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1-1质点力学

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第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
为了描述速 度随时间
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2

即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z

r

P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。

第1章 质点运动学

第1章 质点运动学

100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z

(完整版)第1章质点力学

(完整版)第1章质点力学

1第1章 质点力学1—1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2(SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

1-4一质点沿半径R 的圆周运动,运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为 an；角加速度 β= 。

1—5 某质点的运动方程为x= 3t —5t 3+6（SI),则该质点作 （A)匀加速直线运动,加速度沿x 轴正方向. （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。

(C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。

（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。

［ ］ 1—9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。

1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 .1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。

则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。

6t(s)题1—10图 题1-11图21-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向,B 船沿y 轴正向。

今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：(A)j 2i 2 + （B ）j 2i 2+-(C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2- [ ]1—13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A)南偏西 16。

大学物理第1章质点运动学的描述

大学物理第1章质点运动学的描述
t 4s
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.

第1章 质点力学 习题参考答案--2013.01

第1章 质点力学 习题参考答案--2013.01

对上式积分，并代人初始条件 x = 0， v ∴ v v0 e
kx
v0 ，有
x dv kdx v0 v 0 v
，得证。
1-7. 如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动．转动的角速度 与时间 t 的函数关系为
kt 2 (k 为常量)．已知 t 2s 时，质点 P 的
s
t
t
a0
2
)d t
故各瞬时
s
a0 2 a0 3 t t 2 6
当 t = n 时，质点的速度 v n
1 n(n 2)a0 ； 2 1 2 2 质点走过的距离 s n n (n 3)a0 6
M S B
1-4．质点 M 在水平面内的运动轨迹如图所示，OA 段为直线， AB、 BC 段分别为不同半径的两个 1/4 圆周． 设 t =0 时，M 在 O 点，已知运动学方程为 S =30t+5t2 (SI) 求 t =2 s 时刻，质点 M 的切向加速度和法向加速度． 解：首先求出 t=2 s 时质点在轨迹上的位置， S =80 (m)，质点在大圆上。 各瞬时质点的速率： v dS / dt 30 10t ∴ t =2 s 时, v =50 m/s 各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：
其中 b、c 是大于零的常量，求从 t 0 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的 时间． 解： v dS / dt b ct
at dv / dt c
2
an b ct / R
根据题意，
c b ct / R ， 解得
2
t
b Rc c
1-6．一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反， 大小与速度平方成正比，即 dv /d t kv ， 式中 k 为常量．试证明电艇在关闭发动机后

第1章质点运动学

第1章质点运动学

∆r = AB
•
•
r r = r (t + ∆t ) − r (t )
∆ ∆S S
•
r r(t) (t)
o o x x
∆r∆r
• B(t+ ∆ t) B(x2,y2,z2)
在直角坐标系中
r r r r r (t ) = x1i + y1 j + z1k, r r r r r (t + ∆t ) = x2i + y2 j + z2k
z
Y x
z
ϕ
r Y X (b)
θ
o
ϕ
(c)
r eθ
r o
r er
• P(r,θ ) o
v n
s • P (e)
τ
v
θ (d)
4
§1-2 理想模型
1. 质点模型 质点模型—— 如果物体的大小和形状在所研究的问题 中不起作用或作用很小, 中不起作用或作用很小 就可以把物体 抽象为只有质量的几何点。 抽象为只有质量的几何点。 在外力的作用下保持其大小、 2. 刚体模型 刚体模型—— 在外力的作用下保持其大小、形状不变 刚体。 的物体, 称为刚体 的物体 称为刚体。 以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究, 以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究 这是物 理学中常用的研究方法。 理学中常用的研究方法。
r ∆r = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2
如果质点作直线运动 (如沿 轴运动 时 如沿x轴运动 如沿 轴运动)时
z
C A(x1,y1,z1)
•
∆S
•
r(t)
∆r
r r r r r (t ) = x1i , r (t + ∆t ) = x2i o r r r r ∆r = x2i − x1i = ∆xi

第一章 质点运动学


z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g

1第一章-质点力学基础

矢量(vector)：既有大小又有方向且只有一个方向 的物理量,如速度、加速度；
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
第13页，共54页。
质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
第15页，共54页。
P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量

大学物理之质点运动学


矢量性：注意矢量和标量的区别。 相对性：对不同参照系有不同的描述。
3．运动学方程是运动学的核心，包含了运动的全部信息。
运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
dr v dt
2 dv d r a 2 dt dt
第一章 质点运动学 §1-1 质点、参考系 、坐标系
一、质点
1. 引入 质点的概念是考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想 化的力学模型，使研究的问题得到简化。 2. 概念
质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不 计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点。 3.说明 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是 取决于研究问题的性质。
大小：
方向：
2）相对性： 例如：坐在运动汽车中的人，选车厢为参考系，人位 移为零，但如选择地面为参考系位移不为零。 3）单位：米(m) 2.位移与路程的区别 位移是矢量：是指位置矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。
思考：位移的大小什么时候与路程相等？
3. 区分：
三、速度（描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 ）
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s a e 2 e h dt dt
2
讨论
de dt
O
Δ
e t t
e e (t t ) - e (t )
当： t 0 , 0 有
e e
s
求：1、任意时刻 t 速度
2、切向加速度的大小
1-2-6 圆周运动及其角量描述
平面极坐标系

第1章质点运动学

2
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
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例如平抛运动：
水平方向的匀速直线运动和 垂直方向的匀加速直线运动的合成。 运动叠加原理的应用： 斜抛运动： Y
vx
v0 y vy
0
v
X
v0 x
27
初始速度大小为
v0
，与 x 轴夹角为 0
Y
v0 x v0 cos 0
t
v
时刻速度为
vx
vy
v0 y v0 sin 0
与x轴正向相反
23
2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，
其加速度大小为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，设
抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果他不必移动
在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的 夹角应为多大？
解：抛出后车对地的位移：
x1 v 0 t
1 2
'

at
2
a

B
速度等于位置矢量对时间的一阶导数
速度方向 t 0 时， r的极限方向
在A点的切线并指向质点运动方向
直角坐标系中
v dx dy dz i j k dt dt dt dt v x i v y j vz k dr
速度大小 v v
r ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k xi yj zk
o
注 意
位移是矢量，有大小和方向 r 与r 的区别
r1
o z A r2
Δr
a ) r 为标量，r 为矢量
b ) r r r 2 1
直角坐标系中 a dv x dv y dv z i j k dt dt dt dt a x i a y j az k dv
加速度大小
a a
a x a y az
2
2
2
15
位矢 r
位移r
速度 v
加速度 a

注 意
x ( x2 x1 ), y ( y2 y1 ), z ( z2 z1 )
vx dx dt
2
,vy
dy dt
, vz
2
dz dt
ax
d x dt
2
,ay
d y dt
2
, az
d z dt
2
2
任一曲线运动都可以分解成沿 x, y, z三个各自独 立的直线运动的叠加 运动的独立性原理 (运动的叠加原理)
a0 2
t
2
a0 6 t
3
t c2
3
t 0时x 0 c2 0
x
a0 2
t
2
a0 6
21
练习1.一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x=10+8t-4t2,求： （1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
解： 1）t时刻 （
瞬时速率等于瞬时速度的大小 t 0 v ds dt dr dt v
dr ds
13
三、加速度
单位：米/秒2
描述速度变化的快慢(包括大小和方向的变化)
t
t t
A B
v1 v2
z
v1 A
·
B
·
v2
t 时间内的平均加速度
a v 2 v1 t 2 t1 v
v

t
a
dv adt
adt (a
0

a0

t )dt a0t v a0t a0 2 t
a0 2
2
t c1
2
t 0时v 0 c1 0
20
v
dx dt
dx vdt a0 2 t )dt
2
x vdt (a0t
r v a
描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
17
重点：
讨论问题一定要选取坐标系
注意矢量的书写
dr , ds , dv , dt 与 r , s , v , t 的物理含义
质点运动学的两类问题：
已知运动方程，求质点的速度和加速度
求导数
已知质点的速度(或加速度)和初始条件， 求质点运动方程及其它未知量 运用积分方法
k
P
P点矢径 r
位置矢量 A (位矢)
x
X
r
o
B
y
r op
i
j
Y
Q
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
四、运动方程
位矢
质点的运动方程
r r(t )
位矢随时间的 某种函数关系
直角坐标系中
r ( t ) x( t )i y( t ) j z( t )k
v 1 2 8 8 4 4( m s ) 方向与 x轴正向相反
22
x=10+8t-4t2
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
vt dx dt 8 8t
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
v0 8 m s 与x轴正向相同
v1 0
v 2 8 m s
此时转向
V0
gt
2
球对地的位移：
x 2 (v 0 v 0 sin )t
y2 (v 0 cos )t
'
1 2
v 0 为球对车的初速度
24
'
小孩接住球的条件为：x1=x2;
1 2
1 2 gt
2
y 2= 0
at
2
v0ห้องสมุดไป่ตู้(sin )t
'
v 0 (cos )t
'
r r
Δr
r r2 r1
s 与 r 的区别 s 为路程(轨道长度)，是标量
·
ΔS Δr
·
r2
B
r1 o x
t 0
dr ds
y
元位移的大小

元路程
s r
10
二、速度 单位：米/秒
速 度：描述质点运动快慢和方向。
平均速度： r2 r r 1 v t t 矢量
dx dt
dy dt
v0 cos 0
v 0 s in 0 g t
vx
v0 y
0
vy
v
X
t 时刻的坐标分量为：
x (v0 cos 0 )t
y ( v 0 s in 0 ) t 1 2
2 2
v0 x
gt
2
上式中消去 t，得到描写抛体运动轨迹的抛物线方程：
y xtg 0 gx
指向物体运动方向 指向轨道的凹侧
31
圆周运动
质点位置 线速度 角速度
圆周运动的周期 T
S R ds d v R dt dt d dt 2
v
y A sin t
2
x y A
2 2
圆
8
位移 速度 加速度
一、位移 单位：米
t
t t
z
r1 r2
A
A B
·
ΔS Δr
·
r2 y
B
r1
t 时间内位置变化
有向线段 AB r x t 时间内的位移 r r2 r1 r1 x1i y1 j z1k r2 x2 i y2 j z2 k
分量表示
x x (t ) y y(t ) z z (t )
可以简化为一维、二维和三维运动方程。
运动轨道：运动质点所经空间各点联成的曲线。
轨道方程：表示轨道曲线的方程式。
x x(t ) y y(t ) z z(t )
O
Z
消去t，得到轨道方程 f(x,y,z)=0
X
Y
例：x A cos t ,
两式相比得：
a g tan
tan
1
a g
25
叠加原理 曲线运动
一、运动叠加原理
当物体同时参与两个或多个运动时, 其总的运
动乃是各个独立运动的叠加, 这个结论称为运动叠 加原理或运动的独立性原理 任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独 立的直线运动的叠加（矢量加法）。
v x v y vz
2
2
2
12
3. 平均速率和瞬时速率
单位：米/秒
s 质点运动路程s与时间t的比 平均速率 v t 值称为t时间内的平均速率
(瞬时)速率 注意
t dt 速度是矢量，速率是标量。
t 0
v lim
s

ds
质点运动的路程对 时间的一阶导数
一般情况 v v ( s r ) 单向直线运动情况 v v ( s r )
即物体平动。
物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体 的变形及转动显得并不重要)。
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二、参考系和坐标系
参考系——为了描述一个物体的运动，必须选择另
一个物体作为参考，被选作参考的物体 称为参考系。 坐标系——为了定量地确定质点在空间的位置而
在参考系上选定的一个框架。
三、位置矢量
单位：米
z
Z
位矢(位置矢量）：描述质 点在空间的位置。 P点坐标(x,y,z)