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函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1： 求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。
5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
函数的三要素范文函数是数学中的重要概念，在数学和其他学科的研究中都有广泛的应用。
函数的三要素指的是函数的定义域、值域和对应关系。
函数的定义域是指能够使函数有意义的输入值的集合，也就是函数的自变量可以取的值的范围；函数的值域是指函数在定义域上所能取到的输出值的集合；对应关系是函数定义域中的每一个自变量都与值域中的一个因变量相对应。
函数的定义域是决定一个函数能否有意义的重要因素。
通过定义域的确定，可以找到合适的自变量的取值范围。
在定义域内，函数有意义而在定义域外，函数则没有意义。
例如，对于一个实数函数$f(x)=\sqrt{x}$来说，由于不能对负数取平方根，所以函数的定义域为非负实数集合$[0,+\infty)$。
函数的值域是指函数在定义域上能够取到的输出值的集合。
值域可以反映函数的图像和性质。
对于一个函数$f(x)=x^2$来说，定义域为实数集合$(-\infty,+\infty)$，值域为非负实数集合$[0,+\infty)$。
可以看出，函数的值域即为函数的图像在$y$轴上的投影，即函数曲线在$y$轴上所对应的值的集合。
对应关系是函数定义域中的每一个自变量与值域中的一个因变量相对应。
这一关系可以用表格、图像或者公式等形式来表示。
例如，对于函数$f(x)=2x+1$来说，它的定义域为实数集合$(-\infty,+\infty)$，对应关系可以用一个表格来表示：$x$，$f(x)$--------，------1，32，53，74，9...，...通过对应关系可以找到不同自变量与因变量之间的对应关系，这对于研究函数的性质和行为十分重要。
对于函数的定义域来说，它决定了函数的普适性和可行性。
在确定定义域时，需要考虑函数式子中的诸多因素，例如分母不能为零，根式中不能有负数等等。
只有复合这些限制条件，才能构建出一个有意义的函数。
函数的值域则映射了函数的输出范围。
通过分析函数的性质和对应关系，可以更好地了解其值域。
函数三要素题型的解法总结函数三要素分别是定义域、对应关系和值域，由这三要素产生的直接题型有求函数的定义域，求函数解析式以及求函数值域。
本文总结了这三种题型的常用解法。
1.为什么要求定义域？这个问题大家有没有想过呢？这就好像为什么你去市场买鱼要挑你会做的鱼买，函数也是这样，对于实数集R上的所有数有些函数是不能完全处理的，比如Y=1/X这个函数它就处理不了X在0这一点，X=0这一点对于这个函数来说没有意义，因此需要把它去掉。
所以定义域其实是一个集合，一个函数能处理的X的集合，做题前求定义域就是在找出这些能被有效处理的点。
2.怎么找出有效点的集合呢（怎么求函数定义域）1. （1）F(x)为整式型函数时，定义域为R（2） F(x)为分式型函数时，分母应不为0（3） F(x)为偶次根型函数时，被开方数应非负（4）对数函数的真数必须大于零（5）复合函数的定义域应为各基本函数定义域的交集，例：上图是个复合函数，其定义域要求应为：求解定义域是一类基础题，解出X的范围即为函数的定义域，注意要写成集合的形式。
3.如何求解函数解析式？（1）待定系数法（已知函数是某一类型函数，直接设函数解析式）（2）配凑法（难度大，灵活，要抓住式子结构，整体代换）3.换元法（简单灵活，直接替换）比较上一题做法较简单很多4.消去法（在换元的基础上再次换元形成方程组，将函数当未知数解出）把f(t)和f(-t)当未知数解出来，求得f(x)5.赋值法（求解抽象函数解析式，常令x=y,x=-y等）4.求解函数值域（1）图像观察法（简单函数，可直接画出图像的）（2）配方法（二次函数）（3）换元法（复杂函数，如带根式）（4）分离常数法（形如y= ax+b/cx+d 的分式函数）以上就是我在做函数三要素题型中总结的常用方法，例题都是网上寻找，以例题应证方法，大家学习了做题方法后就可以通过刷题来加深理解，达到掌握，方便进行以后综合题型的拓展！。
2020高考100篇之003函数的三要素展开全文师说：函数的三要素分别为：定义域，值域和对应法则。
这三个要素在高考中鲜有单独的设问，偶尔在双空的填空题里面出现。
定义域的考察无处不在，不注意这个知识点，要么题目犯错，要么题目根本没法做。
对于学生我提到了这样几句话：集合注意空集，函数注意定义域，向量注意零向量，直线注意斜率，有参数找定点。
这些都是易错的点，也是看到相应类型问题必须要做的下意识动作。
此外，对于一些实力较弱的同学而言，最后导数大题，求导之前，工工整整写上一行字“定义域为R“抑或其他定义域，在某些时候还能捡到珍贵的分数。
值域其实不能说不考，而是处处都在考，恒成立问题里面有值域，向量问题的取值范围里面有值域，基本不等式更加有值域包含在里面。
纵观每一份试卷，其实和值域相关的题目总分占比很高。
同学们要练习好的很熟练的值域问题①含参二次式值域问题②二次分式的值域问题，方法有判别式法，基本不等式法，单调性法，导数法等，尤以基本不等式居多。
对应法则中解析式这一条，复习时会复习三种方法，分别为①知道类型的待定系数法②单f的换元法③双f的方程组法。
另外就是在分段函数里面根据自变量范围选择相应的对应法则进行正向或者逆向计算。
遍寻浙江近些年的高考题，很是失望，真的找不到太多直接考察三要素的题目。
拉出几个来凑个数，大家看看，有兴趣的动笔算算。
END☆数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.☆数学核心素养的基本特征可以归结为综合性、阶段性和持久性三方面.☆对于数学核心素养的具体理解，可以说是指在学习数学之后渐渐形成的一种综合性的运用知识解决问题的能力，它是数学教学过程中需要特别注意的一种素养，具体来说指的并非某些知识或者技巧。
更不是平常意义上的数学能力，而是一种反应了数学思想的、基于数学知识却高于知识的综合、持久和阶段的能力。
1、 判断下列对应是否是A 到B 的映射：(1)A={x| x>3} B={y| y ≥0}，对应:f x y →=(),x A y B ∈∈(2)A={2，3} B={3, 5} ，对应:f x y x →> (),x A y B ∈∈2、(1)已知A={a,b,c},B={1,2},从A 到B 建立映射，共有 个从B 到A 建立映射，共有 个。
(2)已知A={a,b,c,d},B={1,2},从A 到B 的映射f 中，使B 中的每个元素都有原象的f 的个数有 个。
(3)设A={a,b,c},B={1,2,3},从A 到B 的映射f,满足f(a)+f(b)+f(c)=6,这样的映射共有 个。
(4)设集合A 、B 元素个数分别为4个，3个，现建立A 到B 的映射f:(i) 若B 中每个元素都有原象，则f 的个数为(ii) 若B 中恰有2个元素有原象，则f 的个数为3、分段函数y=f(x)的图象与直线x=a 的交点个数为 ( )A 、 0个B 、1个C 、0个或1个D 、可以多于1个4、设f(x)≥0的解集为[0，1],则f(x)<0的解集为 ( )A 、(,0)(1,)-∞⋃+∞B 、(,0][1,)-∞⋃+∞C 、φD 、以上皆错5、若函数f(x)满足：(1)12(),(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，(2)553()()4f x f x x +-=，分别求f(x) ·`8、求下列函数的定义域：(1)11111y x =++；(2)202log 2)x y x -=+；(3)lgsin y x =9、(1)设函数f(x)的定义域为[-1,4]，则f(|x|)，1(2),()()()f F x f x f x x+=--的定义域分别为 ， ，(2)设函数(2)x f 的定义域为[1，2]，则2(||),(log )f x f x 的定义域分别为，10、设函数()f x =(1) 若此函数在(,1]-∞上有意义，求a 的取值范围；(2) 求a 的值，使f(x)的定义域为(,1]-∞11、常数0,1,a a >≠函数1()lg (4)x x f x a a k --=+-，求k 的取值范围，使f(x)的定义域为R 。
第03讲函数概念把握好，正确理解“三要素”典型例题【例1】已知二次函数2()2f x ax x c =++的最小值为1-,且函数图像被x 轴所截的线段长为2,求()f x 的解析式.【例2】设函数2()1f x x =-,对任意23,,4()(1)2x x f m f x f x m ⎡⎫⎛⎫∈+∞--+⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 4()f m 恒成立,则实数m 的取值范围是强化训练1.求下列函数的值域:(1)221x xy x x -=-+;(2)y =2.已知二次函数1()y f x =的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数2()y f x =的图像与直线y x =的两个交点间的距离为128,()()()f x f x f x =+.(1)求函数()f x 的表达式;(2)证明:当3a >时,关于x 的方程()()f x f a =有3个实数解.解答与过程【例1】【解法1】由已知得210,441,424424444222a ac a x x a a a ⎧⎪>⎪-⎪=-⎨⎪⎪-+---=-==⎪⎩(上面21x x -可以运用韦达定理求,即21x x -==2==运算更简便）解得2()2.0.a f x x x c =⎧∴=+⎨=⎩【解法2】2211()2f x ax x c a x c a a ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭函数()y f x =的对称轴为1x a =-,函数图像被x 轴截得的线段长为2,故方程()0f x =的两根为1,211x a =-±则111,1110f c a a f a c a a ⎧⎛⎫-=-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得21()20,a f x x x c =⎧∴=+⎨=⎩【解法3】同解法2得()0f x =的两根为1,211x a =-±,可设()()12()f x a x x x x =--1111a x x a a ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由11f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得1a =,则2()(2)2f x x x x x =+=+.【解法4】设1()1f x a x a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,同解法2得()0f x =的两根为 1.211x a =-±,则1110f a a ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭,得1a =,则22()(1)12f x x x x =+-=+.【例2】【解法1】()()22222224()(1)4(),141(1)141x f m f x f x f m m x m x x m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴-----+- 即222222231423,,,42x m x x x x m m m ⎡⎫---∈+∞∴-⎪⎢⎣⎭ 2231x x --恒成立.。
§1.3 函数三要素、四性质的综合考查★ 考纲要求★ 基础自测1.（1）函数y x =+的值域为 . （2）函数y =的值域 . （3）函数21xy x=+的值域 . 2. 设23,2,0,34α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使偶函数y x α=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞的所有α值的集合是3.定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，若)2()1(a f a f ->-，则a 的取值范围是 .4．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若(1)a f =-，0.51(log )4b f =，(lg 0.5)c f =，则,,a b c 之间的大小关系是_________________.5.设函数()f x x x a =-，若对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式0)()(2121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．6．已知函数f (x )＝log 3(a －3x )＋x －2，若f (x )存在零点，则实数a 的取值范围是________．★ 考点预测例1．（1）设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010kf x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“诚毅”函数. 给出下列函数：①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()21x f x x x =++；④()31x f x =+；其中()f x 是“诚毅”函数的序号为 .（2）.设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 . ①当0b <时，()f x 在R 上有最大值； ②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根； ④当0b >时，()f x 在R 上无最大值； ⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.训练1. 对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”. (1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.例2．设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1． 函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示； （2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型： 一、 含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
函数三要素一、求定义域1.函数()()12log 12---=x x x f 的定义域 2.已知函数()2x f 的定义域为()21，，求()12-x f 的定义域3.已知函数()x f 2的定义域为[]2,1，求()x f 2log 的定义域4.函数()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 5.若函数()()1lg 2+-=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 二、求解析式1.若()x f 为一次函数，且满足()()14-=x x f f ，则()=x f2.已知221111x x x x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()=x f 3.已知3311xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 的解析式 4.已知()x f 满足()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+，求()x f 的解析式5.已知()()123+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式6.已知()()88222++--=x x x f x f ，求()x f 的解析式 三、求值域 1.函数232-+=x x y ，[]8,3∈x 的值域为 2.函数11-+=x x e e y 的值域是 3.函数2cos 2cos -+=x x y 的值域是 4.函数2cos 2sin -+=x x y 的值域是 5.求()x x x f 82+-=在区间[]1,+t t 上的值域 6.求函数x x y -++=112的值域7.求函数x x y cos sin 2+=的值域8.求函数x x y 2cos sin +=的值域9.求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域10.求函数()()1cos 1sin ++=x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1212-π，πx 的值域 11.求函数124++=x x y 的值域12.已知()x x f 3log =，[]9,1∈x ，则函数()()x f x f y 22+=的值域是13.求函数()56231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的值域函数三要素参考答案13.(]81,0。
第3课：函数三要素的综合考查一.函数三要素(定义域、值域、对应关系)的求法:（学生做题归纳） 二.高考题热身1.（06湖北卷）设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为_______________解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<2x <2且－2<2x<2解得－4<x <－1或1<x <4故选B2．（06湖南卷）函数2log 2y x =-的定义域是_______ [4, +∞)3.(06陕西卷)函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( ) A.(0,1) B .(0,1] C.[0,1) D.[0,1]4.（06浙江卷）对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是____. 解：当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为（－x －1）－（2－x ）＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <0.5时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，因为（x ＋1）－（2－x ）＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当0.5≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2；故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。
选C5.（06安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x fx +=，若()15,f =-则()()5f f =_______。
解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
6. （06山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为_____（1，2）⋃ （10，+∞）解：令12x e->2（x <2），解得1<x <2。
令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）7. （05江苏卷2）函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 _______________.32log2-=x y8.已知f(cosx)=cos5x ，则f(sinx)=___________.9.(06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是解析：如图所示，单位圆中 AB 的长为x ，()f x 表示弧 AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，当 AB 的长小于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越快，当 AB 的长大于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y=f(x)的图像是D.10. （05浙江理3）设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝ ________________41312. （04年北京文8） 函数f x x x Px x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃= ④若P M R ⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠ 其中正确判断有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三.典型例题例1.（上海春） 设函数54)(2--=x xx f .（1）在区间[-2,6]上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A .试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明； （3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数f(x)图像的上方.解：（1）(要求列表描点) （2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x xx k x g)53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ，∴>,2k 124<-k .又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24k x -=，m i n )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k， 则0)(min>x g .② 当124-<-k ，即6>k 时，取1-=x ， m i n )(x g ＝02>k .由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x xy x k y得0)53()4(2=-+-+k x k x， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ，在区间[-1,5]上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数f (x )的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数f (x )图像的上方.例2.（全国卷Ⅱ理17设函数11()2x x f x +--=，求使()22f x ≥的x 取值范围．解：由于2xy =是增函数，()22fx ≥等价于3112x x +--≥①⑴当1x ≥时，()112x x +--=，∴①式恒成立。
⑵当11x -<<时，112x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x ≤<。
⑶当1x ≤-时，112x x +--=-，①式无解。
综上，x 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例3．已知函数bax xx f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式； （2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(【正确解答】（1）将0124,3221=+-+==x bax xx x 分别代入方程得).2(2)(,2184169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x xx f b a ba b a 所以解得 （2）不等式即为2)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x xkx k xx可化为即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为 ②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k解集为不等式为时③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.例4.（全国II 卷）设R a ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，φ=<<=B A x x B },31|{，求实数a的取值范围。
解：由f （x ）为二次函数知0a ≠，令f （x ）＝0解得其两根为122211112,2x x aaaa=-+=++由此可知120,0x x <>（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>AB φ⋂≠的充要条件是23x <，即21123aa++<解得67a>（ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即21121aa++>解得2a <-综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-⋃+∞例5.（上海文22）（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分）对定义域是f D 、g D 的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f gf gf Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(。
（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域； （3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明。
解（3）[解法一]令,2,cos sin )(πα=+=x x x f 则,sin cos )2cos()2sin()()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.2cos )sin )(cos sin (cos )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α [解法二]令πα=+=,sin 21)(x x f ，则,sin 21)sin(21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.2cos sin21)sin 21)(sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α例6．设2)(2++=xb ax x f 的值域为[－1，4]，求a 、b 的值.例7：已知函数f (x )=xa x x++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =0.5时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围(1)解 当a =21时，f (x )=x +x 21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22>0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3解法二 f (x )=x +xa +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正； 当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 四.课后练习1．已知f(x n )=lgx(n ∈N *)，则f(2)=_________________.2．已知函数f(x)定义域为R +，且满足条件f(x)=f )1(x ·lgx+1，f(x)=_______3．（04年湖北3）已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式A ．21xx +B ．212xx +-C ．212xx +D ．21xx +-4．（04年湖北7）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A ．0.25 B ．0.5 C ．2 D ．4 5. （04天津12）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为A.21-B.21 C.23-D.236．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ） A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω== C ．4,4πϕπω== D ．45,4πϕπω==7. 求函数的值域。
