河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试题含详解

洛阳市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设a ∈R ，且（a ﹣i ）•2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣1 D ．0或﹣12． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ） A ．命题p 一定是假命题 B ．命题q 一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 是真命题或假命题3． 复数的虚部为（ ）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．2i4． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．25． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．19B ．42C ．47D ．896． 若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014对于一切实数x 都成立，则a 0+1+a 2+…+a 2014=（ ）A ．B ．C ．D ．07． 已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲线的渐近线方程为A 、530x y ±=B 、350x y ±=C 、450x y ±=D 、540x y ±=8． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x10．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）11．把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）A．13B．23C．1D．2二、填空题13．设双曲线﹣=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积是．14．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是．15．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种．（用数字作答）16．用“＜”或“＞”号填空：30.830.7．17．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:）．18．给出下列命题：①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；③x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；④函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同；⑤y=2sin（2x﹣）在是增函数；则正确命题的序号．三、解答题19．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．20．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．22．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．23．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．24．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．洛阳市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数，∴2a=0，解得a=0．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．2．【答案】D【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．3．【答案】C【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．故选；C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0故选A【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．5．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得k=1S=1满足条件k＜5，S=3，k=2满足条件k＜5，S=8，k=3满足条件k＜5，S=19，k=4满足条件k＜5，S=42，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．6．【答案】B【解析】解法一：∵，∴（C为常数），取x=1得，再取x=0得，即得，∴，故选B．解法二：∵，∴，∴，故选B．【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．7．【答案】Ａ【解析】：依题意，不妨设点M在第一象限，且Mx0，y0，由抛物线定义，|MF|＝x0＋p2，得5＝x0＋2.∴x0＝3，则y20＝24，所以M3，26，又点M在双曲线上，∴32a2－24＝1，则a 2＝925，a＝35，因此渐近线方程为5x±3y＝0.8．【答案】D【解析】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．9．【答案】A【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，∴，①又∵双曲线C的焦距为12，∴12=2，即a2+b2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．10．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．11．【答案】B【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）=cos[2（x+）+φ]=cos （2x+φ+）的图象关于直线x=对称，则2×+φ+=k π，求得φ=k π﹣，k ∈Z ，故φ=﹣，故选：B ．12．【答案】 B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ． 二、填空题13．【答案】 9 ．【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，可得c 2=a 2+b 2=13，又||MF1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，即4c 2=4a 2+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2=18，即有△F 1MF 2的面积S=|MF 1||MF 2|sin ∠F 1MF 2=×18×1=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a 、b 、c 之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．14．【答案】 （0，）∪（64，+∞） ．【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），又f （x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，∴x ＞64或0＜x ＜．即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}故答案为：（0，）∪（64，+∞）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．15．【答案】24【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．16．【答案】＞【解析】解：∵y=3x是增函数，又0.8＞0.7，∴30.8＞30.7．故答案为：＞【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．17．【答案】【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体是半个圆柱。

2018-2019学年河南省洛阳一高高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则z的虚部是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则z的虚部是．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为A. 5B. 5或C.D. 或【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为，若双曲线的一条渐近线平行于直线，则，即，则，则双曲线的离心率；故选：C．根据题意，由双曲线的方程分析双曲线的渐近线方程，又由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得，即，结合双曲线的几何性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，注意分析双曲线的渐近线方程．3.已知函数为其导函数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数的导数，故选：A．根据函数的导数公式进行求导即可．本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．4.有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；己知函数在R上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”对于以上推理，说法正确的是A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】解：当函数为常值函数时，则若函数的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值不正确，故大前提错误，则其结论也是错误，故选：A．当函数为常值函数时，则在点处取得极值不正确，故大前提错误本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解函数的性质，分析出大前提是错误的，是一个基础题．5.函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由函数图象可知函数在，上均为减函数，所以函数的导数值，因此D正确，故选：D．根据，函数单调递增；时，单调递减，根据图形可得，即可判断答案．本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：时，函数单调递增；时，单调递减6.地铁换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】解：由同时开放A，B疏散1000名乘客所需的时间为125s，同时开放B，C疏散1000名乘客所需的时间为186s，得到A比C疏散乘客快；由同时开放D，E疏散1000名乘客所需的时间为145s，同时开放A，E疏散1000名乘客所需的时间为175s，得到D比A疏散乘客快；由同时开放B，C疏散1000名乘客所需的时间为186s，同时开放C，D疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D比B疏散乘客快；由同时开放A，B疏散1000名乘客所需的时间为125s，同时开放A，E疏散1000名乘客所需的时间为175s，得到B比E疏散乘客快．疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：D．先求出A比C疏散乘客快；再求出D比A疏散乘客快；然后求出D比B疏散乘客快；再求出B比E疏散乘客快，由此能求出疏散乘客最快的一个安全出口的编号．本题考查疏散乘客最快的一个安全出口的编号的判断，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.若函数仅在处有极值，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，，的取值范围是故选：A．求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8.设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，设，以MF为直径的圆过点，，，，解得，，；．故选：C．根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径对直角得出，求出点M的坐标，再计算的值．本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．9.定义域为R的函数满足，则不等式的解为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，则，故在R递增，不等式，即，故，故，解得：，故选：C．令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．10.若原点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：原点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，设，不妨，，；；当且仅当时，的最小值为．故选：A．设，根据点的坐标求出的表达式，然后求关于x的二次函数的最小值即可．考查向量的坐标，椭圆的焦点，椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，二次函数的最值求法．11.函数在定义域R内可导，若，且0'/>，若，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由可知，的图象关于对称，根据题意又知时，，此时为减函数，时，0'/>，为增函数，所以，即，故选：C．先根据题题中条件：“，”求其对称轴，再利用导数的符号判断函数的单调性，进而可解．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系解答关键是利用导数工具判断函数的单调性，属基础题．12.己知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，例如，，，若，则A. 64B. 65C. 71D. 72【答案】C【解析】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数第n组n个奇数，则前n组共个奇数，设2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得，即2019在第45组中，则前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第个数，即2019为第45组从左到右的第个数，即，，故，故选：C．由等差数列的前n项和公式可得：2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得，即2019在第45组中，由归纳推理可得：前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第个数，即2019为第45组从左到右的第个数，得解．本题考查的等差数列的前n项和公式及归纳推理，属难度较大的题型二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x、y取值如表：______精确到【答案】【解析】解：将代入回归方程可得，则，解得，即精确到后m的值为．故答案为：．将代入回归方程可得，则，即可得出结论．本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．14.平面几何中，有“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值”，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为______．【答案】【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和．故答案为：．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．15.已知P是抛物线上一动点，F为焦点，点A在圆上运动，则的最小值为______．【答案】4【解析】解：圆的圆心为，过点C作抛物线准线的垂线，垂足为N，如图所示：由抛物线的定义可知：，当P、A、N经过圆C的圆心时，取得最小值，圆心，半径为1，所以最小值为：．故答案为：4．根据题意画出图形，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解最小值问题．本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了圆的方程应用问题，是中档题．16.已知，则______．【答案】【解析】解：；；；；．故答案为：．求导函数，从而可求出，即得出，从而可求出的值．考查基本初等函数的求导，以及已知函数求值的方法．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了研究家庭结构对学生学习成绩的影响，某机构在本区高一年级从单亲家庭和双亲家庭中随机抽取部分学生，结合期末考试成绩，得出如表列联表．附：，其中．的前提下，认为“成绩与家庭结构有关”；若采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，从这4人中再随机抽取2人，求取到优秀的学生的概率．【答案】解：根据题意，补充列联表如下；计算，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“成绩与家庭结构有关”；采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，优秀有1人，记为A，非优秀有3人，记为b、c、d，从这4人中再随机抽取2人，基本事件数为Ab、Ac、Ad、bc、bd、cd共6种不同取法，取到优秀的学生的事件为Ab、Ac、Ad共3种不同取法，故所求的概率为．【解析】根据题意补充列联表，计算，对照临界值得出结论；采用分层抽样法求得抽取4人中优秀与非优秀人数，用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】解：选择，计算如下：，故这个常数为．Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式．证明：方法一．方法二．【解析】Ⅰ选择，由，可得这个常数的值．Ⅱ推广，得到三角恒等式证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为，即，化简可得结果．本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．19.已知，，用分析法证明：；已知实数a，b，c，d满足，用反证法证明：方程与方程至少有一个方程有实根．【答案】解：要证明：成立，由于，，则证明，即证成立，即成立，即成立即可，由条件知成立，则成立．反证法：假设结论不成立，即方程与方程都没有实根，则判别式满足，，则，即，即，即，与条件矛盾，即假设不成立，则原命题成立．【解析】根据分析法的步骤进行证明即可．利用反证法假设结论不成立，利用一元二次方程根与判别式的关系进行推理即可．本题主要考查不等式的证明，结合分析法和反证法的步骤是解决本题的关键．20.如图，几何体ABC一EFD是由直三棱柱截得的，，，，求三棱锥的体积；求证：．【答案】Ⅰ解：由题意可证，平面BCD，．Ⅱ证明：连接CF，依题意可得：，，而BF和BC是平面BFD内的两条相交直线，故有平面BFD．而BD在平面BFD内，故AB．再由可得．又在和中，，，， ∽ ，，，．综上可得，BD垂直于平面CEF内的两条相交直线，故有平面CEF．又平面CEF，所以．【解析】Ⅰ解：由题意可证，平面BCD，再由，运算求得结果．Ⅱ先利用线面垂直的性质证明，再证 ∽ ，从而得到，再由直线和平面垂直的判定定理证明平面CEF，可得．本题主要考查求棱锥的体积的方法，直线和平面垂直的判定定理与性质定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．21.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合．Ⅰ求双曲线和抛物线的标准方程；Ⅱ过点F做互相垂直的直线，，设与抛物线的交点为A，B，与抛物线的交点为D，E，求的最小值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，所以双曲线方程为，将点代入双曲线方程，可得，所以双曲线的标准方程为，，所以，所以抛物线的方程为．Ⅱ由题意知，，与坐标轴不平行，设直线的方程为，，整理可得，恒成立，，因为直线，互相垂直，可设直线的方程为，同理可得，．当且仅当时取等号，所以的最小值为．【解析】Ⅰ由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，点代入双曲线方程，解得a，b，可得双曲线方程；求得双曲线的焦点，可得p，进而得到抛物线方程；Ⅱ由题意知，设直线的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，以及弦长公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.已知函数图象上在点处的切线与直线垂直．求函数的解析式；若对所有都有，求实数m的取值范围．【答案】解：函数的导数为，图象上在点处的切线斜率为a，由切线与直线垂直，可得，即；所有都有，即为，即有在恒成立，设，，由可得，递增，可得的最小值为，则，即m的取值范围是．【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到a，进而得到所求解析式；由题意可得，即有在恒成立，设，求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。

洛阳市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32． 若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+= A 、78- B 、14- C 、14 D 、783． 记,那么A B C D4． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 5． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣16． 下列4个命题：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan （ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个 10．如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）A ．+1B ．2C ．D ．12．现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（）A．27种B．35种C．29种D．125种二、填空题13．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为2，则输出的结果是．15．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．16．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．17．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.18．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：1=++++++++++++，其中m ，n ∈N *，则m+n= ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲选修41-：几何证明选讲 如图，,,A B C 为O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于 点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ．（Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．20．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．22．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2． （Ⅰ）求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =（n ∈N *），求证：b 1+b 2+…+b n ＜．23．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．24．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．25．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x 年后游艇的盈利为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？26．（本小题满分12分）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=，sin 3BAC ∠=，AB =BD =． （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求cos C ．洛阳市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”， ∴命题P 是真命题，∴命题P 的逆否命题是真命题； ￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B ．2． 【答案】A【解析】 选A ，解析：2227cos[(2)]cos(2)[12sin ()]3338πππαπαα--=--=---=-3． 【答案】B 【解析】【解析1】,所以【解析2】，4． 【答案】C【解析】由题意，得甲组中78888486929095887m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，所以9n =，所以12m n +=，故选C ．5． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0， ∴a=2×0+1=1．故选：B ．6． 【答案】C【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”，①正确； ②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确； ③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确． ∴正确的命题有3个．故选：C ．7． 【答案】D【解析】解：y=tan （ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+k π=∴ω=k+（k ∈Z ）， 又∵ω＞0∴ωmin =． 故选D ．8． 【答案】D 【解析】考点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直. 9． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 10．【答案】D【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D ．11．【答案】A【解析】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，2∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．12．【答案】B【解析】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论：①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C52=20种结果，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C53=10种结果，∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果；故选B．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．二、填空题13．【答案】﹣6．【解析】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．14．【答案】﹣3．【解析】解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．当x=2时，f（x）=1﹣2×2=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．15．【答案】BC【解析】【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．16．【答案】①②④．【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．17．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+.考点：函数的解析式. 18．【答案】 33 ．【解析】解：∵1=++++++++++++，∵2=1×2， 6=2×3， 30=5×6， 42=6×7， 56=7×8， 72=8×9， 90=9×10， 110=10×11， 132=11×12，∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，+==﹣+﹣=， ∴m=20，n=13， ∴m+n=33， 故答案为：33【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．三、解答题19．【答案】【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，BDE ∆∽ABE ∆,所以ABBDAE BE =,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分所以ABCDAB BD AE BE ==，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分20．【答案】（１） 7a =；（２） 310P =．【解析】试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．其中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310P =．1 考点：平均数；古典概型．【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 21．【答案】【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-．（2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．22．【答案】【解析】（Ⅰ）解：由4S n =（a n +1）2，令n=1，得，即a 1=1，又4S n+1=（a n+1+1）2，∴，整理得：（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ﹣2）=0．∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，则{a n }是等差数列，∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n ==，则b 1+b 2+…+b n ===．23．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C 的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），… 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，…由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．24．【答案】（１） 22143x y +=；（２）证明见解析． 【解析】试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅FN FM 得FM FN ⊥．试题解析： （1）由题意得22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=．又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，222(3,)1y FN my =-，1212212121222499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++22222363499906913434m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．25．【答案】 【解析】解：（1）（x ∈N *） (6)（2）盈利额为…当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．26．【答案】【解析】（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭,所以cos 3BAD ∠=．…… 3分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠ 即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =,由于AB AD >,所以3AD =．…… 6分（Ⅱ）在ABD ∆中，由cos 3BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠= …… 7分 由正弦定理可知，sin sin BD ABBAD ADB =∠∠,所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==…… 9分因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠，即cos C = 12分。

文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（ ）2{|20}P x x x =-<{|11}Q x x =-<<P Q ⋂=A ． B ． C ． D ．(1,2)-(1,0)-(1,2)(0,1)2. 已知复数，其中，为虚数单位，且，则（ ）43bi z i =+b R ∈i ||5z =b =A ． B ． C ． D ．25±1±3±5±3. 等差数列中，为其前项和，若，，则（ ）{}n a n S n 32S =68S =9S =A ．32B ．18C ．14D ．104. 哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．85. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）2221(0)9y x a a -=>13y x =A ．1B ．2C ．9D ．186.）A．7. 已知函数，则的图象大致为（ ）2()ln 1f x x x =--()y f x =A ．B ．C ．D ．8. 已知函数的极大值和极小值分别为，，则（ ）3()2f x ax bx =-+M m M m +=A ．0B ．1C ．2D ．49. 当输入的值为16，的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的的结果是（ ）a b aA ．2B ．3C ．4D ．610. 已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点(0,2)A C 24y x =F FA C M ，则（ ）N ||:||FM MN =A ．B ． C. D ．21:21:311. 圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶SD S D 2:1SD 点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）A ．B ． C. D ．9:328:279:229:2812. 已知函数，（，，），是函数的一个零点，且是()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ<4x π=-4x π=其图象的一条对称轴．若是的一个单调区间，则的最大值为（ ）(,)96ππ()f x ωA ．18B ．17C ．15D ．13第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若非零向量，满足，则 ．a b (2)a a b ⊥+ ||||a b b += 14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数；（ii ）女学生人数多于教师人数；（iii ）教师人数的两倍多于男学生人数.则该小组人数的最小值为 ．15. 已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使{}n a 1582a a +=2481a a ⋅=2{}n a n n T 不等式成立的正整数的最大值为 ．12019|1|13n T ->n 16.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的,x y 3026000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(0,0)z ax by a b =+>>113a b +最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在.ABC ∆sin cos sin A B a C =（1）求的大小；B ∠（2）若的面积为，求的值．ABC ∆2a cos A 18. 如图，在直三棱柱中，分别是，，的中点．111ABC A B C -,,D E F 11B C AB 1AA（1）求证：平面；EF 1A BD （2）若，求证：平面平面．1111A B A C =1A BD ⊥11BB C C 19. 随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（）%级数全月应纳税所得额税率（）%1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20………………（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试x y写出调整前后关于的函数表达式；y x （2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)人数304010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲[3000,5000)[5000,7000)员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足C 22221(0,0)x y a b a b +=>>1F 2F P ．121PF PF ⋅= （1）求椭圆的方程；C （2）设倾斜角为的直线与交于，两点，记的面积为，求取最大值时直线的方程．45l C A B OAB ∆S S l 21. 已知函数(是自然对数的底数)()1x f x e x =--e （1）求证：；1xe x ≥+（2）若不等式在上恒成立，求正数的取值范围．()1f x ax >-1[,2]2x ∈a 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为（为参数），直线与直线平行，且过坐标原点，圆l 1x t y t =⎧⎨=+⎩t m l 的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．C 1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ϕx （1）求直线和圆的极坐标方程；m C （2）设直线和圆相交于点、两点，求的周长．m C A B ABC ∆23.选修4-5：不等式选讲，.()|21||3|f x x tx =--+t R ∈（1）当时，求出的最大值；2t =()f x （2）若的最大值为2，试求出此时的正实数的值．()f x t 试卷答案一、选择题1. 【答案】D【解析】对于集合，由，解得，故，故选D ．P (2)0x x -<02x <<(0,1)P Q ⋂=2. 【答案】A【解析】由，得，即，得．故选A ．43bi z i =+||||5|43|bi z i ==+||55b =25b =±3. 【答案】B【解析】∵等差数列中，为其前项和，，，{}n a n S n 32S =68S =则根据等差数列的性质可得，，仍成等差数列，3S 63S S -96S S -即2，，成等差数列，则有，82-98S -92(82)2(8)S ⨯-=+-解得．故选B ．918S =4. 【答案】C【解析】设黑色部分的面积为，∵正方形二维码边长为4，S 在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，∴，解得，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C ．22544400S =⨯9S =5. 【答案】D【解析】渐近线的方程为，因，故渐近线与直线垂直，30ax y ±=0a >30ax y +=13y x =故，解得，所以双曲线的实轴长为，故选D ．1133a -⨯=-9a =218a =6. 【答案】B【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中平面底面，取中点为，P ABC -PAC ⊥ABC AC E 则底面，且，，PE ⊥ABC 3PE =2AC =由，11132332ABC V PE S BE ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=BE =∴为等边三角形，，，ABC ∆2AB BC CA ===PB ==PA PC ===∴最长棱的长度为B ．7. 【答案】A【解析】由于，排除B 选项．122(01112ln 1ln 2222f ==>---由于，，，函数单调递减，排除C 选项．2()2f e e =-222()3f e e =-2()()f e f e >由于，排除D 选项．故选A ．1001002()0101f e e =>-8. 【答案】D【解析】，该方程两个根为，，故在，取到极值；2()30f x ax b '=-=1x 2x ()f x 1x 2x ，124()M m b x x +=-⋅++2121212()(()3)a x x x x x x ++-而，，∴，故选D ．120x x +=123bx x a =-4M m +=9. 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得，，16a =12b =满足条件，满足条件，，a b ≠a b >16124a =-=满足条件，不满足条件，，a b ≠a b >1248b =-=满足条件，不满足条件，，a b ≠a b >844b =-=不满足条件，输出的值为4．故选C ．a b ≠a 10. 【答案】C【解析】∵抛物线：的焦点为，点坐标为，C 24y x =(1,0)F A (0,2)∴抛物线的准线方程为：，直线的斜率为，l 1x =-AF 2k =-过作于，根据抛物线物定义得，M MP l ⊥P ||||FM PM =∵中，，Rt MPN ∆tan 2NMP k =-=∠∴，可得，得，||2||PN PM =||2||PN PM=||||MN PM ==因此可得C ．||:||||:||FM MN PM MN ==11. 【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，r l 则侧面积为，侧面积与底面积的比为，rl π22rl l r r ππ==则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，2l r=h ==2313r h r π=设外接球的球心为，半径为，截面图如图，O R 则，，，OB OS R ==OD h R R =-=-BD r =在直角三角形中，由勾股定理得，BOD 222OB OD BD =+即，展开整理得，222)R r R =+-R =∴外接球的体积为．故选A．334433R ππ==932=12. 【答案】D【解析】由题意，得，∴，1()()()42442k T k Z πππ+=--=∈2()21T k Z k π=∈+又，∴．2T πω=21()k k Z ω=+∈∵是的一个单调区间，∴，即，(,)96ππ()f x 1692T ππ-≤9T π≥∵，∴，即．221T k π=+2118k +≤8.5k ≤①当，即时，，，∴，，8k =17ω=174k πϕπ-+=k Z ∈174k πϕπ=+k Z ∈∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；||2πϕ<4πϕ=()sin(174f x A x π=+(,)96ππ17ω=②当，即时，，，∴ ，，7k =15ω=154k πϕπ-+=k Z ∈154k πϕπ=+k Z ∈∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；||2πϕ<4πϕ=-()sin(154f x A x π=-(,96ππ15ω=③当，即时，，，∴，．6k =13ω=134k πϕπ-+=k Z ∈134k πϕπ=+k Z ∈∵，∴，此时在上单调递增，||2πϕ<4πϕ=()sin(13)4f x A x π=+(,)96ππ∴符合题意，故选D ．13ω=二、填空题13. 【答案】1【解析】结合可知，得到，∴．(2)a ab ⊥+(2)0a a b ⋅+= 220a ab += ||1||a b b +=== 14. 【答案】12【解析】设男学生人生为，女学生人数为，教师人数为，且，x y z *,,x y z N ∈则，当时，不成立；当时，不成立；2z x y z >>>1z =21x y >>>2z =42x y >>>当时，，则，，此时该小组的人数最小为12．3z =63x y >>>5x =4y =15. 【答案】6【解析】数列为正项的递增等比数列，，，{}n a 1582a a +=241581a a a a ⋅==即，解得，则公比，∴，15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩15181a a =⎧⎨=⎩3q =13n n a -=则，∴，3122221333n n T -=++++ 111323(11313n n -=⨯=--12019|1|13n T ->即，得，此时正整数的最大值为6．故答案为6． 1201913n ⨯>32019n <n 16. 【答案】 2512【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为12，(9,12)A 即，，∴，91212a b +=314a b +=11313()()34124a b a b a b a b ++=++13251212≥+=当且仅当，即，时，取得最小值为．4b a a b =45a =25b =2512三、解答题17. 【答案】（1）；（2．4π【解析】（1）在中，由正弦定理可得，∴，ABC ∆sin sin c A a C =cos B ==又，∴．0B π<<∠4B π=∠（2）∵的面积为，∴，ABC ∆21sin 24a ac π=c =由余弦定理得，∴.∴.22282b a a a =+-⋅⋅b =cos A ==18. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）∵分别是，的中点，∴．,E F AB 1AA 1EF A B∵平面，平面，∴平面．EF ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD EF 1A BD （2）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1BB ⊥111A B C ∵平面，∴．1A D ⊂111A B C 11BB A D ⊥∵，且是的中点，∴．1111A B A C =D 11B C 111A D B C ⊥∵，，平面，∴平面．1111BB B C B ⋂=11B C 1BB ⊂11BB C C 1A D ⊥11BB C C ∵平面，∴平面平面．1A D ⊂1A BD 1A BD ⊥11BB C C19. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．47【解析】（1）调整前关于的表达式为．y x 0,3500(3500)0.03,(3500,5000]45(5000)0.1,(5000,8000]x y x x x x ≤⎧⎪=-⨯∈⎨⎪+-⨯∈⎩调整后关于的表达式为，y x 0,5000(5000)0.03,(5000,8000]x y x x ≤⎧=⎨-⨯∈⎩（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，[3000,5000)[5000,7000)其中中占3人，分别记为，中占4人，[3000,5000),,A B C [5000,7000)分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，23，24，3AB AC 1A 2A 3A 4A BC 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 4，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，1A 2A 3A 4A 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 共12种，∴所求概率为．124217P ==（3）由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为元；15003%250010%295⨯+⨯=按调整后起征点应纳个税为元，25003%75⨯=比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，∴小李的实际收入增加了220元．20. 【答案】（1）；（2）．22142xy +=y x =y x =-【解析】（1）设，，根据题意得，，1(,0)F c -2(,0)Fc 1(1)PF c =-- 2(1)PF c =- ∴，解得，∴，①212211PF PF c ⋅=-+= 22c =222a b -=又∵点在椭圆上，∴，②P C 22211a b +=联立①②，解得，，24a =22b =∴椭圆的方程为．C 22142x y +=（2）∵直线的倾斜角为，∴设直线的方程为．l 45 l y x m =+联立消去，整理得，22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y 2234240x mx m ++-=∵直线与交于，两点，l C A B ∴，解得．2221612(24)4880m m m ∆=--=->26m <设，，则，11(,)A x y 22(,)B xy 1x =2x =从而，||AB=12||x x =-==又∵点到直线的距离，O l d =∴，12S ==≤=当且仅当，即，即226m m =-23m =m=∴的面积的方程为或．OAB ∆Sl y x =+y x =-21. 【答案】（1）见证明；（2）．(0,1)e -【解析】（1）由题意知，要证，只需证，1x e x ≥+()10x f x e x =--≥求导得，当时，，()1x f x e '=-(0,)x ∈+∞()10x f x e '=->当时，，(,0)x ∈-∞()10x f x e '=-<∴在是增函数，在时是减函数，即在时取最小值，()f x (0,)+∞(,0)x ∈-∞()f x 0x =(0)0f =∴，即，∴．()(0)0f x f ≥=()10x f x e x =--≥1x e x ≥+（2）不等式在上恒成立，()1f x ax >-1[,2]2x ∈即在上恒成立，亦即在上恒成立，11x e x ax -->-1[,2]2x ∈x e x a x -<1[,2]2x ∈令，，()x e x g x x -=1[,2]2x ∈以下求在上的最小值，()x e x g x x -=1[,2]2x ∈ ，当时，，当时，，2(1)()x e x g x x -'=1[,2]2x ∈()0g x '≤[1,2]x ∈()0g x '≥∴当时，单调递减，当时，单调递增．1[,2]2x ∈()g x [1,2]x ∈()g x ∴在处取得最小值为，()g x 1x =(1)1g e =-∴正数的取值范围是．a (0,1)e -22. 【答案】（1）直线的极坐标方程为；圆的极坐标方程为；m 4πθ=C 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）2【解析】（1）∵直线的参数方程为（为参数），∴直线的斜率为1，l 1x t y t =⎧⎨=+⎩t l ∵直线与直线平行，且过坐标原点，∴直线的直角坐标方程为，m l m y x =∴直线的极坐标方程为；m 4πθ=∵圆的参数方程为（为参数），C 1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ϕ∴圆的普通方程为，即，C 22(1)(2)1x y -+-=222440x y x y +--+=∴圆的极方程为．C 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）把直线的极坐标方程代入中得，m 4πθ=22cos 4sin 40ρρθρθ--+=240ρ-+=∴，12||||AB ρρ=-==∴的周长为ABC ∆223. 【答案】（1）；（2）．max ()4f x =6t =【解析】（1）时，，即的最大值为4．2t =()|21||23|f x x x =--+≤|(21)(23)|4x x --+=()f x （2）∵，∴或，()|21||3|f x x tx =--+max 1()()2f x f =max 3()(f x f t =-∵无解，∴，解得（舍）或，1(22f =3(2f t -=2t =-6t =当时，，6t =()|21||63|f x x x =--+144,21182,22144,2x x x x x x ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪+≤-⎪⎩在上递增，在上递减，()f x 1(,)2-∞-1(,)2-+∞，合题意，max 1()()22f x f =-=综上可得，．6t =。

河南省洛阳市2018-2019学年下学期期中考试高二理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，复数对应的点为，则复数的共轭复数的虚部为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知,,所以,所以复数的共轭复数的虚部为；故选B.2. 曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】有题意可知，，所以，所以曲线在点处的切线方程为.3. 有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；已知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】∵大前提是：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么是函数的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A．4. 函数的图象不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于图像C，可知该函数的导函数由三个零点，又∵，可知至多2个零点，所以可知选项C错误，故选C．5. “”是“函数有极值”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B6. 由曲线，直线，所围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,故选D.考点：定积分的应用. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：比较大小8. 一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到时间段内该物体行进的路程和位移分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为；该物体的行进的位移为，故选A.9. 函数的图象如图所示，设是的导函数，若，下列各式成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的图象可知，在区间上单调递减，由基本不等式的性质可知，，所以，故选D.10. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求导函数，可得，函数在定义域内是增函数，所以成立，即恒成立，所以，所以，所以时，函数在定义域内是增函数．故选B．11. 已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】令，则，∵∴，∴在上递减，∴，，∴∴，，故选C.12. 对于函数，，下列说法错误的是（）A. 函数在区间是单调函数B. 函数只有1个极值点C. 函数在区间有极大值D. 函数有最小值，而无最大值【答案】C点睛：对于①针对函数的性质，当时，由三角函数线可知，；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数在区间上的平均变化率为__________．【答案】2【解析】函数在区间上的平均变化率为：．14. 定积分__________．【答案】【解析】．15. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形中（如图甲），有，利用类比推理，在平行六面体中（如图乙），__________．【答案】【解析】如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，因此，在平行四边形中，…①；在平行四边形中，…②；在平行四边形中，…③；②、③相加，得…④将①代入④，再结合得，．16. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数是纯虚数（）.（1）求的值；（2）若复数，求.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）因为复数是纯虚数，可得，据此解不等式组，求交集，即可求出结果；（2）由（1）知，，可得，然后再根据复数的除法公式可得，然后再根据复数的模的公式即可求出结果.试题解析：（1）因为复数是纯虚数.∴，于是，∴.（2）由（1）知，，∴.∴.18. 证明：若，，，则，，至少有一个不大于.【答案】见解析.【解析】试题分析：首先根据题意，通过反证法假设，，中没有一个不大于-2，得出，即，然后根据基本不等式，得出，相互矛盾，即可证明．19. 如图，在海岸线由抛物线和线段组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边与小岛海岸线重合，点，在抛物线上，其中直线是抛物线的对称轴，米，海岸线米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.【答案】，米，米.【解析】试题分析：以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为.设，则，矩形面积，然后再利用导数即可求出最大值.试题解析：如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为.设，则，矩形面积，所以，令，解得或.当，；，；所以当时，，此时矩形边长米，米.20. 已知数列的通项公式，其前项和为.（1）求；（2）若，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】（1）;（2）见解析.（2）∵，∴，，，，于是猜想.下证明猜想：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，那么，当时，所以，时，猜想成立.由①②可知，对任意都成立.21. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；【答案】（1）极小值，而无极大值;(2).试题解析：（1）若，则，函数的定义域为，，令，即：，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，在处取得极小值，而无极大值.(2)若在定义域内单调递减，则在恒成立，即对任意的恒成立.令，则，解，得，当时，，单调递减；当，，单调递减，所以，在上有最大值，于是，的取值范围为.点睛：利用导数求函数的极值的一般方法：求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极小值.22. 已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）;（2）见解析.即证对恒成立，令，然后再根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果.试题解析：（1）函数的定义域为，因为有两个零点，，所以函数与函数有两个不同的交点，，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，并且当，，于是的图象大致为：函数与函数有两个不同的交点时，的取值范围是.。

洛阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB2． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．3． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．4． 设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）5． 两个随机变量x ，y 的取值表为x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.656． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）7． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=（）xC ．y=x+D ．y=ln （x+1）8． 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜09． 函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．410．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．11．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1）12．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15二、填空题13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．14．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．15．若tan θ+=4，则sin2θ= ．16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 17．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是．18．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．220．已知椭圆Γ：（a ＞b ＞0）过点A （0，2），离心率为，过点A 的直线l 与椭圆交于另一点M ．（I ）求椭圆Γ的方程；（II ）是否存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆Γ的右焦点F 且与直线 x ﹣2y ﹣2=0相切？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.22．已知函数f（x）=alnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．（I）求a、b的值；（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞恒成立，求实数k的取值范围．23．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．24．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()221ln f x ax a x x =+--，R a ∈．⑴若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1sin 8g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．洛阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ． 故选D2． 【答案】D【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52， ∴q 2=2，∴q=，∵a 2=1，∴a 1==．故选：D3． 【答案】C【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．4． 【答案】A【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．如果 x ≥0 有x 2﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．5． 【答案】【解析】选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^＝0.95x ＋2.6，当y ^＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样本点（3，4.8）的残差e ^＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D 错误，故选D. 6． 【答案】D【解析】考点：平面的基本公理与推论．7．【答案】D【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，②y=（）x是减函数，③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，∴A，B，C不正确，D正确，故选：D【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．8． 【答案】A【解析】解：f （0）=d ＞0，排除D ， 当x →+∞时，y →+∞，∴a ＞0，排除C ，函数的导数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，则f ′（x ）=0有两个不同的正实根， 则x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，方法2：f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，由图象知当当x ＜x 1时函数递增，当x 1＜x ＜x 2时函数递减，则f ′（x ）对应的图象开口向上， 则a ＞0，且x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0， 故选：A9． 【答案】【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝km ＋bm ＋14－n ＝k （－2－m ）＋b －1－m ，恒成立．由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立， ∴4＝2k ，即k ＝2，∴f （x ）＝2x ＋b x ＋1，又f （－2）＝－4＋b －1＝3，∴b ＝1，故选B. 10．【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PFPF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 11．【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．12．【答案】C【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．二、填空题13．【答案】 3+．【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，即个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+．故答案为：3+．14．【答案】 （0，）∪（64，+∞） ．【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，∴x＞64或0＜x＜．即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}故答案为：（0，）∪（64，+∞）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．15．【答案】．【解析】解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．16．【答案】817．【答案】 （﹣1，1] ．【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]18．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()21()0f x x ef x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x x ef x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=sinx ﹣2sin 2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，所以M（0，﹣2）或M（，），（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时k AF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．21．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.22．【答案】【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+的导数为f′（x）=﹣，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当x＞1时，不等式f（x）＞，即为（x﹣1）lnx+＞（x﹣k）lnx，即（k﹣1）lnx+＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令g（x）=（k﹣1）lnx+，g′（x）=+1+=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，）上单调递减，且m（1）＜0，故当x∈（1，）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，所以函数g（x）在（1，）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x∈（1，）时，g（x）＜0与题设矛盾，综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．24．【答案】⑴2a =⑵11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⑶2【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）在点11f （，（））处的切线方程，代入点211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），分析可得必有()()215218f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：⑵()()()211'ax x f x x-+=，∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，410{ 610a a -≥∴-≥，得14a ≥；若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，410{610a a -≤∴-≤，得16a ≤，综上，实数a 的取值范围为11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，()max 128g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()min 158f x ∴≥，即()()21521ln 8f x ax a x x =+--≥，由()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；当0a >时，由()'0f x =，得12x a=或1x =-（舍去）， 当102x a<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当12x a>时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 11528f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117ln 2228a a -⋅≥， 设()1ln 2h x x x =-，()21102h x x x∴=+>'，()h x ∴单调递增，a Z ∈，2a ∴为偶数，又()172ln248h =-<，()174ln488h =->，24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

洛阳市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则实数a 的范围是（ ）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．[﹣∞，3]D ．[﹣∞，3）2． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜03． “x 2﹣4x ＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A ．0＜x ＜4 B ．0＜x ＜2 C ．x ＞0 D ．x ＜4 4． 下列命题中正确的是（ ） （A ）若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题（ B ） “0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 （C ） 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”（D ） 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥5． 已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U AB =，则()UC A B =（ ）（A ） (),0-∞ （ B ） 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦（C ） ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ （D ） 1,02⎛⎤-⎥⎝⎦6． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ． 7． 若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -8． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（ ）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或29．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%C．变量X与变量Y有关系的概率为99%D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.31211．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|12．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．14．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是．15．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=．16．若与共线，则y= ．17．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．18．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．三、解答题19．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．21．已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．22．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a 的取值集合A（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a．23．（本小题满分12分）已知向量,a b 满足：||1a =，||6b =，()2a b a ∙-=. （1）求向量与的夹角； （2）求|2|a b -.24．已知函数f （x ）=在（，f （））处的切线方程为8x ﹣9y+t=0（m ∈N ，t ∈R ）（1）求m 和t 的值；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．洛阳市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则a ＞3， 故选：B ．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．2． 【答案】B【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0， 故选：B3． 【答案】B【解析】解：不等式x 2﹣4x ＜0整理，得x （x ﹣4）＜0∴不等式的解集为A={x|0＜x ＜4}，因此，不等式x 2﹣4x ＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x 范围应该是集合A 的真子集．写出一个使不等式x 2﹣4x ＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x ＜2，故选：B ．4． 【答案】D【解析】对选项A ，因为p q ∨为真命题，所以,p q 中至少有一个真命题，若一真一假，则p q ∧为假命题，故选项A 错误；对于选项B ，2b aab+≥的充分必要条件是,a b 同号，故选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故选项C 错误；故选D ．5． 【答案】C【解析】[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,(],1U =-∞,故选C ．6． 【答案】A 【解析】考点：二元一次不等式所表示的平面区域. 7． 【答案】A 【解析】试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足71i i z +=,所以()1,1i i i i z i z+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 8． 【答案】D【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），∵f （+x ）=f （﹣x ），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f （）=2或﹣2故选D ．9． 【答案】C【解析】解：∵概率P （K 2≥6.635）≈0.01， ∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，即两个变量有关系的概率是99%，故选C ．【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．10．【答案】A【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．11．【答案】B【解析】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1，=﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选B．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．12．【答案】D【解析】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．二、填空题13．【答案】150【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案为：150．14．【答案】．【解析】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件．∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种∵（a，b）的取值共36种情况∴所求概率为=．故答案为：．15．【答案】﹣5．【解析】解：求导得：f′（x）=3ax2+2bx+c，结合图象可得x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0，故，解得故==﹣5故答案为：﹣516．【答案】﹣6．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．17．【答案】[，﹣1]．【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；∵AF⊥BF，∴=0，即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，cos2α==2﹣，故cosα=，而|AF|=，|AB|==2c，而sinθ===，∵θ∈[，]，∴sinθ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．18．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），所以tanα=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．21．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】试题解析： （1）'()1x f x e =-．令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则21()2xx F x e x a a e=--+-， 1'()2x xF x e e =+-．∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，∴()F x 的最小值小于0，即20a a -<，解得1a >或0a <．1（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，∴1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()xx e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，令()2xxh x e ex -=--（0x ≥），考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．22．【答案】【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，所以，10＜10a+10，解得a＞0，所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，则＞1恒成立，即＞1，所以，a a﹣b＞b a﹣b，将该不等式两边同时乘以a b b b得，a ab b＞a b b a，即证．【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．23．【答案】（1）3π；（2） 【解析】试题分析：（1）要求向量,a b 的夹角，只要求得这两向量的数量积a b ⋅，而由已知()2a b a ∙-=，结合数量积的运算法则可得a b ⋅，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式22a a =，把考点：向量的数量积，向量的夹角与模．【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=求得这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角． 24．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）的导数为f ′（x ）=，由题意可得，f （）=，f ′（）=，即=，且=，由m ∈N ，则m=1，t=8；（2）设h （x ）=ax+﹣，x ≥．h （）=﹣≥0，即a ≥，h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①若≤x≤，设g（x）=a﹣，g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；当a＜时，h（）＜0，不合题意．综上可得a≥．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．。

洛阳市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l2． 10y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．303． 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB 所在的直线方程是（ ） A ．y=x ﹣4 B ．y=2x ﹣3 C ．y=﹣x ﹣6 D ．y=3x ﹣24． 函数f （x ）=log 2（x+2）﹣（x ＞0）的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，e ） D ．（3，4） 5． 有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36． 下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）A ．(ln y x =B ．2y x =C ．tan y x =D ．x y e =7． 如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°8． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）9． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图10．若点O 和点F （﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ． +D ． ++112．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）二、填空题13．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．15．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.16．给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x 2+1的图象可由y=3x 2的图象向上平移1个单位得到； ④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域为[0，4]；⑤设函数f （x ）是在区间[a ，b]上图象连续的函数，且f （a ）•f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）17．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．18．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）． A B C D三、解答题19．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为,,,,A B C D E ，其频率分布直方图如下图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；（Ⅱ）该团导游首先在,,C D E 三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C 组的概率．20．对于任意的n ∈N *，记集合E n ={1，2，3，…，n}，P n =．若集合A 满足下列条件：①A ⊆P n ；②∀x 1，x 2∈A ，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，则称A 具有性质Ω． 如当n=2时，E 2={1，2}，P 2=．∀x 1，x 2∈P 2，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，所以P 2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P 3，P 5中的元素个数，并判断P 3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ． （Ⅲ）若存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使P n =A ∪B ，求n 的最大值．21．求下列各式的值（不使用计算器）：（1）；（2）lg2+lg5﹣log 21+log 39．22．已知函数()xf x e x a =-+，21()x g x x a e=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．23．某市出租车的计价标准是4km 以内10元（含4km ），超过4km 且不超过18km 的部分1.5元/km ，超出18km 的部分2元/km ．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y 元与行车里程x km 的函数关系式； （2）如果某人乘车行驶了30km ，他要付多少车费？24．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．洛阳市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 111] 【解析】考点：线线，线面，面面的位置关系 2． 【答案】C 【解析】10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 3． 【答案】A【解析】解：设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2，x 12=﹣2y 1，x 22=﹣2y 2．两式相减可得，（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=﹣2（y 1﹣y 2） ∴直线AB 的斜率k=1，∴弦AB 所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x ﹣4． 故选A ，4． 【答案】B【解析】解：∵f （1）=﹣3＜0，f （2）=﹣=2﹣＞0，∴函数f （x ）=log 2（x+2）﹣（x ＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），故选：B ．5． 【答案】C【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．综上可知：其中正确命题的是①③．故选：C ．【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．6． 【答案】A 【解析】试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性． 7． 【答案】B【解析】解：由题意故，即故两向量夹角的余弦值为=故两向量夹角的取值范围是45°故选B【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．8． 【答案】D【解析】解：由奇函数f （x ）可知，即x 与f （x ）异号，而f （1）=0，则f （﹣1）=﹣f （1）=0，又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x ＜1时，f （x ）＜f （1）=0，得＜0，满足；当x ＞1时，f （x ）＞f （1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞f （﹣1）=0，得＜0，满足；当x ＜﹣1时，f （x ）＜f （﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1． 故选D ．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．9．【答案】D【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D．【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．【答案】B【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．11．【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．△PAC故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12．【答案】A【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）． 故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．二、填空题13．【答案】②④⑤【解析】解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；构造函数()()x f x g x e =，()()()0xf x f xg x e'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；构造函数2()()g x x f x =，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；由()()x e xf x f x x '+=得2()()x e xf x f x x-'=，设()()xg x e xf x =-，则()()()xg x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．14．【答案】．【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c∴b=，c=2a，由余弦定理可得cosB===．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．15．【答案】48【解析】16．【答案】③⑤【解析】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；错；②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤17．【答案】．【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）=．故答案为：．18．【答案】27【解析】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，若A方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．【答案】【解析】解：（1）=4+1﹣﹣ =1； （2）lg2+lg5﹣log 21+log 39=1﹣0+2 =3．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．22．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】试题解析： （1）'()1xf x e =-．令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则21()2xx F x e x a a e=--+-， 1'()2x x F x e e =+-．∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-． ∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，∴()F x 的最小值小于0，即20a a -<，解得1a >或0a <．1（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，∴1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()x x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--， 令()2x x h x e e x -=--（0x ≥），考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想． 23．【答案】【解析】解：（1）依题意得： 当0＜x ≤4时，y=10；…（2分）当4＜x ≤18时，y=10+1.5（x ﹣4）=1.5x+4…当x ＞18时，y=10+1.5×14+2（x ﹣18）=2x ﹣5…（8分） ∴…（9分）（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．。