2019-2020年高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1

教学设计2．2 指数运算的性质导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程,自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习：指数运算的性质．推进新课错误!错误!①我们知道错误!＝1。

414 213 56…，那么1.41，1.414,1。

414 2,1.414 21，…是错误!的什么近似值？而1.42,1.415，1。

414 3，1。

414 22，…是错误!的什么近似值?②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问,学生回答，积极交流,及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于错误!的方向．问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看,注意其关联．问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1。

§2 指数幂的运算性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握指数幂的运算性质．(重点)2.能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q ).(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q ). (3)(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q ).有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 思考：以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算[]()－2212＝()－22×12＝()－21＝－2提示：错误，[]()－2212＝()2212＝21＝2.1．用分数指数幂的形式表示a 3·a ()a >0的结果是( )A ．a 52B ．a 72 C.a 4D ．a 32 B [a 3·a ＝a 3·a 12＝a 3＋12＝a 72．故选B.]2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18C [(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6≠a 6b 6.]3.614－3338＋30.125 的值为________． 32[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32.] 4．计算814×42＋⎝⎛⎭⎫32×36.[解] 原式＝234×214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫213×3126＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.对指数幂的运算性质的理解【例1】 (1)下列函数中，满足f ()x ＋1＝12f ()x 的是( )A ．f ()x ＝4xB ．f ()x ＝4－xC ．f ()x ＝2xD ．f ()x ＝2－x(2)222·52＝( ) A ．202 B ．2022C ．102D ．1022(1)D (2)A [(1)f ()x ＋1＝2－(x ＋1)＝12×2－x ＝12f ()x .故选D. [(2)222·52＝42·52＝()4×52＝202.]1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如[]()－2214先化为()2214.[跟进训练]1．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．()－a 23＝()－a 32C ．()a 23＝a 5D ．()－a 23＝－a 6D [a 2·a 3＝a 5，A 错； (－a 2)3＝(－1)3×a2×3＝－a 6，(－a 3)2＝(－1)2×a3×2＝a 6，B 错；()a 23＝a 6，C 错，故选 D.]根式的化简与求值 【例2】 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－0.010.5； (2)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫780＋[(－2)3]－43＋16－0.75；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）30.1－2（a 3b －3）12(a >0，b >0).[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412×432100·a 32·a －32·b －32·b 32＝425a 0b 0＝425.在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．[跟进训练] 2．计算：(1)0.02713－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )；(3)23a ÷46a ·b ·3b 3.[解] (1)原式＝(0.33)13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)·(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43.根据条件求值【例3】 已知a 12＋a －12＝5，求下列各式的值： (1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2.[思路点拨] 从待求式如何用已知式表示入手，可考虑用整体代换思想以及幂的运算性质的逆用的技巧求解．[解] (1)将a 12＋a －12＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，所以a ＋a －1＝3. (2)将a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，所以a 2＋a －2＝7.1．在本例条件不变的情况下，则a 2－a －2＝______．±35 [令y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45， ∴y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.]2．若本例变为：已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求a 12－b 12a 12＋b 12值．[解] a 12－b 12a 12＋b 12＝（a 12－b 12）2（a 12＋b 12）（a 12－b 12）＝（a ＋b ）－2（ab ）12a －b .①∵a ＋b ＝12，ab ＝9，②∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝122－4×9＝108. ∵a ＜b ，∴a －b ＝－6 3.③将②③代入①，得a 12－b 12a 12＋b 12＝12－2×912－63＝－33.,1．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．2．对于条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意实数a ，am ＋n＝a m a n.( ) (2)当a >0时，()a mn＝a mn.( ) (3)当a ≠0时，a m an ＝a m －n.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．23·53＝( )A ．103B ．103C ．310D ．73B [由实数指数幂的运算性质(ab )n＝a n b n知，23·53＝()2×53＝103.]3．已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 B [∵x 12＋x －12＝5，∴x ＋2＋x －1＝25， ∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.]4．已知10x＝3，10y＝4，求103x －y2的值．[解] 103x －y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫103x 10y 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤()10x 310y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33412＝332.。

§2指数扩充及其运算性质整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程2．1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数概念的扩充．推进新课新知探究提出问题1整数指数幂的运算性质是什么？2观察以下式子，并总结出规律：a＞0，①5a10＝5a25＝a2＝a105；②a8＝a42＝a4＝a 82；③4a12＝4a34＝a3＝a124；④2a10＝2a52＝a5＝a102.3利用2的规律，你能表示下列式子吗？4 53，375，5a7，nx m x>0，m，n∈N＋，且n>1.4你能用方根的意义来解释3的式子吗？5你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a ·a ·a ·…·a ，a 0＝1(a ≠0)；00无意义；a －n ＝1an (a ≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab )n ＝a n b n .其中n ，m ∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2105a =，②a 8＝82a ，③124a ，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？ ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是11mnm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是： 有时我们把正分数指数幂写成根式，即m n m na a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m n m naa =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是11m nm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？ 如133(1)1-=-＝－1，26(1)-＝6－12＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： (1)a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， (3)(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例思路1例1求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b . (1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b－5n＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3计算下列各式：(1)13 27；(2)32 4.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==思路2例1比较5，311，6123的大小．活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了．解：因为5＝653＝6125，311＝6121，而125＞123＞121，所以6125＞6123＞6121.所以5＞6123＞311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法．例2求下列各式的值：；(2)23×31.5×612.活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1)，对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活动进行评价．解：＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝124433+⎛⎫⎪⎝⎭＝(14134(3)＝763＝363；(2)23×31.5×612＝2×123×1332⎛⎫⎪⎝⎭×(3×22)16＝111332-+·＝2×3＝6.例3计算下列各式的值：(1)[(322a b-)－1·132()ab-·(12b)7]13；12-；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．解：(1)原式＝11323362()()a b ab ---·7132()b ＝21711217113692632622a b b b b ab-+--+-=＝22033a b a =；另解：原式＝(32a b－21322a b -·72b )13＝(313722222a b +--+)13＝(a 2b 0)13＝23a ；(2)原式＝1＋1a1＋a －a ＋1a a －1＝a ＋1a 1＋a－a ＋1a a －1＝1a －a ＋1a a －1＝1a(1－a ＋1a －1)＝－2a a －1＝2aa 1－a ； (3)原式＝(2132a b )－3÷(b －4a －1)12＝32a-b －2÷(b －212a-)＝3122a-+b －2＋2＝a －1＝1a.例4已知a ＞0，对于0≤r ≤8，r ∈N ＋，式子(a )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a 的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．解：(a )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r ＝82r a -·4r a -＝8163244r r r aa ---=. 16－3r 能被4整除才行，因此r ＝0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由X 围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．例5已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x. (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法，整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果学生有难度，教师可以提示引导，对(1)为平方差，利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难以发现已知和未知的关系，可写出具体算式，予以探求．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝(e x －e －x ＋e x ＋e －x )(e x －e －x －e x －e －x )＝2e x (－2e －x )＝－4e 0＝－4； 另解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝e 2x－2e x e －x ＋e－2x－e 2x －2e x e －x －e－2x＝－4ex －x＝－4e 0＝－4；(2)f (x )·f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y)＝e x ＋y＋e－(x ＋y )－ex －y－e－(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4，同理，可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋y －g x －y ＝4，gx ＋y ＋g x －y ＝8，解得g (x ＋y )＝6，g (x －yg x ＋y g x －y ＝62＝3.点评：将已知条件变形为关于所求量g (x ＋y )与g (x －y )的方程组，从而使问题得以解决，这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中重要的数学思想．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是( )． A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0 D ．(－a 2)3＝－a 6(2)下列各式①4－42n，②4－42n ＋1，③5a 4，④4a 5(各式的n ∈N ，a ∈R )中，有意义的是( )．A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④(3)(34a 6)2·(43a 6)2等于( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4(4)把根式－25a －b－2改写成分数指数幂的形式为( )．A ．－2(a －b )25-B ．522()a b ---C．－2(2255a b---) D．－2(5522a b---)(5)化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷的结果是( )．A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式12－6－63＝－33.拓展提升1．化简132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝(13x)3－13＝(13x－1)·(21331x x++)；x＋1＝(13x)3＋13＝(13x＋1)·(21331x x-+)；x－13x＝13x[(13x)2－1]＝13x(13x－1)(13x＋1)．构建解题思路，教师适时启发提示．解：213311x x x -++＋1311x x ++－13131x xx --＝13332133()11x x x -++＋133313()11x x ++－121333131x x x x --＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x -+++-+-++-+++-＝13x －1＋2133x x -＋1－211333x x x -=-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b -+＝a －b ，1122()a b ±2＝a ±11222ab ＋b ，(13a ±13b )(21123333aa b b +＝a ±b .2．已知1122a a-+＝3，探究下列各式的值的求法．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.解：(1)将1122a a-+＝3，两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7；(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47； (3)由于3322a a--＝(12a )3－(12a-)3，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++=--＝a ＋a －1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-=＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．作业习题3—2 A组1,2,3,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．。

第三章指数运算与指数函数3.1指数幂的拓展 (1)3.2指数幂的运算性质 (7)3.3 指数函数 (12)1、指数函数的概念指数函数的图象和性质 (12)2、指数函数及其性质的应用 (21)复习巩固 (28)3.1指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.1．正分数指数幂的定义是什么？2．正分数指数幂有哪些性质？3．负分数指数幂的定义是什么？1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得b n＝a m，则称b为a的mn次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.②a＝n a m.2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝1a＝1n a m.能否将3－27＝－3写成(－27)＝－3?[提示]不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有3－27＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：(1)b4＝35；(2)b－3＝32.[解](1)∵b4＝35，∴b＝3.(2)∵b－3＝32，∴b＝32.2.计算：(1)8＝________；(2)27＝________.(1)2(2)19[(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.(2)由负分数指数幂的定义，得27＝127.设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝19 .]类型1 根式的化简与求值【例1】化简：(1)n x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4()x＋24.[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，n x－πn＝x－π.综上可知，nx －πn＝⎩⎨⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)4()x ＋24＝||x ＋2＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2.正确区分n a n 与⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n(1)n a n 表示a 的n 次方的n 次方根，而⎝ ⎛⎭⎪⎫na n表示a 的n 次方根的n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＝a .②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.[跟进训练]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0B [∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.] 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.]类型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】 (1)3可化为( ) A ． 2B ．33C ．327 D．27(2)5a－2可化为( )A ．a B．a C．a D．－a[思路点拨] 熟练应用n a m＝a mn是解决该类问题的关键．(1)D(2)A[(1)3＝()33＝27. (2) 5a－2＝()a－2＝a.]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子n a m＝a的两点说明(1)根指数n即分数指数的分母；(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．2．通常规定a中的底数a>0.[跟进训练]3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.[解](1)13a ＝1a＝a；(2)4a－b3＝()a－b.类型3 求指数幂a mn的值【例3】求下列各式的值：(1)64；(2)81.[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足b n ＝a m 时，a ＝b (m ，n ∈ N ＋，a ，b >0)求解．[解] (1)设64＝x ，则x 3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096， ∴64＝16. (2)设81＝x, 则x 4＝81－1＝181， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，∴81＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．[跟进训练]4．求下列各式的值： (1)125；(2)128.[解] (1)设125＝x ，则x 3＝125， 又∵53＝125， ∴125＝5. (2)设128＝x ，则x 7＝128－1＝1128， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝1128，∴128＝12. 随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 2表示23个2相乘．( )(2) a ＝m a n(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )(3) a＝n a m[答案](1)×(2)×(3)√2.3a－2可化为( )A．a B．aC．a D．－a[答案]A3．计算243等于( )A．9 B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243＝3.]4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.[答案]55．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，(1)a3＝________；1(2)＝________.3a53.2指数幂的运算性质学习目标核心素养1.掌握指数幂的运算性质．(重点)2. 能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养.指数幂的运算性质由哪些？指数幂的运算性质(a>0，b>0，α∈R，β∈R) 1．aα·aβ＝aα＋β；2．(aα)β＝aαβ；3．(ab)α＝aα·bα.以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算[提示]错误，.1.23×2×2－2＝________.2.(x2y－1z3)＝________.[答案]x y z类型1 指数幂的运算【例1】计算下列各式：[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4×4100·a ·a ·b·b ＝425a 0b 0＝425.在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．[跟进训练] 1．计算：(2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3. [解] (1)原式＝－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c. (3)原式＝.类型2 对指数幂的运算性质的理解【例2】 (1)下列函数中，满足f ()x ＋1＝12f ()x 的是( )A ．f ()x ＝4xB ．f ()x ＝4－xC ．f ()x ＝2xD ．f ()x ＝2－x(2)＝( )(1)D (2)A [(1)f ()x ＋1＝2－(x ＋1)＝12×2－x ＝12f ()x .故选D.1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为.[跟进训练]2．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．()－a 23＝()－a 32C.()a 23＝a 5D ．()－a 23＝－a 6D [a 2·a 3＝a 5，A 错；(－a 2)3＝(－1)3×a 2×3＝－a 6，(－a 3)2＝(－1)2×a 3×2＝a 6，B 错；()a 23＝a 6，C 错，故选D.]类型3 根据条件求值 【例3】 已知a ＋a ＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2. [解] (1)将a ＋a＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，所以a ＋a －1＝3. (2)将a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，所以a 2＋a －2＝7.在本例条件不变的情况下，则a 2－a －2＝______.±35 [令y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.] 条件求值的步骤[跟进训练]3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求a－ba＋b的值．[解]a－b a＋b＝a－b2 a＋b a－b＝a＋b－2aba－b.①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 3.③将②③代入①，得a－ba＋b＝12－2×9－63＝－33.随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 对任意实数a，a m＋n＝a m a n.( )(2) 当a>0时，()a m n＝a mn.( )(3)当a≠0时，a ma n＝a m－n.( )[答案](1)×(2)√(3)√2．2·5＝( )A ．103B ．10C ．310D ．7 3B [由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n 知，2·5＝()2×5＝10.]3．已知x ＋x ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27B [∵x ＋x ＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x ＝x ＋x －1＝23.]4.614－ 3338＋30.125 的值为________． 32[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32.] 5．8×42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×36________.110 [原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.]3.3 指数函数1、指数函数的概念 指数函数的图象和性质学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y ＝a x (a >1)和y ＝a x (0<a <1)的定义域、值域和单调性各是什么？3．y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0且a ≠1)的图象和性质有什么关系？知识点1 指数函数的概念1．定义：当给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此，y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．2．性质：(1)定义域是R ，函数值大于0； (2)图象过定点(0,1)．指数函数的解析式有什么特征？[提示] 指数函数解析式的3个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝x 2是指数函数．( )(2)指数函数y ＝a x 中，a 可以为负数．( ) (3)y ＝2x ＋1是指数函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×2.函数y ＝(a －2)a x 是指数函数，则a ＝________.3[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.(2)x[设f(x)＝a x(a >0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝2，即f(x)＝(2)x.]知识点2 指数函数的图象和性质1．对于函数y＝a x和y＝b x(a>b>1)．(1)当x<0时，0<a x<b x<1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，a x>b x>1.2．对于函数y＝a x和y＝b x(0<a<b<1)．(1)当x<0时，a x>b x>1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，0<a x<b x<1.3．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大4．一般地，指数函数y＝a x和y＝⎝⎛⎭⎪⎫a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R 上的单调性相反．(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ (2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与底数a 有什么关系？[提示] (1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．(2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．( )(2)已知函数f (x )＝3x ，若m >n ，则f (m )>f (n )．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)． ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；②y ＝(3＋1)x ；③y ＝2－x ；④y ＝(a 2＋2)x . [答案] ②④6.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． [答案] (3，＋∞)7.函数y ＝a x －1－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． (1,0) [由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y ＝a x －1－1中，当x ＝1时，恒有y ＝0，即函数y ＝a x －1－1的图象恒过点(1,0)．]第1课时 指数函数的概念、图象和性质类型1 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ；③y ＝32x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x 是指数函数；③中，y ＝32x ＝9x ，故③是指数函数；④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y ＝a x (a >0，且a ≠1)的形式．[跟进训练]1．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1C [由指数函数定义知⎩⎨⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]类型2 指数型函数的定义域和值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . [解] (1)∵x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1x －4≠0，∴2≠1，∴y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合．(2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[跟进训练] 2．函数f (x )＝3x －4＋2x－4的定义域是________． [2,4)∪(4，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧x －4≠0，2x－4≥0，解得x ∈[2,4)∪(4，＋∞)．]3．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [∵a x －a ≥0， ∴a x ≥a ，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]4．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[解]①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.类型3 指数型函数图象【例3】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2){m|m≥1，或m＝0} [(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[跟进训练]4．函数f(x)＝2x＋2－x2x－2－x的大致图象为( )A B C DA[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝2－x＋2x 2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．再考虑单调性：f(x)＝2x＋2－x2x－2－x＝22x＋122x－1＝1＋222x－1，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]5．(多选)函数y＝a x－1a(a>0，a≠1)的图象可能是( )A B C DCD [当a >1时，1a ∈(0,1)，因此x ＝0时，0<y ＝1－1a <1，且y ＝a x －1a在R上是增函数，故C 符合；当0<a <1时，1a>1，因此x ＝0时，y <0，且y ＝a x －1a在R 上是减函数，故D 符合．故选CD.]指数函数图象变换问题探究为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f (x )＝2x 为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)＋1；(3)y ＝－f (x )；(4)y ＝|f (x )－1|.[问题探究]1．请分别写出这4组函数的解析式． [提示] (1)y ＝f (x －1)＝2x －1； (2)y ＝f (|x |)＋1＝2|x |＋1； (3)y ＝－f (x )＝－2x ； (4)y ＝|f (x )－1|＝|2x －1|.2．若给出函数f (x )＝4x 的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．[提示] 能．(1)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (x －1)＝4x －1的图象．(2)保留函数y ＝f (x )＝4x 在y 轴右侧的图象，并对称至y 轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y ＝f (|x |)＋1＝4|x |＋1的图象．(3)函数y ＝－f (x )＝－4x 与y ＝f (x )＝4x 的图象关于x 轴对称．(4)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝f (x )－1＝4x －1的图象，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴的上方，便得到函数|f (x )－1|＝|4x －1|的图象.随堂检测1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个B [由指数函数的定义可判定，只有②正确．]2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12C [依题意得：2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，故选C.]3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A BC DC [函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.] 4．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4 [因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是增函数，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4.]5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．7 [由已知得⎩⎨⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.]2、指数函数及其性质的应用类型1 指数式的大小比较【例1】 (链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫311与⎝ ⎛⎭⎪⎫833；(3)1.50.3和0.81.2.[解] (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫311x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833x 的图象(如图)，由图知⎝ ⎛⎭⎪⎫311>⎝ ⎛⎭⎪⎫833.(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.比较指数式大小的3种类型及处理方法[跟进训练]1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1， ∴0.8－0.2>0.8－0.1，而0.8－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看做指数函数y ＝a x 的两个函数值．当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6；当a >1时，a 0.5<a 0.6. 类型2 解含指数型不等式 【例2】 求解下列不等式：(1)已知3x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围；(2)若a －5x >a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5＝30.5，所以由3x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5可得3x ≥30.5，因为y ＝3x 在R上为增函数，故x ≥0.5.(2)①当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x <x ＋7，解得x >－76.②当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x >x ＋7，解得x <－76.综上，当0<a <1时，x >－76；当a >1时，x <－76.指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)的解法： 当a >1时，f (x )>g (x )； 当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0，且a ≠1)，a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0，且a ≠1)等．[跟进训练]2．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2x 的解集为________．{x |x ≥1，或x ≤－2} [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝(2－1)x 2－2＝22－x 2，∴原不等式等价于22－x 2≤2x .∵y ＝2x 是R 上的增函数， ∴2－x 2≤x ，∴x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1， ∴原不等式的解集是{x |x ≥1，或x ≤－2}．] 类型3 指数型函数性质的应用指数型函数的单调性问题【例3】 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调区间．[解] 令t ＝x 2－2x ＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 为减函数，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．指数型函数的奇偶性问题【例4】 若函数y ＝a －12x－1为奇函数． (1)确定a 的值； (2)求函数的定义域．[解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0，∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．指数型函数性质的综合问题【例5】 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求f (x )的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x.又f (0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1，x ∈0，1，0，x ＝0，－2x 4x＋1，x ∈－1，0(2)f (x )＝2x1＋4x ，x ∈(0,1)为减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1.∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上是减函数．由奇函数的对称性知f (x )在(－1,0)上也是减函数．∴当0<x <1时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1<x <0时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.而f (0)＝0，故函数f (x )在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.1．对于形如f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y ＝a x 及函数g (x )的单调性来处理．2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[跟进训练]3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2，求f (x )的值域与单调区间．[解] 令u ＝2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋1≤1，定义域为R ，故u 在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．4．求函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调区间．[解] 函数的定义域为R ，令t ＝2x ，x ∈R 时，t ∈(0，＋∞)．y ＝(2x )2－2×2x ＋5＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，t ∈(0，＋∞)． 当t ≥1时，2x ≥1，x ≥0； 当0<t <1时，0<2x <1，x <0.∵y ＝(t －1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t ＝2x 在[0，＋∞)上递增，∴函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调增区间为[0，＋∞)． 同理可得单调减区间为(－∞，0].随堂检测1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B [由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]2．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5D [∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.]3．若f (x )＝3x＋1，则( ) A ．f (x )在[－1,1]上为减函数B ．y ＝3x＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0,1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)B [f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0,2)，则C 错误；由3x>0，可得f (x )>1，则D 错误．故选B.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为________．(－∞，＋∞) [由已知得，f (x )的定义域为R . 设u ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]5．不等式52x 2>5x ＋1的解集是________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1 [由52x 2>5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.]复习巩固类型1 指数的运算【例1】 化简：(1)；[解] (1)原式＝＝2－1×103×10＝2－1×10＝102. (2)原式＝＝a 2·a 2＝a 4.指数运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．[跟进训练]1．0.25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3702×[(－2)3]＋(2－1)－1－2＝________.－1252 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－(－2)2×(－2)4＋12－1－ 2＝12－4×16＋(2＋1)－ 2 ＝－1252.] 类型2 函数图象及其应用由解析式判断函数图象【例2】 定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )A B C D A [∵当x ≥0时，2x ≥1，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.][跟进训练]2．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )A BC DA [对于函数y ＝2x －x 2，当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ； 当x ＝－2时，2x－x 2＝14－4＜0，排除D.故选A.]应用函数图象研究函数性质【例3】 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点坐标为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [在同一坐标系中画出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图，由图知当x <x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>x 3，当x >x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<x 3.代入x ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝1<23，∴2>x 0.再代入1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝2>13，∴x 0>1.] [跟进训练]3．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．2a ＋2c ＜2B ．2－a ＜2cC ．a ＜0，b ≥0，c ＞0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0A [作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．对于A ，∵a ＜c ，且f (a )＞f (c )，结合函数图象，如果a ，c 位于函数的减区间(－∞，0)，此时a ＜b ＜c <0，可得f (a )＞f (b )＞f (c )，与题设矛盾；如果a ，c 不位于函数的减区间(－∞，0)，那么必有a ＜0＜c ，则f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c －1，即2a ＋2c ＜2.故A 正确．对于B ，C ，D 选项，取a ＝－2，b ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或14，c ＝12， 满足a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，但是B ，C ，D 选项均不成立．]指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．类型3 指数函数的性质及应用比较大小【例4】(1)比较数的大小：(1)27,82；(2)比较1.5，23.1,2的大小关系是( )A．23.1<2<1.5B．1.5<23.1<2C．1.5<2<23.1D．2<1.5<23.1(1)[解]∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.(2)C[∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，∴1.5<2.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，13.1<3.1，∴2<23.1，∴1.5<2<23.1.]数的大小比较常用方法：(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．[跟进训练]4．比较下列数的大小：a1.2，a1.3.[解]∵函数y＝a x(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0<a<1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.函数性质综合应用【例5】已知f(x)＝a＋22x＋1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)若函数f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋22x＋1＝1－2x1＋2x为奇函数，∴a＝－1.(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝22x1＋1－22x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，由x1<x2，得2x1＜2x2，∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0,2x2 ＋1>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，∴f(x)max＝f(－1)＝43＋a，若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝43＋a≤0，得a≤－43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝9x －3x ＋1＋c (其中c 是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f (x )＜0成立，求实数c 的取值范围； (2)若存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)＜0成立，求实数c 的取值范围． [解] f (x )＝9x －3x ＋1＋c ＝(3x )2－3·3x ＋c ， 令3x ＝t ，则g (t )＝t 2－3t ＋c .(1)当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]，g (t )＝t 2－3t ＋c <0恒成立． ∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最大值为g (3)， ∴g (3)＝32－3×3＋c <0，解得c <0.故c 的取值范围为{c |c <0}．(2)存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)<0，等价于存在t ∈[1,3]，使g (t )＝t 2－3t ＋c <0，于是只需g (t )在[1,3]上的最小值小于0即可．∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＋c <0，解得c <94，故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪c <94.1．(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <aC [由函数y ＝0.6x 为R 上的减函数，得1>0.60.6>0.61.5>0，而1.50.6>1，所以b <a <c .故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [法一：当x >0时，f (x )＝2x >1，则不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1，恒成立当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，解得x >－14，综上知，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.法二：设F (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∵f (x )在R 上是增函数，∴F (x )为R 上的增函数，原不等式即为F (x )>1，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1，∴原不等式等价于F (x )>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，即知x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．{x |－1<x <2} [不等式可化为2x 2－x <22，∵函数y ＝2x 为R 上的增函数， 所以不等式等价于x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.则知不等式的解集为{x |－1<x <2}．]4．(2015·山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [f (x )＝2x ＋12x －a ，f (－x )＝2－x ＋12－x －a ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴a ＝1.∴f (x )＝2x ＋12x －1，∴f (x )>3，即2x ＋12x －1>3，故不等式可化为2x －22x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1，∴x 的取值范围为(0,1)．]。

1 / 3指数幂的运算性质【教材分析】指数幂的指数由整数扩充到了实数，其指数运算的运算性质照样适用。

本节内容是实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

【教学目标】（1）知识目标：实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

（2）核心素养目标：通过实数指数幂的综合运算，提高学生数学运算的核心素养。

【教学重难点】（1）实数指数幂的运算性质；（2）根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。

【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入a n =a ∙a ∙a ∙⋯∙a ⏟ n 个a， a 0=1(a ≠0)， a −n =1a n 。

a m n=√a m n(a >0)， a−m n=1a m n=√a mn>0)。

在初中，学习了整数指数幂的运算性质a m ∙a n =a m+n ， (a m )n =a mn ， (a ∙b )n =a n ∙b n 。

二、新知识类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下： a ，b 为正实数，α，β为实数2 / 3a α∙a β=a α+β， (a α)β=a αβ， (a ∙b )α=a α∙b α。

例1．计算： （1）(2−3)13×(√2)−2； （2）8−23×(√4)3； （3）(19)12+4−12−1−13。

解：（1） (2−3)13×(√2)−2=2−3×13×212×(−2)=2−1×2−1=2−2=14；（2） 8−23×(√4)3=(23)−23×23=2−2+3=2；（3） (19)12+4−12−1−13=3−2×12+22×(−12)−1=3−1+2−1−1=−16。

2019-2020年高中数学分数指数幂教案(一)新课标人教版必修1(B)三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?生：，（）2，（）3，….师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?生：（），（），（）.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P=（）.师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.那么这些数（），（），（）的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P=（）就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x2=a，那么x对于a来说扮演着什么角色？生：x是a的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号表示.（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±（a＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作=0；③当a≥0时，≥0，所以类似=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.例如叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（）2；（2）；（3）；（4）（a＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（）2=5；（2）=－2；（3）=|－2|=2；（4）=|3－a|=a－3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题?生：主要涉及了（）n与的问题.合作探究：（1）（）n的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（）n=a.例如，（）3=27，（）5=－32.（2）当n是奇数时，=a；当n是偶数时，=|a|=例如，=－2，=2；=3，=|－3|=3.（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（）3；（2）；（3）；（4）（a＞b）.解：（1）（）3=－8；（2）=10；（3）=π－3；（4）=|a－b|=a－b.【例2】化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）===；（2）==；（3）=－=－；（4）==x2；（5）==.三、课堂练习1.若x∈R，y∈R，下列各式中正确的是A.=x+yB.－=x－yC.+=2xD.+=02.=成立的条件是A.≥0B.x≠1C.x＜1D.x≥23.在①；②；③；④（各式中n∈N，a∈R）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x＜10时，－=________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x－18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n=a（n＞1，n∈N*），则x叫做a的n次方根.当n是奇数时，实数a的n次方根用符号表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±表示，负数的偶次方根无意义.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（）n=a.（2）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n次方根的定义2.n次方根的性质3.根式的定义4.n次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业2019-2020年高中数学分数指数幂教案(三)新课标人教版必修1(B)三维目标一、知识与技能1.理解无理数指数幂的含义.2.掌握无理数指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂与无理数指数幂之间的内在联系，培养学生辩证地分析问题、认识问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过无理数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类对事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解无理数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.无理数指数幂的含义的理解.2.无理数指数幂的运算性质的掌握.教学难点1.无理数指数幂概念的理解.2.实数指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：我们所学习的数的进化过程是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：从有理数到实数有什么补充?生：无理数.师：上节课学习了分数指数幂的概念及有理数指数幂的运算性质，指数的取值范围由整数推广到了有理数.那么，当指数是无理数时，我们又应当如何来处理呢?（众生思考，议论纷纷，但无结果）师：这就是我们本节课要学习的无理数指数幂.二、讲解新课（一）无理数指数幂的意义师：不妨看这样一个例子：5这个数的结果是一个什么数?为什么?生：无理数.因为指数是无理数，所以它也是无理数.师：我们从具体的数据来看一下是否成立呢?（多媒体操作显示如下图片）师：你发现上面的两表具有什么样的规律？生：第一张表是从大于的方向逼近，5就从51.5，51.42，51.415，51.4143，…，即大于5的方向逼近5；第二张表是从小于的方向逼近，5就从51.4，51.41，51.414，51.4142，…，即小于5的方向逼近5.师：因此，我们可以得出这样一个结论：5肯定是一个什么数?生：实数.一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论无理数指数幂的意义时，对底数a也有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定无理数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性） 若无此条件会引起混乱，如若a =－1，那么a α是+1还是－1就不确定了. （二）指数幂的运算法则师：有理数的运算性质能否适用于无理数呢?生：因为无理数指数幂也是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.有理数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质. （生口答，师板书）对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s （a ＞0，r 、s ∈R ）； ②（a r ）s =a r s （a ＞0，r 、s ∈R ）； ③（ab ）r =a r b r （a ＞0，b ＞0，r 、s ∈R ）.（三）例题讲解【例1】 使用计算器计算下列各式的值：（保留到小数点后第四位） （1）0.21.52；（2）3.14－2；（3）3.1；（4）5. 解：（1）0.21.52≈0.0866； （2）3.14－2≈0.1014；（3）3.1≈2.1261； （4）5≈9.7385.【例2】 化简下列各式：（1）+－13131--x x x ；（2）+－； （3）+.（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：（1）+－13131--x x x =11)(3132331++-x x x +11)(31331++x x －1)1(313231--x x x =1)1)(1(3132313231++++-x x x x x +1)1)(1(31313231++-+x x x x －1)1)(1(31313131-+-x x x x =（x －1）+（x －x +1）－x （x +1）=x －1+x －x +1－x －x =－x .（2）+－=+－=（－）+（2－）－（2－）=－+2－－2+=0. （3）+=+= +1)(221111+--+----b a ab b a b a ab ab =+= =1.方法引导：化简（1）这类式子，要考虑运算公式；化简（2）这类式子，要考虑根号里面可能是一个平方数；化简（3）这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.【例3】写出使下列等式成立的x的取值范围：（1）（）3=；（2）=（5－x）.解：（1）只需有意义，即x≠3，∴x的取值范围是（－∞，3）∪（3，+∞）.（2）∵==|x－5|，∴|x－5|=（5－x）成立的充要条件是x+5=0或即x=－5或∴x的取值范围是［－5，5］.三、巩固练习课本P63练习：4（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）4.（1）1.3346；（2）0.0737；（3）0.9330；（4）0.0885.四、课堂小结师：本节课你有哪些收获，能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点）1.无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.2.指数幂的运算法则①a r a s=a r+s（a＞0，r、s∈R）；②（a r）s=a rs（a＞0，r、s∈R）；③（ab）r=a r b r（a＞0，b＞0，r、s∈R）.五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（3）1.无理数指数幂的意义2.指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。

第三章 指数、对数、幂函数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、 引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质；n n n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()(4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、 新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n throot ），其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n= 当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3）4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、 归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、 作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题．2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：五、引入课题（备选引例）5．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？6．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？7．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？8．上面的几个函数有什么共同特征？六、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数)1y x≠>=且叫做指数函数（exponentialaa,0a(function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y = （2）x )21(y = （3）x 2y =（4）x 3y =（5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x 2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可否利用x2y =的图象画出x )21(y =的图象？ 3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？9． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；（三）典型例题例1．（教材P 66例6）．解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？例2．（教材P 66例7）解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．巩固练习：（教材P 69习题A 组第7题）七、 归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．八、作业布置3．必做题：教材P69习题2．1（A组）第5、6、8、12题．4．选做题：教材P70习题2．1（B组）第1题．课题：§2.2.1对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解．教学过程：九、引入课题10．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．11．尝试解决本小节开始提出的问题．十、新课教学1．对数的概念一般地，如果Na x=)1>aa，那么数x叫做以．a为底(≠,0．．N的对数（Logarithm ），记作：N x a log =a — 底数，N— 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2N N a a x =⇔=log ○3 思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数Nln ．2． 对数式与指数式的互化x N a =log⇔ N a x =对数式 ⇔ 指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题． 3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N a Na=log ；（5）n a n a =log ． 十一、 归纳小结，强化思想 ○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 十二、 作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.2对数函数（一）教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．教学过程：十三、引入课题1．（知识方法准备）○1学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．○2对数的定义及其对底数的限制．设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2．（引例）教材P 81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系P t 215730log=，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念） 十四、 新课教学 （一）对数函数的概念 1．定义：函数(l o g >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 巩固练习：（教材P 68例2、3） （二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）（1） x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：○3 思考底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． （三）典型例题例1．（教材P 83例7）． 解：（略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解． 巩固练习：（教材P 85练习2）．例2．（教材P83例8）解：（略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．巩固练习：（教材P85练习3）．例2．（教材P83例9）解：（略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．十五、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．十六、作业布置5．必做题：教材P86习题2．2（A组）第7、8、9、12题．6． 选做题：教材P 86习题2．2（B 组） 第5题．课题：§2.2.2对数函数（二）教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对对数函数的性质的综合运用． 教学过程： 十七、 回顾与总结 1． 函数xy x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？○1 ○2 ○3（3）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（4）已知函数xy x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图象，则底数之间的关系：． 教log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a42． 完成下表（对数函数x y a log =,0(>a 且)0≠a 的图象和性质）3． 根据对数函数的图象和性质填空．○1 已知函数x y 2log =，则当0>x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y ；当4>x 时，∈y ．○1 已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当5>x 时，∈y ；当20<<x 时，∈y ；当2>y 时，∈x ．十八、 应用举例例1． 比较大小：○1 πa log ，e a log ,0(>a 且)0≠a ；○2 21log 2，)1(log 22++a a )(R a ∈． 解：（略）例2．已知)13(log -a a 恒为正数，求a 的取值范围． 解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．．例3．求函数)78lg()(2-+-=x x x f 的定义域及值域． 解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数x y a log =在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a 的值；（2）求函数)106(log 23++=x x y 的最小值． 解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例5．（2003年上海高考题）已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性． 解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例6．求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间． 解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”． 练习：求函数)23(log 221x x y --=的单调区间．十九、 作业布置 考试卷一套课题：§2.2.2对数函数（三）教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．难点反函数的概念．教学程序与环节设计：由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．教学过程与操作设计：课题：§2.3幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．教学过程与操作设计：课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．教学过程与操作设计：。

指数函数的图象和性质【教材分析】本节课是北师大版高中数学的内容，是在学生学习了幂函数的基础上，将要学习的另一个具体函数，本节课的学习还为后续对数函数的学习提供了探究的思想方法。

因此，它在函数的学习进程中起着承上启下的作用。

【学情分析】高一学生已经学习了集合、函数的概念和性质及幂函数，具备了基本的作函数图象和研究函数性质的知识储备；同时，数形结合、分类讨论、从特殊到一般的化归思想也为本节课的学习奠定了基础。

但是，函数作为高中数学的难点，学生在理解和运用上还不够熟练，需要不断地学习和强化。

【教学目标】知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；过程与方法：在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如从特殊到一般的过程，数形结合的方法等；情感态度与价值观：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系。

【教学重难点】重点：指数函数的概念和性质。

难点：用数形结合的方法探索并概括指数函数的性质。

【教学过程】（一）创设情境，引入新课情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”。

这句话告诉我们什么道理呢？假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，一天后知识量是______1.01 两天后知识量是______21.01三天后知识量是______31.011.01一年后知识量是______365那么，若干天后会怎样？两年后，三年后会怎样？怎么计算？我们用变量x 来表示天数，那么你获取的知识量y 与天数x 之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢？________)(01.1N x y x∈=假设我们的知识的减少量也按每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么？________()N x y x ∈=99.0 计算一下，一个月你丢掉了多少？一年后你还剩下多少？情境2． 《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

2019-2020年高中数学指数函数教案北师大版必修1教学目标（1）理解指数函数的含义，能借助计算机画出指数函数的图象；（2）探索并理解指数函数的性质；（3）能利用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小．教学重点指数函数的含义及其性质．教学难点指数函数的性质及其在比较两个指数式值的大小方面的应用．教学过程一、问题情境1．情境：由课本第49页“古莲子开花”问题引出指数函数．2．问题：函数与函数有哪些相同的特征呢？二、建构数学1．指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，它的定义域是．2．观察并比较指数函数的图象，归纳指数函数性质．3．指数函数的性质：指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：说明：（1）由图象的关系得出结论：函数与的图象关于轴对称（也即与的图象关于轴对称）；（2）轴为指数函数的“渐近线”：随着的增大，图象越来越趋向于轴（时）；随着的减小，图象越来越趋向于轴（时）．三、数学运用1．例题：例1．求下列函数的定义域：（1）；（2）．例2．比较大小：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．例3．（1）已知，求实数的取值范围；（2）已知，求实数的取值范围；（3）设求实数的取值范围．2．练习：课本第52页练习第1、2、4、5题．四、回顾小结：1．理解指数函数的含义，能画出指数函数的图象，借助图象理解指数函数的性质；2．能利用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小；3．与指数函数有关的复合函数的定义域问题．五、课外作业：课本第54页习题2.2(2) 第1、2题、第55页第7、9题．补充（选做）：1．已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象；（3）写出函数的单调区间．2．设且，函数，，若，求的取值范围．2019-2020年高中数学指数教案(共两课时)新课标人教版必修1(A)一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a 的平方根.同理，若，则叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a的n 次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n 次方根为零，记为举例：16的次方根为，等等，而的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：肯定成立，表示a n的n 次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n 为奇数， n 为偶数,|8|8==-=-=小结：当n 为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值（1）分析：当n 为偶数时，应先写，然后再去绝对值.思考：是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,为偶数时，；2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时 3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题第二课时提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义;()m n m n m n mn a a a a a +⋅==(),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：＞0① ②③ ④小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：*(0,,1)m n a a n N n =>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)m n a a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1(0,,)mn mn a a m n N a -=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m m a a a a a =⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r s a a aa r s Q +⋅=>∈ （2）()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈（3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62. 即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)所以，是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： (0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈3．例题（1）．（P 60，例2）求值解：① 2223323338(2)224⨯==== ② 1112()21222125(5)555--⨯--==== ③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-=== ④334()344162227()()()81338-⨯--=== （2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a a a +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.课堂练习：P63练习第 1，2，3，4题补充练习：1.计算：的结果2.若13107310333,384,[()]naa a aa-==⋅求的值小结：1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P69习题 2.1 第2题。