苏州高中数学同步辅导第3章3.1-3.1.1分数指数幂

3.1指数函数3.1.1分数指数幂学习目标：1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2.掌握有理指数幂的运算法则．(重点)3.了解实数指数幂的意义．[自主预习·探新知]1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，如果一个实数x满足x n＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根，式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n na>0)形式；③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．3．根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)(na n)＝a(n为大于1的奇数)；(4)(na n)＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为大于1的偶数)．4．分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)a mn＝na m(a>0，m，n均为正整数)；(2)a －mn＝1amn(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．5．有理数指数幂的运算性质(1)a s a t＝a s＋t；(2)(a s)t＝a st；(3)(ab)t＝a t b t，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．[基础自测]1．思考辨析(1)16的四次方根为2.()(2)(π－4)2＝π－4.()(3)4－16＝－2.()[解析](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)(π－4)2＝|π－4|＝4－π；(3)4－16没意义．[答案](1)×(2)×(3)×2．若n是偶数，n(x－1)n＝x－1，则x的取值范围为________．[解析]x－1≥0，∴x≥1.[答案] [1，＋∞)3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)【导学号：48612149】[解析] 根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误． [答案] (1)(2)4．设5x ＝4,5y ＝2，则52x －y ＝________. [解析] 52x －y＝52x 5y ＝(5x )25y ＝422＝8.[答案] 8[合 作 探 究·攻 重 难](1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)a 6；(5)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)．[思路探究] 利用根式的性质进行求解． [解] (1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(5)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2.当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.1．(1)化简：(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3＝________. (2)若x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x ＝________.【导学号：48612150】[解析] (1)易知a －1≥0，原式＝(a －1)＋|a －1|＋1－a ＝a －1＋(a －1)＋1－a ＝a －1.(2)由题知0＝|x －1|＋|y ＋3|， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y ＋3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， ∴y x ＝(－3)1＝－3.[答案](1)a－1(2)－3[思路探究]利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化．2．将下列根式化成分数指数幂的形式．[思路探究]将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．[跟踪训练][答案](1)ac(2)①36.5②5[[提示]2．立方和(差)公式是什么？[提示]a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．[思路探究]母题探究：1.(变结论)在本例条件下，则a2－a－2＝________.[解析]令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.[答案]±3 51．以下说法正确的是________．(填序号)【导学号：48612151】①正数的n次方根是正数；②负数的n次方根是负数；③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；④a的n次方根是n a.[解析]由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时na才有意义，故④错．[答案]③2．计算：x2－2x＋1＝________.(x<1)[解析]原式＝(x－1)2＝|x－1|＝1－x. [答案]1－x3．计算[(－2)2]－12的结果是________．[解析][(－2)2]－12＝2－12＝22.[答案]224．计算：(36a9)4(63a9)4＝________. [解析](36a9)4(63a9)4＝(a918)4(a918)4＝a4. [答案]a45．若代数式2x－1＋2－x有意义，化简：4x2－4x＋1＋24(x－2)4.[解]由2x－1＋2－x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，2－x≥0，即12≤x≤2.故4x2－4x＋1＋24(x－2)4＝(2x－1)2＋24(x－2)4＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.。

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数A级基础巩固1．下列一定是指数函数的是( )A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0，a≠1)C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x答案：C2．下列判断正确的是( )A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.答案：D3．函数y＝2x＋1的图象是( )解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.答案：A4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x－1D．e－x＋1解析：和y＝e x关于y轴对称的是y＝e－x，将其向左移一个单位即y＝e－x－1.答案：C5．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5x g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝( )A．1 B．2 C．3 D．－1解析：先求函数值，再解指数方程．因为g(x)＝ax2－x，所以g(1)＝a－1.因为f(x)＝5|x|，所以f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1.所以|a－1|＝0.所以a＝1.答案：A6．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜|a |＜2B ．|a |＜1C ．|a |＞1D ．|a |＞ 2解析：根据指数函数性质知a 2－1＞1，即a 2＞2. 所以|a |＞ 2. 答案：D7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x，则实数x 的取值范围________．解析：因为a 2＋a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋54>1，即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x在R 上为增函数，所以x >1－x ⇒x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1，b ∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b 的值为________．解析：因为函数y ＝a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋b ＝0，a 0＋1＝2，即b ＝－2.答案：－29．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________．解析：因为f (x )为奇函数且定义域为R ， 所以f (0)＝0，即a ＋140＋1＝0.所以a ＝－12.答案：－1210．求函数y ＝32x －1－19的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0， 即32x －1≥3－2.因为函数y ＝3x 是增函数， 所以2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞11．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解：令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为0≤x ≤3，所以当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121.故所求函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.12．已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解：f (x )＝1＋22x －1，因为2x －1≠0，所以x ≠0.所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R，且x ≠0}． (2)证明：任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－22x 2－1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1－1）（2x 2－1）.因为x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2， 所以2x 2＞2x 1且2x 1＜1，2x 2＜1.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在(－∞，0)上为减函数．B 级 能力提升13．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x－1a 过点⎝⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，当a >1时，1－1a∈(0，1)且为增函数，排除A ，B ；当0<a <1时，1－1a <0且y ＝a x－1a为减函数，排除C.答案：D14．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2.①所以得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2.② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2.所以f (x )＝2x －2－x . 所以f (2)＝22－2－2＝154.答案：B15．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集是________．解析：(1)当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，所以0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．答案：{x |0≤x ≤1}16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝12，但此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ⇒a ＝14，m＝116，适合题意． 答案：1417．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤415.采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12＞415.x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416＜415.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.。

3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.2．指数函数的图象和性质1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝3·2x 是指数函数． ( ) (2)指数函数的图象与x 轴永不相交． ( ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为增函数．( )(4)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x ＞1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×[提示] (1)y ＝3·2x 的系数为3，故y ＝3·2x 不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交．(3)y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．(4)a >1时，若x <0，则a x <1.2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号) (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ； (5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．(4)(6) [只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b >0且b ≠1，所以是．]3．若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(2,9)，则f (x )＝________. 3x [由于a 2＝9，∴a ＝±3.∵a ＞0，∴a ＝3， ∴f (x )＝3x .]【例1】 函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值．思路点拨：利用指数函数的定义求解．[解] ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a >0，a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a >0，a ≠1，∴a ＝6，即a 的值为6.指数函数具有以下特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ；②指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1．已知y ＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >12且a ≠1 [要使y ＝(2a －1)x 是指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1.](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23与1；(3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2. 思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数．又∵－1.8>－2.6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6. (2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>1. (3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1，∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类： (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象.2．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.60.4与0.40.6； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. [解] (1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π<－3， ∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y ＝0.6x 在R 上递减， ∴0.60.4>0.60.6.又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 图象的上方， ∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313>1,223>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<1，又在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象在y ＝4x 的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<413＝223， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.【例3】 (1)已知4≥2x ＋1>223，求x 的取值范围； (2)已知0.3x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y，求x ＋y 的符号．思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解． [解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x ＋1>223. ∵y ＝2x 是单调递增的，∴2≥x ＋1>23， ∴－13<x ≤1， ∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x ≤1. (2)(0.3)x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310－y＝0.3－y.∵y ＝0.3x 是减函数，∴x <－y ，∴x ＋y <0.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．3．(1)若例3题(1)改为4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1>223，则x 的取值范围为_____．(2)解关于x 的不等式a 3x －2≤a x ＋2，(a ＞0且a ≠1)．(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－53 [∵223<2－(x ＋1)≤22，又y ＝2x 是增函数，∴23<－(x ＋1)≤2，解得－3≤x <－53.](2)[解] ①当a >1时，3x －2≤x ＋2，∴x ≤2. ②当0<a <1时，3x －2≥x ＋2，∴x ≥2. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤2}， 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥2}.1．在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝2x ＋1，y ＝2x ＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y ＝2x ，y ＝2x －1，y ＝2x －1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．[提示]结论：y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到； y ＝2x ＋1＋2的图象是由y ＝2x ＋1的图象再向上平移2个单位得到； y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到； y ＝2x －1－2的图象是由y ＝2x －1的图象再向下平移2个单位得到．2．在同一坐标系中，做出y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y ＝a x －1均过该点．在另一坐标系中，做出y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y ＝a x ＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y ＝a x ＋m ＋n (m ，n >0)的图象经过的定点是什么？[提示]结论：y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1都过定点(0,0)，且y ＝a x －1也总过定点(0,0)．y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1都过定点(－1,0)，且y ＝a x ＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y ＝a x ＋m ＋n 的图象经过定点(－m,1＋n )．3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y ＝4a 2x －4＋3是否过定点．[提示] 还可以整体代换． 将y ＝4a2x －4＋3变形为y －34＝a 2x －4.令⎩⎪⎨⎪⎧y －34＝1，2x －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝7，即y ＝4a 2x －4＋3过定点(2,7)． 【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________．思路点拨：题(1)中可将y ＝3－x 转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. 题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解． (1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．4．函数y ＝f (x )＝a x ＋2－12(a >1)的图象必过定点______，其图象必不过第________象限．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 四 [y ＝a x (a >1)在R 上单调递增，必过(0,1)点，故求f (x )所过的定点时可以令⎩⎨⎧x ＋2＝0，y ＋12＝1⇒⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝12，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.结合图象(略)可知，f (x )的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的性质分底数a >1,0<a <1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1. 4．在y 轴右侧，底数a 越大，图象越靠近y 轴.1．下列所给函数中为指数函数的是( )①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝4x 2；⑥y ＝x 2；⑦y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，a ≠1. A ．①③ B ．②④⑥ C ．①⑦D ．①④⑦C [形如y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．] 2．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意可知，0<2－a <1，即1<a <2.]3．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．(5,2) [指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]4．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．[解] 当x ≥0时y ＝2|x |＝2x ； 当x ＜0时y ＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．。

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.1 分数指数幂(对应学生用书P41)A级基础巩固1．下列各式正确的是()A.a2＝aB.6a6＝aC.5a5＝|a| D.7a7＝a解析：A、B不正确，因为当a≤0时，a2＝－a，6a6＝－a；C不正确，na n＝a(n为奇数)，故D正确．答案：D2．若a＜12，则化简4（2a－1）2的结果是()A.2a－1 B．－2a－1 C.1－2a D．－1－2a解析：因为a＜12，所以2a－1＜0，所以（2a－1）2＝1－2a.所以4（2a－1）2＝1－2a.答案：C3．若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x ∈R 且x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜12解析：因为(1－2x )－34＝14（1－2x ）3，所以1－2x ＞0，得x ＜12.答案：D4．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73解析：原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 答案：A5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( )A ．2x －5B ．－2x －1C ．－1D ．5－2x解析：因为2－x 有意义，所以2－x ≥0，即x ≤2.所以x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝（x －2）2－（x －3）2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x )＝－1.答案：C6.614－3338＋40.062 5－(3＋π)0的值是( ) A ．0 B.12 C ．1D.32解析：原式＝52－32＋0.5－1＝12.答案：B7．化简（π－4）2＋3（π－4）3的结果为________． 解析：原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. 答案：08．若x ＜0，则|x |－x 2＋x2|x |＝________．解析：因为x ＜0，所以原式＝－x －(－x )＋－x－x ＝－x ＋x ＋1＝1.答案：1 9．若4a 2－4a ＋1＝3（1－2a ）3，则a 的取值范围是________．解析：因为（2a －1）2＝|2a －1|＝1－2a ， 所以2a －1≤0，即a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1210．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－x 14＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x 14＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 12＋1＝________．解析：原式＝[(x 12＋1)2－(x 14 )2](x －x 12＋1)＝(x ＋1＋x 12 )(x －x 12＋1)＝(x ＋1)2－(x 12)2＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋111.⎝⎛⎭⎪⎪⎫36a 94·⎝⎛⎭⎪⎪⎫63a 94的结果是________． 解析：[(a 96)13]4·[(a 93)16]4＝a 12×4·a 12×4＝a 2＋2＝a 4.答案：a 412．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________．解析：因为m ＝2－3，n ＝2＋3， 所以原式＝1（3－3）2＋1（3＋3）2＝112－63＋112＋63＝ 16(12－3＋12＋3)＝16()2＋3＋2－3＝46＝23. 答案：23B 级 能力提升13．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.x x －1解析：由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1. 所以y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝xx －1.答案：D14.已知二次函数 y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：由图象知a ＜0，－ba ＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0， 所以4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a . 答案：D15．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）43b a(a ，b >0)的结果是________．解析：原式＝[a 3b2(ab 2)13]12÷(ab 2b 13a －13)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13·12b ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋23×12÷(a 23b 73)＝a 53－23·b 43－73＝ab.答案：ab16．计算下列各式的值：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a 85·b －65)－12·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解：(1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝a －45b 35·a 45÷b 35＝a －45＋45·b 35－35＝a 0b 0＝1.17．化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23b a ·3a . 解：原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13 ＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13·b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13 ＝a .18．已知a ＝2 0131n －2 013－1n2(n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n 的值．解：因为a ＝2 0131n －2 013－1n2，所以a 2＋1＝2 0132n ＋2 013－2n －24＋1＝（2 0131n ）2＋2＋（2 013－1n ）24＝（2 0131n ＋2 013－1n ）24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0131n＋2 013－1n 22. 所以a 2＋1＋a ＝2 0131n ＋2 013－1n2＋2 0131n －2 013－1n2.所以(a 2＋1＋a )n ＝2 013.。

【创新设计】2013-2014版高中数学 3.1.1.1分数指数幂的概念同步训练 苏教版必修1双基达标 限时15分钟 1.3－125＝________. 解析 ∵－125＝(－5)3，∴3－125＝3－53＝－5.答案 －5答案 m 9n －43．对于a ＞0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是________．①(a m )n ＝a m ＋n ；②a m ·b n ＝(ab )mn ；③(b a )m ＝a －m b m；④n a n ＝a ；⑥m a n ＝(m a )n .答案 ③④⑤⑥4．化简x ＋32－3x －33＝________.解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3－x －3，x ≥－3－x －3－x －3，x <－3＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6，x ≥－3－2x ，x <－3 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6，x ≥－3－2x ，x <－3 5．设|x |<3，则x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝________.解析 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|∵|x |<3，∴－3<x <3.当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4；当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ －4，1≤x <3－2x －2，－3<x <16．化简：(1) 7＋43；(2) 4x 2－12xy ＋9y 2.解 (1) 7＋43＝4＋43＋3＝2＋32＝2＋ 3. (2)4x 2－12xy ＋9y 2＝2x －3y 2＝|2x －3y | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y 2x ≥3y ，3y －2x 2x <3y . 综合提高 限时30分钟 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析 ∵f (f (0))＝f (20＋1)＝f (2)＝22＋2a ＝2a ＋4，∴2a ＋4＝4a ，∴a ＝2.故填2.答案 2解析 由已知，得a ＋a －1＋2＝25，∴a ＋1a＝23， ∴a a 2＋1＝1a ＋1a ＝123. 答案 1239．若49a 2－6a ＋1＝1－3a ，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵49a 2－6a ＋1＝43a －12 ＝|3a －1|＝1－3a ，∴1－3a ≥0，∴a ≤13. 答案 (－∞，13] 10．设x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么y 等于________．解析 2b ＝x －1,2－b ＝1x －1，∴y ＝1＋2－b ＝x x －1. 答案 xx －111．已知67x ＝27,603y ＝81，求3x －4y的值． 解 观察目标可以得到对条件进行如下变形，12．已知x ＋1x ＝3，求下列各式的值：(1)x ＋1x ；(2)x 2＋1x2. 解 (1)因为9＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x ＋2＋1x ，所以x ＋1x ＝7. (2)因为x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2＝72－2＝47. 13．已知x 2－4x ＋4＋y 2＋10y ＋25＝0，求y x.点拨 求y x 需知道x ，y 的值，因此需将已知条件式化简，利用恒等式的意义，求出x ，y 的值．解 由已知x 2－4x ＋4＋y 2＋10y ＋25＝x －22＋y ＋52＝0， 得|x －2|＋|y ＋5|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－5，∴y x ＝(－5)2＝25.。

1各式中的n ∈N ，a ∈R )中，一定有意义的个数是________．2．计算122[(]-的结果是________．3．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的序号是________．①12()x =- (x ≠0) 34x =③13x-=112x = ⑤34()x y -=xy ≠0)13y = (y ＜0)4．若1(2m -=+，1(2n -=，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是________．5．下列结论中，正确的个数是________． ①当a ＜0时，3232()a a =a = (n ＞1且n ∈N *)③函数102(2)(37)y x x =---的定义域是(2，＋∞) ④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝16．已知111(20112011)2n n a -=- (n ∈N *)．则)n a 的值为________．7．求下列各式的值．(2)13210341(0.027)()25631)7-----+-+；(4)13(8a-(a ＞0，b ＞0)．8．化简下列各式：(1)111222 m mm m--+++；(2)112122333331()()3a b c a b c----÷-；(3)21321111362515()() 46x yx y x y-----；(4)222222223333x y x yx y x y--------+--+-b.参考答案1．2 解析：①③两式一定有意义；∵(－4)2n＋1＜0，∴③无意义；当a＜0时④无意义．解析：原式1212122-====3．②⑤解析：①12x=-(x≠0)，∴①错；②111133222224()x x x x x⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②对；③13131xx-==，∴③错；④11117334412x x x x+=⋅==，∴④错；⑤3344x yy x-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(xy≠0)，∴⑤对；⑥1133y y==-(y＜0)，∴⑥错．∴②⑤正确．4.23解析：∵2m==2n==+∴2222(1)(1)(3(3m n----+++=+()()((()()22222233112423633333+=+===+-.5．1 解析：①中，当a＜0时，()()3313223322()a a a a a⎡⎤===-=-⎢⎥⎣⎦，∴①不正确；当a＜0，n为奇数时，a=；∴②不正确；③中有20,370.xx-≥⎧⎨-≠⎩即x≥2且73x≠，故定义域为77[2,)(,)33+∞U，∴③不正确．④中，∵100a＝5,10b＝2，∴102a＝5,102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，∴2a＋b＝1.④正确．6．2011 解析：由已知得2222211 21111201120112120112011220112011444n n n n n n a---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11111112011201120112011201122n n n n na--⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1)(2011)2011n nna==.7．解：(1)原式531342222==-+=.(2)原式()133283411010.37214964119333⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=-+-+=-+-+=.(3)原式3317725252105711025555.55+--⋅===⋅(4)原式13568a--⎛=⎝⎭1511113683828a a b a b---⎛⎫=⋅⋅⎪⎝⎭1511113623888a b--++-+⎛⎫= ⎪⎝⎭()1300131222a b--===.8．解：(1)原式2221111112222221122111122222.m m m m m mm mm m m m------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+++(2)原式12112882103333333333.a b c a b c ac+-++=-=-=-(3)原式21111111332266624524245x y x y y-+--+=⋅⋅⋅=⋅=.(4)原式33332222333322223333x y x yx y x y--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++2222223333x x y y----⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222222222333333322.x x y y x y xy-------⎛⎫⎛⎫---=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（新课标）最新苏教版高中数学必修一分数指数幂1(各式中的n ∈N ，a ∈R)中，一定有意义的个数是________．2．计算122[(]-的结果是________．3．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的序号是________．①12()x =- (x ≠0) 34x =③13x-=112x = ⑤34()x y -=≠0)13y = (y ＜0)4．若1(2m -=+，1(2n -=-，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是________．5．下列结论中，正确的个数是________． ①当a ＜0时，3232()a a =a = (n ＞1且n ∈N *)③函数102(2)(37)y x x =---的定义域是(2，＋∞) ④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝16．已知111(20112011)2nn a -=- (n ∈N *)．则)n a 的值为________．7．求下列各式的值．(2)13210341(0.027)()25631)7-----+-+；2(4)13(8a-(a ＞0，b ＞0)．8．化简下列各式： (1)111222m m mm--+++；(2)112122333331()()3a b c a b c ----÷-；(3)21321111362515()()46x yx y x y -----；(4)222222223333x y x yx y x y--------+--+-b.参考答案1．2 解析：①③两式一定有意义；∵(－4)2n＋1＜0，∴③无意义；当a＜0时④无意义．2.2解析：原式12121222-====.3．②⑤解析：①12x=-(x≠0)，∴①错；111133222224()x x x x x⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②对；③13131xx-==，∴③错；④11117334412x x x x+=⋅==，∴④错；⑤3344x yy x-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(xy≠0)，∴⑤对；⑥1133y y==-(y＜0)，∴⑥错．∴②⑤正确．4.23解析：∵2m==-2n==+.∴2222(1)(1)(3(3m n----+++=++()()((()()22222233112423633333++=+===.5．1 解析：①中，当a＜0时，()()3313223322()a a a a a⎡⎤===-=-⎢⎥⎣⎦，∴①不正确；当a ＜0，na=；∴②不正确；③中有20,370.xx-≥⎧⎨-≠⎩即x≥2且73x≠，故定义域为77[2,)(,)33+∞U，∴③不正确．④中，∵100a＝5,10b＝2，∴102a＝5,102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，∴2a＋b＝1.④正确．6．2011 解析：由已知得2222211 21111201120112120112011220112011 444n n n n n n a---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11111112011201120112011201122n n n n na--⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1)(2011)2011n nna==.7．解：(1)原式53132222=-=-+=.(2)原式()133283411010.37214964119333⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-+-+=-+-+=.(3)原式3317725252105711025555.55+--⋅===⋅(4)原式13568a--⎛=⎝⎭1511113683828a a b a b---⎛⎫=⋅⋅⎪⎝⎭1511113623888a b--++-+⎛⎫= ⎪⎝⎭()1300131222a b--===.8．解：(1)原式2221111112222221122111122222.m m m m m mm mm m m m------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+++(2)原式12112882103333333333.a b c a b c ac+-++=-=-=-(3)原式21111111332266624524245x y x y y-+--+=⋅⋅⋅=⋅=.(4)原式33332222333322223333x y x yx y x y--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++2222223333x x y y----⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222222222333333322.x x y y x y xy-------⎛⎫⎛⎫---=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。