最新函数三要素经典习题(含答案)

微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】 题型一：函数三要素的应用 题型二：函数性质与零点的应用 题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用 【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =； 当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=， 当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266， 对应的x 6． 故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=， 则((1))f g f -=（2）431=-=-， 故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是 ．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞． 题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数， 则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-． 画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个． 故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为 ． 【解析】解：作出()f x 的图象如图： 当9x >时，由()40f x x ==，得16x =， 若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<， 因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<， 由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-， 即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =， 则9ab =，所以9abc c =， 因为916c <<， 所以819144c <<， 即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)． 故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为 ．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式． 【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-， 又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2）， 即为||2t <，且0t ≠， 解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12． 故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<； 当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<； 故实数k 一定在区间(0,1)之间， 若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+； 显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+； 故△2444log 0k =++>； 即14k >； 综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象， 可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈， 由()0f x =，可得2x =； 由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点； 综上，选项BCD 正确． 故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根， 当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+， 由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-， 作出()f x 的图象如图： 要使()f x b =有三个根， 则01b <， 故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解 【解析】解：因为该函数为奇函数， 所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确； 对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误； 对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误． 故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-． 若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-， 即2()22f x x x =---，20x -<， 当0x =，则(0)0f =． 作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确； 对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称， 则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根， 设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<， 则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=， 若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， 则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误， 故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为 ；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ． 【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <， 又0k ，则实数k 的取值范围为01k <． 故答案为：1-；[0，1)． 题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==， 当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=， 当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈， 因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素， 但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立， 故选项A 正确； 对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩， 当某个元素x 在A 中且在B 中， 由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误； 对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 所以()1()B A f x f x =-， 即()()1A B f x f x +=， 故选项D 正确． 故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确； 对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确； 对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩， 故C 正确； 对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确． 故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是 ．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =， 故答案为：32． 变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是 ．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩， 由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-， 即有()f x 的对称轴为12m x -=， 则113()||222m m f -+==， 解得2m =或4-， 故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象， 若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点， 结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <， 故答案为：23k <．【过关测试】 一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53， 故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=； 所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩， 解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<， 即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =， 故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+， 当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（ ）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤， 所以实数t 的取值范围是15-+， 故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （ ）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值， 故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求， 当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<， 所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >， 所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12， 令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（ ）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥， 解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤； 当42x x -或><时，3()3f x =， 故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =， 故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）； 综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数， 则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--， 所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-． 故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）； 或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）． 故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭， 所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1： 由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-． 综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++． 由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。

函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法(一)常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。

其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)，即得函数定义域。

例1.求函数y=-2—2x T5的定义域。

lx+31—8(二)抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x的自变量x的取值范围，可以理解为函数f(x图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变谶取值范围；2.四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为［m,n］，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？例题2.已知函数y=f(x)的定义域［0,3］，求函数y=f(3+2x)的定义域强化训练：1.已知函数y=f(x)的定义域［-1,5］，求函数y=f(3x-5)的定义域；2.已知函数y=f(x)的定义域［1/2,2］，求函数y=f(log2x)的定义域；3.已知f(x)的定义域为［—2,2］,求f(x2—1)的定义域。

题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求抽象函数y=f(x)的的定义域? 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.2.已知函数y=f［lg(x+1)］的定义域［0,9］,求函数y=f(x)的定义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,函，求函数y=f(3+x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x+1)的定义域［-2,3］，求函数y=f(2x-1)的定义域.2.已知函数y=f(2x)的定义域［-1,1］，求函数y=f(logx)的定义域.23.已知f(x+1)的定义域为［-1/2,2］,求f(x2)定义域。

函数练习题及答案函数练习题及答案函数作为数学中的重要概念，被广泛应用于各个领域。

在数学学习过程中，通过练习题的形式巩固和提高对函数的理解和运用能力是非常有效的方法。

本文将介绍一些常见的函数练习题及其答案，希望能对读者的数学学习有所帮助。

一、函数定义与性质题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。

解答：将x = 4代入函数表达式中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。

2. 函数f(x) = x^2 + 2x - 1的定义域是什么？解答：由于函数中存在x的平方项，所以定义域应满足x^2存在的条件，即实数集R。

3. 函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的图像是否对称于y轴？解答：对称于y轴的函数满足f(x) = f(-x)。

将函数中的x替换为-x，得到f(-x) = 3(-x)^2 - 4(-x) + 1 = 3x^2 + 4x + 1。

由于f(x) ≠ f(-x)，所以函数的图像不对称于y轴。

二、函数图像与方程题1. 函数f(x) = x^3的图像在坐标系中的形状是什么？解答：函数f(x) = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称。

当x > 0时，f(x) > 0；当x < 0时，f(x) < 0。

因此，函数图像在坐标系中呈现出一种类似"S"形的形状。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解方程f(x) = 0。

解答：将f(x)置为0，得到x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或者求根公式，可以得到(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。

三、函数与导数题1. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x，求f'(x)。

解答：对函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。

2. 已知函数f(x) = e^x，求f''(x)。

函数三要素知识点及例题1.具体函数的定义域：①y =1x ②y =√x ③y =1√x④y =x 0 ⑤y =log a x ⑥y =tanx2.抽象函数的定义域：①②例1.1 （1）求函数f (x ) = 3+x +21+x 的定义域。

（2）函数21ln(1)1y x x=++-的定义域。

例1.2 （1）若函数()y f x =的定义域为[0,1]，求(2)f x +的定义域。

（2）若函数y =(3x −1)的定义域为[0,1]，求(2)f x +的定义域。

1.设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B= .2.函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是 .3.函数f(x)= √4-|x |+lgx 2-5x+6x -3 的定义域为 .4.函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 .5.若函数y =f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)=f(2x)x−1的定义域是 ．6.已知函数y =f(2x −1)的定义域是[0,1]，则函数y =f(2x+1)√x+1的定义域是________．7. 函数f(x)=√ax 2+4ax +4的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________8. 已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围_________9. 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域例2.1 【 】 已知 f (x )=x 2+1，求 f(2x +1).例2.2 【 】已知2(21)1f x x +=+，求()f x .例2.3 【 】已知f (x +1x )=x 2+1x 2, 求()f x .例2.4 【 】已知函数2()f x x =，()g x 为一次函数，若2(())42025f g x x x =-+，求()g x .例2.5 【 】 若函数()f x 对于一切0x ≠的实数都有x x f x f 3)(2)(-=-+，求()f x .例2.6 【 】 设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数,x y ，都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x .1. 已知f(x)是一次函数，且f(−2)= −1，f(0)+f(2)=10，求)(x f 。

函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域 （1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。

已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。

1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。

函数的三要素试题1．下列函数中与函数2y x =相同的函数是()A．22xyx =B．y =C．2y =D．2log 4xy =2．函数()f x =的定义域为()A．3(4，5]4B．3[4，54C．(-∞，5]4D．5[4，)+∞3.函数2221x x y x ++=+的值域是．4.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1-，0]，则a b +=．5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当0≤x ≤1时．()(1)f x x x =-，则当−1≤x ≤0时，()f x =．答案1．下列函数中与函数2y x =相同的函数是()A．22xyx =B．y =C．2y =D．2log 4xy =【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同的函数．【解答】解：对于A ，函数222(0)x y x x x==≠，与函数2()y x x R =∈的定义域不同，不是相同的函数；对于B ，函数2||()y x x R ==∈，与函数2()y x x R =∈的对应关系不同，不是相同的函数；对于C ，函数22(0)y x x ==，与函数2()y x x R =∈的定义域不同，不是相同的函数；对于D ，函数2log 4y =2()x x x R =∈，与函数2()y x x R =∈的定义域相同，对应关系也相同，是相同的函数．故选：D ．【点评】本题考查了判断两个函数的是否为同一函数的应用问题，是基础题．2．函数()f x =的定义域为()A．3(4，5]4B．3[4，54C．(-∞，5]4D．5[4，)+∞【分析】根据函数()f x 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数()f x =，令0.5log (43)10x -+，解得0.5log (43)1x --，即0432x <-，解得3544x <；所以函数()f x 的定义域为3(4，5]4．故选：A ．【点评】本题考查了利用解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．3．函数2221x x y x ++=+的值域是(-∞，2][2- ，)+∞．【分析】把已知函数解析式变形，然后分类利用基本不等式求最值，则函数值域可求．【解答】解：2222(1)11(1)111x x x y x x x x ++++===+++++．当10x +>时，1(1)21y x x =+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时“=”成立；当10x +<时，11(1)[(1)]21(1)y x x x x =++=--++-+-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+，即2x =-时“=”成立．∴函数2221x x y x ++=+的值域是(-∞，2][2- ，)+∞．故答案为：(-∞，2][2- ，)+∞．【点评】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．4．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1-，0]，则a b +=32-．【分析】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当1a >时，函数()x f x a b =+在定义域上是增函数，所以1101b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1b =-，10a =不符合题意舍去；当01a <<时，函数()x f x a b =+在定义域上是减函数，所以1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得2b =-，12a =，综上32a b +=-，故答案为：32-【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．5．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当0≤x ≤1时．()(1)f x x x =-，则当时，()f x =1(1)2x x -+.【分析】当01≤≤-x 时，110≤+≤x ，由已知表达式可求得(1)f x +，根据(1)2()f x f x +=即可求得()f x ．【解答】解：当01≤≤-x 时，110≤+≤x ，由题意111()(1)(1)[1(1)](1)222f x f x x x x x =+=+-+=-+，故答案为：1(1)2x x -+．【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．。

第四部分 函数的三要素习题一、基本知识点 1．函数的定义域(1)函数的定义域是指________________________________________________________． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为________．④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为________．⑤y ＝tan x 的定义域为_______________________________________________________． ⑥函数f (x )＝x 0的定义域为___________________________________________________． 2．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫____________，________________叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是______．②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a >0时，值域为____________；当a <0时，值域为____________．③y ＝kx (k ≠0)的值域是________________．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__________． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是______． ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是________． ⑦y ＝tan x 的值域是______． 3．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f (g (x ))的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2．(1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围． (2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 二、小练习1．(函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为___________________________________．2．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．3．(函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为_____________________________________．4．(已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x 21－x 2，则f (x )＝__________.5．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为( )A ．[0,1]B ．(－1,1)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、题型总结题型一 求函数的定义域例1 1)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为__________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为__________．探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于y ＝x 0，要求x ≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束． (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系． 练习 (1)若f (x )f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)(2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．题型二 抽象函数的定义域例2 若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．探究提高 已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]． 练习 已知f (x )的定义域是[0,4]，求：(1)f (x 2)的定义域；(2)f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域． 题型三 求函数的值域 例3求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])；(2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ；(4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图像易画出时，还可借助于图像求解． 练习 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .题型四 求函数的解析式例4 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式． 探究提高 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 练习 给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．练习已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[3分]∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．[4分]又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3. [6分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，[8分]∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6. [10分]∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[12分]四、知识扩展1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．2．函数值域的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．4．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．5．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，23 2．已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为 ( )A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 4．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是 ( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1二、填空题5．函数y ＝log 2(4－x )的定义域是__________．6．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是________． 7．(2011·上海)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在[0,3]上的值域为________． 三、解答题8．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．限时训练B 组一、选择题 1．设f (x )＝lg2＋x 2－x，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4) 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)3．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝12log (3x －2)*log 2x的值域为 ( )A ．(－∞，0]B.⎣⎡⎦⎤log 223，0 C.⎣⎡⎭⎫log 223，＋∞D ．R二、填空题4．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是__________________．5．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为________．6．设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．三、解答题7．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．8．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6 (a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．答案要点梳理1．(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2．(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0，＋∞) ⑤R ⑥[－1,1] ⑦R 基础自测1．[－1,2)∪(2，＋∞) 2.{x |－3<x <2}3．(0，＋∞) 4.x 2＋1x 2－1 (x ≠0) 5.B题型分类·深度剖析例1 (1)⎝⎛⎭⎫－13，1 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4. ∴f (log 2x )的定义域是[2，4]．变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4]， (1)有0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2. 故f (x 2)的定义域为[－2,2]．(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 例3 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法) y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)方法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．变式训练3 解 (1)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 例4 解 (1)令x ＋1x＝t ，则t 2＝x 2＋1x2＋2≥4.∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1x 2＝t 2－2，∴f (t )＝t 2－2，即f (x )＝x 2－2 (x ≥2或x ≤－2)．(2)令2x＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 (x >1)．(3)设f (x )＝kx ＋b ，∴3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝25k ＋b ＝17，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. (4)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x. ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．变式训练4 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3. 课时规范训练 A 组1．C 2.B 3.C 4.C5．(－∞，3] 6.⎣⎡⎦⎤2，103 7．[－2,7]8．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组1．B 2.C 3.A 4.(－1，－910)∪(－910，2] 5.22 6.2837．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12.∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a 、b 的值分别为32、3.8．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.。

集合与函数1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。

故B 只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0，不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n-（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 5、熟悉命题的几种形式、()()().∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。

函数的概念试题及答案高中一、选择题1. 下列哪个选项正确描述了函数的概念？A. 函数是一种运算B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种变量2. 如果f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 函数y = x^2 + 1在x = -2时的值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 1二、填空题4. 如果一个函数f(x)的定义域是所有实数R，那么这个函数被称为_________函数。

5. 函数f(x) = 3x - 2的反函数是_________。

三、简答题6. 函数的三要素是什么？7. 请解释什么是函数的值域，并给出一个例子。

四、计算题8. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求出当x = 0, 1, 2, 3时的函数值。

答案一、选择题1. C. 函数是一种映射2. A. -1（计算过程：f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1）3. A. 5（计算过程：y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5）二、填空题4. 无界5. f^(-1)(x) = (x + 2) / 3三、简答题6. 函数的三要素包括：定义域（Domain）、值域（Range）和对应法则（Rule of correspondence）。

7. 函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。

例如，函数y =x^2的值域是所有非负实数，即[0, +∞)。

四、计算题8. 当x = 0时，f(x) = 0^2 - 4*0 + 4 = 4；当x = 1时，f(x) = 1^2 - 4*1 + 4 = 1；当x = 2时，f(x) = 2^2 - 4*2 + 4 = 0；当x = 3时，f(x) = 3^2 - 4*3 + 4 = 1。

结束语：通过本试题的练习，希望同学们能够加深对函数概念的理解，掌握函数的基本性质和计算方法。

函数是数学中的基础工具，对后续的数学学习至关重要。

函数三要素经典习题(含答案)函数的三要素练题（一）——定义域1.函数$f(x)=4-x^2$的定义域是（）A。

$[-2,2]$ B。

$(-2,2)$ C。

$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ D。

$\{-2,2\}$2.设函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0,1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-3,-1]$；函数$f(\sqrt{x})$的定义域为$[0,1]$。

3.若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[\frac{1}{2},2]$；函数$f(-x)$的定义域为$[-3,-\frac{1}{2}]$。

4.已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。

$-1\leq m\leq 1$。

5.求下列函数的定义域：1）$y=\frac{4(x^2-3x-4)^3}{|x+1|-2}$。

解：当$x-4/3$时，$|x+1|=-(x+1)$，此时分母为负数，所以不在定义域内；当$-1\leq x\leq -4/3$或$-3<x<-1$时，$|x+1|=x+1$，所以分母为正数，此时$x^2-3x-4\geq 0$，即$(x+1)(x-4)\leq 0$，解得$x\leq -1$或$x\geq 4$。

综上所述，函数的定义域为$(-\infty,-1)\cup[-4/3,-3)\cup[4,\infty)$。

2）$y=1-\frac{(x-1)^2}{2\{x|x\geq 0\}+1}$。

解：当$x<0$时，$2\{x|x\geq 0\}+1=1$，分母为零，所以不在定义域内；当$x\geq 0$时，$2\{x|x\geq 0\}+1=2x+1$，所以$x\neq0$且$x\neq 1$，即定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。

函数的基本特征练习(含答案)函数的基本特征练（含答案）本文是一份函数的基本特征练文档，旨在帮助读者加深对函数概念和特征的理解。

以下是一系列的练题及其答案，供读者参考研究。

1. 函数的定义问题：请简要定义什么是函数？答案：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数可以用来描述不同变量之间的依赖关系。

2. 函数的基本特征问题：请列举函数的三个基本特征。

答案：函数的三个基本特征是唯一性、定义域和值域。

具体解释如下：- 唯一性：对于函数中的每个输入值，函数只能有一个输出值与之对应。

- 定义域：函数的定义域是输入值的集合，即函数接受的输入范围。

- 值域：函数的值域是输出值的集合，即函数可能取得的输出值范围。

3. 函数的例子问题：请给出一个函数的例子，并说明它的定义域和值域。

答案：一个函数的例子是求平方根函数。

这个函数的定义域是非负实数集合，值域是非负实数集合。

4. 反函数问题：什么是函数的反函数？答案：函数的反函数是指将函数的输入和输出进行交换得到的新函数。

如果一个函数 f 的反函数是 g，那么对于 f 的每个输入 x 和 g 的每个输出 y，有 f(x) = y 和 g(y) = x。

5. 成对函数问题：什么是成对函数？答案：成对函数是指具有相同定义域的两个函数，且对于定义域内的每个元素，两个函数的输出互为相反数。

例如，正弦函数和余弦函数就是成对函数。

6. 可逆函数问题：什么样的函数可以被称为可逆函数？答案：可逆函数是具有反函数的函数。

一个函数可以被称为可逆函数，当且仅当它是一对一的（每个输出值只对应一个输入值）且满射的（每个输入值都有对应的输出值）。

以上是关于函数的基本特征的练习及答案，希望对读者有所帮助。

如有任何问题，请随时与我联系。

函数及其函数的三要素题型归纳题型一、理解函数的概念1. 下列说法正确的是 （ ）A.函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了.2. 已知A={}3,2,1±±±,B={1,2,3},则对应关系x y x f =→:是否为A 到B 的函数？__________3. 下列对应关系是否为A 到B 的函数？ （1）.A=R, B=x y x f x x =→>:},0{; （2）.A=Z, B=Z, 2:x y x f =→; （3）.A=R ，B=Z ，x y x f =→:； （4）.A=[-1,1], B={0}, 0:=→y x f .4. 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数： （1）A={0, 1, -1, 2, -2}，B={0, 1, 4},对应关系2:x y x f =→； （2）A=B=R ，对应关系x y x f ±=→:；（3）A={0，1，2，3}，B={0，1，31,21}，对应关系x y x f 1:=→.5. 下列图形中,不可能是函数)(x f y =的图象的是 （ ） 0xy)(A 0xyxy)(C 0xy6. 下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）7. 直线a x =和函数[]2,1,12∈+=x x y 可能有几个交点？8. 直线a x =和函数12+=x y 的图像可能有几个交点？9. 直线a x =,则它与函数)(x f y =的图像的交点个数为多少?题型二、函数求值的5种题型 1、函数求值（基础）1. 已知=-+=)3(,)1()(2f x x f 则________________.2. 已知.)1(),(),1(),1(,1)(的值分别求+-+=x f a f f f x x f3. 已知函数,2)(2x x x f -=分别.)2(),1(),1(),0(的值求++x f a f f f4. 已知)2()2(,)(2-++=f f x x x f 则为 （ ）5. 已知值为时的求满足x x f x x f 2)(,1)(=-=________________.2、多层函数求值6. 已知为则)]1([,1)(f f x x f += （ ）3、分段函数求值7. 已知⎩⎨⎧=-<+>-=)3(0(,1)0(,1)(f x x x x x f ，则）____________.8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=,)0(,1)0(,0)0(,1)(22x x x x x x f（1）当的值；时，求)(4x f x = （2）的值；时，求当x x f 4)(= （3）求.)]}2([{的值-f f f9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=->-=<+=)]}1([{,)0(,1)0(,0)0(,1)(22f f f x x x x x x f 则____________.10. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0(,0)0(,1)0(,)(2x x x x x f ，求)3(),2(-f f 的值.11. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤+=)3(,)33(,1)3(,2)(2x x x x x x x f ，求))).1((()),4(()),2((f f f f f f f --12. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(,2)21(,)1(,2)(2x x x x x x x f 中，若x x f 求,3)(=的值.13. 已知⎩⎨⎧=<-≥-=)]1([,)1(,)1(,1)(f f x x x x x f 则（ ）4、复合函数求值14. 设）的值为则0(),()2(,32)(g x f x g x x f =++= （ ）15. 已知2)11(x xf =+，求)5(f =16. 已知⎩⎨⎧∈<+≥-=）求3(),(,)6(),2()6(,5)(f N x x x f x x x f 的值.17. 已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出那么=))3((g f _________________.5、抽象函数求值18. 已知的值求且函数满足)12(,2)4(,4)3(),()()(f f f b f a f ab f ==⋅=.19. 已知函数.)()()(,)(成立都有对任意实数y f x f xy f y x x f += （1）求的值；与)1()0(f f（2）若.)36(,()3(,)2(的值均为常数），求f b a b f a f ==题型三、函数相等1. 与函数32x y -=为同一函数的是 （ ）A.x x y 2-=B. x x y 2--=C. 32x y -=D. xx y 22-=x1 2 3 4 )(x f 4 321x1 2 3 4 )(x g 32422. 函数1)(1)(2-=-=xx x g x x f 与函数是同一个函数吗？________________.3. 判断下列各组中的两个函数是否相等？并说明理由。

函数三要素与函数图像函数三要素：定义域、法则、值域。

通常定义域和法则确定了，值域也确定了，也可以称为函数两要素。

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例1：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）．3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （2）。

111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （3）。

x x f =)( 2)(x x g =（4）．x x f =)( 33)(x x F = （5）．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （1）解：不是同一函数，定义域不同（2）解：不是同一函数，定义域不同（3） 解：不是同一函数，值域不同（4） 解：是同一函数（5）解：不是同一函数，定义域、值域都不同1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ C ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸2.下列四组函数中，表示同一函数的是（ D ）A ．y=x ﹣1与y=B ．y=与y=C ．y=4lgx 与y=2lgx 2D ．y=lgx ﹣2与y=lg 3.下列各组表示同一函数的是（ C ）A ．y=与y=（）2B ．y=lgx 2与y=2lgxC ．y=1+与y=1+D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）4.下列各组函数f （x ）与g （x ）的图象相同的是（ D ） A ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）=1 B ．f （x ）=x 与g （x ）=C ．f （x ）=，g （x ）=x+2D ．f （x ）=|x|，g （x ）=例2根据所给定义域，画出函数222+-=x x y 的图象。

函数的三要素【知识点】 一、函数的定义域（1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法：常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ；②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1(0)x x≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0(0)x x ≠]④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >]⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合．二、函数的值域对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域．三、解析式（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法；（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2f x x =- （2）0()32(2)f x x x =+-（3）1()12f x x x=+- 【解】（1）{|2}x x ≠ （2）2[,2)(2,)3-+∞U（3）[)()1,22,-+∞U练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22111x x y x --=-（3）()3||f x x =- 【解】（1）{}83x x -≤≤ （2）{}1x x =-（3）[]3,3-练2 函数0()(12)13g x x x x =--的定义域为 ．【1132⎛⎤ ⎥⎝⎦，】例2 函数3()1log (63)f x x x =+-的定义域为（C ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（C ）A ．[1,3)-B ．(1,3)-C ．(1,3]-D ．[1,3]-练4 函数1()ln(31)=+f x x 的定义域是（B ）A ．1(,)3-+∞ B ．1(,0)(0,)3-+∞UC ．1[,)3-+∞D ．[0,)+∞题型二 函数值域 ➢ 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,32x 上的值域．【解】⎥⎦⎤⎢⎣⎡231，练5 求123+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,31x 上的值域． 【解】⎥⎦⎤⎢⎣⎡931，例4 画出函数532-+=x y 的图象，并说出y 的取值范围． 【解】2y ≠练6 画出函数3225y x =++的图象，并说出在42<<x 时y 的取值范围． 【解】图象略，y 的取值范围是297133y <<➢ 分离常数:当分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例5 求1+=x xy 的值域． 【解】}1|{≠y y例6 求121-+=x x y 在]4,2[上的最小值． 【解】75练7 求213x y x +=-的值域． 【解】}2|{≠y y练8 求121+-+=x x y 在]4,2[的值域．【解】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--75,1练9 求函数312x y x +=-，(3,1]x ∈--的值域． 【解】28,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭➢ 打勾函数例7 若0>x ，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．【[)∞+，4】例8 若0x <，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．【(]4--∞，】练10 求函数xx x f 4)(+=的取值范围为 ．【(][)-44+∞∞U ，，】练11 求函数xx x f 4)(2+=的取值范围为 ．【(][)-44+∞∞U ，，】题型三 函数解析式 ➢ 代入法例9 已知2()31f x x =+，()21g x x =-，求[()]f g x 和[()]g f x ．【解】2[()]12124f g x x x =-+ 2[()]61g f x x =+练12 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（B ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +练13 已知函数()34+=x x f ，()2x x g =，求()[]()[]()[]()[]x g g x f g x g f x f f ,,,． 【解】()[]()[]()[]()()[].,34,34,1516422x x g g x x f g x x g f x x f f =+=+=+=➢ 配凑法例10 已知2211()-=+f x x xx，求函数)(x f 的解析式． 【解】2()2f x x =+练14 已知3311()f x x x x+=+，求()f x ．【解】()223)(3-≤≥-=x x x x x f 或例11 已知2(1)3f x x+=，求)(x f 的解析式． 【解】6()1f x x =-例12 若x x x f 21(+=+），求)(x f 的解析式． 【解】()11)(2≥-=x x x f练15 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．【解】2()43f x x x =-+练16 已知(2)31f x x -=+，求)(x f ． 【解】2()31213(2)f x x x x =++≥-练17 已知21()1xf x x-=+，求)(x f ．【解】21()1(1)f x x =++练18 已知函数x x x f 4)1(2-=-，求函数)12(),(+x f x f 的解析式．已知函数)(x f 与函数)1(xf 或函数)(x f -之间的方程式，求函数)(x f 的解析式：消元法． 例13 已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 【解】1()2f x x x=-例14 已知13)()(2-=+-x x f x f ，求)(x f ． 【解】1()33f x x =--练19 已知()x f 满足()()+225f x f x x -=-，求()f x = ．【325+x 】练20 已知()x f 满足22113()+f x f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x = ．【()0414122≠+x x x 】练21 已知()x f 满足1()+432f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x = ．【52554+-x x 】➢ 待定系数法已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法．例15 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ． 【解】272)(-=x x f例16 已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 的解析式． 【解】12)(2--=x x x f练22 已知12))((-=x x f f ，求一次函数)(x f ． 【解】()212f x x =+-()212f x x =++练23 已知二次函数)(x f 满足1)1(=f ，5)1(=-f ，图象过原点，求)(x f ． 【解】2()32f x x x =-练24 已知)(x f 为二次函数，且103)1(2)1(2++-=--+x x x f x f ，求)(x f 的解析式． 【解】()232-+=x x x f【课后练习1】1．函数2()log(1)4=++-f x x x B ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．(1,2)-D ．[2,1]-2．若4()=+f x x x，则下列结论正确的是（B ） A ．()f x 的最小值为4 B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减3．当函数2(),(1)1=+>-f x x x x 取得最小值时，相应的自变量x 等于（A ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知2(1)6-=+f x x x ，则()f x 的表达式是（B ）A ．245+-xx B ．287++xx C ．223+-xx D ．2610+-xx5．（2016年高考江苏卷）函数232y x x =--的定义域是 ．【[]3,1-】6．已知函数()1-xf x =的定义域为______________．【11(,),122⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦U 】7．函数12-=x y 的定义域是()[)5,21,Y ∞-，则其值域是 ．【1(,0)(,2]2-∞U 】8．已知()x f 满足2()3()54f x f x x +-=+，求()f x = ．【455x -+】9．已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f 的解析式． 解：()312-=x x f 或()12+-=x x f10．画出532++=x y 的图像，并说出y 的取值范围． 【解】图像如图所示：由图可知，y 的取值范围是(,2)(2,)-∞+∞U ．【课后习题2】1．已知0x >，函数的最16y x x=+的最小值是（D ） A ．2B ．4C ．6D ．82．函数2()131=--+f x x x 的定义域是（C ） A ．1[,1]3-B ．11(,)33-C ．1(,1)3-D ．1(,)3-∞-3．（2017深圳一模）函数22ln x x y x--+=的定义域为（C ）A ．(2,1)-B ．[2,1]-C ．(0,1)D ．(0,1]4．若4()1f x x x =+-，则下列结论正确的是（A ） A ．当1x >时，()f x 的最小值为4B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增C ．当1x <时，()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减5．已知()f x 是一次函数，且[()]2=+f f x x ，则()=f x （A ）A ．1+xB ．21-xC ．1-+xD ．1+x 或1--x6．如果1()1=-xf xx，则当0≠x 且1≠x 时，()=f x （C ） A ．1x （0≠x 且1≠x ） B ．11-x （0≠x 且1≠x ）C ．11-x （0≠x 且1≠x ）D ．11-x（x ≠0且x ≠1）7．求函数341x y x +=-，(1,4]x ∈的值域． 【解】74,153⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-，求()f x 的解析式． 【解】1()2f x x =--9．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(2)5-=-f f ，2(0)(1)1--=f f ，求()f x 的解析式． 【解】()32=-f x x10．已知函数21)1f x x +=+，求()f x 的解析式． 【解】42()22,0f x x x x =-+>【课后习题3】 1．函数21()92=--f x x xD ） A ．{2}≠xx B ．{3<-xx 或3}>x C ．{33}-≤≤x x D ．{33-≤≤xx 且2}≠2．已知0x <，函数9=+y x x的最大值是（C ） A ．－3B ．3C ．－6D ．63．函数()ln f x x=B ） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞4．已知函数(1)32+=+f x x ，则()f x 的解析式是（A ）A ．31-xB ．31+xC ．32+xD ．34+x5．（2016年高考北京卷文）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 ．【2】6．函数21()3log (6)f x x x =++-的定义域是 ．【[3,5)(5,6)-U 】7．已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求=)4(f ．【18】8．已知()x f 满足213()()2f x f x x+=+，求)(x f ．【解】22311()882x f x x =-+9．已知()f x 是一次函数，且满足2(1)(1)25f x f x x +--=+，求()f x ． 【解】32-x10．已知()()222f x f x x x +-=+，求()f x ．。

姓名，年级：时间：2.2 函数三要素思维导图考向一 定义域【例1—1】（1）已知函数f(x)=lg 1+x 1−x 的定义域为A , 函数g(x)=lg(1+x)−lg(1−x)的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中,不正确的为( ） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⫋ A(2）函数()f x =的定义域为M ,()g x =的定义域为N ，则M N ⋂＝（ ）A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】（1)D (2)B【解析】（1）因为f(x)=lg 1+x1−x ，所以1+x1−x >0即(1+x )(1−x )>0 ，解得−1<x <1 故A ={x |−1<x <1}因为g(x)=lg(1+x)−lg(1−x)，所以{1+x >01−x >0,解得−1<x <1故B ={x |−1<x <1}所以A =B 故选D. （2）要使函数()f x =,则120x ->,解得12x < 所以12M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭要使函数()g x =10x +≥，解得1x ≥- 所以{}1N x x =≥-112M N x x ⎧⎫⋂-≤<⎨⎬⎩⎭＝故选B.【例1—2】(1）（2019·新疆兵团第二师华山中学）设函数()f x =42x f f x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为()考向分析A ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,4C ．[)1,+∞D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）（2018·江西高安中学）函数y=f(x)的定义域是［—1,3]，则函数g (x )=f (2x−1)x+2的定义域是（ )A ．［0,2]B ．[-3，5]C ．［—3,-2］∪[-2,5]D ．(-2，2］ 【答案】(1）B （2）A【解析】由题意，函数()f x =10x -≥，即1x ≥，所以函数42x f f x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足12x ≥且41x ≥,解得24x ≤≤，即函数42x f f x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为[]2,4，故选B ． (2)函数y=f(x)的定义域是[﹣1，3]，要使函数g （x ）=f(2x−1)x+2有意义，可得 {−1≤2x −1≤3x +2≠0，解得:0≤x≤2．∴函数g （x)的定义域是［0，2］．故选：A ． 【例1—3】（1）（2019·河北月考)若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞（2）（2018·江西）若函数f(x)=log 2(mx 2−mx +1)的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ） A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4] 【答案】（1）A （2）B【解析】（1）∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2〉0的解集为R ；①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时,则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞；解得0＜m <8； 综上得,实数m 的取值范围是[0,8)故选：A ．（2）∵函数f(x)=log 2(mx 2−mx +1)的定义域为R ，∴mx 2+mx +1＞0在R 上恒成立，①当m =0时，有1＞0 在R 上恒成立，故符合条件； ②当m ≠0时，由{m ＞0△＝m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜4，综上，实数m 的取值范围是[0,4)． 【举一反三】1.设函数()ln(1)(2)f x x x =--的定义域是A，函数()1)g x =的定义域是B ，若A B ⊆，则正数a 的取值范围是 ( ）A ．3a >B ．3a ≥ C．a >D．a ≥【答案】B【解析】由(1)(2)0x x -->得：12x <<，所以{|12}A x x =<<；由2010x x a ->>得：21x x a >+,所以{}21x x B x a =+，当12x <<时，3215x <+<,则当3a ≥时，{}21x xB x a =+{}1x x =,符合A B ⊆，所以正数a 的取值范围是3a ≥.故选B 。

一、 映射与函数10.7.291. 设B A f →:是集合A 到B 的映射，下列命题中真命题是（ ）A. A 中不同元素必有不同的象B. B 中每一个元素在A 中必有原象C. A 中每一个元素在B 中必有象D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一 2. 给定映射)2,2(),(:y x y x y x f -+→，在映射f 下，)1,3(的原象为（ ）A. 1(，)3B. 1(，)1C. 3(，)1D. 21(，)21 3. 已知函数①442++=x x y ②142+-=x x y )0(≤x ③x y lg =④⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-)0()0(12x x x x y ，那么是从定义域到值域的一一映射的有（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④4. 集合},{b a A =，},,{e d c B =，那么可建立从A 到B 的映射的个数是_______，从B 到A 的映射的个数是______。

5. 已知x x x f 2)1(+=+，则=)(x f __________ 。

6. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A. xa a x f log )(=，xa ax g log )(=1,0(≠>a a )B. 2)(x x f =，33)(x x g =C. 12)(-=x x f )(R x ∈，12)(+=x x g )(Z x ∈D. 24)(2--=x x x f ，24)(2--=t t t g7. 设集合A 和B 都是正整数集合*N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知曲线C 是)(x f y = )(R x ∈的图象，则（ ）A. 直线1=x 与C 可能有两个交点B. 直线1=x 与C 至多有一个交点C. 直线1=y 与C 有且只有一个交点D. 直线1=y 与C 不可能有两个交点 9. 集合{=A 正整数}，集合},1212|{Z n n n x x B ∈+-==，1212:+-=→a a b a f 是集合A 到集合B 的映射，则1715的原象是________。