函数的三要素(复习+习题)

函数三要素、单调性试题1.己知函数y=x 2的值域是［1，4］，则其定义域不．可能是（ ） A.［1，2］ B.［－23，2］ C.［－2，－1］ D.[－2，－1)∪｛1｝ 2. 下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）A ．31y x =-+ B.223y x x =-+ C.y =4y x=3. 图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．|1|23-=x y (0≤x ≤2) B.|1|2323--=x y (0≤x ≤2) C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2) 4. 已知2()f x x bx c =++，且(1)(3)f f -=，则（ ）A. (1)(1)f c f -<<B. (1)(1)f c f <<-C. (1)(1)f f c <-<D. (1)(1)c f f <-<5．将抛物线21y x =+向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ）A.2(2)3y x =+-B.2(2)3y x =++C.2(2)3y x =-- C.2(2)3y x =-+6. 二次函数t x x y ++-=42的顶点在x 轴上，则t 的值是 ( )A.4-B.4C.2-D.27.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3a ≤-B. 3a ≥-C.5a ≤D. 5a ≥8. 已知()f x 在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-,则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a ≤B. 203a ≤≤C. 23a ≥D.203a << 9. 如果函数32)(2-+=x ax x f 在区间()4,∞-上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( )A 、41- aB 、41-≥aC 、041 a ≤-D 、041≤≤-a10．函数x x y 622+-=在定义域{}30|≤≤∈x Z x 上的值域是11.已知0x ≠，函数2211()f x x x x-=+，则()f x 的表达式是 . 12. 的单调增区间。

函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法(一)常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。

其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)，即得函数定义域。

例1.求函数y=-2—2x T5的定义域。

lx+31—8(二)抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x的自变量x的取值范围，可以理解为函数f(x图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变谶取值范围；2.四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为［m,n］，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？例题2.已知函数y=f(x)的定义域［0,3］，求函数y=f(3+2x)的定义域强化训练：1.已知函数y=f(x)的定义域［-1,5］，求函数y=f(3x-5)的定义域；2.已知函数y=f(x)的定义域［1/2,2］，求函数y=f(log2x)的定义域；3.已知f(x)的定义域为［—2,2］,求f(x2—1)的定义域。

题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求抽象函数y=f(x)的的定义域? 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.2.已知函数y=f［lg(x+1)］的定义域［0,9］,求函数y=f(x)的定义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,函，求函数y=f(3+x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x+1)的定义域［-2,3］，求函数y=f(2x-1)的定义域.2.已知函数y=f(2x)的定义域［-1,1］，求函数y=f(logx)的定义域.23.已知f(x+1)的定义域为［-1/2,2］,求f(x2)定义域。

函数的定义及三要素一、单选题1．若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的定义域为全体实数，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列各函数中，值域为的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.A ．B ．C ．D ．6．设函数，其中实数．若的值域为，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()y f x ={}|01x x ≤≤{}|01y y ≤≤()y f x =()21f x -()1,2-()1f x -1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,4-()2,1-()()22log 342f x ax ax =-+a ∈R()0,∞+30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,)+∞22log (1)y x =-y =212x y -+=y =31x()2,1,1x x f x a x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩()0,∞+a (]0,1()1,0-()1,+∞[)1,+∞216()(2)x x f x x a x ++=≤≤2a >()f x [9,11](2,4][4,6](2,8][4,8]7．设函数，若，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知函数，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合，，下列从集合到集合的各个对应关系是函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 则（ ）A ．B ．的最小值为C ．的定义域为D ． 的值域为11．已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数，下列结论正确的是（ ）A ．函数的图象关于点中心对称B ．函数存在极大值点和极小值点()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()3f a >()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭()1,1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭232cos ,0()233,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩()1f x ≥{}[)01,+∞ (][),02,-∞⋃+∞[]0,1(][),01,-∞+∞ {|06}P x x =<≤{|03}Q y y =<≤P Q f 1:2f x y x →=13:f x y x →=1:2xf x y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭:ln f x y x→=)1fx =+()()²1R f x x x =-∈()f x 1-()23f x -[2,)+∞1(f x[0,)+∞2()3232x x f x =-⋅+M [1,2][]30,log 2M =(]3,log 2M ⊆-∞3log 2M∈0M∈()()ln ,00,0ln ,0x x x f x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩()f x ()0,0()f xC ．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是D ．对任意，不等式恒成立三、填空题13．函数上有意义，则实数a 的取值范围为 ．14．已知函数f (x )＝设a ＝f (f (a ))＝．15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．16．已知函数则的解集为．四、解答题17．已知函数是二次函数，且满足，．(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值．18．已知函数，满足.(1)求值；(2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m 的取值范围；(3)设当时，函数的最小值为，求的解析式.19．已知函数.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集；(3)若存在，使得，求的取值范围.20．函数是定义在的奇函数，且对任意的，都有成立，时，()()g x f x m =-m ()1,1-()12,1,1x x ∈-()()122ef x f x -≤()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,02log ,0xx x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩…222,03,0x x x y ax a x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩R a ()224,2,4,2,x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩()()221f x f x -≥+()f x (0)2f =(1)()2f x f x x +=+()f x x ∈R 21()x ax bx c f x +≤++≤3bc a +2()f x x bx c =++()()011f f ==,b c []1,1-()f x 2y x m =+[,2]()x t t t ∈+∈R ()f x ()g t ()g t ()211f x x x +=+-()f x ()2f x x ≤+x ∈R ()2sin 2sin cos 1f x x a x +≥+a ()y f x =R x ∈R (4)()f x f x +=(0,2)x ∈2()1f x x =-+(1)当时，求函数的解析式：(2)求不等式在区间上的解集．(2,6)x ∈()f x ()1f x >-(2,6)参考答案：1．C对于A ：函数的定义域为，但是值域不是，故A 错误；对于B ：函数的定义域不是，值域为，故B 错误；对于C ：函数的定义域为，值域为，故C 正确；对于D ：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D 错误. 2．C函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为. 3．C因为函数的定义域为全体实数，则时，恒成立，当时，不等式为，恒成立，符合题意；当时，则，解得，综上知，，4．C对于A ，，显然取尽正实数，因此的值域是，A 不是；对于B ，，则，即，函数，B 不是；对于C ，的值域为R ，因此的值域为，C 是；对于D ，由于，则且，即函数的值域为，D 不是.{}|01x x ≤≤{}|01y y ≤≤{}|01x x ≤≤{}|01y y ≤≤{}|01x x ≤≤{}|01y y ≤≤()21f x -()1,2-12x -<<224,3213x x -<<-<-<()f x ()3,3-()1f x -313x -<-<24-<<x ()1f x -()2,4-()()22log 342f x ax ax =-+x ∈R 23420ax ax -+>0a =20>0a ≠()230Δ44320a a a >⎧⎪⎨=--⨯⨯<⎪⎩302a <<30,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭210x ->21x -22log (1)y x =-R 20x >0121x ≤-<01≤<y =[0,1)21x -+212x y -+=(0,)+∞10x≠130x >131x ≠y =31x (0,1)(1,)⋃+∞5．D当时，函数在上单调递减，在上的值域为，因为函数在R 上的值域为，则函数在上的值域包含，显然，否则当时，，不符合题意，于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，所以实数的取值范围为. 6．D函数，由对勾函数的性质可知，由于在上单调递减，在上单调递增，且注意到，，，所以所求a 的取值范围是． 7．A当时，则，即，解得；当时，则，解得；综上所述：实数a 的取值范围是.8．D当时，，求导得，令，求导得，则函数，即在上单调递增，，函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此；当时，，由，得，因此，所以不等式的解集为. 9．ABC选项A ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故A 正确；1x <2()f x x =-+(,1)-∞()f x (,1)-∞(1,)+∞()f x ()0,∞+()af x x=[1,)+∞(0,1]0a >1x ≥0ax≤()af x x=[1,)+∞(0,]a (0,1](0,]a ⊆1a ≥a [)1,+∞21616()1x x f x x x x ++==++()f x []2,4[)4,+∞(2)11f =(4)9f =(8)11f =[4,8]0a ≤()33af a -=>1a ->1a <-0a >()11221log 3log 8f a a =>=108a <<()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭0x ≤2()cos 2x f x x =+()sin f x x x '=-+()sin ,0h x x x x =-≤()1cos 0h x x '=-≥()h x ()f x '(],0-∞()(0)0f x f ''≤=()f x (],0-∞(0)1f =0x ≤()1()(0)f x f x f ≥⇔≥0x ≤0x >322()33(1)(2)1f x x x x x =+-=-++()1f x ≥2(1)(2)0x x -+≥1x ≥()1f x ≥(][),01,-∞+∞ 1:2f x y x →=P Q选项B ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故B 正确；选项C ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故C 正确；选项D ，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D 错误； 10．CD依题意，，则，A 错误；当时，，当且仅当时取等号，B 错误；在中，，解得，因此的定义域为，C 正确；显然，，于是，因此 的值域为，D 正确.11．BCD令，则，由，得，即，得；由，得（舍）或2，即；根据的图象特征，知，，. 12．ABD因为；当时，，所以为奇函数，则关于点对称，故选项正确；当时，.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减.又由为奇函数，，，，可得的大致图象如下所示，13:f x y x →=P Q 1:2xf x y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭P Q :ln f x y x →=P Q 221)1)1f =+=-2()1,1f x x x =-≥1x ≥()0f x ≥1x =()23f x -231x -≥2x ≥()23f x -[2,)+∞211()1f x x =-01x <≤21[1,)x ∈+∞1(f x[0,)+∞3x t =(0)t >222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=()1g t =1t =31x =0x =()2g t =0=t 3log 2x =()g t 0M ∈3log 2M ∈(]3log 2M ⊆-∞，()00f =0x ≠()()ln ln 0f x f x x x x x +-=-=()f x ()f x ()0,0A 0x >()ln 1f x x ='+()0f x '>1ex >()0f x '<10e x <<()f x ∴1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0lim ()0x f x →=lim ()x f x →+∞=+∞()f x故选项B 正确；因为函数有三个不同的零点，所以函数与的图象有三个不同的交点.由图象可得：实数的取值范围是，故选项C 错误；因为所以结合函数的图象可得：当时，，.所以对任意，，故选项D 正确. 13．[103,+∞)由题意函数在上有意义，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得，故实数a 的取值范围为[103,+∞)，故答案为：[103,+∞)14． －1<a ＝log<0，则f (f (a ))＝f ()＝log 3＝．15． 当时，，此时，()()g x f x m =-()y f x =y m =m 11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()1010f f =-=，()y f x =[]1,1x ∈-()max 11e ef x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()min 11e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()12,1,1x x ∈-()()()()12max min 2ef x f x f x f x -≤-=()f x =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦210x ax -+-≥1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦210x ax -+≤1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦2()1g x x ax =-+151()0242(3)1030g a g a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-≤⎩103a ≥()[),01,-∞+∞ 0x ≥()()222211f x x x x =-+=-+()[)1,f x ∈+∞当且时，，此时，且，所以不满足；当且时，，由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以，若要满足的值域为，只需要，解得；当且时，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为；综上可知，的取值范围是，故答案为：.16． 的图象如下，依题意，的图象关于直线对称，且在上单调递减，令，则为偶函数，且在上单调递减，故．故答案为：.0a =0x <()f x x =()(),0f x ∈-∞()[),01,-∞+∞≠R 0a >0x <()3af x x a x=++()f x (,-∞()()(max 3f x f a ==-()(,3f x a ∈-∞-()f x R 31a -≥1a ≥a<00x <,ay x y x==(),0∞-()3af x x a x=++(),0∞-0x →()f x →+∞x →-∞()f x →-∞()(),f x ∈-∞+∞()f x R a ()[),01,-∞⋃+∞()[),01,-∞⋃+∞5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()f x 2x =()f x ()2,+∞()()2g x f x =+()g x ()g x ()0,∞+()()()()()2212421224f x f x f x f x g x -≥+⇔-+≥-+⇔-()5124133g x x x x ≥-⇔-≤-⇔≤≤5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)；(2). （1）由函数是二次函数，且，设，由，得，整理得，则，解得，所以函数的解析式是.（2）由（1）及已知得，恒成立，令，则，于是，，恒成立，即恒成立，当时，则且，因此，，当时，，满足上式，则，，，从而，当且仅当时取等号，此时，，恒成立，所以的最大值为.18．(1)(2)(3) （1）因为二次函数满足，则，解得.2()2f x x x =-+32()f x (0)2f =2()2(0)f x mx nx m =++≠(1)()2f x f x x +=+22(1)(1)222m x n x mx nx x ++++=+++(22)()0m x m n -++=2200m m n -=⎧⎨+=⎩11m n =⎧⎨=-⎩()f x 2()2f x x x =-+R x ∀∈2212x ax bx c x x +≤++≤-+1x =22a b c ≤++≤2a b c ++=R x ∀∈21x ax bx c +≤++2(1)10ax b x c +-+-≥0a ≠0a >222(1)4(1)(1)4(1)(1)0b a c a c a c a c ∆=---=+---=-+≤1c a =+12b a =-0a =1,1b c ==1c a =+12b a =-0a ≥221333(12)(1)32212()222bc a a a a a a a +=-++=-++=--+≤12a =0b =32c =222111()()(1)0222f x ax bx c x x x -++=-+=-≥3bc a +321,1b c =-=(),1-∞-()2211,2331,422333,2t t t g t t t t t ⎧-+≥⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++≤-⎪⎩2()f x x bx c =++()()011f f ==111c b c =⎧⎨++=⎩11c b =⎧⎨=-⎩（2）由（1）可知：，若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立，因为开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，则，可得，所以实数m 的取值范围为.（3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，可知；综上所述：.19．(1)(2)(3).（1）设，则.因为，所以，则.（2）不等式，即，即，则，解得，即不等式的解集为.2()1f x x x =-+[]1,1-()f x 2y x m =+212x x x m -+>+[]1,1-231x x m -+>[]1,1-231y x x =-+32x =231y x x =-+[]1,1-min 1|1x y y ===-1m <-(),1∞--2()1f x x x =-+12x =12t ≥()f x [],2t t +()2()1g t f t t t ==-+122t +≤32t ≤-()f x [],2t t +()()2233g t f t t t =+=++122t t <<+302t -<<()f x 1,2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22t ⎛⎤+ ⎥⎝⎦()1324g t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211,2331,422333,2t t t g t t t t t ⎧-+≥⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++≤-⎪⎩()21f x x x =--[]1,3-[(),-∞-⋃+∞1t x =+1x t =-()211f x x x +=+-()()22(1)111f t t t t t =-+--=--()21f x x x =--()2f x x ≤+212x x x --≤+2230x x --≤()()310x x -+≤13x -≤≤()2f x x ≤+[]1,3-（3）因为，所以，则不等式等价于不等式，即，即.设，则函数.故二次函数图象的对称轴方程为.当，即时，在上单调递增，则，解得，故符合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得或，故或符合题意；当，即时，在上单调递减，则，解得，故符合题意.综上，的取值范围是 20．(1)(2)．（1）因为函数是定义在的奇函数，所以，所以，当时，，所以，又对任意的，都有成立，()21f x x x =--()2sin sin sin 1f x x x =--()2sin 2sin cos 1f x x a x +≥+22sin 2cos 1x a x -≥+2cos 2sin 30a x x -+≤22cos cos 10x a x ++≤[]cos 1,1t x =∈-()()22111g t t at t =++-≤≤()g t 4a t =-14a -≤-4a ≥()g t []1,1-()min ()130g t g a =-=-≤3a ≥4a ≥114a -<-<44a -<<()g t 1,4a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,14a ⎛⎤- ⎥⎝⎦2min 1()1048a g t g a ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭a ≤-a≥4a -<≤-4a ≤<14a -≥4a ≤-()g t []1,1-()min ()130g t g a ==+≤3a ≤-4a ≤-a[(),-∞-⋃+∞()()()()()2241,2,40,441,4,6x x f x x x x ⎧--∈⎪⎪==⎨⎪--+∈⎪⎩(2,4()y f x =R ()()f x f x -=-()00f =()2,0x ∈-()()2211f x x x -=--+=-+()()21f x f x x =--=-x ∈R (4)()f x f x +=当时，，当时，，当时，，所以；（2）当时，不等式可化为，所以，当时，，所以为不等式的解，当时，不等式可化为，所以，解得所以不等式在区间上的解集为.()2,4x ∈()()()2441f x f x x =-=--4x =()()400f f ==()4,6x ∈()()()2441f x f x x =-=--+()()()()()2241,2,40,441,4,6x x f x x x x ⎧--∈⎪⎪==⎨⎪--+∈⎪⎩24x <<()1f x >-()2411x -->-24x <<4x =()401f =>-4x =()1f x >-46x <<()1f x >-()2411x --+>-()242x -<44x <<()1f x >-(2,6)(2,4。

函数的三要素试题1．下列函数中与函数2y x =相同的函数是()A．22xyx =B．y =C．2y =D．2log 4xy =2．函数()f x =的定义域为()A．3(4，5]4B．3[4，54C．(-∞，5]4D．5[4，)+∞3.函数2221x x y x ++=+的值域是．4.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1-，0]，则a b +=．5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当0≤x ≤1时．()(1)f x x x =-，则当−1≤x ≤0时，()f x =．答案1．下列函数中与函数2y x =相同的函数是()A．22xyx =B．y =C．2y =D．2log 4xy =【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同的函数．【解答】解：对于A ，函数222(0)x y x x x==≠，与函数2()y x x R =∈的定义域不同，不是相同的函数；对于B ，函数2||()y x x R ==∈，与函数2()y x x R =∈的对应关系不同，不是相同的函数；对于C ，函数22(0)y x x ==，与函数2()y x x R =∈的定义域不同，不是相同的函数；对于D ，函数2log 4y =2()x x x R =∈，与函数2()y x x R =∈的定义域相同，对应关系也相同，是相同的函数．故选：D ．【点评】本题考查了判断两个函数的是否为同一函数的应用问题，是基础题．2．函数()f x =的定义域为()A．3(4，5]4B．3[4，54C．(-∞，5]4D．5[4，)+∞【分析】根据函数()f x 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数()f x =，令0.5log (43)10x -+，解得0.5log (43)1x --，即0432x <-，解得3544x <；所以函数()f x 的定义域为3(4，5]4．故选：A ．【点评】本题考查了利用解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．3．函数2221x x y x ++=+的值域是(-∞，2][2- ，)+∞．【分析】把已知函数解析式变形，然后分类利用基本不等式求最值，则函数值域可求．【解答】解：2222(1)11(1)111x x x y x x x x ++++===+++++．当10x +>时，1(1)21y x x =+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时“=”成立；当10x +<时，11(1)[(1)]21(1)y x x x x =++=--++-+-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+，即2x =-时“=”成立．∴函数2221x x y x ++=+的值域是(-∞，2][2- ，)+∞．故答案为：(-∞，2][2- ，)+∞．【点评】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．4．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1-，0]，则a b +=32-．【分析】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当1a >时，函数()x f x a b =+在定义域上是增函数，所以1101b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1b =-，10a =不符合题意舍去；当01a <<时，函数()x f x a b =+在定义域上是减函数，所以1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得2b =-，12a =，综上32a b +=-，故答案为：32-【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．5．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当0≤x ≤1时．()(1)f x x x =-，则当时，()f x =1(1)2x x -+.【分析】当01≤≤-x 时，110≤+≤x ，由已知表达式可求得(1)f x +，根据(1)2()f x f x +=即可求得()f x ．【解答】解：当01≤≤-x 时，110≤+≤x ，由题意111()(1)(1)[1(1)](1)222f x f x x x x x =+=+-+=-+，故答案为：1(1)2x x -+．【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．。

第四部分 函数的三要素习题一、基本知识点 1．函数的定义域(1)函数的定义域是指________________________________________________________． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为________．④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为________．⑤y ＝tan x 的定义域为_______________________________________________________． ⑥函数f (x )＝x 0的定义域为___________________________________________________． 2．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫____________，________________叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是______．②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a >0时，值域为____________；当a <0时，值域为____________．③y ＝kx (k ≠0)的值域是________________．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__________． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是______． ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是________． ⑦y ＝tan x 的值域是______． 3．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f (g (x ))的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2．(1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围． (2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 二、小练习1．(函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为___________________________________．2．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．3．(函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为_____________________________________．4．(已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x 21－x 2，则f (x )＝__________.5．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为( )A ．[0,1]B ．(－1,1)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、题型总结题型一 求函数的定义域例1 1)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为__________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为__________．探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于y ＝x 0，要求x ≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束． (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系． 练习 (1)若f (x )f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)(2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．题型二 抽象函数的定义域例2 若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．探究提高 已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]． 练习 已知f (x )的定义域是[0,4]，求：(1)f (x 2)的定义域；(2)f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域． 题型三 求函数的值域 例3求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])；(2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ；(4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图像易画出时，还可借助于图像求解． 练习 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .题型四 求函数的解析式例4 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式． 探究提高 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 练习 给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．练习已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[3分]∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．[4分]又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3. [6分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，[8分]∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6. [10分]∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[12分]四、知识扩展1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．2．函数值域的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．4．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．5．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，23 2．已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为 ( )A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 4．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是 ( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1二、填空题5．函数y ＝log 2(4－x )的定义域是__________．6．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是________． 7．(2011·上海)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在[0,3]上的值域为________． 三、解答题8．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．限时训练B 组一、选择题 1．设f (x )＝lg2＋x 2－x，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4) 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)3．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝12log (3x －2)*log 2x的值域为 ( )A ．(－∞，0]B.⎣⎡⎦⎤log 223，0 C.⎣⎡⎭⎫log 223，＋∞D ．R二、填空题4．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是__________________．5．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为________．6．设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．三、解答题7．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．8．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6 (a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．答案要点梳理1．(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2．(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0，＋∞) ⑤R ⑥[－1,1] ⑦R 基础自测1．[－1,2)∪(2，＋∞) 2.{x |－3<x <2}3．(0，＋∞) 4.x 2＋1x 2－1 (x ≠0) 5.B题型分类·深度剖析例1 (1)⎝⎛⎭⎫－13，1 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4. ∴f (log 2x )的定义域是[2，4]．变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4]， (1)有0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2. 故f (x 2)的定义域为[－2,2]．(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 例3 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法) y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)方法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．变式训练3 解 (1)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 例4 解 (1)令x ＋1x＝t ，则t 2＝x 2＋1x2＋2≥4.∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1x 2＝t 2－2，∴f (t )＝t 2－2，即f (x )＝x 2－2 (x ≥2或x ≤－2)．(2)令2x＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 (x >1)．(3)设f (x )＝kx ＋b ，∴3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝25k ＋b ＝17，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. (4)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x. ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．变式训练4 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3. 课时规范训练 A 组1．C 2.B 3.C 4.C5．(－∞，3] 6.⎣⎡⎦⎤2，103 7．[－2,7]8．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组1．B 2.C 3.A 4.(－1，－910)∪(－910，2] 5.22 6.2837．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12.∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a 、b 的值分别为32、3.8．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.。

第二章函数2.1.1 函数的三要素（题型战法）知识梳理一函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A的一个函数，记作y=f(x),x∈A，其中x叫做自变量，自变量取值的范围叫做函数的定义域。

如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域二函数的定义域1．分式的分母不等于零；2．偶次方根的被开方数大于等于零；3．对数的真数大于零；4．指数a0(a≠0)三函数的值域1．二次函数值域；2．分式函数值域；3．对勾函数值域；4．利用单调性求值域5．绝对值型值域四函数的解析式1．换元法；2．构造法；3．待定系数法；4．方程组法5．特殊值法题型战法题型战法一 函数的定义域（具体函数、抽象函数）典例1．函数y =√x +4+1x+1的定义域为（ ） A ．−4,−1) B ．−4,−1)∪(−1,+∞)C ．()1,-+∞D ．[)4,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解. 【详解】依题意{x +4≥0x +1≠0，解得{x ≥−4x ≠−1，所以函数的定义域为−4,−1)∪(−1,+∞). 故选：B ．变式1-1．函数f(x)=ln(2−x)的定义域是（ ） A ．(0,2) B ．(2,+∞)C ．(−∞,2)D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】对数型函数定义域为真数大于0，求解即可. 【详解】函数f(x)=ln(2−x)的定义域为2−x >0，解得x <2，所以函数f(x)的定义域为(−∞,2). 故选：C.变式1-2．已知集合A ={x|2x >1}，B ={x ∣y =√2x −x 2}，则A ∩B =（ ） A ．(0,+∞) B ．0,2C ．1,2D ．2,+∞)【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集定义即可求出. 【详解】因为A ={x|x >0}，B ={x|0≤x ≤2}，所以A ∩B =0,2. 故选：B.变式1-3．已知函数f(x +1)的定义域为(−5,0)，则f(2x −1)的定义域为（ ） A ．(−4,1) B ．(−32,1)C ．(9,1)-D ．(−52,0)【答案】B 【解析】 【分析】由已知函数的定义域求得()f t 的定义域，再由2x −1在()f t 的定义域内求得x 的取值范围. 【详解】 解：由题意得：∵函数f(x +1)的定义域是(−5,0) 设1t x =+∴t ∈(−4,1)，则()f t 的定义域为(−4，1) ∴2x −1∈(−4,1)，解得x ∈(−32，1). 故选：B变式1-4．已知函数y =f(x)的定义域为[−8,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是（ ）A ．(−∞,−2)∪(−2,3]B ．[−8,−2)∪(−2,1]C ．9[,2]2-- D ．[−92,−2)∪(−2,0]【答案】D 【解析】 【分析】 解不等式8211x -+和x+2≠0即得解.【详解】 解：由题意得：8211x -+，解得902x -， 由x +2≠0解得x ≠−2，故函数的定义域是9,2)(2,02⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦.故选：D题型战法二已知函数定义域求参数典例2．若函数f(x)=√mx2−x+2的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．[18，+∞)B．(18，+∞)C．(0，18)D．[0，18]【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域R即可转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数f(x)=√mx2−x+2的定义域为R，所以不等式mx2−x+2>0在R上恒成立.当m=0时，当x=4时，−4+2=−2<0，所以不等式−x+2>0在R上恒成立显然不成立，当m≠0时，则满足{m>0�=(−1)2−4×2×m<0，解得m>18，综上，实数m的取值范围是(18，+∞).故选：B.变式2-1．若函数y=√kx2−2x+1的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．(0,+∞)B．0,+∞)C．1,+∞)D．R【答案】C【解析】【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.【详解】函数y=√kx2−2x+1的定义域为R等价于kx2−2x+1⩾0恒成立，当k=0时，显然不恒成立；当k≠0时，由k>0，Δ=4−4k⩽0，得k≥1，综上，实数k的取值范围为1,+∞)．故选：C．变式2-2．若函数y=的定义城为R，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，12]D．[0，12）【答案】D【解析】【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a的讨论，根据Δ即可求得结果.【详解】要满足题意，只需ax2−4ax+2>0在R上恒成立即可.当a=0时，显然满足题意.当a>0时，只需Δ=16a2−8a<0，解得a∈(0,12).综上所述，a∈0,12)故选：D.变式2-3．若函数f(x)=√x2+ax+a的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．0,4)B．0,2)C．(0,4)D．2,4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合限制条件与判别式，即可求解.【详解】由题意得，x2+ax+a>0恒成立，即Δ=a2−4a<0，解得04a<<.故选：C.变式2-4．已知函数f(x的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0,4B．[0,1]C．4，+∞)D．[0,4]【答案】D【解析】【分析】由函数f(x)的定义域为一切实数，转化为mx2+mx+1≥0在R上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由函数f(x)mx2+mx+1≥0在R上恒成立，当m=0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则{m>0Δ=m2−4m≤0，解得0<m≤4.综上可得0≤m≤4，故选：D.题型战法三常见函数的值域（一次函数、二次函数、反比例函数等）典例3．函数f(x)=x+1,x∈{−1,1,2}的值域是（）A．0，2，3B．0≤y≤3C．{}0,2,3D．[0,3]【答案】C【解析】【分析】把定义域中的每个x值代入函数式求出函数值可得值域．【详解】由题意(1)0f-=，f(1)=2，f(2)=3．∴值域为{0,2,3}．故选：C．【点睛】本题考查函数的值域，掌握值域的定义是解题关键．函数值域依赖于函数的定义域和对应法则．变式3-1．已知函数f (x)=2x2−6x+3，x∈[−1，2]，则函数的值域是（）A．[−32，11）B．[32，11）C．[−1，11]D．[−32，11]【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】∵f(x)=2x2−6x+3=2(x−32)2−32,对称轴x=32,当x∈[−1，2],f(x)(32)32min又因为f(−1)=11,f(2)=1,∴f(x)(−1)max,所以函数的值域为[−32，11].故选:D变式3-2．函数2()23g x x x=--在区间[0,4]上的值域为（）A．[−3,5]B．(−3,5)C．[−4,5]D．(−4,5)【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】g(x)=x2−2x−3=(x−1)2−4，因此该函数的对称轴为：x=1，因为x∈[0,4]，所以当x=1时，函数有最小值，最小值为−4，而g(0)=−3,g(4)=5，所以最大值为5，因此值域为[−4,5]，故选：C变式3-3．已知A={−1,0,2}，B={y|y=1x}，则A∩B=（）A．{0}B．{−1,2}C．{0,2}D．{−1,0,2}【答案】B【解析】 【分析】根据函数的值域求得集合B ，由此求得A ∩B . 【详解】因为B =(−∞,0)∪(0,+∞)，所以A ∩B ={−1,2}. 故选：B变式3-4．函数y =1x+1−1的值域是（ ） A ．(−∞,−1) B ．(+1,+∞) C ．(−∞,−1)∪(−1,+∞) D ．(−∞,+∞)【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合1x+1≠0，即可求解. 【详解】因为1x+1≠0，所以11+x −1≠−1，故函数y =1x+1−1的值域{y|y ≠−1}. 故选：C.题型战法四 复杂函数的值域（根式型、绝对值型、分式型等）典例4．函数f(x)=√−x 2−2x +3的值域是（ ）. A ．（﹣∞，2] B ．（0，+∞）C ．[2，+∞）D ．[0，2]【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质即可求解. 【详解】由f(x)=√−x 2−2x +3，则−x 2−2x +3≥0，解得31x -≤≤， 所以函数的定义域为[−3,1]，令μ(x )=−x 2−2x +3=−(x +1)+4， 当31x -≤≤时，0≤μ(x )≤4， 所以f(x)=√−x 2−2x +3∈[0,2]， 所以函数的值域为[0，2]. 故选：D变式4-1．函数y =2x −√x −1的值域为（ ） A ．−∞,−158B ．(−∞,−158)C ．(158,+∞)D ．158,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】本题通过换元法求值域，先令√x −1=t ，将函数y =2x −√x −1转化成二次函数进行求解. 【详解】函数的定义域是{x |x ≥1}，令√x −1=t ，则t ∈[0,+∞)， x =t 2+1，所以y =2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158，因为t ≥0，所以y ≥158，所以原函数的值域为[158,+∞)． 故选：D.变式4-2．函数y =|x −3|−4(1≤x ≤4)的值域为（ ） A ．[−4,−2] B ．[−4,−3] C ．[−3,4] D ．[−3,−2]【答案】A 【解析】 【分析】结合绝对值的知识求得函数的值域. 【详解】依题意1≤x ≤4， −2≤x −3≤1，0≤|x −3|≤2,−4≤|x −3|−4≤−2，所以函数y=|x−3|−4(1≤x≤4)的值域为[−4,−2].故选：A变式4-3．函数y=x+1x−3(x>3)的值域是（）A．(1,+∞)B．(0,+∞)C．(3,+∞)D．(4,+∞)【答案】A【解析】【分析】根据函数值域的求法先将分式分离常数后化求解.【详解】解：∵y=x−3+4x−3=1+4x−3又∵x>3∴4x−3>01y∴>，所以函数y=x+1x−3(x>3)的值域为(1,+∞)故选：A变式4-4．函数23()31xf xx-=+的值域（）A．(−∞,13)∪(13,+∞)B．(−∞,32)∪(32,+∞)C．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】将23()31xf xx-=+化简为f(x)=23−113⋅13x+1，求出y=−113⋅13x+1的值域，进而可求得23()31xf xx-=+的值域.【详解】解：依题意，2112112(31)2321113333()3131313331x xxf xx x x x+-+--====-⋅++++，其中y=−113⋅13x+1的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故函数f(x)的值域为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．题型战法五 复合函数的值域（指数型、对数型、分式型、二次函数型等） 典例5．函数f(x)=2x2−2x ，x ∈[0,3]的值域是( ) A ．[12,8] B ．(−∞,8] C ．12,+∞) D ．(0,8] 【答案】A【解析】【分析】令g (t )=x 2−2x,x ∈[0,3]，求出g (t )的值域，再根据指数函数单调性求f (x )值域.【详解】令g (t )=x 2−2x,x ∈[0,3]，则g (t )∈[g (1),g (3)]=[−1,3]，则f (x )∈[2−1,23]=[12,8]，故选：A.变式5-1．函数f (x )=4x −2x+2−5(x ∈R )的值域为（ ）A ．1,+∞)B ．(−5,+∞)C ．−9,+∞)D ．(3,+∞) 【答案】C【解析】【分析】令t =2x >0，可得出f (x )=t 2−4t −5，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的值域.【详解】令2x =t >0，可得y =t 2−4t −5=(t −2)2−9，其中t >0，当t =2时，y min ，故函数f (x )的值域为−9,+∞)．故选：C.变式5-2．函数f(x)=log2(3x +1)的值域为（ ） A ．(0,+∞) B ．[0,+∞)C ．(1,)+∞D ．[1,+∞)【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的性质求得3x +1>1，再由对数函数的性质可得结果.【详解】∵3x >0，∴3x +1>1，∴log 2(3x +1)>0，∴函数f(x)的值域为(0,+∞).故选：A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.变式5-3．函数22]log 2()(),[0,33f x x x x +∈=-的值域为A ．2]11log 3[+,B ．22]log 31log 3[+,C ．[1,2]D ．21log 3,)[++∞【答案】A【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果.【详解】令t =x 2−2x +3，x ∈[0,3]，因为t =x 2−2x +3是开口向上，对称轴为x =1的二次函数，所以t =x 2−2x +3在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增；因此2min 1232t =-+=，2max 3636t =-+=，即t ∈[2,6]；又函数2()log f t t =单调递增，所以t ∈[2,6]时，[]22()1,1log log 3t t f ∈+=.故选：A.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.变式5-4．函数f (x )=33x −3的值域为（ ）A ．(−∞,−1)B ．(−1,0)∪(0,+∞)C ．(−1,+∞)D ．(−∞,−1)∪(0,+∞)【答案】D【解析】【分析】令u =3x−1−1，即有f(u)=1u ，可求得u 的范围，进而求外层函数值域【详解】f(x)=33x −3=13x−1−1令u =3x−1−1，有f(u)=1u ，可知：u ∈(−1,0)∪(0,+∞)∴f(u)∈(−∞,−1)∪(0,+∞)故选：D【点睛】本题考查了求函数的值域，利用在复合函数中内层函数的值域为外层函数的定义域求外层函数的值域题型战法六 已知函数值域求参数典例6．已知函数f (x )=ax +b （a ＞0）的定义域和值域都是[−1,0]，则a +b =（ ） A ．12B ．1C ．52D ．﹣12或﹣52 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性知函数取边界自变量的函数值，建立方程组解之得解.【详解】由已知得a >0,f (x )在R 上单调递增，所以{f (−1)=−1f (0)=0,∴{a =1b =0， 所以a +b =1故选 B.【点睛】本题考查一次函数的单调性和值域，属于基础题.变式6-1．已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0,+∞)，求a的取值范围为A．a≥1B．a>1C．a≤1D．a<1【答案】A【解析】【分析】对a进行讨论，然后将y=√(a−1)x2+ax+1值域为0,+∞)，转换为(a−1)x2+ax+1值域包含0,+∞)，计算得到答案.【详解】当a=1时，y=√x+1的值域为0,+∞)，符合题意；当a≠1时，要使y=√(a−1)x2+ax+1的值域为0,+∞)，则使{a−1>0Δ=a2−4(a−1)≥0⇒a>1.综上，a≥1.故答案选A【点睛】本题考查了函数的值域问题，意在考查学生的计算能力.变式6-2．若函数f(x)=12x2−2x+4的定义域、值域都是[2,2b]，则A．b=2B．b∈[1,2]C．b∈(1,2)D．b=1或b=2【答案】A【解析】【详解】由题意得，函数f(x)=12x2−2x+4图象的对称轴为2x ，∴函数f(x)在区间[2,2b]上单调递增，且定义域、值域都是[2,2b]，∴f(2b)=2b2−4b+4=2b，即b2−3b+2=0，解得b=2或b=1（舍去）∴b=2．选A．变式6-3．若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,b]，则b =（ ） A ．1B ．3C ．−3D ．1或3【答案】B【解析】【分析】 根据函数213()22f x x x =-+在[1,b]上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果. 【详解】 因为函数213()22f x x x =-+=12(x −1)2+1在[1,b]上为增函数，且定义域和值域都是[1,b]， 所以min ()(1)f x f =1=，f(x)12232max ，解得b =3或b =1（舍），故选：B变式6-4．已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,4)B ．−2,4)C ．−∞,−2D ．{−2}【答案】B【解析】首先求函数在x ≥1时函数的值域，再根据函数的值域为R ，确定x <1时函数的单调性和端点值的范围，求实数a 的取值范围.【详解】x ≥1时，y =log 3x ≥0，又∵f (x )的值域为R ，则x <1时，f (x )=(4−a )x +3a 的值域包含(−∞,0)，∴{4−a >0(4−a )⋅1+3a ≥0，解得：−2≤a <4. 故选：B题型战法七 函数的解析式（换元法、构造法）典例7．已知f (x +1)=ln x 2，则f (x )=（ ）A．ln(x+1)2B．2ln(x+1)C．2ln|x−1|D．ln(x2−1)【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法求出f(x)即可作答.【详解】因f(x+1)=ln x2，则设x+1=t，有1x t=-，而x≠0，则有t≠1，于是得f(t)=ln(t−1)2=2ln|t−1|，所以f(x)=2ln|x−1|,x≠1，故选：C变式7-1．若函数f(2x+1)=x2−2x，则f(x)=（）A．22x x-B．241x x-+C．14x2−32x+54D．14x2−32x【答案】C【解析】【分析】应用换元法求函数解析式即可.【详解】令t=2x+1，则x=t−12，所以f(2x+1)=f(t)=(t−1)24−(t−1)=t2−6t+54，即f(x)=x2−6x+54.故选：C变式7-2．若1)1f x=+，则f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2B．f(x)=x2−2x+2(x≥0) C．f(x)=x2−2x+2(x≥1)D．f(x)=x2+1【答案】C【解析】【分析】1t =，1t ≥，则x =(t −1)2，代入1)1f x =+，求出f (t )，再将t 换成x 即可，注意函数的定义域.【详解】1t =，1t ≥，则x =(t −1)2，则f(t)=(t −1)2+1=t 2−2t +2，1t ≥，∴函数f(x)的解析式为f(x)=x 2−2x +2(x ≥1).故选：C.变式7-3．已知f (x −1)=x 2+4x −5，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=x 2+6xB ．f (x )=x 2+8x +7C ．f (x )=x 2+2x −3D ．f (x )=x 2+6x −10 【答案】A【解析】【分析】设x −1=t ，x =t +1，代入化简得到答案.【详解】f (x −1)=x 2+4x −5，设x −1=t ，x =t +1，则f (t )=(t +1)2+4(t +1)−5=t 2+6t ， 故f (x )=x 2+6x .故选：A.变式7-4．已知函数f (x −1x )=x 2+1x 2，则f (23)=（ ）．A ．229B ．4C ．72D ．9736 【答案】A【解析】【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】函数f (x −1x )=x 2+1x 2=(x −1x )2+2，所以f(x)=x2+2，f(23)=49+2=229．故选：A．题型战法八函数的解析式（待定系数法、方程组法）典例8．已知f(x)是反比例函数，且f(−3)=−1，则f(x)的解析式为（）A．f(x)=−3x B．f(x)=3xC．f(x)=3x D．f(x)=−3x【答案】B【解析】【分析】设f(x)=kx(k≠0)，利用待定系数法，即可得到结果.【详解】设f(x)=kx(k≠0)，∵f(−3)=k−3=−1，∴k=3，∴f(x)=3x.故选：B.变式8-1．设f(x)为一次函数，且f(f(x))=4x−1．若f(3)=−5，则f(x)的解析式为（）A．f(x)=2x−11或f(x)=−2x+1B．f(x)=−2x+1C．f(x)=2x−11D．f(x)=2x+1【答案】B【解析】【分析】设f(x)=kx+b，根据已知条件可得出关于k、b的方程组，解出这两个未知数的值，再结合f(3)=−5可得出k、b的值，即可得出函数f(x)的解析式.【详解】设f(x)=kx+b，其中k≠0，则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+(kb+b)=4x−1，所以，{k 2=4kb +b =−1，解得{k =−2b =1或{k =2b =−13.当k =−2时，f (x )=−2x +1，此时f (3)=−5，合乎题意； 当k =2时，f (x )=2x −13，此时f (3)=173，不合乎题意.综上所述，f (x )=−2x +1.故选：B.变式8-2．已知二次函数f (x )满足f (2x )+f (x −1)=10x 2−7x +5，则f(f (1))=（ ）A ．1B ．7C ．8D ．16【答案】B【解析】【分析】采用待定系数法先求解出f (x )的解析式，然后即可计算出f(f (1))的值.【详解】设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，因为f (2x )+f (x −1)=10x 2−7x +5，所以4ax 2+2bx +c +a (x −1)2+b (x −1)+c =10x 2−7x +5， 化简可得：5ax 2+(3b −2a )x +a −b +2c =10x 2−7x +5，所以{5a =103b −2a =−7a −b +2c =5，所以{a =2b =−1c =1，所以f (x )=2x 2−x +1，所以f (1)=2−1+1=2，所以f(f (1))=f (2)=2×4−2+1=7， 故选：B.变式8-3．已知函数f (x )满足2f (x )+f (1x )=x ，则f (2)=（ ）A ．12B ．1C ．76D ．2【答案】C【解析】【分析】利用方程组法求出函数f (x )的解析式，即可求得f (2)的值.【详解】由已知可得{2f (x )+f (1x )=x 2f (1x )+f (x )=1x，解得f (x )=2x 2−13x ，其中x ≠0，因此，f (2)=76. 故选：C.变式8-4．已知f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，则f (x )=（ ） A ．x 2+xB ．2xC ．3x 2+xD ．23x x 【答案】A【解析】【分析】以−x 代x ，得到一个等式，运用解方程组法进行求解即可.【详解】解：由f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，得f(−x)+2f(x)=3x 2+x ∴{f(x)+2f(−x)=3x 2−x f(−x)+2f(x)=3x 2+x，解得f(x)=x 2+x . 故选：A.。

函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数)(xf和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作BAf→:，或)(xfy=，x∈A。

习惯上我们称y是x的函数。

2、函数的三要素：①、定义域：x取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量x的取值范围；②、对应关系（对应法则）：对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”，是连接x与y的纽带。

③、值域：就是函数值的集合，{}Axxf∈|)(。

A BBAf→:对应关系值域Axxf∈|)(3、常见函数的定义域和值域①．一次函数baxxf+=)()0(≠a:定义域R,值域R;②．反比例函xkxf=)()0(≠k:定义域{}0|≠xx,值域{}0|≠yy;③．二次函数cbxaxxf++=2)()0(≠a:定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。

（与表示自变量的字母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。

）5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫内函数，y =)(t f 叫外函数。

（内函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。

大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b ，R 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b),(-∞，+∞）。

函数三要素经典习题(含答案)函数的三要素练题（一）——定义域1.函数$f(x)=4-x^2$的定义域是（）A。

$[-2,2]$ B。

$(-2,2)$ C。

$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ D。

$\{-2,2\}$2.设函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0,1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-3,-1]$；函数$f(\sqrt{x})$的定义域为$[0,1]$。

3.若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[\frac{1}{2},2]$；函数$f(-x)$的定义域为$[-3,-\frac{1}{2}]$。

4.已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。

$-1\leq m\leq 1$。

5.求下列函数的定义域：1）$y=\frac{4(x^2-3x-4)^3}{|x+1|-2}$。

解：当$x-4/3$时，$|x+1|=-(x+1)$，此时分母为负数，所以不在定义域内；当$-1\leq x\leq -4/3$或$-3<x<-1$时，$|x+1|=x+1$，所以分母为正数，此时$x^2-3x-4\geq 0$，即$(x+1)(x-4)\leq 0$，解得$x\leq -1$或$x\geq 4$。

综上所述，函数的定义域为$(-\infty,-1)\cup[-4/3,-3)\cup[4,\infty)$。

2）$y=1-\frac{(x-1)^2}{2\{x|x\geq 0\}+1}$。

解：当$x<0$时，$2\{x|x\geq 0\}+1=1$，分母为零，所以不在定义域内；当$x\geq 0$时，$2\{x|x\geq 0\}+1=2x+1$，所以$x\neq0$且$x\neq 1$，即定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。

函数三要素练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数f （x ）=的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数的定义域为A ． -B ． -C ． - ，- -D ． - ，- - 3．函数的定义域是 A ．（， ） B ．（， ） C ．（，） D ．（ ，） 4．已知函数 ，则函数 有（ ） A ．最小值，无最大值 B ．最大值，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值 5．已知函数y =221x +当自变量[]0,1x ∈时因变量的y 取值范围为 A ．[]1,2 B ．[]0,1 C ．[]2,3 D ．[]0,2 6．下列函数中值域是()0,+∞的是（ ）．A ．21(0)y x x =+>B ．3xy = C ．y D ．2y x=7．下列函数中，值域为 的是（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题8．函数 的定义域为______． 9．函数的定义域为___________________________．10．函数y=2x 2-x 的值域是___________.11．函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是_______.12．函数g(x)＝2x ________． 13．函数y ＝x －的值域是________________.14．若,则 的值域是______________________.(请用区间表示)15．若二次函数 满足 且 ，则 的解析式为_______. 16．已知f （x +1）=3x -1，则f （x ）=______． 17．已知 ，则 ____.18．已知)1f x =+()f x =_____________.19．设()2421fx x x +=+，那么()f x 的解析式()f x =_________，定义域为_________.三、解答题20．已知函数()1x f x x =-. （1）求函数()f x 的定义域和值域；21．已知一次函数f (x )满足2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 2，求函数g (x )=0的根．22．已知f(x ＋4)＋f(x －1)＝x 2－2x ，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式．参考答案1．B【解析】【分析】由分式的分母不为0,，对数中真数大于0求解得答案．【详解】由，得x＞0且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．2．A【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【详解】由＞，解得﹣2＜x≤0．∴函数-．故选：A．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题．3．B【解析】【分析】根据分式型函数，根式型函数，对数型函数的定义域要求列式得到解不等式求交集即可.【详解】由题设可得,故选B . 【点睛】这个题目考查的是具体函数的定义域问题，经常用到的有：根式中被开方数大于等于0；分式，分母不为0；对数的真数大于0等. 4．D 【解析】 【分析】利用换元法，设t ，将函数f （x ）转化为二次函数g （t ）在t 上的值域，利用配方法求值域即可. 【详解】∵函数f （x ）的定义域为（﹣∞，] 设t ，则t ， 且x，∴f （x ）＝g （t ）tt 2+t（t ﹣1）2+1，t ，∴g （t ）≤g （1） 即g （t ）≤1∴函数f （x ）的最大值1，无最小值. 故选D. 【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，转化化归的思想方法，属于中档题. 5．A【解析】∵[]0,1x ∈, ∴[]211,2.x +∈ ∴[]221,2.1y x =∈+ 故选A.6．B【解析】∵A 的值域为()1,+∞， C 的值域为R ，D 的值域为()(),00,-∞⋃+∞，选择B ．7．D【解析】逐一考查函数的值域： 的值域为 ； 的值域为 ；的值域为 ；的值域为 .本题选择D 选项.8．[2，+∞） 【解析】 【分析】由题意，直接由根式内部的代数式大于等于0，即可求解函数的定义域，得到答案． 【详解】解：由x-2≥0，得x≥2．∴函数 的定义域为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．(－1,1) 【解析】 【分析】由对数函数有意义的条件，根式有意义的条件和分母不为零可得，解不等式组即可得到答案 【详解】由对数函数有意义的条件，根式有意义的条件和分母不为零可得：， 解得 综上所述，函数的定义域为 ，【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出满足条件的限制条件，得到关于未知数的不等式组，然后求解得到定义域 10．(18-,+∞]； 【解析】∵222111222248y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当14x =时，函数有最小值，且最小值为18-。

1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称 符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？ （2）当4=x 时，求()x f 的值； （3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（ ）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集： （1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且 例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ； （2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域； （2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性 例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于 对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于 对称） 判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。

函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。

一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。

1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

函数及其函数的三要素题型归纳题型一、理解函数的概念1. 下列说法正确的是 （ ）A.函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了.2. 已知A={}3,2,1±±±,B={1,2,3},则对应关系x y x f =→:是否为A 到B 的函数？__________3. 下列对应关系是否为A 到B 的函数？ （1）.A=R, B=x y x f x x =→>:},0{; （2）.A=Z, B=Z, 2:x y x f =→; （3）.A=R ，B=Z ，x y x f =→:； （4）.A=[-1,1], B={0}, 0:=→y x f .4. 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数： （1）A={0, 1, -1, 2, -2}，B={0, 1, 4},对应关系2:x y x f =→； （2）A=B=R ，对应关系x y x f ±=→:；（3）A={0，1，2，3}，B={0，1，31,21}，对应关系x y x f 1:=→.5. 下列图形中,不可能是函数)(x f y =的图象的是 （ ） 0xy)(A 0xyxy)(C 0xy6. 下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）7. 直线a x =和函数[]2,1,12∈+=x x y 可能有几个交点？8. 直线a x =和函数12+=x y 的图像可能有几个交点？9. 直线a x =,则它与函数)(x f y =的图像的交点个数为多少?题型二、函数求值的5种题型 1、函数求值（基础）1. 已知=-+=)3(,)1()(2f x x f 则________________.2. 已知.)1(),(),1(),1(,1)(的值分别求+-+=x f a f f f x x f3. 已知函数,2)(2x x x f -=分别.)2(),1(),1(),0(的值求++x f a f f f4. 已知)2()2(,)(2-++=f f x x x f 则为 （ ）5. 已知值为时的求满足x x f x x f 2)(,1)(=-=________________.2、多层函数求值6. 已知为则)]1([,1)(f f x x f += （ ）3、分段函数求值7. 已知⎩⎨⎧=-<+>-=)3(0(,1)0(,1)(f x x x x x f ，则）____________.8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=,)0(,1)0(,0)0(,1)(22x x x x x x f（1）当的值；时，求)(4x f x = （2）的值；时，求当x x f 4)(= （3）求.)]}2([{的值-f f f9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=->-=<+=)]}1([{,)0(,1)0(,0)0(,1)(22f f f x x x x x x f 则____________.10. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0(,0)0(,1)0(,)(2x x x x x f ，求)3(),2(-f f 的值.11. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤+=)3(,)33(,1)3(,2)(2x x x x x x x f ，求))).1((()),4(()),2((f f f f f f f --12. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(,2)21(,)1(,2)(2x x x x x x x f 中，若x x f 求,3)(=的值.13. 已知⎩⎨⎧=<-≥-=)]1([,)1(,)1(,1)(f f x x x x x f 则（ ）4、复合函数求值14. 设）的值为则0(),()2(,32)(g x f x g x x f =++= （ ）15. 已知2)11(x xf =+，求)5(f =16. 已知⎩⎨⎧∈<+≥-=）求3(),(,)6(),2()6(,5)(f N x x x f x x x f 的值.17. 已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出那么=))3((g f _________________.5、抽象函数求值18. 已知的值求且函数满足)12(,2)4(,4)3(),()()(f f f b f a f ab f ==⋅=.19. 已知函数.)()()(,)(成立都有对任意实数y f x f xy f y x x f += （1）求的值；与)1()0(f f（2）若.)36(,()3(,)2(的值均为常数），求f b a b f a f ==题型三、函数相等1. 与函数32x y -=为同一函数的是 （ ）A.x x y 2-=B. x x y 2--=C. 32x y -=D. xx y 22-=x1 2 3 4 )(x f 4 321x1 2 3 4 )(x g 32422. 函数1)(1)(2-=-=xx x g x x f 与函数是同一个函数吗？________________.3. 判断下列各组中的两个函数是否相等？并说明理由。

函数三要素与函数图像函数三要素：定义域、法则、值域。

通常定义域和法则确定了，值域也确定了，也可以称为函数两要素。

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例1：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）．3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （2）。

111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （3）。

x x f =)( 2)(x x g =（4）．x x f =)( 33)(x x F = （5）．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （1）解：不是同一函数，定义域不同（2）解：不是同一函数，定义域不同（3） 解：不是同一函数，值域不同（4） 解：是同一函数（5）解：不是同一函数，定义域、值域都不同1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ C ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸2.下列四组函数中，表示同一函数的是（ D ）A ．y=x ﹣1与y=B ．y=与y=C ．y=4lgx 与y=2lgx 2D ．y=lgx ﹣2与y=lg 3.下列各组表示同一函数的是（ C ）A ．y=与y=（）2B ．y=lgx 2与y=2lgxC ．y=1+与y=1+D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）4.下列各组函数f （x ）与g （x ）的图象相同的是（ D ） A ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）=1 B ．f （x ）=x 与g （x ）=C ．f （x ）=，g （x ）=x+2D ．f （x ）=|x|，g （x ）=例2根据所给定义域，画出函数222+-=x x y 的图象。