七年级数学培优专题：整体思想

7种初中数学常用数学思想计算能力是一项基本的数学能力，也是综合能力的具体体现。

计算能力的培养，不仅与数学基础知识密切相关，而且与训练学生的思维、小编整理了7种初中数学常用数学思想数学最强计算技巧总结，欢迎参考借鉴。

7种初中数学常用数学思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。

解析：把“a-b”看成一个整体代入，2a-2b-1=2(a-b)-1=5。

二、方程思想方程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成方程或不等式，通过建立方程模型来解决实际问题。

例2 一个凸多边形的内角和是外角和的2倍，它是____边形。

解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是(n-2) 180°。

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2)180°=2×360°，解得n=6。

三、函数思想函数的思想是用运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从而建立函数模型，如一次函数、反比例函数、二次函数等，解决实际问题。

例3 某市出租车收费标准：不超过3千米计费为10.0元，3千米后按2.4元/千米计费。

(1)当路程表显示7千米时，应付费多少元?(2)写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式。

(3)小明乘出租车从家到人才市场，付费34元，求小明的车程。

解析：(1)当路程为7千米时，费用为10+(7-3)×2.4=19.6元。

(2)当x≤3时，y=10;当x≥3时，y=10+(x-3)×2.4，即y=2.4x+2.8。

(3)当y=34时，有2.4x+2.8=34,即x=13。

答：小明的车程为13千米。

四、转化思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之整体思想一、注解：郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。

这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。

而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。

整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。

整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。

二、实例运用：1. 在数与式中的运用【例1】计算：11111111111111 1123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例2】当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：A -1999B -2000C -2001D 1999【例3】若13xx+=则221xx+=。

2. 在方程（组）中的运用【例1】已知二元一次方程组为2728x yx y+=⎧⎨+=⎩则x-y= ，x+y= .【例2】已知方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则a+b= .【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。

现购甲乙丙各1件，需要多少元？3. 在几何计算中的运用【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要米。

【例4】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。

三、随堂练习1、若分式x yx y+-中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A 不变B 是原来的3倍C 是原来的三分之一D 是原来的六分之一2、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是。

初中数学思想之整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27-【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例4】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+三．函数与图象中的整体思想【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式四．几何与图形中的整体思想【例8】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=【例9】．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．【例10】．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．【巩固练习】：1．当代数式a -b 的值为3时，代数式2a -2b+1的值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为( )A ．7B ．10C ．11D ．124．若方程组31,33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－45．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为_________．6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则1xx-=__________．7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．(07泰州)先化简，再求值：2224124422aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中a是方程x2+3x+1=0的根．11.(08苏州)解方程：()2221160x xx x+++-=．。

专题2.5 整式中的整体思想【例题精讲】【例1】已知12x y -=，则(2)x y --+的结果是( )A ．32-B ．112C ．72D ．72-【解答】解：12x y -=Q ，12y x \-=-，(2)x y \--+1(2)2=--1.5=-，故选：A ．【例2】已知232a a +=，则2391a a ++的值为　7　．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．【例3】当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．【例4】已知23a b -=，25b c -=-，10c d -=，则多项式223a b d +-的值为( )【解答】解：232510a b b c c d -=ìï-=-íï-=î①②③，①+②，得2a c -=-，2c a \=+④，把④代入③，得210a d +-=，8a d \-=，2216a d \-=⑤．②+③，得25b d -=⑥，⑤+⑥，得22321a b d +-=．故选：A ．【例5】若x ，y 二者满足等式2222x x y y -=-，且12xy =，则式子2222()2020x xy y x y ++-++的值为( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：2222x x y y -=-Q ，12xy =22220x x y y \-+-=，21xy =．2222()2020x xy y x y \++-++222222020x xy y x y =++--+222222020x x y y xy =-+-++．012020=++2021=．故选：C ．【题组训练】一．选择题（共42小题）1．已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为( )【解答】解：231a a +=Q ，222612(3)12111a a a a \+-=+-=´-=．故选：B ．2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为( )A ．18B ．12C ．9D ．7【解答】解：23669x x -+=Q ，2363x x \-=，221x x \-=，226167x x \-+=+=．故选：D ．3．当2x =时，代数式37ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，这个代数式的值为( )A ．5B ．19C ．31-D ．19-【解答】解：2x =Q 时，代数式37ax bx +-的值等于19-，把2x =代入得：82719a b +-=-8212a b \+=-根据题意把2x =-代入37ax bx +-得：827a b ---(82)7a b =-+-(12)7=---5=故选：A ．4．代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：2346x x -+Q 的值为9，23469x x \-+=，2343x x \-=，2413x x \-=，\2461653x x -+=-+=．故选：D ．5．已知代数式2x y +的值是3，则代数式241x y ++的值是( )A ．1B ．4C ．7D ．不能确定【解答】解：23x y +=Q ，2412(2)1x y x y \++=++，231=´+，61=+，7=．故选：C ．6．若8x y +=，6y z +=，2220x z -=，则x y z ++的值为( )A ．10B ．12C ．14D ．20【解答】解：8x y +=Q ，6y z +=，14x y y z \+++=，则214x y z ++=，2x y y z +--=，则2x z -=，22()()20x z x z x z -=-+=Q ，10x z \+=，21014y \+=，解得：2y =，则10212x y z ++=+=．故选：B ．7．若2X Y +=，3Z Y -=-，则X Z +的值等于( )A ．5B ．1C ．1-D ．5-【解答】解：2X Y +=Q ，3Z Y -=-，231X Y Z Y X Z \++-=+=-=-．故选：C ．8．已知100m n -=，1x y +=-，则代数式()()x n m y ----的值是( )A ．101-B ．99-C ．99D ．101【解答】解：100m n -=Q ，1x y +=-，()()x n m y \----x n m y=-++()()x y m n =++-1100=-+99=．故选：C ．9．若代数式23x x +的值为5，则代数式2269x x +-的值是( )A ．10B ．1C ．4-D ．8-【解答】解：235x x +=Q ，2269x x \+-22(3)9x x =+-259=´-1=．故选：B ．10．若2320x x --=，则2262020x x -+的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：2320x x --=Q ，232x x \-=，2262020x x \-+22(3)2020x x =-+222020=´+2024=，故选：D ．11．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于100-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．100B ．100-C ．98D ．98-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为100-，821100a b \+-=-，即8299a b +=-，则当2x =-时，原式82199198a b =---=-=．故选：C ．12．若223m m +=，则2481m m +-的值是( )A ．11B ．8C ．7D ．12【解答】解：223m m +=Q ，224814(2)143111m m m m \+-=+-=´-=．故选：A ．13．如果多项式235a b -+=，则多项式642(b a -+= )A ．7B ．8-C ．12D ．12-【解答】解：235a b -+=Q ，6422(23)225212b a a b \-+=-++=´+=．故选：C ．14．已知32a b -=，则代数式627a b --的值为( )A ．3-B ．3C ．11-D ．5-【解答】解：32a b -=Q ，627a b \--2(3)7a b =--227=´-47=-3=-．故选：A ．15．已知232a b -=，则569a b -+的值是( )A ．0B ．2C ．1-D ．1【解答】解：2?32a b =Q ，\原式5?3(2?3)5321a b ==-´=-．故选：C ．16．若20x y +-=，则代数式8x y --+的值是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：20x y +-=Q ，2x y \+=，8x y \--+()8x y =-++28=-+6=，故选：C ．17．若231a b -=，则代数式146a b +-的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【解答】解：231a b -=Q ，14612(23)a b a b \+-=+-121=+´12=+3=，故选：D ．18．若22350x x +-=，则代数式2469x x --+的值是( )A ．4B ．5C ．1-D ．14【解答】解：22350x x +-=Q ，2235x x \+=，224692(23)92591x x x x \--+=-++=-´+=-．故选：C ．19．若3270x y --=，则646x y --的值为( )A ．20B ．8C ．8-D ．20-【解答】解：3270x y --=Q ，327x y \-=，6462(32)62761468x y x y \--=--=´-=-=．故选：B ．20．已知22x y -=，则代数式362014x y -+的值是( )A ．2016B ．2018C ．2020D ．2021【解答】解：22x y -=Q ，\原式3(2)20143220142020x y =-+=´+=，故选：C ．21．若23a b +=，则代数式24a b +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：23a b +=Q ，\原式2(2)236a b =+=´=，故选：D ．22．若23m n -=．则代数式842m n +-的值为( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：23m n -=Q ，84282(2)82314m n m n \+-=+-=+´=，故选：A ．23．已知23120x x --=，则2395x x -++的值是( )A ．31B ．31-C ．41D ．41-【解答】解：23120x x --=Q ，2312x x \-=，223953(3)5312531x x x x \-++=--+=-´+=-，故选：B ．24．若221m m +=，则2483m m +-的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：221m m +=Q ，2483m m \+-24(2)3m m =+-413=´-1=．故选：D ．25．当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．26．已知221a a -=．则2364a a -+的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．5【解答】解：221a a -=Q ，\原式23(2)4a a =--+34=-+1=．故选：B ．27．若当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，则a c +的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．无法确定【解答】解：Q 当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，\代入得：8a b c ++=，0a b c d -+-=，两式相加得：228a c +=，两边都除以2得：4a c +=，故选：A ．28．若代数式22x y -+的值是5，则代数式241x y -+的值是( )A ．4B ．7C ．5D ．不能确定【解答】解：225x y -+=Q ，23x y \-=，241x y \-+2(2)1x y =-+231=´+61=+7=．故选：B ．29．已知代数式2x y +的值是3，则124x y --的值是( )A ．2-B ．4-C ．5-D ．6-【解答】解：Q 代数式2x y +的值是3，12412(2)1235x y x y \--=-+=-´=-．故选：C ．30．已知3a b -=，则64()(b a --= )A ．12-B ．18C ．18-D ．12【解答】解：3a b -=Q ，64()b a \--64()a b =+-643=+´612=+18=．故选：B ．31．当1x =时，代数式31px qx ++的值是2020-，则当1x =-时，代数式31px qx ++的值是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：1x =Q 时，代数式31px qx ++的值是2020-，\把1x =代入31px qx ++得，12020p q ++=-，2021p q \+=-，2021p q \--=，把1x =-代入31px qx ++得，1p q --+20211=+2022=，故选：D ．32．已知260a b +-=，那么代数式182a b ++的值是( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：260a b +-=Q ，1302a b \+-=，\原式1311112a b =+-+=，故选：B ．33．已知2x y +=，则2211122x xy y ++-的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：2211122x xy y ++-221(2)12x xy y =++-21()12x y =+-．2x y +=Q ，\原式21212=´-21=-1=．故选：A ．34．如果代数式2a b -的值为4，那么代数式423b a --的值等于( )A ．11-B ．7-C ．7D ．1【解答】解：24a b -=Q ，24b a \-=-，423b a \--2(2)3b a =--2(4)3=´--83=--11=-，故选：A ．35．已知23x y -=，则代数式624x y -+的值为( )A ．0B ．1-C ．3-D ．3【解答】解：23x y -=Q ，62462(2)623660x y x y \-+=--=-´=-=故选：A ．36．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．19B ．19-C ．17D ．17-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为19-，82119a b \+-=-，即8218a b +=-，则当2x =-时，原式82118117a b =---=-=．故选：C ．37．若代数式23a a -的值是4，则213522a a --的值是( )A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【解答】解：Q 代数式23a a -的值为4，234a a \-=，\213522a a --21(3)52a a =--1452=´-25=-3=-．故选：B ．38．已知2a b -=，12a c -=，则代数式29()3()4b c b c -+-+的值是()A ．32-B ．32C ．0D ．94【解答】解：2a b -=Q ，12a c -=，\两式左右分别相减，得32b c -=-，29()3()4b c b c \-+-+2339()3()224=-+´-+999424=-+0=．故选：C ．39．如果代数式22x x +的值为5，那么代数式2243x x +-的值等于( )A ．2B ．5C ．7D ．13【解答】解：225x x +=Q ，2243x x \+-，22(2)3x x =+-253=´-103=-7=．故选：C ．40．若代数式28x y -+的值为18，则代数式364x y -+的值为( )A ．30B ．26-C ．30-D ．34【解答】解：2818x y -+=Q ，210x y \-=，3643(2)4310434x y x y \-+=-+=´+=故选：D ．41．当4x =时，多项式7533ax bx cx ++-的值为4-，则当4x =-时，该多项式的值为( )A ．4B ．3-C ．2-D ．答案不确定【解答】解：方法1：当4x =时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =++-4=-，所以163841024641a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =----(16384102464)3a b c =-++-13=-2=-．方法2：当4x =时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =++-4=-，所以7532221a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =----753(222)3a b c =-++-13=-2=-．故选：C ．42．已知代数式21x x -+的值为9，则2331x x --的值为( )A ．23B ．26-C ．23-D ．26【解答】解：223313()1x x x x --=--，219x x -+=Q ，28x x \-=，将28x x -=代入23()1x x --中可得38123´-=．故选：A ．二．填空题（共18小题）43．已知541x y z -=+=+，代数式222()()()y x z x y z -+-+-的值为 126　．【解答】解：541x y z -=+=+Q ，6z x \-=-，9y x -=-，3y z -=-，把6z x -=-，9y x -=-，3y z -=-代入222()()()81369126y x z x y z -+-+-=++=，故答案为：126．44．若3mn m =+，则3310m mn -+=　1　．【解答】解：原式33103()10m mn m mn =-+=-+，3mn m =+Q ，3m mn \-=-，\原式3(3)101=´-+=，故答案为：1．45．若2210a a --=，则2365a a -++=　2．　．【解答】解：2210a a --=Q ，221a a \-=，\原式23(2)5a a =--+315=-´+35=-+2=．故答案为：2．46．若25x y -=，则824x y -+=　2-　．【解答】解：25x y -=Q ，2410x y \-+=-，8248102x y \-+=-=-，故答案为：2-．47．已知232a a +=，则2391a a ++的值为　7　．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．48．若多项式2237x x ++的值为10，则多项式2697x x +-的值为 2　．【解答】解：由题意得：2233x x +=226973(23)72x x x x +-=+-=．49．已知2230m m --=，则23()3(6)m m m --+=　9-　．【解答】解：原式233183m m m=---23618m m =--，2230m m --=Q ，223m m \-=，\原式23(2)18m m =--3318=´-918=-9=-，故答案为：9-．50．已知2m n -=，5mn =-，则3()(3)mn n mn m ---的值为 4-　．【解答】解：原式333mn n mn m=--+332m n mn =-+，2m n -=Q ，5mn =-，\原式3()2m n mn=-+322(5)=´+´-610=-4=-，故答案为：4-．51．如果2x =-，12y =，那么代数式221(43)3()3x xy x xy ---的值是　6　．【解答】解：原式22433x xy x xy=--+22x xy =-，当2x =-，12y =时，原式21(2)2(2)4262=--´-´=+=，故答案为：6．52．已知21m n -=，则22(2)(1)m m m n +-+-=　2　．【解答】解：21m n -=Q ，\原式2221m m m n =+--+21m n =-+11=+2=．故答案为：2．53．若3mn m =+，则23510mn m mn +-+=　1　．【解答】解：原式3310mn m =-++，把3mn m =+代入得：原式393101m m =--++=，故答案为：154．已知10a b -=-，3c d +=，则()()a d b c +--=　7-　．【解答】解：当10a b -=-、3c d +=时，原式a d b c=+-+a b c d=-++103=-+7=-，故答案为：7-．55．已知1xy =，12x y +=，那么代数式(43)y xy x y ---的值等于　1　．【解答】解：1xy =Q ，12x y +=，\原式434()211y xy x y x y xy =-++=+-=-=，故答案为：156．若235m mn +=，则2253(93)m mn mn m ---+=　10　．【解答】解：235m mn +=Q ，\原式22225393262(3)10m mn mn m m mn m mn =-+-=+=+=，故答案为：1057．如果代数式2238a b -++的值为1，那么代数式2462a b -+的值等于　16　．【解答】解：2238a b -++Q 的值为1，22381a b \-++=，2237a b \-+=-，2462a b \-+22(23)2a b =--++2(7)2=-´-+142=+16=故答案为：16．58．若多项式223x x +的值为 5 ，则2697x x ++= 22 ．【解答】解：2235x x +=Q ，2697x x \++23(23)7x x =++357=´+157=+22=故答案为： 22 ．59．已知210a b -+=，则代数式241a b --的值为　3-　．【解答】解：210a b -+=Q ，21a b \-=-，241a b \--2(2)1a b =--2(1)1=´--21=--3=-故答案为：3-．60．已知233a b -=-，则546a b -+=　11　．【解答】解：233a b -=-Q ，546a b\-+52(23)a b =--52(3)=-´-56=+11=故答案为：11．。

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

专题九：线段计算（4）——整体思想方法点睛在求线段长度的时候，若已知条件个数少于未知数，或动点运动问题中，部分线段的长是不确定的量，往往设参数，运用整体法求线段长。

典例精讲1．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是CB的中点，如果AB＝10cm．求：MN的长．举一反三2．如图，已知点C，D在线段AB上，M、N分别是AC、BD的中点，若AB＝20，CD＝4，（1）求MN的长．（2）若AB＝a，CD＝b，请用含有a、b的代数式表示出MN的长．3．如图，C，D为线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点．（1）如果CD＝5cm，MN＝8cm，求AB的长；（2）如果AB＝a，MN＝b，求CD的长．专题过关4．如图，已知AB＝10，点C是线段AB上一动点（不与A、B重合），点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．求线段MN的长．5．如图，已知C，D是线段AB上的两个点，M，N分别为AC，BD的中点．（1）若AB ＝10，CD ＝4，求AC +BD 的长及MN 的长；（2）如果AB ＝2a +3b ，CD ＝b ，用含a ，b 的式子表示MN 的长．6．已知：点A 、B 、C 在直线l 上，线段AB ＝10，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点．（1）如图①，若点C 在线段AB 上，且AC ＝6，求线段MN 的长；（2）若点C 是线段AB 上任一点，其他条件不变，能求出线段MN 的长度吗？请说明理由；（3）若点C 在线段AB 外，M 、N 仍分别是AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请在备用图②、③中画出相应的图形，写出你的结论，并说明理由．7．已知线段AB ＝a ，CD ＝b ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），|a ﹣2b |与（6﹣b ）2互为相反数．（1）求a ，b 的值；（2）若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，BC ＝4，求MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，问PA+PB PC 的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．8．（1）如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB ＝n ，且使关于x 的方程（n ﹣4）x ＝6﹣n 无解．①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由；（2）如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA+PB PC 的值不变．【参考答案】1．解：∵M是AC的中点，N是CB的中点，∴MC=12AC，CN=12CB，∴MN＝MC+CN=12AC+12CB=12（AC+CB）=12×10＝5．2．解：（1）∵AB＝20，CD＝4，∴AC+DB＝AB﹣CD＝16．∵M、N分别是AC、BD的中点，∴MC=12AC，ND=12DB，∴MC+DN=12AC+12DB=12（AC+DB）＝8，∴MN＝MC+CD+DN＝（MC+DN）+CD＝8+4＝12；（2）∵AB＝a，CD＝b，∴AC+DB＝AB﹣CD＝a﹣b．∵M、N分别是AC、BD的中点，∴MC=12AC，ND=12DB，∴MC+DN=12AC+12DB=12（AC+DB）=12（a﹣b），∴MN＝MC+CD+DN ＝（MC+DN）+CD=12（a﹣b）+b=a+b2．3．解：（1）M、N分别是线段AC，BD的中点，∴MC=12AC，DN=12BD，∵MC+CD+DN＝MN＝8cm，∴MC+DN＝8﹣5＝3cm∴AC+BD＝2MC+2DN＝2×3＝6cm，∴AB＝AC+CD+BD＝AC+BD+CD＝6+5＝11（cm），即线段AB的长为11cm．（2）M、N分别是线段AC，BD的中点，∴CM＝AM=12AC，BN＝DN=12BD，∵AM+BN＝MC+DN＝AB﹣MN，∴MC+DN＝a﹣b，∴CD＝MN﹣（MC+DN）＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a．4．解：∵M是AC的中点，N是CB的中点，∴MC=12AC，CN=12CB，∴MN＝MC+CN=12AC+12CB=12（AC+CB）=12×10＝5．5．解：（1）∵AB＝10，CD＝4，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10﹣4＝6，∵M、N分别为AC、BD的中点，∴AM+BN=12AC+12BD=12（AC+BD）＝3，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝10﹣3＝7；（2）根据（1）的结论，AM+BN=12AC+12BD=12（AC+BD）=12（2a+3b﹣b）＝a+b，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝2a+3b﹣（a+b）＝a+2b．6．解：（1）∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝10﹣6＝4．∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，∴MC=12AC＝3，NB=12BC＝2，∴MN＝MC+NB＝3+2＝5；（2）∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，∴MC=12AC，NB=12BC，∴MN＝MC+NB=12（AC+BC）=12AB＝5；（3）MN＝5．当点C在线段AB的延长线上时，如图②，由图知MN＝MC﹣NC=12AC−12BC=12（AC﹣BC）=12AB＝5；当点C在AB的反向延长线上时，由图知MN＝CN﹣CM=12BC−12AC=12（BC﹣AC）=12AB＝5．7．解：（1）∵|a﹣2b|与（6﹣b）2互为相反数|，∴|a ﹣2b |+（6﹣b ）2＝0，∴a ﹣2b ＝0，6﹣b ＝0，∴b ＝6，a ＝12，（2）∵b ＝6，a ＝12，∴AB ＝12，CD ＝6．如图1所示：∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴AM =12AC =12（AB +BC ）=12×(12+4)=8， DN =12BD =12（CD +BC ）=12×(6+4)=5， ∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝12+4+6﹣8﹣5＝9；如图2所示：∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴AM =12AC =12（AB ﹣BC ）＝4，DN =12BD =12（CD ﹣BC ）＝1，∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；综上所述，MN ＝9．（3）如图3所示：∵AB ＝12，CD ＝6，∴AC ＝12﹣6＝6．∴AC ＝BC ．∴PA+PB PC =PC+AC+PC−CB PC =2PC PC =2．8．解：（1）①方程（n ﹣4）x ＝6﹣n ，∵关于x 的方程（n ﹣4）x ＝6﹣n 无解，∴n ﹣4＝0，即n ＝4，∴线段AB 的长为4；②如图1，∵点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，AB ＝n ， ∴PM =12BP ，PN =12AP ，∴MN ＝MP +NP=12AB=12n ；∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关；（2）如图2，∵点C 为线段AB 的中点，∴AC =12AB ，∴P A +PB ＝PC ﹣AC +PC +BC ＝2PC ，∴PA+PB PC =2， ∴PA+PB PC 的值不变．。

数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。

有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。

七年级上培优专题——整体思想求值（附答案）题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ． ⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。

1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。

2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。

3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。

4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。

5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。

6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。

7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。

分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。

总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。

《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。

本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。

二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。

在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。

细说初中数学整体思想
整体思想是指善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法。

从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念。

整体思想的应用对象
整体思想在初中数学的数与式、方程与不等式、函数与图像、几何与图形等方面机都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多的别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考察高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用
下面小编为大家整理了初中数学常见的几种应用整体思想的问题，供大家交流学习使用。

整体思想在数与式中的应用
整体思想在方程中的应用
整体思想在因式分解中的应用
整体思想在几何图形中的应用
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初中数学整体问题教案教学目标：1. 理解整体思想在数学中的应用；2. 学会运用整体思想解决数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 整体思想的定义和意义；2. 整体思想在数学中的应用案例；3. 运用整体思想解决实际问题。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是整体思想？2. 学生分享对整体思想的理解。

二、讲解整体思想（15分钟）1. 讲解整体思想的定义和意义；2. 通过案例展示整体思想在数学中的应用，如解方程组、求函数最值等；3. 引导学生理解整体思想的核心：从整体出发，把握问题的本质，寻找解决问题的方法。

三、实践操作（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求运用整体思想解决实际问题；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和分析。

四、总结与反思（5分钟）1. 学生分享自己在解决实际问题时运用整体思想的体验；2. 教师总结整体思想在数学中的应用及其重要性；3. 引导学生思考如何将整体思想应用到其他学科或生活中。

五、作业布置（5分钟）1. 让学生课后总结整体思想在数学中的应用案例，并发给家长；2. 布置一道运用整体思想的数学作业，要求学生在下周课堂上展示解题过程。

教学评价：1. 学生对整体思想的掌握程度；2. 学生在解决实际问题时运用整体思想的准确性；3. 学生对整体思想在数学及其他领域应用的认识。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生了解了整体思想在数学中的应用。

在实践操作环节，学生能够运用整体思想解决实际问题，但在解题过程中仍存在一些不足，如对整体思想的运用不够灵活、解题方法不够多样化等。

在今后的教学中，应加强对学生解题方法的指导，提高学生运用整体思想的准确性和灵活性。

同时，将整体思想与其他学科相结合，引导学生将其应用到实际生活中，提高学生的综合素质。

数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。

整体思想重难点整体思想：善于观察，发现整体的结构特征，善于用“集成”的眼光，进行有目的、有意思的整体处理。

例题分析例1、已知52-=+xy x ，92=+y xy ，求222y xy x ++的值。

举一反三1.1、已知212=-xy x ，122-=-y xy ，分别求222y xy x +-与22y x -的值。

1.2、已知2=-b a ，3-=-c b ，求()()()222c a c b b a -+-+-的值。

例2、当4-=x时，代数式135-++cx bx ax 的值为5，求当4=x 时，这个代数式的值。

举一反三2.1、已知代数式722++x y 的值为5，求代数式81052-+x y 的值。

2.2、已知622=+xy x ，9232=+xy y ，求代数式22984y xy x ++的值。

例3、有五个数，其中每四个数之和分别是15,22,23,24,32，求这五个数。

举一反三3.1、一个五位数，其首位数字是5，若把首位移作末尾，则新的五位数比原来的32多7001，求原来的五位数。

3.2、一个五位数abcd 2的2倍等于8abcd ，求五位数abcd 2例4、已知15.373=++z y x，2.4104=++z y x ，求z y x ++的值。

举一反三4.1、有甲，乙，丙三种商品，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需5.8元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需6.3元，问购甲，乙，丙各一件，共需多少元？4.2、甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱？例5、甲、乙两人分别从A,B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到达B 地、乙到达A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离。

举一反三5.1、如图，在高2米，底宽4米、楼面宽2米的楼梯表面铺地毯，则地毯的表面积至少是多少平方米？5.2、甲、乙两人分别从A,B两地相向而行，若两人同时出发，则经4小时相遇，若甲先出发3小时后出发，则经2小时相遇，问甲、乙单独走完AB这段路程各需几小时？作业：1、角α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算()γβα++151的值时，全班得出23.5°，24.5°，25.5°这三种不同的结果，其中有正确的答案，求α+β+γ的值。