a−1a+1，符合题意，②0<m<1时，△>0，设(∗)的两根为x3，x4，且x3<x4，则x3+x4>0，x3⋅x4=1，故0<x3<1<x4，则当x∈(x3,x4)时，g′(x)<0，g(x)递减，故当0<a<1时，g(a)>g(1)=0，即lna>(1+1m )⋅a−1a+1，矛盾，不合题意，综上，m≥1，即−k≥1，∴k≤−1．【解析】(1)求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；(2)求出函数的极值点，问题转化为lna<(1+1m )⋅a−1a+1，设g(x)=lnx−(1+1m))⋅x−1x+1，根据函数的单调性确定k的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt(t为参数)，转换为直角坐标方程为y=k(x+√3)①.直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k(m为参数).转换为直角坐标方程为y=13k(√3−x)②.所以①×②得到x23+y2=1(y≠0)．(Ⅱ)直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x+y−6=0．设曲线C1的上的点Q(√3cosθ,sinθ)到直线x+y−8=0的距离d=√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max=√2=4√2．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x −1|，∴由f(x)≥3−2|x|，得|x −1|+2|x|≥3．∵|x −1|+2|x|={3x −1,x >1x +1,0≤x ≤1−3x +1,x <0，∴由|x −1|+2|x|≥3，有{3x −1≥3x >1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x <0，∴x ≥43或x ≤−23，∴不等式的解集为{x|x ≥43或x ≤−23}.(Ⅱ)证明：g(x)=f(x)+|x −5|=|x −1|+|x −5|≥|(x −1)−(x −5)|=4， ∴g(x)min =m =4，∴a +b =m =4， ∴a 2b+b 2a=(a 2b +b)+(b 2a +a)−4≥2a +2b −4=4，当且仅当a =b =2时取等号， ∴a 2b+b 2a≥4．【解析】(Ⅰ)根据f(x)≥3−2|x|，可得{3x −1≥3x >1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x <0，然后解不等式组即可得到解集；(Ⅱ)先利用绝对值三角不等式求出g(x)的最小值，再利用基本不等式求出a 2b+b 2a的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

2020届湖南师大附中高三摸底考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|20190M x x =+>，{}2|3N x x =>，则MN =（ ）A ．19|20x x ⎧-<<⎨⎩ B ．{|x x >C ．19|20x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|x x <【答案】B【解析】求出M 和N ，然后直接求解即可 【详解】19|20M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{|N x x =< x >，{|M N x x ∴⋂=>，故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题2．满足条件|4|2||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【解析】设复数z x yi =+，然后代入|4|2||z i z i +=+，得2222(4)44(1)x y x y ++=++，化简即可得答案【详解】设复数z x yi =+，则：|4||(4)|z i x y i +=++=|||(1)|z i x y i +=++=，结合题意有：2222(4)44(1)x y x y ++=++， 整理可得：224x y +=. 即复数z 对应点的轨迹是圆. 故选：B.【点睛】本题考查复数的模的运算，属于简单题3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解 【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<， 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题4．给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±；②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b -=上，则此双曲线的离心率2e =；③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误；对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，()()()()22222223022302,1a a =++---+-==，从而离心率2ce a==，所以②正确；对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C.5．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||xxf x x -=+D ．()4()44log||x xf x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解 【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()x xf x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ．7．已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．2 B ．23C 2D 2 【答案】C【解析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,22⋅<>===a b a b a b故选：C 【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型. 8．如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．18?i >B ．18?i <C ．19?i >D ．19?i <【答案】D【解析】由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，即36n ，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环， 则判断框内填入的条件是19i <． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9．非负实数x 、y 满足ln （x ＋y －1）≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 A ．2和1 B ．2和－1C ．1和－1D ．2和－2【答案】D【解析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设x y z -=，则有y x z =-，平移y x z =-，当直线y x z =-经过点(0,2)A 时，z 有最小值，其值为2-，当直线y x z =-经过点(2,0)B 时，z 有最大值，其值为2， 因此 x －y 的最大值和最小值分别为2和－2， 故选：D.【考点】 简单的线性规划问题．10．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()6f =（ ）A ．61B ．33C ．63D ．65【答案】C【解析】根据题意，求出(1)1f =，同理，求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+【详解】由题设可得(1)1f = 求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+，所以()663f =. 故选：C 【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．11．已知函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()221sin 2θθθ=+（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．2【答案】B【解析】依题意，设直线为y kx =，则直线y kx =与(0)y cosx x =切于3(,2)2ππ上的一点,求出切点坐标为(,cos )θθ，然后利用切线方程，即可求出θ，进而得到22(1)sin 2θθθ+的值【详解】函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数()|cos |(0)f x x x =在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切，在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 的解析式()cos f x x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ.∴切线斜率0sin sin x k y x θ==-=-'=，∴由点斜式得切线方程为：cos sin ()y x θθθ-=--，即sin sin cos y x θθθθ=-++直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()221222tan tan 1sin 11sin 2212sin cos cos tan θθθθθθθθθθ--∴===-⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，难点在于利用切线方程求出θ的值，属于中档题 12．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题二、填空题13．函数()e 22019x f x x =-+在()()0,0f 处的切线方程是_______. 【答案】2020y x =-+【解析】求出原函数的导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，然后列出利用切线方程可得答案. 【详解】求导函数可得()2xf x e =-，当0x =时，0(0)21f e '=-=-，0(0)020192020f e =-+=，切点为()0,2020，∴曲线()22019x f x e x =-+在点()()0,0f 处的切线方程是2020y x -=-，故答案为：2020y x =-+. 【点睛】本题考查切线方程问题，属于简单题14．数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则3a =_____. 【答案】36【解析】由题意可得：1q >，由353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，可得324523a a a ⨯=+即523111(1)(),4841a q a q a q q q-=+=-，联立解得:1a ，q ，再利用通项公式即可得出答案【详解】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得3q =，14a =，23136a a q ∴=⋅=. 故答案为：36 【点睛】本题考查差比混合问题，设方程求解即可，属于简单题15．点M 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在FPM 中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为__________.【解析】由正弦定理求得||||PMPF λ=，根据抛物线的定义，得1||||PB PM λ=,即1sin αλ=，则λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，由0∆=求得k 的值，即可求得λ的最大值 【详解】如图，过P 点作准线的垂线，垂足为B ，则由抛物线的定义可得||||PF PB =， 由sin sin PFM PMF λ∠=∠，在PFM △中正弦定理可知：||||F PM P λ=， 所以||||PM PB λ=，所以1||||PB PM λ=， 设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，当λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，设直线PM 的方程为2p y kx =-，则222x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2220x pkx p -+=， 所以222440p k p ∆=-=， 所以1k =±，即tan 1α=±， 则2sin 2α=， 则λ得最大值为12sin α=2 【点睛】本题属于综合题，难度较大，难点（1）利用sin sin PFM PMF λ∠=∠，通过正弦定理转化为||||F PM P λ=；难点（2）设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，通过λ取得最大值时，sin α最小，得出PM 与抛物线相切，本题属于难题16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．【答案】(,6][12,)-∞⋃+∞【解析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=，当1132(6)6924a a a =++=+其出现的概率为211()24=，∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3π；（2）93. 【解析】（1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得1cos 2A =，根据A 的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得bc 的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=， 即：()2sin cos sin cos cos sin sin C A A B A B A B =+=+，A B C π++= ()sin sin 0A B C ∴+=≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）由（1）知：13sin 24ABCSbc A bc == 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴036bc ∴<≤（当且仅当b c =时等号成立）ABC S ∆∴的最大值为：336934⨯= 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型.18．如图在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，2224AB AD CD PC ====，，E 为线段PB 上一点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若点E 满足13BE BP =，求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）63【解析】(1)由已知条件分别证明AC BC ⊥、PC AC ⊥，由此可证得AC ⊥平面PBC ，进而可证EAC PBC ⊥平面平面(2)以C 为原点，取AB 的中点H ，CH ，CD ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由13BE BP =，求得224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得平面ACE 的一个法向量为()1,1,1n =--，平面PAC 的一个法向量为(1,1,0)CB =-，设二面角P AC E --的平面角为θ，根据||cos |cos ,|||||n CB n CB n CB θ⋅=〈〉=⋅求解即可【详解】（1）如图，由题意，得2AC BC ==2AB =，BC AC ∴⊥.PC ⊥底面ABCD ，PC AC ∴⊥，又PC BC C =，AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM CD CP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()()()1,1,0,0,0,4,1,1,0B P A -，设(),,E x y x ，且13BE BP =，得1(1,1,)(1,1,4)3x y z -+=-，即224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)CA =，224,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EAC 的法向量为()111,,n x y z =，由00CE n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111122403330x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 令11x =，得(1,-1,-1)n =.又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ， 故平面PAC 的法向量为(1,1,0)m BC ==-， 设二面角P AC E --的平面角为θ，则||cos |cos ,|||||3m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅. 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系和空间直角坐标系，属于简单题19．某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）. （1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ； （2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布()2,N μσ用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？ 附：①n 个数12,,,n x x x 的平均数11ni i x x n ==∑，方差(22221111)n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑；②若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格. 【解析】(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得x设甲组24名学生的测试成绩分别为：1224 ,x x x ⋯，乙组16名学生的测试成绩分别为：252640,x x x ⋯，将公式2211()ni i s x x n ==-∑变形变形为()22222121n s x x x nx n⎡⎤=+++-⎣⎦，分别求得21s 和22s ，即可根据公式解得解得()22221224241670x x x +++=⨯+和()2222252640163680x x x +++=⨯+，最后整理公式得()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦，计算并求解即可(2)由(1)可得ˆ74μ=,ˆ7σ=,由(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=， 得(6088)0.9544P X <<=，进而得到1(60)(10.9544)0.02282P X <=⨯-=， 求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与5%进行比较即可 【详解】（1）这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==.将()2211n i i s x x n ==-∑变形为()()22222212111n i n i s x x x x x nx n n =⎡⎤=-=+++-⎣⎦∑.设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x ， 第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x ，则第一组的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()22221224241670x x x +++=⨯+.第二组的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()2222252640163680x x x +++=⨯+.这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦()()222124167016368040744840⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦，所以7s ==≈.综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.（2）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=. 由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=， 即(6088)0.9544P X <<=.所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=，从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人）， 而23505%10001000<=， 故该校学生“体能达标”预测合格. 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，难点在于运算量较大，属于基础题20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为(),2,12P -是1C 上一点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．【答案】（1）22182x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）因为1C224a b =；即1C 的方程为：222214x y b b+=，代入()2,1P -即可；（2）设直线PD PE 、的斜率为12,k k ,则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形需证120k k +=．由已知可得直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为：12y x t =+，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．试题解析：（1）因为1C离心率为2，所以224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=代入()2,1P -解得：22b =， 因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=（2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212{182y x t x y =++=得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ，于是212122,24x x t x x t +=-=-，分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ，则，则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形 【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题． 21．已知函数()1e cos x f x x -=+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若12,(,)x x π∈-+∞，12x x ≠，且()()1212e e 4x xf x f x +=，证明：120x x +<.【答案】（1）单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）见解析【解析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式()0f x >和()0f x <，得函数的增区间和减区间即可；(2)由2112()()4xxe f x e f x +=,得21124xxe cosx e cosx +++=，可构造函数()x g x e cosx =+，则12()()4g x g x +=，探究()g x 在(,)π-+∞上的单调性，构造函数()()()G x g x g x =+-，探究()G x 在(,)π-+∞上的单调性,再结合关系式12()()4g x g x +=，利用单调性可得出结论【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()cos sin 2sin 4x x x f x e x e x e x π---⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '<，得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而322,44k x k k ππππ-<<+∈Z ； 由()0f x '>，得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，从而522,44k x k k ππππ-<<-∈Z ； 所以，()f x 的单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z . （2）()()12124xxe f x e f x +=，即1212cos cos 4xxe x e x +++=， 令()cos xg x e x =+，则()()124g x g x +=，()sin xg x e x '=-.当0x >时，()1sin 0g x x '>-；当0x π-<时，sin 0x ，()sin 0xg x e x '=->，故(,)x π∈-+∞时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在(),π-+∞上单调递增，不妨设12x x π-<<，注意到0(0)cos 02g e =+=，所以120x x π-<<<，令()()(),(,0)G x g x g x x π=+-∈-，则'()2sin xxG x e ex -=--，令()2sin x xx e ex ϕ-=+-，则()2cos 2(1cos )0x x x e e x x ϕ-'=+--，所以()x ϕ在(),0π-上单调递增，从而()(0)0x ϕϕ<=， 即()0G x '<，所以()G x 在(),0π-上单调递减，于是()(0)(0)(0)4G x G g g >=+-=，即()()4g x g x +->，又1(,0)x π∈-，所以()()114g x g x +->，于是()()()1124g x g x g x ->-=， 而()g x 在(),0π-上单调递增，所以12x x ->，即120x x +<. 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题 22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ， 则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '， 则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++；（2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a b c++++ 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立.（2）因为11111111111222a b c a b a c b c ab ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc=， 111c b a b c ∴+++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。