北京市丰台区高三数学二模考试试题 理

数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______． 12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDC BA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模 数 学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π 10．41112．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =--2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +-12sin 22x x -＝cos(2)6x π+-（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-ADEF P=22--= ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤． 当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=． 由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩……………………7分 （Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，C 所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CP BECP ⋅<>==⋅， 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -， 在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-， 所以 121212||cos ,3||||(n n n n n n ⋅<>===⋅- 解得23t =，或2t =（舍）． 此时||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =．依题意，1231nn n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++-，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--， 所以 3nn a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+，所以 22(3)3n nnn n b n n ==+-． 因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<． 又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数， 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分 （Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-用心 爱心 专心 - 11 -=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京丰台12中2024学年高三下学期第二次诊断考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．232．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞3．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<5．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-6．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫---⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π8．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．3D ．59．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．411．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．4512．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

丰台二模数学试卷答案（高三）一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：B解题思路：观察选项，排除明显错误的答案。

然后根据题意，运用基本公式或定理进行判断。

2. 答案：C解题思路：利用三角函数的性质，结合题目中的条件进行求解。

3. 答案：D解题思路：通过排除法，结合数列的性质，确定正确答案。

4. 答案：A解题思路：运用集合的概念和运算，分析题目给出的条件，找出正确答案。

5. 答案：C解题思路：根据题目给出的函数表达式，运用导数的知识，求出极值。

二、填空题（每题10分，共40分）6. 答案：\(x^2 - 4x + 4\)解题思路：根据题目给出的函数表达式，利用配方法将其化简。

7. 答案：\(\frac{1}{2}\)解题思路：利用定积分的概念，计算给定函数在指定区间上的积分值。

8. 答案：\(y = -\frac{1}{x}\)解题思路：根据题目给出的条件，运用反比例函数的性质，求解函数表达式。

9. 答案：\(2\)解题思路：利用排列组合的知识，计算给定条件下事件发生的可能性。

10. 答案：\(\sqrt{3}\)解题思路：根据题目给出的条件，运用勾股定理，求出直角三角形的边长。

三、解答题（每题20分，共80分）11. 解题思路：首先，根据题目给出的函数表达式，分析函数的性质，如奇偶性、周期性等。

然后，结合题目中的条件，求解函数的极值、最值等问题。

解答：略。

12. 解题思路：首先，根据题目给出的条件，分析几何图形的性质，如线段长度、角度大小等。

然后，利用几何定理或公式，求解几何问题。

解答：略。

13. 解题思路：首先，根据题目给出的数列表达式，分析数列的性质，如通项公式、求和公式等。

然后，利用数列的性质，求解数列的求和、通项等问题。

解答：略。

14. 解题思路：首先，根据题目给出的条件，分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。

然后，结合题目中的条件，求解函数的零点、导数等问题。

解答：略。

四、附加题（每题20分，共40分）15. 解题思路：首先，根据题目给出的条件，分析题目涉及的知识点，如线性规划、概率统计等。

2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=（）A．{x|x＜0或x≥1}B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞1} D．{x|x＞0}2．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2πB．1﹣C．1﹣πD．1﹣5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．6 B．C．3 D．6．平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+， =﹣3，D 是BC的中点，那么||=（）A．B．2 C．3 D．67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称 A B C天产值（单位：万元） 4 2则每周最高产值是（）A．30 B．40 C．47.5 D．52.58．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l 交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4 B．3 C．4 D．8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．10．直线l的斜率是﹣1，且过曲线（θ为参数）的对称中心，则直线l的方程是．11．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f（x）的导函数是f′（x），则f′（）= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13．如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA= ，AC= ．14．已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A 中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A= ；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，A=30°，BC=2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（Ⅰ）求cos∠BCD的值；（Ⅱ）求边AC的长．16．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．18．已知数列{a n}满足a1=10，a n=（n∈N*），其前n项和为S n．（Ⅰ）写出a3，a4；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求S n的最大值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=（）A．{x|x＜0或x≥1}B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞1} D．{x|x＞0}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出既属于A又属于B的部分，即可求出两集合的并集．【解答】解：由集合B中的不等式x2﹣2x＜0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∪B═{x|x＞0}，故选：D【点评】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】由于复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi （a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件．【解答】解：依题意，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，⇔a=0且b≠0，∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．3．直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意，画出直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形，利用定积分求出面积．【解答】解：直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形如图阴影部分，两个交点分别为（﹣1，3），（3，7），其面积为==（）|=；故选：C．【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是利用定积分表示表示，然后计算．4．函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2πB．1﹣C．1﹣πD．1﹣【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数的零点即是方程的解，解方程即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=﹣1=0，解得x=1，当﹣2π≤x＜0时，f（x）=2cosx﹣1=0，解得cosx=，x=﹣，或x=﹣，∴1﹣﹣=1﹣2π所以所有零点的和等于1﹣2π，故选：A【点评】本题考查了函数的零点定理和余弦函数的图象的性质，属于基础题．5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．6 B．C．3 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图为三角形，其面积为×2×3=3．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．6．平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+， =﹣3，D 是BC的中点，那么||=（）A．B．2C．3 D．6【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知，将所求用向量与表示，利用已知转化为求模以及数量积解答．【解答】解：由已知， =+， =﹣3，D 是BC的中点，那么=（）=（2）=；又平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，所以（）2==1+4﹣2×1×2×cos=3，所以||=；故选：A．【点评】本题考查了向量的加减运算和数量积的运算；属于基础题．7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称 A B C天产值（单位：万元） 4 2则每周最高产值是（）A．30 B．40 C．47.5 D．52.5【考点】简单线性规划．【专题】图表型；不等式的解法及应用．【分析】设出每周生产A，B产品的吨数，得到生产C成品的吨数，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：设每周生产A产品x吨，B产品y吨，则生产C产品15﹣x﹣y吨，产值为z．目标函数为z=4x+y+2（15﹣x﹣y）=2x+y+30，题目中包含的约束条件为：，即可行域如图所示：化目标函数z=2x+y+30为．由图可知，当直线过B（0，15）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数是解决本题的关键，是中档题．8．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l 交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4 B．3C．4D．8【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是2．【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】由正实数x，y满足xy=3，得到y=，利用均值不等式求解．【解答】解：由正实数x，y满足xy=3，得到y=，所以2x+y=2x+．当且仅当x=时取等号．所以2x+y的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查均值不等式的应用，在高考中属常考题型．10．直线l的斜率是﹣1，且过曲线（θ为参数）的对称中心，则直线l的方程是x+y﹣5=0 ．【考点】圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】首先，将圆的参数方程化为普通方程然后，求解其对称中心，即圆心，再利用点斜式方程，确定直线方程．【解答】解：根据曲线（θ为参数），得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，其对称中心为（2，3），根据点斜式方程，得y﹣3=﹣（x﹣2），∴直线l的方程x+y﹣5=0，故答案为：x+y﹣5=0．【点评】本题重点考查了圆的参数方程、直线的点斜式方程、圆的性质等知识属于中档题．11．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是π；如果f（x）的导函数是f′（x），则f′（）= ﹣1 ．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．求出f′（x），可得f′（）的值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin2x+•=sin （2x+）+，故函数f（x）的周期为=π，f（x）的导函数是f′（x）=2cos（2x+），故f′（）=2cos=﹣1，故答案为：π；﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的周期性、求三角函数的导数，属于基础题．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．13．如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA= 4 ，AC= 5．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用切割线定理求PA，利用相交弦定理求出CE，即可求出AC．【解答】解：由题意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理可得PA2=PD•PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案为：4；5．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．14．已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A 中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A= {6} ；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是32 ．【考点】排列、组合的实际应用；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合；排列组合．【分析】（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，则1∉A，6∉B，即6∈A，1∈B，即可推出A；（ⅱ）分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．【解答】解：（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，若A={1}，则不满足条件．③，若A={2}，则B={1，3，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={3}，则B={1，2，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={4}，则B={1，2，3，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={5}，则B={1，2，3，4，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={6}，则B={1，2，3，4，5，7}，含有6个元素，满足条件．若A={7}，则B={1，2，3，4，5，6}，含有6个元素，不满足条件④．故A={6}；（ⅱ）若集合A中只有1个元素，则集合B中只有6个元素，则1∉A，6∉B，即6∈A，1∈B，此时有=1，若集合A中只有2个元素，则2∉A，5∉B，即5∈A，2∈B，则有=5，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有4个元素，则3∉A，4∉B，即4∈A，3∈B，此时有=10，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有3个元素，则4∉A，3∉B，即3∈A，4∈B，此时有=10，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有2个元素，则5∉A，2∉B，即2∈A，5∈B，此时有=5，若集合A中只有6个元素，则集合B中只有1个元素，则6∉A，1∉B，即1∈A，6∈B，此时有=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+5+10+10+1=32，故答案为：{6}；32【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，A=30°，BC=2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（Ⅰ）求cos∠BCD的值；（Ⅱ）求边AC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sin∠BCD的值，即可确定出cos∠BCD的值；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cos∠BCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含30度直角三角形的性质求出AC的长即可．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=2，CD=2，S△BCD=BC•CD•sin∠BCD=4，∴sin∠BCD=．∵∠BCD为锐角，∴cos∠BCD==；（Ⅱ）在△BCD中，CD=2，BC=2，cos∠BCD=，由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=4+20﹣8=16，即DB=4，∵DB2+CD2=BC2，∴∠CDB=90°，即△ACD为直角三角形，∵A=30°，∴AC=2CD=4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，为“过度用网”的概率是，从而求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可写出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．…（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P=═．…（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==．ξ的分布列是：ξ0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．…【点评】本题考查了平均数计算公式及概率计算，离散型随机变量的概率分布及期望值的求解，读懂茎叶图的数据是关键．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明l∥AB；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明A1O⊥DM；（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．所以A1B1∥AB．因为A1B1⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以A1B1∥平面ABCD．因为平面A1BO∩平面ABCD=l，所以l∥A1B1．所以l∥AB．（Ⅱ）因为DB⊥AC于O，如图建立空间直角坐标系．因为AA1=4，且OC=2AO=4，所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，4）．因为M是棱CC1中点，所以M（4，0，2）．设D（0，b，0），所以=（4，﹣b，2），=（﹣2，0，4）．所以•=﹣8+0+8=0．所以A1O⊥DM．（Ⅲ）设D（0，b，0），B（0，c，0），平面A1BD的法向量为=（x，y，z），又因为，，所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=2，所以=（2，0，1）．设M（4，0，h），所以=（﹣4，b，﹣h），．设平面MBD的法向量为=（x，y，z），所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=，所以=（，0，1）．又因为|cosθ|=，所以|cos＜＞|=，即==．解得h=3或h=．所以点M（4，0，3）或M（4，0，）．所以CM=3或CM=．【点评】本题主要考查空间直线垂直以及线面垂直平行的性质定理的应用，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法．18．已知数列{a n}满足a1=10，a n=（n∈N*），其前n项和为S n．（Ⅰ）写出a3，a4；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求S n的最大值．【考点】分段函数的应用；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段数列，先求a2，再去a3，a4；（Ⅱ）讨论当n为奇数时，运用等差数列的通项公式，当n为偶数时，运用奇数的结论，即可得到通项公式；（Ⅲ）分析奇数项和偶数项的单调性，可得到S n取最大值时n为偶数．再由a2k+a2k﹣1≥0（k∈N*），求得k的最大值，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）因为a1=10，所以a2==210，a3=﹣1+log2a2=﹣1+log2210=9，a4=29．（Ⅱ）当n为奇数时，a n=﹣1+log2a n﹣1=﹣1+log2=a n﹣2﹣1，即a n﹣a n﹣2=﹣1．所以{a n}的奇数项成首项为a1=10，公差为﹣1的等差数列．所以当n为奇数时，a n=a1+（）•（﹣1）=当n为偶数时，a n===所以a n=（k∈N*），（Ⅲ）因为偶数项a n=＞0，奇数项a n=为递减数列，所以S n取最大值时n为偶数．令a2k+a2k﹣1≥0（k∈N*），即211﹣k+≥0．所以211﹣k≥k﹣11．得k≤11．所以S n的最大值为S22=（210+29+...+21+20）+（10+9+ 0=+（1+10）×10=2102．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的单调性的运用，属于中档题．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，再由正三角形的高与边长的关系，可得b=，进而得到a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x0，y0），T（t，0），PM中点为S．由角平分线的定义和平行线的性质，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，化简整理，即可得到定点T．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b=c=，a==2，所以椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x0，y0），T（t，0），PM中点为S．因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，所以∠PTS=∠STN=∠PST．又因为S为PM的中点，所以|PT|=|PS|=|PM|．即=|x0﹣4|．因为点P在椭圆C上，所以y02=3（1﹣），代入上式可得 2x0（1﹣t）+（t2﹣1）=0．因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，所以此式对任意x0∈（﹣2，2）都成立．所以，解得t=1．所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，此时定点T的坐标为（1，0）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，同时考查存在性问题的求法，角平分线的性质和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先确定函数f（x）=（a＞0）的定义域，再求导f′（x）=；从而由导数确定函数的单调性，从而求最值；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知当0＜b＜1时，方程lnx+1=bx有两解；（Ⅲ）由（Ⅰ）得≤1，变形可得1﹣x≤ln，（当x=1时，等号成立）；从而证明当k∈N且k≥2时， +++…+＜lnk；再变形可得lnx≤x﹣1，（当x=1时，等号成立）；从而证明当k∈N且k≥2时，ln＜ln＜+++…+；从而得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（a＞0）的定义域为{x|x＞0}．∵f（x）=，∴f′（x）=；∵a＞0，且当f′（x）=0时，x=；当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上单调递增；当 x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上单调递减．所以当x=时，f（x）max=f（）=a．（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当0＜b＜1时，方程lnx+1=bx有两解；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得≤1，即1﹣x≤ln，（当x=1时，等号成立）；则1﹣＜ln2，1﹣＜ln，…，1﹣＜ln，则当k∈N且k≥2时，+++…+＜lnk；由（Ⅰ）得≤1，即lnx≤x﹣1，（当x=1时，等号成立），则ln＜﹣1，ln＜﹣1，…ln＜﹣1，则当k∈N且k≥2时，ln＜ln＜+++…+；综上所述，当k∈N且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的应用及函数在证明不等式中的应用，属于难题．。

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 在中，角的对边分别是，，则（ ）A．B．C．D．2. 三个数，，之间的大小关系是（ ）A．B．C．D．3. 已知R ，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知是一元二次方程的较小的根，则下列对的估计正确的是.A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知在中，点为边的中点，若，则（ ）A．B．C ．1D ．27. 已知正实数、、，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知椭圆内一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦点坐标为，B ．椭圆C 的长轴长为4C ．直线与直线的斜率之积为D．9. 设全集，求满足的所有集合A 有________个．10. 已知，，是虚数单位，若，则 ______ ．11. 已知椭圆E ：（），F 是E 的左焦点，过E 的上顶点A 作AF 的垂线交E 于点B .若直线AB 的斜率为，的面积为，则E 的标准方程为______.12. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则__________．13.在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值．北京市丰台区2023届高三二模数学试题(高频考点版)北京市丰台区2023届高三二模数学试题(高频考点版)14. 若函数满足，且，，则称为“型函数”.(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.15. 已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．16. 已知向量，.（1）求向量，夹角的余弦值；（2）求与向量，夹角相等的单位向量的坐标.。

北京丰台区高三二模数学（理）试题及答案丰台区高三统一练习（二）数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）?1．已知向量a?（1，k），b?（2，1），若a与b的夹角为90，则实数k的值为11A．2 B．2? C．?2 D．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切 B ．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离3．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（）A．（2,3?5?11??2,?2,2,?4） B．4） C．4） D．4）（（（4．设p、q 是简单命题，则\p?q\为假是\p?q\为假的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示甲 7 7 8 6 2 茎 8 9 乙 6 8 3 6 7 设s1,s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1,x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A． x1?x2，s1?s2 B． x1?x2， s1?s2 C． x1?x2， s1?s2 D． x1?x2，s1?s2f(x)?1，则实数x的取值范围是（）6．已知函数f(x)?log2x，若111(??,](0,]?[2,??)(??,]?[2,??)2 B． [2,??) C． 22A． D．7．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x),g(x)分别是f(x)、g(x)的导函数，且''f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（）A． f(x)g(x)>f(b)g(b) B． f(x)g(a)>f(a)g(x)C． f(x)g(b)>f(b)g(x) D． f(x)g(x)>f(a)g(a)8．如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2，AB?AC?AA1?2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点。

x < 1y =x 2-2x是否输出 y 结束输入x 开始y =2x丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2019. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若集合2{|4}A x x =∈Z ≤，集合{|13}B x x =-<<，则A B =I （A ）{0,1,2}（B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|12}x x -<≤2．若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则x y -的最大值为（A ）3 （B ）0 （C ）1- （D ）3-3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）16（B ）43（C ）83（D ）44．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，如果输入的[0,2]x ∈，那么输出的y 值不可能为 （A ）1- （B ）0（C ）1（D ）26．已知函数()sin(2)()22f x x θθππ=+-<<的图象过点1(0,)2P ，现将()y f x =的图象向左平移(0)t t >个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么 （A ）3θπ=，t 的最小值为3π （B ）3θπ=，t 的最小值为π （C ）6θπ=，t 的最小值为3π （D ）6θπ=，t 的最小值为π 7．已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若||1AP AB AD --=u u u r u u u r u u u r，则 ||AP u u u r的最大值是侧（左）视图正（主）视图222（A ）221 （B ）22（C ）221（D ）2228．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车 （A ）12辆（B ）11辆（C ）10辆（D ）9辆第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B = （A ）(2,0)- （B ）(2,1)-（C ）(0,2) （D ）(0,1)2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是（A ） 12（B ）14（C ）2 （D ）13. “0x >”是“2212x x +≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.已知向量13(,2a =，(3,1)b =-，c a b λ=+，则c a ⋅等于_________ . （A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-15.如图，设不等式组11,01x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD内的曲线为抛物线2y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于 （A ）23（B ）13（C ）12（D ）146.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象（A ）向上平移1个单位 （B ）向下平移1个单位 （C ）向左平移1个单位 （D ）向右平移1个单位 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的 （A ）若50a ，则20150a（B ）若50a ，则20150S（C ）若60a ，则2016a（D ）若60a ，则2016S8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ；② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i.若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出结果A 等于______11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________.12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则12345a a a a a +=++ ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3'()02f <，则1()3f =________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，5b=,求c的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x ，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O , BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .图2图1（Ⅰ）求证AD ⊥PB ；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD .①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O ，求λ的值.18.（本小题共13分）设函数()e (R)ax f x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围.19.（本小题共13分）已知椭圆C ：22143x y +=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|，求m 的值；（Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P在第二象限，点B 与点A 关于原点对称，求证：当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值.20.（本小题共13分）对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=，记0()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤，其中m为不超过kya 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x mb x f y a x -=+-表示当k x 取0,1,2,3，…,m时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：（Ⅰ）写出1(7)f 的值；（Ⅱ）求2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；（Ⅲ）求得3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2-i 10. 49 11. 5 12. 1313. 12 14.12三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及1cos2a C c b+=得：1sin cos sin sin2A C C B+=，----------------------2分化简1sin cos sin sin()2A C C A C+=+----------------------4分解得：1cos2A=，----------------------6分因为0o<A<180o,所以60oA=. -----------------------7分（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c=+-，即2540c c-+=.---------------------10分解得1c=和4c=，---------------------12分经检验1，4都是解，所以c的值是1和 4.---------------------13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）=9395.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）=1229.-----------10分 (注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)（Ⅲ）21S >22S .--------------------------13分（可以简单直观解释，也可以具体：设4类案件的均值为X ，则34x xX x +==. 2222212342()()()()4x x x x x x x x S -+-+-+-=2222123()()()()4x x x x x x x x -+-+-+-=222123()()()4x x x x x x -+-+-=22221231()()()3x x x x x x S -+-+-<=）17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,因为∠B =90O ,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ，即：AD ⊥AB ，AD ⊥PA ，-----------------------3分又AB ∩PA =A .所以AD ⊥平面PAB ，-----------------------4分又因为PB 在平面PAB 上，所以AD ⊥PB .---------------------5分（Ⅱ）①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.即(1,1,1)PC =-，(0,1,0)BC =，(1,0,0)DC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,PC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x y z y +-=⎧⎨=⎩，取1z =，取1x =，所以(1,0,1)n =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m =--.设二面角B-PC-D 为α，所以1cos 2||||n m n m α⋅-==⋅,所求二面角B-PC-D 为120o.②设AM 与面PBC 所成的角为ϕ.(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM λλλλ=+=+-=-，平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n =,sin ϕ=1|cos ,|||2AM n <>==, 解得：20,3λλ==18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =-时，22()e x g x x -=，222'()e (22)=-2(1)e x x g x x x x x --=--—-2分x 与'()g x 、()g x 之间的关系如下表：函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点1x =，---4分最大值21(1)e g =. （Ⅱ）（1）当0a =时，2()1h x x =-，显然在区间(0,16)内没有两个零点，0a =不合题意.(2)当0a ≠时，2()1e ax x h x =-，222()(2)e '()e eaxax axax x x ax a h x ---==. ①当0a <且(0,16)x ∈时，'()0h x >，函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数，所以函数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点，所以0a <不合题意；②当0a >时，在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表：因为(0)1h=-，若函数()h x区间(0,16)上有两个零点，则2()0,216,(16)0haah⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩，所以22816410,1,8210ae aae⎧->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩，化简20,e1,8ln22aaa⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩.因为1ln214ln21ln1616 82e<⇔<⇔<⇔<，2ln24eln243eln2e2>⇔>⇔>>,所以1ln22 82e <<.综上所述，当ln222ea<<时，函数2()1()xh xf x=-在区间(0,16)内有两个零点.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为2,a b ==1c =，离心率12e =. ————————3分（Ⅱ）22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y的并化简得22784120x mx m ++-=.------4分2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->，—————----------5分设1122(,),(,)M x y N x y ，则||7MN ==，-------7分解得2m =±，且满足0∆>. —————————8分（Ⅲ）直线AB 的方程为11y y x x =，即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB 的距离d =，||AB =分21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-， -----—10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，2222112233(4),(4)44y x y x =-=-，12y y ==--12分所以21212112||||||y x x y y x y x -=+-------------13分21|||)x x =2221)2x x =+，=.所以当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值. ---------------14分（Ⅲ）方法二：设直线AB 的方程为y kx =，即0kx y -=.220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2121234x k =+.1||2||AB x ==点22(,)P x y ）到直线AB 的距离d =，11221||||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-，-------------10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，则0k >.所以1x =，2x ==，212y x ===，----------------12分22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==.所以三角形△PAB 的面积为定值.---------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）1110,1,2,3(7)max {3}max{0,3,6,9}9x f x ====，当13x =时,1(7)9f =.-----4分（Ⅱ）222120,1,2(7)max{4(73)}x f x f x ==+-，111max{0(7),4(4),8(1)}f f f =+++当21x =时，1110,1,2(4)max{3}max{0,3,6}6x f x ====,当12x =时1(4)6f =.当22x =时，1110(1)max{2}0x f x ===,即当10x =时,1(1)0f =.2(7)max{9,46,80}10f =++=，即当21x =，12x =时2(7)10f =.-----10分（Ⅲ）答：4 4.5p <<. ----- -----13分。

一、单选题二、多选题1.设分别是椭圆的左、右焦点,与直线相切的交椭圆于点,且点恰好是直线与的切点,则椭圆的离心率为A．B．C．D．2. 已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )A．B．C．D．3.已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（ ）A ．只有2对B ．只有3对C ．只有4对D ．有无数对4.设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）A．B．C．D．5. 已知、为锐角，，，则（ ）A．B．C．或D ．或6.已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 函数的图象为A．B．C．D．9. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（ ）北京市丰台区2023届高三二模数学试题(高频考点版)北京市丰台区2023届高三二模数学试题(高频考点版)三、填空题A ．数列是以4为首项，为公比的等比数列B．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32C ．使得不等式成立的的最大值为3D ．数列的前项和10.三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．圆的方程为B ．的方程为C ．圆上的点到的最大距离为D ．若点在圆上，则的取值范围是11.年月，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆都包含，点组成的“曲圆”半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中，下半圆与轴交于点若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（）A．椭圆的离心率为B ．的周长为C ．面积的最大值是D ．线段长度的取值范围是12. 已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知定义在上的函数满足，当时，，则__________.14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.四、解答题15. 已知平面向量，，且，则___________．16. 已知a ，b ，c 为正数，且满足.（1）证明：.（2）证明：.17.已知等差数列的前n 项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n 项和为，证明：当，时，.18. 已知函数（e 是自然对数的底数，）.(1)设的导函数为，试讨论的单调性；(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.19. 对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质．(1)若，求的解析式，并判断是否具有性质；(2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否真命题，并说明理由；(3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．20. 在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中.（1）求圆的方程及 点坐标；（2）在直线上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）当时，都有，求实数的取值范围.参考：当时，.。