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最新文档-34导数的四则运算法则-PPT精品文档

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《导数的四则运算法则》ppt课件

《导数的四则运算法则》ppt课件

④从导数运算法则②可以得出 [cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=cf'(x) , 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导 数,即[cf(x)]'= cf'(x) .
.. 导. 学 固思
问题3
运用导数的求导法则,可求出多项式 f(x)=a0+a1x+…+arxr+…+anxn 的导数. 1 r-1 n-1 a +…+na 1+2a2x +…+rarx nx f'(x)= .
2 2 3 1 5 22
.
.. 导. 学 固思
导数公式的综合应用 2 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y =x 相交于 A,B 两点,O 为坐标 原点,试在直线 AB 左侧的抛物线上求一点 P,使△ABP 的面积 最大.
第4课时 导数的四则运算法则
.. 导. 学 固思
1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则. 2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.
3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的
乐趣,激发学生的学习热情.
.. 导. 学 固思
你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写 出推导过程.
xsin x ln x (ln x ) sin xln x+xcos xln x -sin x ln 2 x
)'=
(xsin x )'ln x -xsin x (ln x )'
2
=
.
.. 导. 学 固思
求曲线的切线方程 已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线 的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴所围成的三角形的面积.

导数的四则运算法则 课件)

导数的四则运算法则 课件)

②[cf (x)]′＝__c_f_′_(x_)__．
(3)商的导数gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________．
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－x2·x22xln 2＝1－2xxln 2；
(2)y′＝(xtan
x)′＝xcsoisn
x′
x
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin xccooss2xx＋x．
类型 3 导数计算的综合应用 【 例 3 】 (1) 曲 线 y ＝ 3(x2 ＋ x)ex 在 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 ________． (2)设 f (x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数 a，b，c，d， 使得 f ′(x)＝xcos x．
又∵f ′(x)＝xcos x，
a－d＝0， ∴aa－x＋cxb－＋dc＝＝0x，， 即－ a＝c＝1，0，
b＋c＝0，
解得 a＝d＝1，b＝c＝0．
含参数的函数的求导问题 (1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量． (2)函数 f (x)中含有 f ′(a)时，通常将导数 f ′(x)中的 x 取 a，求出 f ′(a) 的具体值，代入函数 f (x)中，从而确定函数的解析式． (3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法 则确定参数的值即可．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：

《导数的四则运算》PPT课件_OK

《导数的四则运算》PPT课件_OK

x+x2+x3+…+xn的导数.
解：(1) x
x2
x3
xn
x(1
xn) (x
1),
1 x
Pn (
x)
(x
x2
x3
xn
)
(
x xn1 1 x
)
( x xn1 )(1 x) ( x xn1 )(1 x) 1 (n 1)xn nxn1
(1 x)2
(1 x)2
.
(2)Sn [Pn ( x)]
Y=(x+1)(x+2)(x+3)
9
• 猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x) 的导数
10
讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x) 的导数并证明.
11
例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方 程
y=5x+2
12
例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的 切线所对应的切点．
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是
l的方程.
17
所以
2x1x12
2
2 x22
x2 a
,
消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得
x1=-1/2,此时点P与Q重合.
即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得 公切线方程为y=x-1/4.
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,

北师大版选修1-1高中数学3.4《导数的四则运算法则》ppt课件

北师大版选修1-1高中数学3.4《导数的四则运算法则》ppt课件
§4 导数的四则 运算法则
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
思维脉络
1.了解函数的和、差、积、商的导 数公式的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积、商的求 导法则,能正确运用求导法则求某些简 单函数的导数. 3.能正确地进行求导运算,树立多角 度、换位思考的意识,优化解题思维, 简化解题过程.
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
������(������) ������(������)
'=������'(������)������(������������2)-(������������()������)������'(������)[g(x)≠0].
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一利用导数公式及运算法则求导
利用导数的运算法则求函数的导数时,应注意以下几点: (1)要熟记基本初等函数的导数公式,并能根据具体情境灵活选择相应
的导数公式求其导数. (2)求导之前,尽可能地化简函数解析式,特别是对幂函数求导之前,应
先将根式转化为指数式,再利用幂函数的导数公式求导.
=(sin������+������(clons���������)���)2ln������-sin������.
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导数的四则运算法则课件

导数的四则运算法则课件
详细描述
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程

导数运算法则PPT精品课件

导数运算法则PPT精品课件

B．长．长度不变，但顺序改变
精典例题
5.诱发突变与自然突变相比，正确的是 D
A．都是有利的 B．都是定向的 C．都是隐性突变 D．诱发突变率高
精典例题
4、人类能遗传给后代的基因突变常
发生在
C
A.减数第一次分裂
B.四分体时期
C.减数第一次分裂的间期
D.有丝分裂间期
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f (x)
g
(
x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(4) y 6x3 x ; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
DNA分子中的碱基对发生变化 这种变化可否遗传? 如何遗传？
mRNA分子中的碱基发生变化 可以遗传
相应氨基酸的改变 相应蛋白质的改变
突变后的DNA分 子复制,通过减数 分裂形成带有突 变基因的生殖细 胞,并将突变基因 传给下一代.

高等数学导数的四则运算法则(课堂PPT)

导数的定义 用定义求导数 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系
2
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题 自由落体运动的路程S是时间t的函数：s(t ) 1 gt 2
2
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s t
s s0 t t0
g 2 (t0
x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
6
y
x x0 ,割线MN就转化为切线MT
割线MN的斜率就转化为曲线在 M处的切线的斜率
o
y f (x)
N
CM
x0
T
xx
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
共性： lim y x0 x
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
21
例8 过M (3,8)做曲线 y x2的切线,写出切线方程.
解 易见点M (3,8)不在曲线y x2上.
设曲线y x2的过M点的切线的切点为P( x0, x02 )
曲线在P点的切线的斜率为f ( x0 ) 2 x0
v S S(t t) S(t)
t
t
平均速度 v与Δt的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但Δt的值愈小，v 愈接近于t时刻的速度
v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
S(t t) S(t)
v v(t) Lim
t 0
t
4
3.曲线的切线问题
N

人教版导数的四则运算法则PPT教学课件


已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝ ________.
[答案] －(1×2×3×…×2015) [解析] 依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)， 则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)， 故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．
(2)由f′(x)为一次函数知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋ bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.将f(x)、f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x －1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x都成立，则需要a＝b，b＝2c，c＝1.解 得a＝2，b＝2，c＝1.
• 求函数y＝f(x)的导数的步骤是什么？
答案：(1)求函数改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)求平均变化率ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx；
(3)取极限，得导数f′x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则 若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)， (f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数的和(或差)． (2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′＝ f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
求下列函数的导数：
(1)y＝cos3x－π6；(2)y＝ln(2x2＋3x＋1)． [解析] (1)设y＝cosu，u＝3x－π6，

导数的运算法则课件


则y′u=3uln 3，u′v=
1， vln 2
v′x=2x-2，
所以y′x=
(2x 2) 3log2 (x2 2x3) ln 3 (x2 2x 3)ln 2
2log2 3 (x 1)3log2 (x2 2x3) . x2 2x 3

【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其
则对 求导.
1 2x
【自主解答】(1)y=f(x)= 1 =(1-3x)-4．
(1 3x)4
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=12 ．
(1 3x)5
f′(1)=
12 3. (1 3)5 8
答案：1.6x2-12x+2 2. x2 2x
(x 1)2
知识点2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 特别要注意的是中间变量. (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.
2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是_y_=_f_(_g_(_x_)_)_. ②可分解为_y_=_f_(_u_)_与_u_=_g_(_x_)_，其中u称为_中__间__变__量__. (2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， u=g(x)的导数间的关系为：y′x=_y_′__u_·_u_′__x_.
所以
(f (x) g(x)
)
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工具
第三章 变化率与导数
(5)若f(x)＝tan x，则f′(x)＝ (6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝
1 cos2x ；
－sin12x
(7)若f(x)＝ax，则f′(x)＝ axln a (a>0)；
(8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ ex ；
(9)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ (10)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝
f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0) ．
工具
第三章 变化率与导数
1．函数 y＝x＋1x的导数是( )
A．1－x12
B．1－1x
C．1＋x12
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案： A
工具
第三章 变化率与导数
2．下列结论：①若
y＝
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
1 ，则 x
y′|x＝2＝－
22；②若
y
＝cosx，则 y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个来自数是( )A．0
B．1
C．2
D．3
解析： 正确的是②③，共有2个，故选C.
答案： C
工具
第三章 变化率与导数
3．已知函数y＝2xln x，则y′＝________.
解析： y′＝(2x)′ln x＋2x(ln x)′ ＝2xln 2ln x＋2xx 答案： 2xln2ln x＋2xx
先进行化简，再 利用加、减法法 则
＝－x43－x94
工具
第三章 变化率与导数
序号 (3)
解题过程
理由
因为 f(x)＝1＋sinsinx x
所以
f′(x)＝cos
x1＋sin x－sin 1＋sin x2
xcos
x
利用了导数的 除法法则
＝1＋cossinxx2
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsxosc2xosx＋xsin2x ＝sinxccooss2xx＋x.
§ 4 导数的四则运算法则
工具
第三章 变化率与导数
4.1 导数的加法与减法法则
工具
第三章 变化率与导数
4．2 导数的乘法与除法法则
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
1.理解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导． 2.掌握导数的加法、减法、乘法、除法法则的运用.
工具
第三章 变化率与导数
(4)
＝lg x＋x·xln110
＝lg x＋ln110
利用了导数的 乘法法则
工具
第三章 变化率与导数
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝xx－ ＋11； (3)y＝x·tanx.
工具
第三章 变化率与导数
解析： (1)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x －2)′
工具
第三章 变化率与导数
解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导 数公式和四则运算法则求解．
工具
第三章 变化率与导数
[解题过程]
序号 (1)
(2)
解题过程
y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′ －(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－
9x2－10x
理由
加法法则及减法 法则
y′＝x22′＋x33′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4
1.利用导数的四则法则求导．(重点) 2.常与导数的综合应用结合进行考查．(难点)
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝ ；0
(2)若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝
αx；α－1
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ cos x ； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝ －sin x ；
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
工具
第三章 变化率与导数
(2)方法一：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′ ＝x＋212.
1 xln a 1 x
(a>0，且a≠1)； .
工具
第三章 变化率与导数
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
；
(2)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)；
(3)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(4)gfxx′＝