2017年秋七年级上册数学.思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法.docx

2017 年秋七年级上册数学思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法——明确解题思路，领会便利通道◆ 种类一方程思想在线段或角的计算中的应用1.一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（）A.20 °B.35 °C.45 °D.55 °22.已知 P 为线段 AB 上一点，且AP＝5AB ， M 是 AB 的中点，若PM ＝2cm，则 AB 的长为（）D .3cm3.如图， A 、 O、B 三点在一条直线上，∠77°，则∠ COD 的度数是（）A.52 °B.26 °AOC ＝ 2∠COD ，OE均分∠BOD ，∠ COE＝°°第 3 题图第 4 题图则4.如图，AB 的长为M 、 N为线段.AB上两点，且AM∶ MB ＝ 1∶ 3，AN ∶ NB ＝5∶ 7.若MN ＝2，5.如图，AB和 CD订交于点O，∠ DOE ＝ 90°，若∠1BOE＝ 2∠ AOC.（1）指出与∠ BOD 相等的角，并说明原由；（2）求∠ BOD ，∠ AOD 的度数 .6.如图，已知数轴上两点 A 、 B 对应的数分别为－ 1、 3，点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为 x.（ 1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）；（2）在数轴上能否存在点 P，使 PA＋PB＝ 5？若存在，央求出 x 的值；若不存在，请说明原由 .OD◆ 种类二分类谈论思想在线段或角的计算中的应用7.（ 2016－ 2017 ·萧山区校级期末）已知∠A OB ＝ 60°，作射线是∠ BOC 的均分线，那么∠BOD 的度数是（）A.100 °B.100 °或 20°OC，使∠ AOC等于40°，°D .50或° 10°8.（ 2016－ 2017 ·郾城区期末）把一根绳索对折成一条线段AB ，点P 是AB上一点，从P 处把绳索剪断.已知1AP＝ 2PB，若剪断后的各段绳索中最长的一段为40cm，则绳索的原长为.【易错8①】9.已知点 A ， B， C 在同一条直线上，且AC ＝ 5， BC＝ 3， M ， N分别是AC ， BC的中点.【易错 8①】（1）画出吻合题意的图形；（2）依照（ 1）的图形，求线段 MN 的长 .10.已知∠ BOC 在∠ AOB 的外面， OE 均分∠ AOB ， OF 均分∠ BOC ，OD 均分∠ AOC ，∠AOE ＝30°，∠ BOD ＝ 20°，试求∠ COF 的度数 .◆ 种类三整体思想及从特别到一般的思想11.如图，线段上的点挨次增添，请你填写图中相应的线段数：（ 1）请猜想：当线段AB 上有 6 个、 10 个点时（含A，B 两点），分别会有几条线段？（ 2）当线段 AB 上有 n（n 为正整数，且n≥ 2）个点（含 A ， B 两点）呢？12.已知∠ ABC ＝∠ DBE ，射线 BD 在∠ ABC 的内部，按要求完成以下各小题.试尝试究：如图①，已知∠ ABC ＝90°，当 BD 是∠ ABC 的均分线时，∠ABE ＋∠ DBC ＝°；初步应用：如图②，已知∠ ABC ＝ 90°，若 BD 不是∠ ABC 的均分线，求∠ ABE ＋∠ DBC 的度数；拓展提高：如图③，若∠ ABC ＝ 45°时，试判断∠ ABE 与∠ DBC 之间的数目关系，并说明原由 .13.（2016－ 2017 ·秦皇岛期末）以以下图，点 C 在线段 AB 上，点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点 .（1）若 AC ＝ 8cm， CB＝ 6cm，求线段 MN 的长；（2）若 C 为线段 AB 上任意一点，满足 AC ＋ CB ＝ acm，其余条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？并说明原由；（ 3）若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足AC － CB ＝ bcm， M 、N 分别为 AC 、 BC 的中点，你能猜想出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明原由.参照答案与分析1．5．解： (1)∠ AOC，同角的补角相等．11(2)设∠ BOD ＝ x，由 (1) 知∠ AOC＝∠ BOD ＝ x，则∠ BOE＝2∠ AOC＝2x.∵∠ DOE＝ 90°，1∴∠ DOE＝∠ BOE＋∠ BOD＝2x＋ x＝ 90°，解得 x＝60°，即∠ BOD ＝ 60°，∴∠ AOD＝180 °－∠ BOD＝ 180°－ 60°＝ 120°.6．解： (1)|x＋ 1||x－ 3|(2)分三种状况：①当点 P 在点 A、B 之间时， PA＋ PB＝ 4(舍去 )；②当点 P 在点 B 右边时，PA＝x＋ 1，PB＝ x－ 3，则 (x＋ 1)＋ (x－ 3)＝ 5，解得 x＝；③当点 P 在点 A 左边时， PA ＝－ x－1，PB＝ 3－ x，则 (－ x－ 1)＋ (3－ x)＝ 5，解得 x＝－ 1.5.综上所述，在数轴上存在点 P，使PA＋ PB＝ 5，此时 x 的值为 3.5 或－ 1.5.7．D 8.60 或 1209．解： (1)如图，点 B 在线段 AC 上，如图，点 B 在线段 AC 的延长线上．(2)当点 B 在线段AC 上时，∵ AC＝ 5， BC＝ 3， M、 N 分别是 AC、 BC 的中点，∴ MC＝1AC＝1× 5＝5， NC＝1BC ＝1× 3＝3，∴ MN ＝ MC － NC＝5－3＝ 1；当点 B 在线段 AC 的2222222 2延长线上时，∵ AC＝ 5， BC＝ 3， M、 N 分别是 AC、 BC 的中点，得 MC ＝1AC＝1× 5＝5，222NC＝1B C＝1× 3＝3，由线段的和差，得MN＝ MC ＋ NC＝5＋3＝ 4.2222210．解：分以下状况：如图①，OD 在∠ AOB 的外面．∵ OE 均分∠ AOB，∠ AOE＝ 30°，∠BOD ＝ 20°，∴∠ AOD ＝ 30°＋ 30°＋ 20°＝ 80°.∵ OD 均分∠ AOC ，∴∠ COD ＝∠ AOD ＝80°.∵ OF 均分∠ BOC，∴∠ COF ＝ (80 °＋ 20°)÷2＝ 50°.如图②， OD 在∠ AOB 内部．∵OE 均分∠ AOB，∠ AOE＝ 30°，∠ BOD＝ 20°，∴∠ AOD ＝30°＋ 30°－ 20°＝ 40°.∵ OD 均分∠ AOC ，∴∠ COD ＝∠ AOD ＝ 40°.∵ OF 均分∠ BOC ，∴∠ COF ＝(40 °－ 20°)÷2＝ 10°.综上所述，∠ COF 的度数为 50°或 10°.11．解： 610(1)线段上有 6 个点时，有15 条线段；线段上有10 个点时，有45 条线段．1(2)2n(n－ 1)条．12．解：试尝试究： 180 分析：由于∠ ABC＝ 90°，BD 均分∠ ABC ，因此∠ DBC＝ 45°，由于∠ DBE＝∠ ABC＝ 90°，∠DBC ＋∠ CBE＝∠ DBE ，因此∠ CBE ＝ 45°.因此∠ ABE＋∠DBC ＝∠ ABC＋∠ CBE＋∠ DBC ＝ 90°＋45°＋ 45°＝ 180°.初步应用：由于∠ DBE ＝∠ ABC＝ 90°，因此∠ ABE＋∠ DBC ＝∠ ABC ＋∠ CBE＋∠ DBC＝∠ ABC ＋∠ DBE ＝ 180°.拓展提高：∠ ABE ＋∠ DBC ＝ 90°.原由以下： 由于∠ DBE ＝∠ ABC ＝ 45°，因此∠ ABE ＋∠ DBC ＝∠ ABC ＋∠ CBE ＋∠ DBC＝∠ ABC ＋∠ DBE ＝ 90°.1 1 113．解：(1)∵点 M 、N 分别是 AC 、BC 的中点， ∴MC ＝AC ＝× 8cm ＝ 4cm ，NC ＝ BC2221＝ 2× 6cm ＝ 3cm ，∴ MN ＝ MC ＋NC ＝ 4cm ＋ 3cm ＝ 7cm.11 1(2)MN ＝ 2acm. 原由以下：∵点 M 、N 分别是 AC 、BC 的中点，∴ MC ＝2AC ，NC ＝2BC ，1 1 1 AB ＝ 1 acm.∴ MN ＝ MC ＋ NC ＝ AC ＋ BC ＝ 22 2 2(3) 画图略 . ∵点 M 、N 分别是 AC 、 BC 的中点，∴ MC ＝1AC ， NC ＝1BC ，∴ MN ＝ MC － NC221 1 11＝ 2AC － 2BC ＝ 2(AC － BC)＝ 2bcm.。

思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法——明确解题思路，体会便捷通道◆类型一方程思想在线段或角的计算中的应用1.一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（）A.20°B.35°C.45°D.55°2.已知P为线段AB上一点，且AP＝25AB，M是AB的中点，若PM＝2cm，则AB的长为（）A.10cmB.16cmC.20cmD.3cm3.如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE ＝77°，则∠COD的度数是（）A.52°B.26°C.13°D.38.5°第3题图第4题图4.如图，M、N为线段AB上两点，且AM∶MB＝1∶3，AN∶NB＝5∶7.若MN＝2，则AB的长为.5.如图，AB和CD相交于点O，∠DOE＝90°，若∠BOE＝12∠AOC.（1）指出与∠BOD相等的角，并说明理由；（2）求∠BOD，∠AOD的度数.6.如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.（1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）；（2）在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.◆类型二分类讨论思想在线段或角的计算中的应用7.（2016－2017·萧山区校级期末）已知∠AOB＝60°，作射线OC，使∠AOC 等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A.100°B.100°或20°C.50°D.50°或10°8.（2016－2017·郾城区期末）把一根绳子对折成一条线段AB，点P是AB上一点，从P处把绳子剪断.已知AP＝12PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40cm，则绳子的原长为.【易错8①】9.已知点A，B，C在同一条直线上，且AC＝5，BC＝3，M，N分别是AC，BC 的中点.【易错8①】（1）画出符合题意的图形；（2）依据（1）的图形，求线段MN的长.10.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数.◆类型三整体思想及从特殊到一般的思想11.如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：（1）请猜想：当线段AB上有6个、10个点时（含A，B两点），分别会有几条线段？（2）当线段AB上有n（n为正整数，且n≥2）个点（含A，B两点）呢？12.已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题.尝试探究：如图①，已知∠ABC＝90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE ＋∠DBC＝°；初步应用：如图②，已知∠ABC＝90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE ＋∠DBC的度数；拓展提升：如图③，若∠ABC＝45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由.13.（2016－2017·秦皇岛期末）如图所示，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点.（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.参考答案与解析1．D 2.C 3.B 4.125．解：(1)∠AOC，同角的补角相等．(2)设∠BOD＝x，由(1)知∠AOC＝∠BOD＝x，则∠BOE＝12∠AOC＝12x.∵∠DOE＝90°，∴∠DOE ＝∠BOE ＋∠BOD ＝12x ＋x ＝90°，解得x ＝60°，即∠BOD ＝60°，∴∠AOD ＝180°－∠BOD ＝180°－60°＝120°.6．解：(1)|x ＋1| |x －3|(2)分三种情况：①当点P 在点A 、B 之间时，PA ＋PB ＝4(舍去)；②当点P 在点B 右侧时，PA ＝x ＋1，PB ＝x －3，则(x ＋1)＋(x －3)＝5，解得x ＝3.5；③当点P 在点A 左侧时，PA ＝－x －1，PB ＝3－x ，则(－x －1)＋(3－x )＝5，解得x ＝－1.5.综上所述，在数轴上存在点P ，使PA ＋PB ＝5，此时x 的值为3.5或－1.5.7．D 8.60或1209．解：(1)如图，点B 在线段AC 上，如图，点B 在线段AC 的延长线上．(2)当点B 在线段AC 上时，∵AC ＝5，BC ＝3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ＝12×5＝52，NC ＝12BC ＝12×3＝32，∴MN ＝MC －NC ＝52－32＝1；当点B 在线段AC 的延长线上时，∵AC ＝5，BC ＝3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52，NC ＝12BC ＝12×3＝32，由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32＝4.10．解：分以下情况：如图①，OD 在∠AOB 的外部．∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°.如图②，OD 在∠AOB 内部．∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝40°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°.11．解：6 10(1)线段上有6个点时，有15条线段；线段上有10个点时，有45条线段．(2)12n (n －1)条．12．解：尝试探究：180 解析：因为∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ，所以∠DBC ＝45°，因为∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∠DBC ＋∠CBE ＝∠DBE ，所以∠CBE ＝45°.所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝90°＋45°＋45°＝180°.初步应用：因为∠DBE ＝∠ABC ＝90°，所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠DBE ＝180°.拓展提升：∠ABE ＋∠DBC ＝90°.理由如下： 因为∠DBE ＝∠ABC ＝45°，所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠DBE ＝90°.13．解：(1)∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ＝12×8cm ＝4cm ，NC ＝12BC ＝12×6cm ＝3cm ，∴MN ＝MC ＋NC ＝4cm ＋3cm ＝7cm.(2)MN ＝12a cm.理由如下：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ，NC＝12BC ，∴MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝12a cm. (3)画图略. ∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，∴MN ＝MC－NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12b cm.。

专题研究：线段、角的计算——数学思想
一、分类讨论思想
例1、线段AB、BC均在直线m上，若AB=12cm，AC=4cm，M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长。

二、方程思想
例2、如图，长度为12cm的线段AB的中点M，点C将线段MB分成MC：CB=1:2，求线段AC的长度.
三、整体带入思想
例3、如图已知点C、D为线段AB上顺次两点，M、N分别是AC、BD的中点.
（1）若AB=24，CD=10，求MN的长；
（2）若AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示出MN的长.
四、类比思想
例4、如图，，已知∠AOB内部有顺次的四条射线OE、OC、OD、OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠DOB.
（1）若∠AOB=160°，∠COD=40°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB=α，∠COD=β，求∠EOF的度数.
几何探究问题——类比思想
例5：如图①，已知∠AOB=150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD.（1）在图①中，若∠COE=32°，则∠DOE=；∠BOD=.
（2）在图①中，设∠COE=α，∠BOD=β，请探究α与β之间的数量关系.
（3）在已知条件不变的条件下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出α与β之间的数量关系，并说明理由.。

专题14思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 (1)【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 (2)【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 (2)【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 (3)【过关检测】 (5)【典型例题】【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】【变式训练】A B C D3．（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有,,,则AD的长为．【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】【变式训练】【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段AB ，点C 是线段AB 上一点，点M 、N 分别是线段AC ，BC 的中点．①若4AC BC ==，则线段MN 的长度是_________；②若AC a =，BC b =，求线段MN 的长度(结果用含a 、b 的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C 是线段AB 上一点改为：点C 是直线AB 上一点，AC a =，BC b =．其它条件不变，则线段MN 的长度是___________（结果用含a 、b 的代数式表示）【变式训练】（2）设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，②如图3，若M，N分别是AC，BC的三等分点，即【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】∠的内部，OM平分例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，OC在AOB()∠︒∠<，平分BOCAOB AOB ON180∠．(1)当9060AOC BOC ∠=∠=︒︒，时，MON ∠=___________︒；(2)当8060AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(3)当8050AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(4)猜想：不论AOC ∠和BOC ∠的度数是多少，MON ∠的度数总等于________的度数的一半．【变式训练】(1)如图1，若40AOM ∠=︒，求CON ∠的度数；(2)在图1中，若AOM α∠=，直接写出CON ∠的度数（用含(3)将图1中的直角三角板OMN 绕顶点O 顺时针旋转至图数．【过关检测】一、单选题河北廊坊·七年级统考期末）已知线段AB 的中点，则线段MB的长度为（）B．11cm C．5cm 六年级单元测试）已知30AOB∠=︒，ODB．35D．35∠山西大同·七年级统考期末）在AOB 二、填空题（1）如图1，若57AOC ∠=︒，则BOC ∠=（2）如图2，若120AOB ∠=︒，OC ，OD 是∠①则COD ∠=；②若以点O 为中心，将顺时针旋转n ︒（三、解答题(1)求线段AD 的长度．。