高中数学《分数指数幂》PPT

21
11
15
(1) (2a3b2 )(6a2b3 ) (3a6b6 );
解：原式
=
[2
(6)
(3)]a
2 3
1 2
1 6
1
b2
1 3
5 6
4ab0 4a;
(2) (a b 2 3 )(4a1b) (12a4b2c)
(4) 12a21 b4 312c1
1 3
ac1
.
13
(4)(m 4 n8 )8
(52
)
1 2
52(
1 2
)
51
1 5
;
(3)
(
1 2
)5
(
21 )5
25
32;
. (4)
(
16 81
)
3 4
[(
2 3
)4
]
3 4
( ) 2
4(
3 4
)
3
(
2 3
)3
27 8
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式.
利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中
a >0).
(1) a2 3 a2 ; (2) a 3 a .
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
3
5 43 45; 5
3 75 73; 2
3 a2 a 3;
(m
1 4
)8
(n
3 8
)8

没有意义,为什么?
练 习 :用 根 式 的 形 式 表 示 下 列 各 式
1
(1) a 2
3
-3
-2
(2) a4 (3) a5 (4) a3
二、分数指数
m
定义：a n n a m (a 0, m, n N * ,且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化.
(2)(a 2 2 a 2 ) (a 2 a 2 )
3、已知x x1 3，求下列各式的值
1
1
(1)x 2 x 2
1
1
(2)x 2 x 2
4、化简 (3 6 a9)4(6 3 a9)4的结果是（C）
A .a 16 B8 a .C a 4.D a 2.
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
1
例２．利用分数指数幂的形式表示 下列各式（式中a>0）
a2a, a33a2, aa.
例３．计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1 ) (2 a 3 b 2)(-6 a 2 b 3) (-3 a 6 b 6);
(2)
(m14n-83)8;
(3) (325- 125)45;
m
规定:（1）a n
1
m
(a
0, m, n
N * ,且n
1)
an
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 数幂没意义.
幂的运算法则的推广： 原整数指数幂的运算法则可推广到有理数。
(1)ar as ars

→→ (2)
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
被开方数的指数 根指数
(3)������
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
(4)
������
������������
=
__������__���_���_������
定义正数a的分数指数幂意义是：
������
������ ������
=
������
������������
������−
������ ������
=
������
������ ������������
(其中a>0, m, n均为正整数且n>1)
2
(m n)3
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
(1)������.
������������������−
������ ������
(2)������������−
������ ������
������
(3)������������������
1
(1) a5 (2)
3
a4 (3)
5a
4 a3
2、用分数指数幂表示下列各式：
a
(
3
54
)
1 5 a3
2
a3
1 3 a2
பைடு நூலகம்

3 .分数指数幂的运算.
作业：
1、练习册12.7(1)（在学校里完成）； 2、堂堂练12.7(1) ； 3 、工作单（C层学生选作）
1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟 练将方根与指数幂互化。
2、能在简单的运算中熟练地综合运用有理 数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂 的乘方、积的乘方）进行计算。
m n
叫做分数指数幂，a是底数 .
思考：a可以是0或负数吗？
有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂 .
有理数指数幂的运， 算，性质：
设a 0，b0 ，p、 q为有理数，那么
（ⅰ） apaq apq，apaqapq
（ⅱ） （ⅲ）
(ap)q apq
(ab)p apbp，
(
a b
)
p
ap bp
友情提醒：同学们可不要犯类似的错误哟！
1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化。
例３、计算 1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化。
有理数指数幂的运算性质：
1 注意：本题利用了分数指数幂的运算性质：
设，
， 、 为有理数，那么
1
1
( 8 2 7 ) 2 8 3 把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
课堂小结：
分数指数幂：
1.分数指数幂：
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
m
n am an (a0)
其中m、n为正整数，n>1.
1
m
a n (a0)
n am
2.有理数指数幂运算性质：
设a>0，b>0，p、q为有理数，那么
（1）apaqapq
（（23））((a..a)bpp)qapbpa,(bap)qpbapp

你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
的,而不是打发时间用的内容),每次上课时准备好的内容都应该 比实现计划教授的内容多一些,以保证每堂课的内容都是充分的。 2.教师一上课就应该立刻开始教学活动,直到下课学生离开教室 才结束。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
假如你现在走进一位高效教师的课堂,毫无意外, 你会看到学生一定正在忙着学习。这些学生虽然不 一定整齐划一地干同样的事情,但他们手头一定有事 做,而不会坐在课桌前发呆。

• 2±2就 叫4的平方根； 33 27 ，3就叫27的立 方根.
• 探究： (3)4 81, ±3就叫做81的( )次 方根, 依此类推,若 xn a ,那么x叫做 a的n次方根.
一复习回顾
• 1.提问：正方形面积公式？正方体的体积 公式？
• 2.回顾初中根式的概念：如果一个数的平 方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如 果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法： a, 3 a
优点，已被广泛应用于各种领域，是很有前途的动力电池。用锂电池发电来开动汽车，行车费只有普通汽油发动机车的/。由锂制取氚，用来发动原子电池组， 中间不需要充电，可连续工作年。要解决汽车的用油危机和排气污染，重要途径之一就是发展向锂电池这样的新型电池。 锂化合物早先的重要用途之一是用
于维生素A合成的一步。有机锂化物加成到醛和酮上，得到水解时能产生醇的加成产物。 由锂和氨反应制得的氨基锂被用来引入氨基，也被用作脱卤试剂和 催化剂。 [] 生理 当狼吃下含有锂化合物的肉食后，能引起消化不良，食欲大减，从而改变狼食肉的习性，这种习性还具有遗传性。 人类对金属锂的应用已 有了良好的开端，但由于锂的生产工艺比较复杂，成本很高。如果人们一旦解决了这些问题，锂的优良性能将得到进一步的发挥，从而扩大它的应用范围。
[] 其他 锂能改善造血功能，提高人体免疫机能。锂对中枢神经活动有调节作用，能镇静、安神，控制神经紊乱。锂可置换替代钠，防治心血管疾病。人体每 日需摄入锂.mg左右。 锂的生物必需性及人体健康效应。锂是有效的情绪稳定剂。随着新的情绪稳定剂的出现，对锂治疗的兴趣和研究虽已减少，但锂仍是 治疗急性躁狂症和躁狂-抑郁病预防性管理的最有效措施。许多研究证明，锂对动物和人具有必需功能或有益作用。动物缺锂可导致寿命缩短、生殖异常、行 为改变及其他异常。人类流行病学研究显示，饮水锂浓度与精神病住院率、杀人、自杀、抢劫、暴力犯罪和度品犯罪率呈显著负相关。度品犯的营养性锂补 充研究证

• 2. 教学根式的概念及运算
• ① 复习实例蕴含的概念：(2)2 4, ±2就 叫4的平方根； 33 27 ，3就叫27的立 方根.
• 探究： (3)4 81, ±3就叫做81的( )次 方根, 依此类推,若 xn a ,那么x叫做 a的n次方根.
的形式基础可能只在亿帕压强下才存在，木星内部就是这种环境（土星也是）液态金属氢由离子化的质子与电子组成。在木星内部的温度压强下
氢气是液态的，而非气态，这使它成为了木星磁场的电子指挥者与根源，木星的磁场强度大约高斯，比地球大倍。同样在这一层也可能含有一些 氦和微量的冰。木星还是天空中已知的最强的射电源之一。[]木星内部的温度和压力，由于开尔文-亥姆霍兹机制稳定地朝向核心增加。在压力为 帕的”表面”，温度大约是K（7°C；°F）。在氢相变的区域－温度达到临界点－氢成为金属，相信温度是,K（9,7°C；7,°F），压力的GPa。
一复习回顾ห้องสมุดไป่ตู้
• 1.提问：正方形面积公式？正方体的体积 公式？
• 2.回顾初中根式的概念：如果一个数的平 方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如 果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法： a, 3 a
分析，除了木星之外的行星仍没有重元素数量的精确数据。[]质量大小木星图像木星图像(张)木星的质量是太阳系其他行星质量总和的.倍，由于 它的质量是如此巨大，因此太阳系的质心落在太阳的表面之外，距离太阳中心.8太阳半径。虽然木星的直径是地球的倍，非常巨大，但是它的密 度很低，所以木星的体积是地球的倍，但质量只是地球的8倍。木星的半径是太阳半径的十分之一，质量只为太阳质量的千分之一，所以两者的 密度是相似的。"木星质量"（MJ或MJup）通常被做为描述其它天体（特别是系外行星和棕矮星）的质量单位。因此，例如系外行星HD98b的质量 是.9MJup，而仙女座κb的质量是.8MJup。理论模型显示如果木星的质量比现今更大，而不是8个地球质量，它将会继续收缩。质量上的些许改变， 不会让木星的半径有明显的变化，大约；赛前分析/zqzxsq/ ；要在地球质量（.MJup）才会有明显的改变。尽管随着质 量的增加，内部会因为压力的增加而缩小体积。结果是，木星被认为是一颗几乎达到了行星结构和演化史所能决定的最大半径。随着质量的增加， 收缩的过程会继续下去，直到达到可察觉的恒星形成质量，大约是MJup的高质量棕矮星。然而，需要7倍的木星质量才能使氢稳定的融合成为一 颗恒星。最小的红矮星，半径大约只是木星的%。尽管如此，木星仍然散发出更多的能量。它接受来自太阳的能量，而内部产生的能量也几乎和 接受自太阳的总能量相等。这些额外的热量是由开尔文-亥姆霍兹机制通过收缩产生的。这个过程造成木星每年缩小约厘米。当木星形成的时候， 它比我们观测到的要略大一点。[]内部结构木星各类木星各类(张)木星有一个石质的内核，向外是由岩石与氢的混合颗粒物组成，无明确的边界， 在向外被一层含有少量氦，主要是氢元素的液态金属氢包覆着。内核上则是大部分的行星物质集结地，以液态氢的形式存在。这些木星上最普通

• 为了解决上述问题，我们先来探讨分数指数
幂的意义。
根式
• 一般地:如果一个实数x满足xn=a(n>1,且nN*), 则x称为a的n次方根. • 例如： 8的3次方根为 2 ； -243的5次方根为 -3 。 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数 的n次方根是一个负数， 即a的n次实数方根只 有一个，记为 n a 。
a a
n
m n
m
分数指数幂是根式的另一种表现 形式，两者可以进行互化。
正数的负分数指数幂
a 0, m, n N *, n 1
a
m n

1 a
m n

1
n
a
m
规定：0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂没有意义。
有理指数幂的运算性质 p 表示 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 a 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 一个确定的实数 . 上述有理指数幂的运算性 数的概念就从整数指数推广到有理数指 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对 范围扩大到实数集 R后，幂的运算性质仍然 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 是下述的 条. 理数r，s3 ，均有下面的性质：
说明
4
(2)4 ,
( 3 )2
( a ) a,
n n
n
a a a
n
n为奇数 n为偶数
分数指数幂
( 2 ) 210
5 2

2
10
2 2
5
10 2
(3 ) 3
4 3
12

3
3 34 3
12

1
3
例 2：计算：（1） 273 ；（2） 42
1
2
练习：计算（1） 325 ；（2） 27 3
请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂 呢?
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们
m
规定 a n
1
m
(a
0, m, n
N,n
1)
;
an
说明:（1）.0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. （2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有
m
理指数.当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂 a n 或
m
a n (m, n N ) 时,对底数 a 应有所限制,即 a 0 .
（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这 样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在 有理数集上的指数函数.
例 3．把下列各式中的 b 写为负分数指数幂的形式：
对民族而言
（3）.自强不息也是一种民族精神， 它使中华民族历经沧桑而不衰,备经磨 难而更强,豪迈地自立于世界民族之林.
我们应发扬自强不息的民族精神.
小涛的故事
阅读教材47页“小涛的故事”， 并思考问题：
面对痛苦，为什么小涛还能在各方 面取得那么大的成绩，靠的是什么？
原因：这一切说明小涛身上有自 强的精神。正是这样一种精神， 使得小涛能够积极努力，永远向 上，奋发进取，克服重重困难， 取得了惊人的成绩。
(1)b5 32; (2)b4 35; (3)b5m 2n m, n N
1
2
例 4．计算：（1） 8 3 ；（2） 27 3
二、有理指数幂的运算 [互动过程 3] 请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是 否适用? 结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：

: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。