《工程电磁场》何小祥 第二章

P P
用？？？？？简化
SP P en
一、 电位移矢量的边界条件
en
S1
D1
Dd S
S
S1
D d S＋ D d S＋ D d S
0
0 Ε(r ) P
0 Ε(r ) P(r )
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + -
D( r )
+ + + + + + + + + + + + + + + -
V
V
V
E
D
P
四、基本方程的积分形式
本例题也可以直接通过多电荷系统的电场表达式(2.1.12)求解
例题2-3 半径为 a 的带电导体球，已知球体电位为 U （无穷远处电位为零）， 试计算球外空间的电位函数。
解： 电位及其电场均具有对称性
(r )
1 d 2 d 2 r 0 r dr dr
2
C1 C2 r
P
Q
u = 0
(r )
Ε (r ) (r )
(r )
1 4
4
i 1
1
N
qi C r ri
s (r )
r ri dS C

l (r )
r ri
l
d l C
1 (r ) 4

S
(r )
4
线电荷密度 E (r ) 点电荷密度 E (r2 )
1 4 0
q

3
l
r r l (r )dl 3 r r
q 4 0 r2 r1 r2 r1
3
4 0 R
R
H
O 2
H

O 2
H H

O 2
H H
O 2
H H
O 2
H

H

H
H
= r 0 E (r ) = E (r )
r 0 = 称为电介质的介电常数 F / m
r 1+ e 称为电介质的相对介电常数
(1) 均匀电介质是指其介电常数 处处相等，不是空间坐标的函数；非均匀电介质则指 是空间坐标 的函数； (2) 线性电介质是指 与 E 的大小无关；反之，则是非线性电介质； (3) 色散电介质是指电介质特性是时间或空间导数的函数，否则是非色散电介质； (4) 稳定介质指介质特性不是时间的函数； (5) 各向同性电介质，是指 与 E 的方向无关， 是标量， D 和 E 的方向相同。另有一类电介质称为 各向异性电介质，在这类电介质中， D 和 E 的方向不同，介电常数 是一个张量，表示为 。 这时， D 和 E 的关系可写为如下形式
1 dV R
自由空间的静电 场是无旋场
E = 0
二、自由空间内静电场的散度 静电场是一个有散场， 静电荷是静电场的通 量源
E (r ) 1
V (r ) R dV 4 0
1 4 0
1
E= 0
0, E (r ) 1 (r ), 0 r V r V

k Dr 0 r
k Er 0 r
a r a Dr Er 2 0 r 0 r2
2.1.5电位函数与泊松方程
一、电位和电位差
E = 0

Q
P
Ε (r ) dl d (r ) (P) (Q)
k er r
r a
k a
D
D ( 0 E P ) 0 E P 0

0 D P
D =


P
0
P
k 0 r2

电荷密度和电场具有一定的对称性时，电位移在所选择的闭合 面上大小恒定，方向要么一致要么垂直，则积分过程非常简单， 从而可以对某一些特定的具有对称性的场分布问题进行求解
O 2
H

O 2

O 2 O 2
H H H H
O 2
H
H
H
H
O
2
H H
H
H
O 2
H H

O O
H
2
2
E
2.1.3 电介质的极化
H
O
2
O
2
H

H
H
E E0 E
电极化强度 P = lim
p
i
极化体电荷密度 极化面电荷密度
P P
E (r )

V'
(r )2 d V R
1
1 2 4 r r R
E (r )
1
0

V
'
(r ) r r d V
Ε (r )
三、电位移矢量和电介质中的高斯定律 D(r ) 0 E(r ) P (r ) P
l
q dq l 0 l dl
C/m
q l (r )dl
四、点电荷
(r ) q (r r )
0, r r (r r ) , r r
0, 不包含r r ) d V ' V ' (r r 1, 包含 r r
三、 多电荷的电场强度 电场强度与点电荷量的正比关系，可利用叠加原理
E (r ) 1 4 0
r r
i 1 i
N
qi
3
(r ri)
电偶极子 电偶极矩矢量 p = qd
四、分布电荷激励的静电场
如果电荷是连续分布，密度 为 (r ) 。它在空间任意一点产 生的电场为： (ri ' )V ’R i i E(r ) lim V 0 4 0 Ri3 i 1
P (r,θ, )
E
z
r1 r e z
d 2
q 1 1 q r2 r1 (r ) 4 0 r1 r2 4 0 r1r2
q θ d O
r2 r e z q
r
E
E
r1 r 2 (d / 2) 2 rd cos , r2 r 2 (d / 2) 2 rd cos
1
(r )
r ri
V
dV C
均匀介质
二、泊松方程和拉普拉斯方程
D(r ) E(r ) = (r ) (r )
泊松方程
(r ) (r )
2
拉普拉斯方程
2 (r ) 0
三、例题 例题2-2 电偶极子是相距很小距离d的两个等值异号的点电荷组成 的电荷系统，如图2.1.4所示，试求电偶极子的电位及电场强度。
(ri ' )Vi’
(r ' )R ’ dV 3 4 0 R V
‘
小体积元中的电荷产生的电场
体电荷密度 E (r )
1 4 0
1 4 0


V
r r (r )dV 3 r r
r r r r
' 3
面电荷密度 E (r )
S
s (r )dS
∵ r a ， U , r → ， 0
C1 C aU U 1 a aU aU ra er 2 r E (r ) (r ) er r r U ra 0
ra ra
2.1.6 静电场的边界条件
用 r 1+ e 简化
Dx xx D E , Dy yx Dz zx
xy xz Ex yy yz E y zy zz Ez
例题 2-1 半径为 a 、介电常数为 的球形电介质内的极化强度为 P e r
(r ) lim
V
q dq V 0 V dV
C/m
3
q (r ) d V
二、电荷面密度
S (r ) lim
S
q dq S 0 S dS
C / m2
q S (r )dS
三、电荷线密度
l (r ) lim
z
q1 r1
R
q2
r2
y
2.1.2 库仑定律与电场强度
一、库仑定律
x
q1q2 q1q2 F12 eR R 2 3 4 0 R 4 0 R
二、点电荷的电场强度 试验电荷
0
1 109 F / m 8.85 10 12 F / m 36π
q2 q1
3
F E lim q2 0 q 2
电子工业出版社
第二章 静态电磁场
2.1 静电场
2.1.1 电荷及电荷密度
e 1.602 1019 C
任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍，也就 是说，严格讲带电体上的电荷是以离散的方式分布的。 认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密 度来描述这种分布。
一、电荷体密度
k ，式中的 k 为 r
常数。(1)计算极化电荷体密度和面密度；(2)计算电介质球内自由电荷体密度；(3)根据高斯定 律求介质球内外的电场强度。