20180601初一数学方法和思想专题

七年级数学中常见的思想方法一、思想方法1. 数形结合思想.2. 整体思想.二、知识要点：1. 数形结合思想数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想. 常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助.数轴是数与形结合的桥梁，数与形结合的工具，具有多方面的功能.（1）利用数轴能形象地表示有理数，使抽象的数变得具体.例如有理数的分类，在数轴上，原点右边的是正数，原点左边的是负数，原点是表示0的点，它是正、负数的分界点.（2）利用数轴能直观地解释相反数，能从运动变化的观点说明互为相反数的点，具有关于原点对称的特征.（3）利用数轴理解︱a－b︱的意义，绝对值的定义是从几何角度给出的，即︱a︱是表示数a的点到原点的距离，而原点所对应的数为0，故︱a︱也写成︱a－0︱的形式，它反映了数轴上两点间的距离. 这样自然会想到数轴上任意两点的距离如何表示呢？如图所示，数a、b分别对应点A、B，从数轴的定义，我们知道线段OB、OA的数值分别等于b、a，即OB＝b，OA＝a. 从BA＝OA－OB＝a －b，知B点到A点的距离为︱a－b︱.（4）利用数轴上的点的有序性，可以把复杂的数量关系表示得简明、形象、便于观察解答. 例如，在比较有理数大小的时候，可以把有理数在数轴上表示出来，依据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较.2. 整体思想在研究问题时不是以某个或某些组成部分为着眼点，而是有意识地放大考虑问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简洁地解决问题的目的.【典型例题】例1. （1）数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是__________.（2）（湖南怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）A. 伦敦时间2008年8月8日11时B. 巴黎时间2008年8月8日13时C. 纽约时间2008年8月8日5时D. 汉城时间2008年8月8日19时分析：（1）表示数2的点A向左平移2个单位到原点，再向左平移3个单位到数－3，所以将点A向左平移5个单位长度得到的点B所表示的数是－3. （2）如图所示，纽约、伦敦、巴黎、北京、汉城五城市的时差可以通过它们对应的数字计算出来，北京时间2008年8月8日20时，伦敦时间是2008年8月8日12时；巴黎时间是2008年8月8日13时；纽约时间是2008年8月8日7时；汉城时间是2008年8月8日21时.解：（1）－3（2）B评析：数轴是数形结合思想解题的桥梁.例2. 已知︱a︱＜︱b︱，a＞0，b＜0，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列.分析：从︱a︱＜︱b︱，及a＞0，b＜0知正数a在原点右侧，负数b在原点左侧，且表示数a的点到原点的距离小于表示数b的点到原点的距离，如图所示. 另一方面，a与－a，b与－b互为相反数，由于︱a︱＝︱－a︱，︱b︱＝︱－b︱，故数轴上表示这四个数从左到右的顺序是b，－a，a，－b.解：b＜－a＜a＜－b.例3. 如图所示，阴影部分的面积是正方形面积的（）A. B. C.D.分析：阴影部分的面积不能求出，考虑把阴影部分通过切割、折叠等方法拼成一个可求面积的图形. 把正方形沿图中对角线对折，阴影部分面积等于三角形面积，等于正方形面积的一半.解：D评析：求图形面积时，常用割补、折叠等方法把不规则的图形拼成一个可求面积的规则图形.例4. 若代数式2y2＋3y＋7的值为2，则代数式－6y－4y2＋9的值为（）A. －1B. 19C. 9D. －9分析：因为2y2＋3y＋7＝2，所以－6y－4y2＋9＝－2（2y2＋3y＋7）＋23＝－2×2＋23＝19.解：B评析：将所给条件不对字母进行分离求值，而是视其为一个整体，直接将其整个代入要求值的式子，然后计算求值.例5. 当x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱时，化简︱2x－3y︱－︱3x＋3y︱.分析：把2x－3y、3x＋3y各看作一个“整体”，先确定出这个“整体”的符号，然后再去掉其绝对值符号.解：由x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱可知2x＞0，－3y＞0，x＋y＜0.故2x－3y＞0，3x＋3y＜0，因此，原式＝（2x－3y）－[－（3x＋3y）]＝2x－3y＋3x＋3y＝5x.评析：“整体法”是合并同类项时常用的一种方法，同学们要通过细心观察才能够灵活运用此法.。

初中数学数学思想及常见的解题方法一、数学思想数学思想与方法是数学学习的灵魂，假如数学思想是战略的话，数学方法就是具体的战术，数学方法是在数学思想的指导下采取的具体的解题办法．如在“转化与化归”思想的指导下，采取加减消元法，将含有“两元”的方程组转化为含有“一元”的一元一次方程来解．常见的有四大数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合．1.函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解．函数与方程有密切的关系，如一元一次函数b-+yax；b==，就可以看作关于x、y的二元方程0axy+二元方程0bax可以看成y是x的一次函数．可以说，函数的研究离不开+y-=方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想的体现．2.转化与化归转化与化归是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化与化归思想．如很多四边形的问题可以转化为三角形的问题来研究；研究两直线的位置关系可以转化为研究角的数量关系；如学完初一有理数的运算法则后，将几种运算法则综合起来去认识：减法、乘法是转化为加法来研究的，除法、乘方是转化为乘法来研究的．再如求不规则图形的面积可以将其分割或将其补充，转化为规则图形来求，等等．3.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想．引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况．（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如点与圆的位置关系可以分为三种情况．（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如研究二次函数c+=2的图象的开口方向时，分a>0和a<0两种情况讨论；y+axbx研究其图象与x轴的位置时，就△>0，△>0，△<0，△=0三种情况进行考虑．（4）解某些条件开放题时，需要根据条件的几种可能情况进行分类．如“过一个三角形一边上一点，做一条直线，将原三角形分为两部分，使截得的三角形与原三角形相似，共有几种办法”，这就需要就直线的位置进行分类，共有四种办法．再如证明圆周角定理时，就圆心在圆周角的内部、外部、边上三种情况进行证明等．进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复．4.数形结合初中数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如简单的几何图形、三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等；一类是关于数形的结合，如数轴上的点和数之间的对应关系，再如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的，等．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，再如“已知线段AB =2cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC =6cm ，则线段AC 的长是 ”，解本题可以画出图形，找出点C 的两种不同位置；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用函数解析式来精确地阐明函数图象的几何性质等，再如根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系或根据两圆的半径与圆心距之间的数量关系来判断两圆之间的位置关系等．二、常见的解题方法下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的．一、客观题的解题方法选择题是给出条件和结论，根据一定的关系找出正确答案的一类题型．填空题是未给出答案，需要根据已知条件，运用一定的推理来求得答案．要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．下面结合实例介绍常用方法．1．直接法 直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论．如一个蚂蚁（看成一个点）在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点左侧．若蚂蚁沿数轴向右移动3个单位，再向左移动4个单位，此时蚂蚁所表示的数是 ．解这道题必须画出图形，找出蚂蚁最后在数轴上的位置．再如某幢建筑物，从10米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面403 米，则水流下落点B 离墙距离是（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米解这道题要从已知条件入手，画出图形，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步求解．2．验证法（代入法） 由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，也可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案．如若反比例函数y =xk （k 为常数，k 不为零）的图象经过点（3，4），则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．（6，8）B ．（-6，8）C ．（-3，4）D ． （-3，-4）解这道题就得将每个选择支中的横坐标代入函数关系式，求其对应的纵坐标的值，然后验证．3．特殊元素法 用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答． 如若20052006a =，20062007b = ，20072008c =，则下列不等式关系成立的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<要比较a ，b ，c 的大小，可以转化为比较21，32，43再如如图，AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C ，D是弧AB 的两个四等分点，点P 是AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积是 ． 已知点P 是AB 上任意一点，当然也可以是特殊点即圆心O ，这样就将不规则图形的面积等价地转化为规则图形的面积．4．排除、筛选法 根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论．如“嫦娥一号”卫星发射后首先被送入一个地球同步椭圆轨道，通过加速再进入一个更大的椭圆轨道，距离地面最远为12.8万公里，这个距离用科学计数法表示为（ ） A ．310128⨯公里 B ．61028.1⨯公里 C ．51028.1⨯公里 D ．610128.0⨯公里从四个选择支看，A ，D 显然不符合定义，从而在B ，C 中选一个即可．二、综合题目的解题方法1．配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，用的最多的是配成完全平方式．配方法在因式分解、化简根式、解方程、证明等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用．==，则x y = ．解这题需通过配方，将x y 变为()y x y x 32-+，然后运用韦达定理求值．2．因式分解法 因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式．因式分解在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用．因式分解的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法等等． 如在求分式的值时可以将分子分母分解因式，然后约分，达到化简的目的，再如十字相乘法在解一元二次方程时经常用到．3．换元法 换元法是用新的变元去代替原代数式的一部分或改造后的一部分，得到新的代数式，使问题简化．体现了转化的数学思想．如在解一元二次方程121686-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 时，可设16+=x y ，则原方程就等价地变为01272=++y y ，再解就容易了．4．判别式法 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式△=b 2-4ac ，不仅用来判定根的性质、判断二次函数图象与x 轴的位置关系，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式（组）、研究函数等方面有广泛的应用．如求函数212+-=x x y 的自变量x 的取值范围．二次函数22+-x x 的开口向上，△<0，无论x 取何实数，22+-x x 的值均是正数，从而x 的取值范围是全体实数．5．待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值，从而解答数学问题．如求函数解析式时，经常用到这种方法．6．图解法 有些题目，可以用数形（或数表）结合的方法来解，通过对图形（或函数图象或表格）的观察、分析，然后作出正确的判断，叫做图解法．如解方程组：⎩⎨⎧=-=+32,12y x y x ．可先把方程组中的每个方程化成一次函数的形式，在平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象，其图象的交点坐标就是原方程组的解．再如：一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式0>+b kx 的解集为 ．不等式0>+b kx 的解集，就是一次函数的图象上位于x 轴上方的射线上所对应的x 的值．7．反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种方法称为反证法．直接证明有困难时常用反证法．反证法是一种常用的间接证明方法，其逻辑依据是排中律：两个互相矛盾的判断不能都是假的．运用反证法的关键是找出所证明的结论的反面是什么．用反证法证明的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．如若1a ，2a ， 3a ，4a 都是正数，且4321a a a a +++=1，则这四个数中至少有一个大于或等于41．利用反证法证明这一结论时，关键是要确定“这四个数中至少有一个大于或等于41”的反面是什么．一定要正确理解“至少有一个”“大于或等于”的反面的含义．再如证明“圆的切线垂直于过切点的直径”时也可以用反证法．8．不完全归纳法 通过对特殊情形的观察、实验、猜想，从而归纳出一般的结论的方法叫做不完全归纳法．不完全归纳法多用于探索规律题．如将一张矩形纸片对折，可以得到1条折痕；对折2次（对折时折痕与上次的折痕保持平行），可以得到3条折痕；对折3次，可以得到7条折痕；对折4次，可以得到15条折痕；如果对折n 次，可以得到多少条折痕？这题的数学模型是：已知1，3，7，15，…，求第n 个数．解题的关键是找出各项与对应的序号之间的关系．再如计算：211-= ；221111-= ；222111111-= ；…；猜想 = ．解这道题用到的方法也是不完全归纳法． 2221111ΛΛ-n 个22n 个19．构造法 在解题时，会通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决．运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决．如点E 是△ABC 的边AC 上一点，且AE =2EC ，BE =8，AD ⊥BC 于D ，1tan 4EBC ∠=．求AD 的长．解这题的关键是通过添加辅助线，构造∠EBC 所在的直角三角形．初中所学的三角函数都是在直角三角形中定义的，已知一个角的三角函数，一般是找出或者构造这个角所在的直角三角形．10．等积法 平面几何中讲的面积公式，不仅可用于计算面积，而且用它证明平面几何题．面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过解方程达到求证的结果．如在Rt △ABC 中，∠C=︒90，AB =13，AC =12，BC =5，求AB 边上的高AD 的长．这题的解法是：因为S △ABC =12AB ×C D ，又S △ABC =12AC ×BC ，所以 12AB ×CD =12AC ×BC ，即13×CD =12×5，得CD =6013．不用添加辅助线做出高，利用等积法，列出等式，解方程即可．。

初一数学思想和方法总结初一数学思想和方法总结数学作为一门学科，可以帮助我们培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

初一数学知识的学习也为我们打下了坚实的数学基础。

在初一数学学习过程中，我们不仅要掌握基本的运算法则和操作技巧，还要培养数学思维和方法。

首先，数学思维是我们学习数学的基础。

数学思维指的是运用逻辑思维、分析问题的能力，进行问题解决的过程。

在初一数学学习中，我们需要培养直观思维、抽象思维和逻辑思维。

直观思维是指我们通过观察和直接感知来理解问题；抽象思维是指我们将具体的问题抽象成符号或模型来进行思考；逻辑思维是指我们运用推理和演绎的方法来解决问题。

通过培养数学思维，我们可以更好地理解和应用数学知识。

其次，数学方法是我们解决数学问题的步骤和方法。

初一数学学习中，我们需要学会运用不同的数学方法来解决不同类型的问题。

比如，利用列方程法解决未知数问题，通过画图法解决几何问题，运用公式法解决算术和代数问题等。

学会灵活运用不同的数学方法，可以帮助我们更加高效地解决问题。

此外，数学学习还需要培养良好的审题能力和解题能力。

审题能力是指我们准确理解问题的能力，包括理解问题的条件、要求和解题思路。

在初一数学学习中，我们需要仔细阅读题目，分析问题的要求，确定解题思路。

解题能力是指我们解决问题的能力，包括运用数学知识和方法来解决问题。

通过大量的练习，我们可以提高解题能力，培养数学思维。

总之，初一数学学习需要培养数学思维和方法。

数学思维是我们学习数学的基础，包括直观思维、抽象思维和逻辑思维。

数学方法是我们解决问题的步骤和方法，包括列方程法、画图法、公式法等。

同时，我们还需培养良好的审题能力和解题能力，通过大量的练习和实践，提高数学思维和解题能力。

只有掌握了正确的数学思维和方法，才能更好地理解和应用数学知识，解决实际生活中的问题。

初一数学教学中的数学思想与方法引导数学是一门理论与实践相结合的学科，是培养学生思维能力和解决问题能力的重要工具。

在初一数学教学中，如何引导学生正确理解数学思想和掌握数学方法成为关键。

本文将从数学思想的培养和数学方法的引导两个方面讨论初一数学教学的相关问题。

一、数学思想的培养数学思想的培养是初一数学教学中的核心任务之一。

数学思想的培养旨在培养学生抽象思维、逻辑思维和创造思维以及解决实际问题的能力。

以下是一些数学思想的培养方法：1. 提倡探究学习法首先，教师应该鼓励学生主动参与数学学习，并提倡探究学习法。

通过引导学生自主探索、发现问题、解决问题的过程，激发学生的求知欲和思考能力。

例如，在学习平行线性质时，可以设计一些探究性的问题，引导学生通过实际操作和观察得出结论。

2. 强调数学模型的建立与运用其次，教师应强调数学模型的建立与运用。

数学模型是数学思想的具体体现，通过建立数学模型，学生能够将虚拟的数学概念与实际生活相联系，提高数学思维的深度和广度。

例如，在学习比例问题时，可以引导学生将实际问题转化为数学模型，进而求解问题。

3. 鼓励学生运用多种解决方法最后，教师应鼓励学生运用多种解决方法。

数学思想的培养并不局限于一种解决方法，而是要培养学生运用不同方法解决问题的能力。

通过引导学生比较和评价不同解决方法的优缺点，培养学生的思维灵活性和多元思维。

二、数学方法的引导数学方法的引导是初一数学教学中的另一个重要方面。

数学方法的引导旨在帮助学生熟练掌握数学计算和解题方法，提高数学应用能力。

以下是一些数学方法的引导：1. 强调基本概念和基本方法的掌握首先，教师应强调学生对数学的基本概念和基本方法的掌握。

基本概念和基本方法是学习数学的基础，在学习进阶内容时起到桥梁作用。

例如，在学习分数运算时，学生必须熟练掌握分数的基本概念和基本运算方法，才能正确理解和应用后续的知识。

2. 提供适应性练习其次，教师应根据学生的具体情况，提供适应性的练习。

备注：所有的思想方法都是要注重理解它本身的含义，因为同一个知识点的学习过程中，是可能含有多个思想方法的。

1.数形结合思想：像函数或平面几何等需要作图辅助研究知识或题目的一般都有该思想。

范围很宽泛，就像小学学习行程问题，都要画线段行程图，也是体现数形结合思想。

故重点是画图解题。

例如：一次函数、二次函数、反比例函数、几何类的知识一般都有数形结合思想。

正数和负数、数轴等
2.转化与化归思想：本身直接考察的是A知识点，但为了让题目分析起来更简单，可以转化为B知识点来进行辅助求解，都体现了该思想方法。

例如：解分式方程（A知识点）时，本身考察的是分式方程，但求解过程是先通过左右两边同乘最简公分母，转化成求解整式方程（B知识点）
3.特殊与一般思想：通过大量的具体数据或问题来研究知识，发现共同规律或特征，而用一个统一公式、法则、性质、概念等来表示这一知识点。

（公式类、运算法则类一般都有该思想）
例如：有理数加法、有理数乘除法、二次根式、完全平方公式、整式加减（例如合并同类项）等。

4.函数与方程思想：只要知识涉及的是函数或方程问题，就是体现该思想方法。

例如：一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程（组）、函数等。

5.分类与整合思想：研究知识时，不能统一化研究，需要在不同的情况下，得到不同的结论，即需要分类最后综合。

像有理数分类，实数分类，三角形分类、四边形分类等都体现该思想。

例如：有理数、绝对值、直线射线与线段、三角形，二次根式等
6.推理思想：凡是涉及证明题（有证明过程）的都有推理思想。

例如：三角形相似和全等的推导和应用，平行四边形性质的推导和证明等。

数学思想方法专题（基础）一、知识要点：数形结合思想；分类讨论思想；转化思想；方程与函数思想；换元法；配方法,待定系数法。

二、典型例题1.数形结合思想例1：已知：a 、b 均为负数，c 为正数，且|b|>|a|>|c|，化简.例2：如图,C 为BD 上的一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x .(1)用含x 的代数式表示AC+CE= .(2)当点C 满足时 时，AC+CE 的值最小；（3）根据（2）规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.例3：已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．变式练习1．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜02．下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．5.换元法例1.分解因式:1)1(2)(2-++-+n m n m .例2. 已知（x 2+y 2）（x 2+y 2-1）-12=0，则x 2+y 2的值是多少？例3.解方程： (1)243422=---x x x x (2)（x 2＋5x+4）（x 2＋5x+6）-8=0变式练习1. 已知（x 2+y 2）（x 2+y 2-1）-20=0，则x 2+y 2的值是多少？2.解方程：2122112122=+++++x x x x。

图1FEDCBA C专题一：数学思想与方法（一）数形结合的思想1如图，a ，b ，c 三种物体的质量的大小关系是 ．2.一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（ ）3.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A 、30° B 、25° C 、20° D 、15°4.如图，有a 、b 、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( ) ．A. a 户最长B. b 户最长C. c 户最长D. 三户一样长5．如图1是长方形纸带，∠DEF=20º，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3则图3中的∠CFE 的度数是_________.(二)转化的思想1.若关于x 、y 的二元一次方程组2x y x +=3k-1+2y=-2{的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是 .2、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B )=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。

3.若方程3m （x +1）+1=m （3－x ）－5x 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）．Ａ．m >－1.25Ｂ．m <－1.25 Ｃ．m >1.25Ｄ．m <1.25图3A4.设a 是大于1的实数，若221,,33a a a ++在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上从左至右的顺序是 .5,已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集是-1<x<1.那么（a+1）（b-2）的值等于______．6.已右关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 21,（1）求这个方程组的解； （2）当m 取何值时，这个方程组的解x 大于1，y 不小于1-．7.是否存在这样的整数m ，使方程组x+y=m+24x-5y=6m+3{的解x 、y 为非负数，若存在，求m •的取值？若不存在，则说明理由．（三）方程的思想1.如图1，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是 ．（四）分类讨论的思想1.关于x ，y 的二元一次方程组x x +y=1-m-3y=5+3m {中，m 与方程组的解中的x 或y 相等，则m 的值为 ．3,不等式│x -2│>1的解集是（ ）A ．x>3或x<1B ．x>3或x<-3C ．1<x<3D ．-3<x<3专题一：阅读理解1.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A ，B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A 型盒子？多少个B 型盒子？（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：甲：360x+2y=1404x+3y={； 乙：14033602y x+y=4x+={根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义：甲：x 表示 ，y 表示 ； 乙：x 表示 ，y 表示 ； （2）求出做成的A 型盒子和B 型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？2.如图，某化工厂与A ，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲： 1.5(201.2(110x x +10y)=□+120y)=□{乙： 1.5（20×8000x +10×1000y）=□ 1.2（110×8000x +120×1000y）=□根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．甲：x表示， y表示乙：x表示， y表示（2）甲同学根据他所列方程组解得x=300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．3.先阅读，再解题.解不等式：253xx+-＞0.解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得①253xx+-＞0或②⎩⎨⎧<-<+352xx解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜－52.所以原不等式的解集为x＞3或x＜－5 2 .参照以上解题过程所反映的解题思想方法，试解不等式：2313xx-+＜0.专题二：综合型问题1，已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是2，已知满足不等式5－3x≤1的最小正整数是关于x的方程(a+9)x＝4(x+1)的解，求代数式a2－1a的值.3.为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000 元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．4.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元；若若租用2辆大车1辆小车供需租车费1100元.（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？（2）若每辆车上至少．．要有一名教师，且总租车费用不超过．．．2300元，求最省钱的租车方案。

初中数学中的主要数学思想方法数学作为一门学科，既有严密的逻辑性，又有一定的抽象性。

在初中的数学学习中，我们不仅要学会运用各种具体的计算方法，更重要的是培养数学思维和解决问题的能力。

本文将介绍几种在初中数学中主要用到的数学思想方法。

一、归纳法归纳法是数学中常用的一种证明思想方法。

它通过观察和总结一系列具体的事实或例子，得出某种普遍规律，从而得出结论。

在初中数学中，归纳法常常应用在数列和等式的证明中。

例如，在证明等差数列的通项公式时，我们可以通过归纳法来推导出公式的正确性。

首先，我们取等差数列的第一个项为a1，公差为d，假设n=k时等式成立，即an=a1+(k-1)d；然后，我们考察n=k+1时，根据等差数列的定义，an+1=an+d=a1+(k-1)d+d=a1+kd；可以看出，当n=k+1时，右边的表达式也满足通项公式，因此，由归纳法可知通项公式对任意正整数n成立。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，利用逻辑推理的方法推导出矛盾的结论，从而证明原结论的正确性。

在初中数学中，反证法常常用于证明某些命题的唯一性。

例如，在证明平方根2是无理数时，我们可以先假设根号2是有理数，即可以表示为分数p/q的形式，其中p和q互质。

然后，将根号2的平方等于2代入等式，得到2=p^2/q^2，进一步变形得到2q^2=p^2。

从这个等式可以看出，左边是偶数，而右边是偶数平方后的结果，根据偶数平方结果的性质，我们可以得出p也是偶数。

假设p=2k，代入等式得到2q^2=(2k)^2，进一步变形得到q^2=2k^2。

同样的道理，左边是偶数，而右边是偶数平方后的结果，根据偶数平方结果的性质，我们可以得出q也是偶数。

然而，p和q都是偶数，与最初的假设矛盾。

因此，根号2是无理数。

三、递推法递推法是一种通过已知信息推导出下一个或多个结果的方法。

在初中数学中，递推法常常应用在数列和函数的计算中。

例如，斐波那契数列就是通过递推法得到的。

初中数学解题思想方法全部内容1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。

七年级数学思想与方法专题（一）数学思想与方法是对数学事实与理论高度概括后产生的本质认识，是数学的核心与灵魂所在。

只有通过数学思想与方法的培养，我们的数学的能力才会有一个大幅度的提高。

掌握了数学思想与方法，就是掌握了数学的精髓。

数学思想主要有：数形结合思想；分类讨论思想；转化思想；方程思想；整体思想等等。

数学方法有很多，通常用到的主要有待定系数法，消元法，配方法，换元法，构造法，坐标法，面积法等等。

我们不必刻意地去区分数学思想与数学方法，而是笼统的称之为数学思想与方法。

一、数形结合思想例1． 0,0.a b a b ><<已知 ，且,,,a a b b <--用“”号把 连接起来例2. 23n 1111++++2222L 计算：例3.（1）求236x x x ++-+-的最小值 （2）求2367x x x x ++++-+-的最小值例4. 计算 1+3+57++99+L例5. 如果对于某一范围内x 的任意允许值，11219110p x x x x =-+-++-+-L 的值恒为一常数。

试写出这一范围并求出这一常数。

例 6 五个小的半圆的直径的和恰等于大的半圆的直角。

两只蚂蚁从点A 同时出发，向点B 爬去。

其中一只蚂蚁沿大弧线行进，另一只蚂蚁沿着5条小弧线行进。

已知两只蚂蚁的速度相等，两只蚂蚁哪一只首先到达？二．整体思想例1． 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，求代数式2463x x -+的值。

例2． 已知114a b -=，求2227a ab ba b ab---+的值。

例3. 已知 200220034006x y +=200320024004x y +=求20052(1)y x y+-的值。

例4. 先化简代数式 (x-y)+(2x 1y)12-+⨯ 11(3x y)(9x y)2389-+⋯⋯+-⨯⨯, 再求当x=2,y=9时该代数式的值。

例5.已知 a=1995x+1994, b=1995x+1995,c=1995x+1996, 求下面代数式的值。

初一总结数学思想方法数学是一门精密的科学，它要求我们发展一定的思维方法和解题技巧来解决各种数学问题。

在初一的学习过程中，我逐渐掌握了一些数学思想方法，下面我将对这些方法进行总结，以便以后的学习和应用。

首先，数学思想方法中最基本的是分析和归纳。

对于一个问题，我们需要先仔细分析它的条件和要求，理清思路，然后通过观察和试验等手段进行归纳总结。

例如，在解决代数题目时，我们可以通过试验不同的数值，观察它们之间的关系并总结规律。

在几何题目中，我们可以通过观察图形的性质和特点，找出它们之间的联系。

这样的分析和归纳思想在初一的数学学习中起到了重要的作用。

其次，数学思想方法中的逻辑推理是不可或缺的。

逻辑推理要求我们根据已知条件和已掌握的数学知识，按照一定的规则进行推导和推理，从而得到结论。

在初一的代数学习中，我们常用到的一种逻辑推理方法是等式的变形和化简，通过对等式两边进行相同的运算和变形，得到等价的等式，从而解决问题。

在几何学习中，我们也可以运用一些几何定理和性质进行逻辑推理，推导出需要的结论。

逻辑推理是数学思想方法中的重要环节，它培养了我们的逻辑思维和分析能力。

另外，数学思想方法中的抽象和推广是十分重要的。

抽象是指将具体的事物或问题抽象为一般的数学概念和定理，从而扩大问题的适用范围。

例如，在学习平面几何时，我们把图形的性质与实际生活中的图形进行对应，用一般的定理来描述和解决问题。

推广是在具体问题的基础上，通过总结经验和观察规律，把解决问题的方法和思路推广到其他类似的问题中。

这样的抽象和推广思想培养了我们的抽象思维和创新能力。

最后，数学思想方法的训练是通过大量的练习来实现的。

在初一的数学学习中，我们做了很多的练习题，通过不断的反复操练和演练，逐渐培养了我们的数学思维和解题能力。

经过反复训练，我们可以更加熟悉各种题型的解题思路和方法，提高解题的速度和准确性。

总之，在初一的数学学习中，我逐渐掌握了一些数学思想方法，如分析和归纳、逻辑推理、抽象和推广以及大量的练习。

初中常用的数学思想方法1、分类讨论的思想在数学问题中，我们常常需要根据研究对象的差异，分不同情况予以讨论，比如：当X>0，X=0，X<0的情况，我们需要进行讨论，从而得出正确结果，这是一种重要的解题方法。

2、数形结合思想就是利用代数和几何图形相结合的方法，相互辅助，以便于我们更好解决数学问题。

例如：求线段最值问题。

就需要借助图形帮助我们更好理解及作答。

3、待定系数法此法常用于方程组或方程式中，我们在计算数学式子具有某种特定形式时，我们只需求出式子中待确定的字母的值就可以了。

我们可以把已知条件代入这个待定形式的式子中，就能轻松求解出这个问题了。

4、配方法利用已知代数式构造成平方差或完全平方式，再根据需要进行计算。

配方法在计算分解因式、解方程、讨论二次函数等问题上起着重要的作用。

6、换元法就是把带有某个或某些字母的式子看成一个整体，用一个新的字母进行表示，把一个复杂的式子进行化简进行计算，从而求出正确答案。

7、分析法常用于证明命题时，从结论向已知条件推理，推理出它成立的充分条件。

我们通过逆向思维思考问题，从而使问题更加简明，正所谓正难则反易。

8、联系与转化的思想事物之间是可以相互联系、相互转化的。

数学学科的知识点各部分之间也是相互联系的。

在解题时，如果能巧妙利用处理它们往往可以使问题化难为易，化繁为简。

如：代换转化、数形转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化等等。

9、演绎归纳法即从一般到特殊的演绎，把握现象，抓住本质，总结归纳其一般规律，并将其运用到解决实际问题当中。

10、类比法此法和上面一法有相似之处，其利用某些事物属性相同或相似的一面，推理到其他属性方面也可能有相同或相似的一面。

类比法既可能是从特殊到特殊，也可能从一般到一般的推理。

11、综合法在处理数学问题时，当使用一种方法不能很好解决问题时，我们可利用多种方法进行解决，选取适合的方法往往有助于我们快速解决难题，从而大大节省我们的时间。

初中数学学习方法常用的数学思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。

常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。

整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体构造、整体与部分的内在联系来解决问题的思想。

用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互严密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在构造、数与形之间的内在构造，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。

分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进展必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的假设干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进展归纳综合。

分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类的方法。

运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进展分类，即确定分类的标准。

分类讨论的原那么是：（1）完全性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原那么，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进展分类，即分类标准统一。

分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进展分类，逐步进展讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。

初一数学思想和解题方法专题1．知识要点：数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想 2．方法指引：（1）数形结合法：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解． （2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况 予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分 类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类 的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分 重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分 讨论应逐级进行．（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式 方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现 这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． （4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往 往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通 过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函 数思想．二、分类突破（一）数形结合1．最小的正整数是_____最大的负整数是 ______绝对值最小的数是 ______ 2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________4、设把连接起来”号用“且b b a a b a b a --<<<>,,,.0,0。